Đề thi olympic Toán 8 năm học: 2013 2014 Trường THCS Liên Châu28391

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013 - 2014 Thời gian: 120 phút Câu 1(6điểm) Giải phương trình sau: a (2 x  x  2013)2  4( x  x  2012)2  4(2 x  x  2013)( x  x  2012) b x   x   Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 + y2 + z2  xy + xz + yz với x , y ,z Câu (5điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x  dư 10, f(x) chia cho x  dư 24, f(x) chia cho x  thương 5x cịn dư Tìm nghiệm ngun phương trình sau: x2 – xy = 6x – 5y – Câu (2điểm) Cho a , b >0 a + b =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = (1 + ) + ( + )2 a b Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB) , đường cao AH (H  BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh  BEC đồng dạng  ADC Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh  BHM đồng dạng  BEC Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh : GB HD  BC AH  HC …………….Hết……………… ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013 - 2014 Nội dung đáp án Điểm điểm điểm 2điểm Câu1 1) a) a  x  x  2013 Đặt:  b  x  x  2012 0,5điểm Phương trình cho trở thành: a  4b  4ab  (a  2b)   a  2b   a  2b Khi đó, ta có: x  x  2013  2( x  x  2012)  x  x  2013  x  10 x  4024  11x  2011  x  2011 11 2011 11 0,25điểm 2điểm b) 0,25điểm Lập bảng xét dấu nhị thức : x – x + x–1 x+3 -3 – – 0,5điểm 0,25điểm Vậy phương trình có nghiệm x  x 0,5điểm | – 0 + | + 0, 5điểm + +) Xét x < - (1) Phương trình  – x – – x =  - 2x =  x = - Không thỏa mãn (1) +) Xét -  x  (2) Phương trình  – x + x +3 =  0x = Thỏa mãn với x  R cho -  x  + ) Xét x  (3) Phương trình  x – + x+ 3=  2x =  x=1 Thỏa mãn (3) 0,5 điểm Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm - 3< x  0,25điểm ThuVienDeThi.com 0,25điểm 0,25điểm 2) Có ( x – y + ( y – z + ( z – x  với x, y ,z  x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2   2( x2 + y2 + z2)  2( xy + xz + yz )  x2 + y2 + z2  xy + xz +yz (đpcm) )2 )2 )2 Câu 1) Giả sử f(x) chia cho x  thương 5x dư ax  b Khi đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  ax+b Xét giá trị riêng x cho x2 – =  (x – )( x + 2) =  x = x = - Với x =2  f(2) = 2a +b Với x = -  f(- 2) = - 2a + b Theo đề bài, ta có:   f (2)  24 2a  b  24 a      f (2)  10 2a  b  10 b  17 Do đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  x+17 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x)  5 x3  2điểm 0,5điểm 0,5 điểm 0,5điểm 0,5điểm 5điểm 2,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,25điểm 47 x  17 2) x2 – xy = 6x – 5y -  x2 – 6x + = y (x – ) (2) 0,25điểm 2,5 điểm 0,5điểm x2  x  ( x =5 khơng nghiệm phương trình (2)) x 5  y=x–1+ Vì x , y nguyên nên x – ước x 5 0,25điểm Hay x –  { - 1, 1, , - 3}hay x  { 4, , , 2} 0,5điểm Khi x = y = Khi x =4 y = Khi x = y = Khi x= y =8 0,25điểm  y= Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x, y)= (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) ,(8, 8) ThuVienDeThi.com 0,25điểm 0,25điểm Câu ab ab M= ( + ) +(1+ ) a + b =1 a b b a M = ( + )2 + ( + )2 a b 4b b 4a a2 M=4+ + +4+ + a a b b 2 b a a b M = + (  ) + 4(  )  8+ + = 18 a b b a a b2 a b ( a > 0, b> nên     ) b a b a Dấu = xảy  a = b a + b =  a = b = Vậy M = 18 Khi a = b = 2,0điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 7,0điểm 2,5điểm Câu a) 0,25điểm Vẽ hình Chứng minh  CDE ฀  CAB (g.g) CD CA Suy  CE CB 0,5điểm 0,25điểm Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung 0,25điểm CD CA (Chứng minh trên)  CE CB Do  ADC ฀  BEC (c.g.c) 0,25điểm Suy : góc BEC = góc ADC = 1350 ( tam giác AHD 0,25điểm vng cân H theo giả thiết) Nên góc AEB = 450 Do tam giác ABE vuông cân A 0,25điểm 0,25điểm Suy : BE  AB  m 0,25điểm ThuVienDeThi.com 2,5điểm b) BM BE AD (do BEC ฀ ADC )     BC BC AC Mà: AD  AH ( tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH AH Nên      BC AC AC AC AH BH Mà ABH ฀ CBA (g g )   AC AB BM BH BH Nên : ( BE  AB )   BC AB BE Do đó: BHM ฀ BEC (c.g.c), suy ra: ฀ ฀ BHM  BEC  1350  ฀AHM  450 0,25điểm Tam giác ABE vng cân A , nên tia AM cịn phân giác góc BAC 0,5điểm Ta có: c) GB AB  GC AC AB ED AH HD mà  ABC  DEC   ED / / AH   AC DC HC HC Suy AG phân giác góc BAC Suy ra: Do đó: GB HD GB HD GB HD      GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC Điểm toàn 20 điểm - Hết - ThuVienDeThi.com 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 2,0điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013 - 2014 Nội dung đáp án Điểm điểm điểm 2điểm Câu1 1) a) a  x  x  2013 Đặt:  b  x  x  2012 0,5điểm... Khi x = y = Khi x =4 y = Khi x = y = Khi x= y =8 0,25điểm  y= Vậy phương trình có nghiệm ngun ( x, y)= (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) , (8, 8) ThuVienDeThi.com 0,25điểm 0,25điểm Câu ab ab M= ( + )... + a a b b 2 b a a b M = + (  ) + 4(  )  8+ + = 18 a b b a a b2 a b ( a > 0, b> nên     ) b a b a Dấu = xảy  a = b a + b =  a = b = Vậy M = 18 Khi a = b = 2,0điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm