Đề ĐA HSG Toán 7 huyện Việt Yên 2012201328606

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) 2 1    0, 25   0,   11  : 2012  1) M =    1,   1  0,875  0,  2013 11   2) Tìm x, biết: x  x   x  Câu (5,0 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:   b  a  a  c  abc bca cab   c a b c b Hãy tính giá trị biểu thức B  1  1  1   2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x   x  2013 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x  y  z  xyz Câu (6,0 điểm) ฀ =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay Cho xAy H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh : a ) K trung điểm AC b )  KMC tam giác c) Cho BK = 2cm Tính cạnh  AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương  a  b  c  chứng minh rằng: a b c   2 bc  ac  ab  Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN VIỆT YÊN Thời gian làm bài:120 phút Nội dung Câu 2 1    0, 25   0,   11  : 2012 1) Ta có: M      1,   1  0,875  0,  2013 11   1  2 2    11    2012   : 7 7 7       2013  11 10   1 1  1 1      11       2012    : Câu             2013 (4 điểm)   11           2  2012    : 0  7  2013 KL:…… 2) x  x   nên (1) => x  x   x  hay x   +) Nếu x  (*) = > x -1 = => x = +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 KL:………… 1) +Nếu a+b+c  Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a  b  c b  c  a c  a  b a bc bc a c  a b = =1   abc c a b mà a  b  c   b  c  a   c  a  b  = => c a ab bc ca =2   c a b  b  =>  b  a  a  0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b ba ca bc c Câu Vậy B = 1  a  1  c  1  b   ( a )( c )( b ) =8     (5 điểm) +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a  b  c b  c  a c  a  b a bc bc a c  a b = =0   abc c a b mà a  b  c   b  c  a   c  a  b  = c a ab bc ca =1   c a b Điểm b ba ca bc c Vậy B = 1   1   1    ( )( )( ) =1 a c b  a  c  b  http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c 0,5 đ Ta có: 0,5đ a b c abc x 5x 6x x 7x      a  ;b   ;c  18 18 18 18 18 (1) Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b, c , a ,  b,  c , x 4x 5x x , x      a ,  ; b,   ;c  15 15 15 15 15 0,25đ (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu Vây: c’ – c = hay 6x 7x x  4   x  360 15 18 90 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 1) Ta có: A  x   x  2013  x   2013  x  x   2013  x  2011 2013 Dấu “=” xảy (2 x  2)(2013  x)    x  KL:…… 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử  x  y  z Câu Theo = + +  + + = yz yx zx x2 x2 x2 x2 (4 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ => x  => x = Thay vào đầu ta có  y  z  yz => y – yz + + z = => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) V ẽ h ình , GT _ KL 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu (6 điểm) ฀ ฀ a,  ABC cân B CAB  ฀ACB( MAC ) BK đường cao  BK 1đ đường trung tuyến 1đ  K trung điểm AC b,  ABH =  BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) 0,5đ 0,25đ  BH = AK ( hai cạnh t ) mà AK = AC  BH = AC 0,25đ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC  CM = CK   MKC tam giác cân ( ) ฀ Mặt khác : MCB = 900 ฀ACB = 300 ฀  MCK = 600 (2) Từ (1) (2)   MKC tam giác c) Vì  ABK vng K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì  ABK vng K nên theo Pitago ta có: AK = AB  BK  16   12 AC => KC = AK = 12  KCM => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( HBCM hình chữ nhật) => AM = AH + HM = Mà KC = Câu (1 điểm) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Vì  a  b  c  nên: 1 c c    (1) ab  a  b ab  a  b a a b b Tương tự:  (2) ;  (3) bc  b  c ac  a  c a b c a b c Do đó:      (4) bc  ac  ab  b  c a  c a  b a b c 2a 2b 2c 2(a  b  c)        (5) Mà bc ac ab abc abc abc abc a b c Từ (4) (5) suy ra:    (đpcm) bc  ac  ab  (a  1)(b  1)   ab   a  b  Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ... http://violet.vn/nguyenthienhuongvp 77 ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c...  : 7 7 7       2013  11 10   1 1  1 1      11       2012    : Câu             2013 (4 điểm)   11           2  2012    : 0  7  2013... HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN VIỆT YÊN Thời gian làm bài:120 phút Nội dung Câu 2 1    0, 25   0,   11  : 2012 1) Ta có: M      1,   1  0, 875  0,  2013