Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 930175

Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu (4 điểm)  x 1 x  x    x   Cho biểu thức: A =    :  ,với x  0; x  x x   x x       a) Rút gọn A b) Tìm x để A nguyên Chứng minh với số nguyên a ta có a3 + 11a  Câu (4 điểm) x   x   x  16  2x  12  xy  x  y   Cho số dương x, y, z thoả mãn  yz  y  z  zx  z  x  15  Giải phương trình: Tính giá trị biểu thức P = x + y + z Câu (5 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 3xy – x – y + = Cho số dương a,b,c thoả mãn a + b + c  2015.Chứng minh 5a  b3 5b3  c3 5c3  a    2015 ab  3a bc  3b ca  3c2 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: (x + y)4 = 40y + Câu (6 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngồi đường trịn, M di động đường thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB I a) Chứng minh tích OI.OM khơng đổi b) Tìm vị trí M để  MAB c) Chứng minh M di động d AB ln qua điểm cố định 1 Câu (1điểm) Cho a > 0, b >   Chứng minh rằng: a b a  b  a   b  Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu ( điểm ) x x 1   ): Cho biểu thức: A   (  x 4x  1  x 4x  x  a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên c) Tính giá trị A với x  7 49(5  2)(3   )(3   2 ) Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho : abc  n  , với n số nguyên lớn    cba n    Câu ( điểm ) Giải phương trình sau: x    x  x    x Cho x, y,z ba số thỏa mãn: x.y.z  x  y  z  1   Tính giá trị x y z 2013 2014 2015 biểu thức: P   x  1 y  1 z  Cõu ( im ) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 + xy + y2 = x2y2 Cho a, b c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh ab bc ca    c 1 a 1 b 1 Câu 4.( điểm ) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C, tia By lấy điểm D cho góc COD = 900 Kẻ OH vng góc với CD H a) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AB; AB2 ; b) Chứng minh AC.BD  c) Nêu cách xác định vị trí điểm C tia Ax để diện tích tam giác COD diện tích tam giác AHB Câu ( im ) Tìm nghiệm nguyên dng phương trình : x2+2y2 +2xy +3y- = Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu (4 điểm) a Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện: a  a  2b2  b Chứng minh a  b a  b  số phương b Tìm số tự nhiên n cho số 2015 viết thành tổng n hợp số viết thành tổng n 1hợp số Câu (5 điểm): a Giải phương trình: 6x   9x   6x  9x  x  y  xy  b Giải hệ phương trình:  3  x  y  2x  4y Câu (3 điểm) Cho a, b,c số thực dương thỏa mãn: abc  1   Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  2b  b  2c  c  2a  Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ BC đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C) Gọi D, E, F điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB Chứng minh rằng: a Ba điểm D, E, F thẳng hàng AB AC BC + = b MF ME MD Câu (2 điểm) Cho 121 điểm phân biệt nằm cạnh tam giác có cạnh 6cm Chứng minh vẽ hình trịn đường kính cm chứa 11 điểm số điểm cho Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A = 2x  3x  4x  5 5  2   1 2 b) Cho x, y thỏa mãn: x  2014  2015  x  2014  x  y  2014  2015  y  2014  y Chứng minh: x  y Câu (2,0 điểm) với x    a) Giải phương trình x   x  1 x   2  x  x    3x  xy  4x  2y b) Giải hệ phương trình sau:  x  x  1  y  y  1  Câu (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p cho số 2p2  1; 2p  3; 3p2  số nguyên tố b) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x  18y  2z  3y z  18x  27 Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính BC Gọi A điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn  không chứa AB, AC cắt đường tròn điểm thứ hai tương ứng E D Trên cung BC D lấy F(F  B, C) AF cắt BC M, cắt đường tròn (O;R) N(N  F) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE P(P  A)   600 , tính DE theo R a) Giả sử BAC b) Chứng minh AN.AF = AP.AM c) Gọi I, H thứ tự hình chiếu vng góc F đường thẳng BD, BC Các  để biểu thức đường thẳng IH CD cắt K Tìm vị trí F cung BC BC BD CD đạt giá trị nhỏ   FH FI FK Câu (1,0 điểm) Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy  yz  zx  xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: M  1   4x  3y  z x  4y  3z 3x  y  4z Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.)  x2 x  x 1   : x x x x 1 x       Bài (5 điểm) Cho biểu thức P =  a) Rút gọn P b) Tìm x để P = c) So sánh P2 với 2P Bài (3 điểm) a) Giải phương trình: x2   x2   b) Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện: x  y   y  z    z  x  4z  4x 1 4y  Bài (2 điểm) Cho x y số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức x  y3  2xy Chứng minh  xy số hữu tỉ Bài (5 điểm) Cho đường tròn (O,R) đường kính AB Qua điểm C thuộc đường trịn kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi I, K chân đường vng góc kẻ từ A B đến đường thẳng d Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI.BK c) AB tiếp tuyến đường trịn đường kính IK Bài (2 điểm) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM Bài (3 điểm) 2 2 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y  x y x y z     y  xz  z  xy  x  yz x  y  z Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm b) Cho  x, y, z  Chứng minh Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Bài (4,0 điểm) 1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x: 6x  (x  6) x  3   A= 2(x  x  3)(2  x ) 2x  10 x  12 x  x  Điều kiện x  , x  4; x  ; x  2) Rút gọn biểu thức: B = Bài (6,0 điểm) tố 2  2  2  2 3a  a  2a(a  1)   1) Cho phương trình : ( a tham số) ax ax x  a2 a) Giải phương trình b ) Tìm giá trị nguyên dương a để phương trình có nghiệm x số ngun  x  y3  z3  3xyz 2) Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình sau:   x  2(y  z) Bài (4,0 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho :  abc  n -1 Với n   ; n >2  cba  (n  2) 2) Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : 52  3( a2 + b2 + c ) + 2abc < 54 Bài (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a N điểm cạnh AB Tia CN cắt tia DA E Trên tia đối tia BA lấy điểm F cho BF = DE Gọi M trung điểm EF 1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM 2) Xác định vị trí điểm N AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Bài (2,0 điểm)  C   1050 AB  AC  2BC Tính B  C  Cho tam giác ABC có B Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Bài (5 điểm)  a   a Cho biểu thức: A =    :  , với a ≥  a 1   1 a a a  a  a 1 Rút gon biểu thức A Thính giá trị biểu thức A a = 2010 -2 2009 Bài (4 điểm) Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2  x  y  3( x  y ) Giải hệ phương trình:   x  y  1 Bài (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y2 = - 2(x6 - x3y - 32) Cho tam giác ABC vng A có phân giác AD Gọi M, N hình chiếu B, C lên đường thẳng AD Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân C Gọi M trung điểm cạnh AB, P điểm cạnh BC; điểm N, L thuộc AP cho CN ┴ AP AL = CN Chứng minh góc MCN góc MAL Chứng minh ∆LMN vng cân Diện tích ∆ ABC gấp lần diện tích ∆MNL, tính góc CAP Bài (2 điểm) a  b2 4 Cho a b ab = Chứng minh: ab Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Bài (4,0 điểm) 1) Cho a +b + c = a, b,c khác Rút gọn biểu thức: ab bc ca   A= a  b  c2 b  c2  a c2  a  b2 2) Tính giá trị biểu thức: P= x  x  5x   x =   x  2x  7x  Bài (4,0 điểm)  x  xy  y  1) Giải hệ phương trình:   x  y  xy  2) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x ( 2x + 5y + 1)(  x  x + y ) = 105 Bài (4,0 điểm) 1) Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho n + 2012n 2) Cho x, y số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y Chứng minh x – y; 2x +2y +1 3x + 3y +1 số phương Bài ( 6,0 điểm) Cho đường tròn (O ; R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến (O) C cắt AB E a) Chứng minh BCM đồng dạng với BEO b) Chứng minh CM vuông góc với OE c) Tìm giá trị nhỏ dây AB diện tích tứ giác MAOB Bài (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x12  x 22    x 2015 M , với x1, x2, , x2015 > x1 (x  x    x 2015 ) Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Bài (3 điểm ) Chứng minh đẳng thức: Bài (4 điểm ) Cho biểu thức Q    29  12 = cotg45 x   x  1  x   x  1    1    x 1  x   x  1 a) Tìm điều kiện x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q Bài (3 điểm ) Tìm giá trị lớn biểu thức M  y x 1  x y  xy x  yz y2  xz Bài (4 điểm ) Chứng minh  x 1  yz  y 1  xz  với x  y, yz  1, xz  1,x  0, y  0,z  x  y  z  1   x y z Bài (4 điểm ) Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ góc 450 cho cạnh góc cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: SMEF  SABC Bài (2 điểm ) Từ điểm A ngồi đường trịn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi M điểm đường thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O) Chứng minh MK = MA Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 10 (Thời gian làm 150 phút.) Bài (1,5 điểm)   x 3     1 Cho biểu thức Q    x x  x  x  27    a Rút gọn Q b.Tính giá trị Q x   2010 Bài (1 điểm) Rút gọn biểu thức M     2 Bài (1 điểm) Chứng minh với a,b,c ta có a  b  c  ab  bc  ac Bài (2 điểm) a Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ A = a2 + b2 b Cho x + 2y = Tìm giá trị lớn B = xy Bài ( 2điểm ) Giải phương trình a x2   x2  6x   b x   x   Bài (2,5 điểm ) Cho hình vng cạnh a Đường trịn tâm O, bán kính a cắt OB M D điểm đối xứng O qua C Đường thẳng Dx vng góc với CD D cắt CM E CA cắt  Dx F Đặt   MDC  Tính độ dài DM, CE theo a α a.Chứng minh AM phân giác FCB b.Tính độ dài CM theo a Suy giá trị sin α Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 10 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 11 (Thời gian làm 150 phút.) Bµi (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau : a A = 1 + 5 +  13 ++ 2001  2005 + 2005  2009 b B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3  2 + 3  2 Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a 3x + 4x + 10 = 14x  b 4  x  x  16  4x   x  y  2y    y c x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; (với x ; y nguyên) Bµi (2,0 ®iĨm) a b a Chøng minh r»ng víi hai số thực a, b ta có: ab Dấu đẳng thức xảy ? b Cho ba số thực a,b,c không âm cho a b c  Chøng minh: b  c  16abc Dấu đẳng thức xảy ? c Với giá trị góc nhọn biểu thøc P  sin   cos  có giá trị bé ? Cho biết giá trị bé Bài (1,5 điểm) Một đoàn học sinh cắm trại ô tô Nếu ô tô chở 22 người thừa người Nếu bớt ô tô phân phối tất học sinh lên ô tô lại Hỏi có học sinh cắm trại có ô tô ? Biết ô tô chở không 30 người Bài ( 3,0 điểm ) Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD vµ ABC 1 a) Chøng minh :   R r a 8R 3r b) Chøng minh : SABCD  2 ; ( Kí hiệu SABCD diện tích tứ giác ABCD ) (R  r )   1080 Chøng minh : BC số vô tỉ Cho tam giác ABC cân A có BAC AC Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 11 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 12 (Thời gian làm 150 phút.) Bài (4 điểm) a Tính tổng: P 2 2     15 35 63 399 b Cho a, b, c, d số dương biểu thức sau: a c  b d Hãy trục thức mẫu a b c d Bài (4 điểm ) a Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = Chứng minh : b Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho : abc  n  với n số nguyên lớn  cba n      Bài (4 điểm ) a Phân tích thành nhân tử: M = x   x  x  x  với x  a  b2 2 ab b Giải phương trình : x  26  x  x   Bài (2 điểm ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: x(m  2)  (m  3)y  m  a Xác định m để đường thẳng (d) qua điểm P(-1;1) b Chứng minh m thay đổi đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài (2 điểm ) Cho  ABC điểm M nằm  ABC cho: AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC ? Bài (4 điểm ) Cho nửa đường trịn đường kính BC=2R, tâm O cố định Điểm A di động trện nửa đường trịn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 12 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 13 (Thời gian làm 150 phút.) Bài (1.5 điểm) Thực tính: 2x  x  x2   x  với x   Bài (2.5 điểm) Giải phương trình: a x  5x  x  5x   2 b x  3x   x   x   x  2x  Bài (2.0 điểm) a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài ( 3.0 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I trung điểm DE Đường thẳng qua D vng góc với BO cắt BC H cắt BE K a Chứng minh: bốn điểm B, O, I, C thuộc đường tròn ICB   IDK b Chứng minh:  c Chứng minh: H trung điểm DK Bài ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 13 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 2014 Đề số 14 (Thời gian làm 150 phút.) Bài (2.0 điểm) 1 Với a; b số dương   a b ab b) Cho x ; y hai số dương x  y  Tìm giá trị nhỏ ; P M  2xy xy x  y Bài (2.0 điểm)  x  y  11 Giải hệ phương trình:   x  xy  y   a) Chứng minh bất đẳng thức: Bài (2.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, CD Trên tia đối tia CB lấy điểm P DB cắt PN Q cắt MN O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM H a Chứng minh HM = HN b Chứng minh MN phân giác góc QMP Bài (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB EF dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I a Tính góc CIF b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi EF di động nửa đường trịn c Tìm vị trí EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích Bài (1.0 điểm) Tìm ba số ngun tố mà tích chúng năm lần tổng chúng Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 14 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 15 (Thời gian làm 150 phút.) Câu (4,0 điểm ) a Cho a, b số tự nhiên lẻ Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 2 2 b Tính tổng: P      15 35 63 399 Câu (4,0 điểm ) a Cho a, b, c số thực khác Chứng minh rằng: bc ca a b 2      ( a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a)(c  b) a  b b  c c  a b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A  x  2009  2010  x Câu (4,0 điểm ) a Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x + 7y = 55 b Cho a, b, c, d số dương a c  Trục thức mẫu biểu thức sau: b d a b c d Câu (4,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB M điểm nằm đoạn OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vng góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a Đường thẳng IJ đường trịn (O’) ? Giải thích b Xác định vị trí M đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Câu (4,0 điểm ) a Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm M cho tổng độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp  AMB  BCM nhỏ b Trong tất tam giác có đáy a, chiều cao h, tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn ? Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 15 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 16 (Thời gian làm 150 phút.) Bài (4 điểm) Cho biểu thức K = 3x  9x  x 1 x 2   x  x 3 x  1 x  x  0;x  1 a Rút gọn K b.Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên Bài (3 điểm) Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1) B = 111…….111 (m + chữ số 1) C = 666…….666 (m chữ số 6) Chứng minh A + B + C + số phương Bài (4 điểm) a Cho abc = 1.Tính S = 1    a  ab  b  bc  c  ac b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x + 7y = 167 Bài (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt hai điểm phân biệt A B Một đường thẳng d qua A cắt (O) M (O’) M’ a Chứng tỏ đường thẳng vuông góc với d M M’ qua điểm N N’ cố định thẳng hàng với B (O’) b Chứng tỏ trung điểm I N, N’ tâm đường tròn tiếp xúc với (O) Bài (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R M điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B (O) C D, Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 16 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 17 (Thời gian làm 150 phút.) Bài ( điểm ) Chứng minh : A    13  48 số nguyên 6 2 Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = a  b2 2 Chứng minh : ab Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho : abc  n  với n số nguyên lớn    cba n    Bài ( điểm )  x 2 x   1 x  ( với x  0; x  1) Cho biểu thức : P      x  x x       a Rút gọn P b Chứng minh : < x < P > c Tìm giá trị lớn P Bài ( điểm ) ˆ  900 Cho ABC nhọn Trên đường cao AD ( D  BC ) lấy điểm I cho BIC ˆ  900 Chứng minh : CI = CK Trên đường cao BE ( E  AC ) lấy điểm K cho AKC Bài ( điểm ) Cho ABC vng A có M trung điểm BC Có đường thẳng di động vng góc với M, cắt đoạn thẳng AB , AC D E Xác định vị trí điểm D E để diện tích DME đđạt giá trị nhỏ Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 17 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 2014 Đề số 18 (Thời gian làm 150 phút.) 2x   x-3 x - 5x x-2 a Tìm điều kiện ca x để P có nghĩa rút gọn biểu thức P b Tìm tất giá trị x để P nguyên Cõu (5,0 im) 3x Trên mặt phẳng tọa độ cho đường th¼ng (d): y  - 3x (d') : y cắt C cắt trục Ox A, B a Tìm tọa độ điểm A, B, C b Tìm diện tích chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trục cm Cõu (4,0 im) a Cho số dương a,b,c thoả m·n a  b  c2  1 1 Chứng minh bất đẳng thức: a b c abc b Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 25 y(y 6) Câu (4,0 điểm) Cho biÓu thøc : P Cõu (5,0 im) Cho đường tròn tâm O ®­êng kÝnh AB; Tõ A vµ B ta vÏ hai dây cung AC BD cắt N Hai tiếp tuyến Cx, Dy đường tròn cắt M Gọi P giao điểm hai đường thẳng AD BC a Chứng minh PN vuông góc với AB b Chứng minh P,M,N thẳng hàng Câu (2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 2000 3 Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 18 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 19 (Thời gian làm 150 phút.) Bài (4 điểm) Rút gọn biểu thức A= 3 2  3  3 2  3 Cho biểu thức B = x    x Tìm giá trị lớn B giá trị x tương ứng Bài (3,0 điểm): Tìm x biết : x2  1  x  x   (2x  x  2x  1) 4  Bài (1,5 điểm) Giải hệ phương trình :  x   1  1 1    y     z    xyz   y  z x xyz  Bài (1,5 điểm) Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn P  a  b số nguyên tố P  chia hết cho Giả sử số nguyên x,y thỏa mãn ax  by chia hết cho P Chứng minh hai số x,y chia hết cho P Bài (5,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB; E điểm thuộc đường kính AB (E khác A B) Vẽ đường trịn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H AE vẽ dây cung CD đường trịn (O) vng góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) I Chứng minh rằng: a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng b) HI tiếp tuyến đường tròn (O’) c) ∆CHO = ∆HIO’ d) HA + HB2 + HC + HD khơng đổi E chuyển động đường kính AB Bài (2,0 điểm) Cho (O; R) hai điểm A, B cố định nằm ngồi đường trịn cho OA = R Tìm vị trí điểm M đường tròn cho tổng MA+ MB đạt giá trị nhỏ ? Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c  Chứng minh a b c    bc ca ab Bài ( 1,0 điểm) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x y z 2x  2y  2z    a b2 c2 a  b2  c2 Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Email: maithequynh160282@gmail.com ThuVienDeThi.com 19 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 20 (Thời gian làm 150 phút.) Câu ( điểm) a) Tính: 52 2 9 b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện giá trị biểu thức: a  b  c  abc  Tính A  a(4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a)  c(4  a)(4  b)  abc Câu ( điểm) Giải phương trình sau: a) x  x   x   x   b) 2(x2 + 2) = x  Câu ( điểm) Tìm tất số nguyên dương  x; y; z  thỏa mãn x  y 2013 số y  z 2013 hữu tỉ, đồng thời x  y  z số nguyên tố Câu ( điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB