KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM 2009 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP _ Đề thức_ ĐỀ THI MƠN: TỐN Ngày thi: 15/02/2009 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (3 điểm) Cho x = 10 1 6 Tính P = ( x 3- x +1)2009 Câu 2: (4 điểm) x x x x 3x x2 x a Tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định b Rút gọn phân thức A c Tìm giá trị x để giá trị phân thức A Cho phân thức A = Câu 3: (5 điểm) a Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm nhất: x x 1 x m x 1 b Tìm giá trị n để hệ phương trình sau có nghiệm ngun nhất: nx y n 2 x ny 2n c Giải phương trình sau: x 2009 y 2008 z x y z Câu 4: (5 điểm) a Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH = 12a ; BC = 5a Tính hai cạnh góc vng theo a b Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi AH, BI, CK đường cao tam giác S HIK cos A cos B cos C Chứng minh S ABC Câu 5: (3 điểm) Cho đường trịn (O1 ; R1) tiếp xúc ngồi với đường trịn (O2 ; R2).Vẽ đường thẳng AB tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (O1) (O2 ) ( với A(O1) ; B(O2) ) Vẽ đường tròn (O ; R) tiếp xúc ngồi với hai đường trịn (O1) , (O2 ) tiếp xúc với đường thẳng AB C 1 Chứng minh rằng: R R1 R2 HẾT HSG lớp THCS cấp tỉnh 1/1 ThuVienDeThi.com Mơn: Tốn KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM 2009 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP _ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang) Câu Nội dung 1 1 1 1 = x 1 điểm 0,5 10 0,5 3 Câu 1 1 2 = 1 0,25- 0,5- 05 Vậy P = (23-4.2+1)2009 = 12009 = P =1 a) x 2; x 1 b) x 5- x 4+ x 3- x - x +6 = x 4( x -2)+2 x 2( x -2)-3( x -2) = ( x -2)( x + x 2-3) = ( x -2)[( x 2+1)2 -4] = ( x -2)[( x +3)( x 2-1)] = ( x -2)( x +3)( x -1) ( x +1) x x x x 3x x 2x 3 x 1x 1 = x 1x 2 x2 x 2 = ( x +3)( x -1) A 0,5 0,25 0,25 điểm 0,25 0,25 Câu c) Vì x +3> ; để A= x -1 =0 x = (thỏa điều kiện) a) ĐKXĐ: x m ; x Khi đó: x x 1 (x +2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) x m x 1 2 x + x – = x – mx + x – m mx = – m x 2m m Vậy phương trình có nghiệm khi: m m m 2 m m m m x m m x 2 m m 2 m m (1) nx 2y n b) Hệ phương trình: (2) 2x ny 2n 1 y (n nx) Từ (1) suy HSG lớp THCS cấp tỉnh 1/3 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 điểm 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 m m m 0,25 HDC mơn:Tốn 2x n (n nx) 2n 2 2 4x – n x = – n + 3n – (4 – n ).x = – n + 3n – n 3n x n2 Hệ phương trình có nghiệm khi: 4–n2 n n 1 x n n Khi đó: y 2n n2 n2 x, y nguyên khi: (n + 2) Ư(3) ={1 ; –1 ; ;–3} n {–1 ; –3 ; ; –5} c) ĐK : x ≥ 2009 ; y ≥ -2008 ; z ≥ Thay vào (2) ta x 2009 y 2008 z x y z ) x y z x 2009 y 2008 z x 2009 y 2008 z 1 Đặt AB= x ; AC = y (x,y >0) ABC vng A, ta có : AB.AC = AH BC x.y = 12a 5a = 12a2 (1) BC2 = AB2 + AC2 25a2 = x2+y2 (2) 2 Từ (1) &(2) (x+y) = x + 2xy + y = 25a2 + 24a2 = 49a2 (x-y)2 = x2-2xy+y2 = 25a2-24a2 = a2 x y 7a x y 7a xy a x y a x 3a x 4a Do y 4a y 3a Vậy Vậy hai cạnh góc vng 4a 3a b) SHIK = SABC – SAKI – SBKH – SCHI S S HIK S S AKI BKH CHI S ABC S ABC S ABC S ABC Xét AKI ABC có góc A chung nên S AKI AK AI AK AI S ABC AB AC AC AB HSG lớp THCS cấp tỉnh 0, 25 0, 25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 Vậy x = 2010 ; y = -2007 ; z = a) 0,25 0,25 0,5 x 2009 y 2008 z 1 x 2010 (thỏa điều kiện) y 2007 z 3 Câu 0,25 2/3 ThuVienDeThi.com điểm 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 HDC mơn:Tốn 0,5 AKC vuông K AIB vuông I, ta có : Cos A = AK AI cos A = AC AB S AKI cos A S ABC S S Tương tự : BHK cos B; CHI cos C S ABC S ABC S Vậy HIK cos A cos B cos C S ABC Do 0,5 A I K B C H Câu Đẳng thức cần chứng minh tương đương với RR1 RR2 R1 R2 Qua O kẻ HK O1A O2B (với H O1A ; KO2B),khi H, O, K thẳng hàng HOO1vng có :OH2 = OO12 - HO12 = (R1+R)2 - (R1-R)2 = 4R1R OH = R1 R (1) KOO2vng có :OK2 = OO22-KO22 = (R2+R)2 - (R2-R)2 = 4R2R OK= R2 R (2) Từ (1) & (2) HK= R1 R R2 R điểm 0,25 0,75 0,75 0,25 Qua O2 kẻ O2I O1A (với I O1A ) IO2O1vng có :IO2= O1O22 IO12 = R1 R2 0,5 Mà IO2 = HK 0,5 RR1 RR2 R1 R2 O1 O2 I d o H A HSG lớp THCS cấp tỉnh 3/3 ThuVienDeThi.com C K B HDC mơn:Tốn ...KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM 20 09 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP _ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH... {–1 ; –3 ; ; –5} c) ĐK : x ≥ 20 09 ; y ≥ -2008 ; z ≥ Thay vào (2) ta x 20 09 y 2008 z x y z ) x y z x 20 09 y 2008 z x 20 09 y 2008 z... AK AI AK AI S ABC AB AC AC AB HSG lớp THCS cấp tỉnh 0, 25 0, 25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 Vậy x = 2010 ; y = -2007 ; z = a) 0,25 0,25 0,5 x 20 09 y 2008 z 1