Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS cấp tỉnh Đồng Tháp năm 2009 môn: Toán30260

KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM 2009 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP _ Đề thức_ ĐỀ THI MƠN: TỐN Ngày thi: 15/02/2009 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (3 điểm) Cho x = 10    1 6  Tính P = ( x 3- x +1)2009 Câu 2: (4 điểm) x  x  x  x  3x  x2  x  a Tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định b Rút gọn phân thức A c Tìm giá trị x để giá trị phân thức A Cho phân thức A = Câu 3: (5 điểm) a Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm nhất: x  x 1  x  m x 1 b Tìm giá trị n để hệ phương trình sau có nghiệm ngun nhất:  nx  y  n   2 x  ny  2n  c Giải phương trình sau: x  2009  y  2008  z   x  y  z  Câu 4: (5 điểm) a Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH = 12a ; BC = 5a Tính hai cạnh góc vng theo a b Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi AH, BI, CK đường cao tam giác S HIK   cos A  cos B  cos C Chứng minh S ABC Câu 5: (3 điểm) Cho đường trịn (O1 ; R1) tiếp xúc ngồi với đường trịn (O2 ; R2).Vẽ đường thẳng AB tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (O1) (O2 ) ( với A(O1) ; B(O2) ) Vẽ đường tròn (O ; R) tiếp xúc ngồi với hai đường trịn (O1) , (O2 ) tiếp xúc với đường thẳng AB C 1   Chứng minh rằng: R R1 R2 HẾT HSG lớp THCS cấp tỉnh 1/1 ThuVienDeThi.com Mơn: Tốn KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM 2009 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP _ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang) Câu Nội dung   1     1   1   1 =  x   1  điểm 0,5 10   0,5 3 Câu    1 1 2 = 1 0,25- 0,5- 05 Vậy P = (23-4.2+1)2009 = 12009 = P =1 a) x  2; x  1 b) x 5- x 4+ x 3- x - x +6 = x 4( x -2)+2 x 2( x -2)-3( x -2) = ( x -2)( x + x 2-3) = ( x -2)[( x 2+1)2 -4] = ( x -2)[( x +3)( x 2-1)] = ( x -2)( x +3)( x -1) ( x +1) x  x  x  x  3x   x  2x  3 x  1x  1 = x  1x  2 x2  x  2 = ( x +3)( x -1) A 0,5 0,25 0,25 điểm 0,25 0,25 Câu c) Vì x +3> ; để A= x -1 =0  x = (thỏa điều kiện) a) ĐKXĐ: x  m ; x  Khi đó: x  x 1   (x +2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) x  m x 1 2  x + x – = x – mx + x – m  mx = – m  x  2m m Vậy phương trình có nghiệm khi:  m  m  m    2  m   m  m  m   x  m    m x  2  m  m   2  m   m (1) nx  2y  n  b) Hệ phương trình:  (2) 2x  ny  2n  1 y   (n   nx) Từ (1) suy HSG lớp THCS cấp tỉnh 1/3 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 điểm 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 m    m  m    0,25 HDC mơn:Tốn 2x  n   (n   nx)  2n  2 2  4x – n x = – n + 3n –  (4 – n ).x = – n + 3n –  n  3n   x  n2 Hệ phương trình có nghiệm khi: 4–n2   n   n 1  x  n    n  Khi đó:  y  2n     n2 n2 x, y nguyên khi: (n + 2)  Ư(3) ={1 ; –1 ; ;–3}  n  {–1 ; –3 ; ; –5} c) ĐK : x ≥ 2009 ; y ≥ -2008 ; z ≥ Thay vào (2) ta x  2009  y  2008  z   x  y  z )   x  y  z  x  2009  y  2008  z      x  2009     y  2008    z  1  Đặt AB= x ; AC = y (x,y >0) ABC vng A, ta có : AB.AC = AH BC x.y = 12a 5a = 12a2 (1) BC2 = AB2 + AC2  25a2 = x2+y2 (2) 2 Từ (1) &(2)  (x+y) = x + 2xy + y = 25a2 + 24a2 = 49a2 (x-y)2 = x2-2xy+y2 = 25a2-24a2 = a2 x  y  7a  x  y  7a    xy a  x  y  a  x  3a  x  4a  Do   y  4a  y  3a Vậy Vậy hai cạnh góc vng 4a 3a b) SHIK = SABC – SAKI – SBKH – SCHI S S HIK S S   AKI  BKH  CHI S ABC S ABC S ABC S ABC Xét AKI ABC có góc A chung nên S AKI AK AI AK AI   S ABC AB AC AC AB HSG lớp THCS cấp tỉnh 0, 25 0, 25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 Vậy x = 2010 ; y = -2007 ; z = a) 0,25 0,25 0,5  x  2009      y  2008    z  1    x  2010  (thỏa điều kiện)   y  2007  z 3  Câu 0,25 2/3 ThuVienDeThi.com điểm 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 HDC mơn:Tốn 0,5 AKC vuông K AIB vuông I, ta có : Cos A = AK AI cos A = AC AB S AKI  cos A S ABC S S Tương tự : BHK  cos B; CHI  cos C S ABC S ABC S Vậy HIK   cos A  cos B  cos C S ABC Do 0,5 A I K B C H Câu Đẳng thức cần chứng minh tương đương với RR1  RR2  R1 R2 Qua O kẻ HK O1A O2B (với H O1A ; KO2B),khi H, O, K thẳng hàng  HOO1vng có :OH2 = OO12 - HO12 = (R1+R)2 - (R1-R)2 = 4R1R  OH = R1 R (1)  KOO2vng có :OK2 = OO22-KO22 = (R2+R)2 - (R2-R)2 = 4R2R  OK= R2 R (2) Từ (1) & (2)  HK=  R1 R  R2 R  điểm 0,25 0,75 0,75 0,25 Qua O2 kẻ O2I O1A (với I O1A )  IO2O1vng có :IO2= O1O22  IO12 = R1 R2 0,5 Mà IO2 = HK  0,5 RR1  RR2  R1 R2 O1 O2 I d o H A HSG lớp THCS cấp tỉnh 3/3 ThuVienDeThi.com C K B HDC mơn:Tốn ...KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM 20 09 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP _ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH... {–1 ; –3 ; ; –5} c) ĐK : x ≥ 20 09 ; y ≥ -2008 ; z ≥ Thay vào (2) ta x  20 09  y  2008  z   x  y  z )   x  y  z  x  20 09  y  2008  z      x  20 09     y  2008    z... AK AI AK AI   S ABC AB AC AC AB HSG lớp THCS cấp tỉnh 0, 25 0, 25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 Vậy x = 2010 ; y = -2007 ; z = a) 0,25 0,25 0,5  x  20 09      y  2008    z  1  