Vậy khi góc DME quay quanh M thì chu vi tam giác ADE không thay đổi Tổng Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng, hợp lí cho điểm tối đa./..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25 - - 2013 1 : 1 x2 x 3 Bài Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A > Bài Giải các phương trình sau: a) x x 0 x x c) x x 2x 13x 6 x x x x b) a b 3c Bài a) Tính giá trị biểu thức M = ab a bc b ac 3c , biết abc = b) Cho các số thực không âm x, y, z thõa mãn điều kiện xy + yz + xz = Tìm 2 giá trị nhỏ P = 10 x 10 y z Bài Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm BC Góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC D và E (D A và E A) Chứng minh : BC a) BD.CE = b) DM, EM là tia phân giác các góc BDE và CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Hết -Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD: ……… (2) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Ý a) (1,5) Nội dung x 2; x ĐK (*) x x : 1 : 1 x x x x A= Điểm 0,5 0,5 x x x x2 x x2 x 1 x2 A x2 0,5 Bài (4,5đ) Bài (6,0đ) 0,5 b) Để A nguyên thì x + Ư(5) ={ 1; 5 } (1,5) x = -1 ; -3; 3; -7 Đối chiếu ĐK (*) thì x = không thỏa mãn Vậy với x = -1 ; -3; -7 thì A nhận giá trị nguyên x 0 A x2 x x c) (1,5) x x x x (TM *) Vậy x x thì A > Giải các phương trình : x x 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 (1) 1,0 x 7x 0 x x 6x 0 ( x 1)( x x 6) 0 a) (2,0) +) x – = x = +) x2 + x – = (x – 2)(x+3) = x = x = - Vậy tập nghiệm phương trình (1) là: S ={ 1; 2; -3} ĐK x 1; x 3 (**) 0,5 0,5 0,5 0,25 x x x x (2) x 3 x 3 ( x 3)( x 1) b) + Trường hợp : x + = x (TMĐK (**)) (2,0) + Trường hợp : x + x 0,25 0,5 0,25 Ta có (x-3)(x-1) = x x 0 x x 7 ( x 2) 7 0,25 x 2 hoac x 2 0,25 (TMĐK (*)) Vậy tập nghiệm phương trình (2) là: S ={-3; ; b) 2x 13 x 2 (2,0) Giải các phương trình x x x x 6 (3) x 1; x (***) ĐK: 7} Ta thấy x = không phải là nghiệm phương trình (3) x 0 13 6 3 2x x 1 x x Chia tử và mẫu vế trái cho x ta phương trình 0,25 0,25 0,25 (3) 13 6 y y x Đặt thì phương trình có dạng 11 11 y 39 y 33 0 6( y 1)( y ) 0 y y 2 23 y 1 ta có: x 1 x x 0 2(x ) 0 x + Với PTVN 11 11 y tacó: 2x x 11x 0 4(x 2)( x ) 0 x + Với x x 2 (TMĐK(***)) (TMĐK(***)) Vậy tập nghiệm phương trình (3) là: S = { 2; } b ab ab Ta có bc b abc ab a ab a 3c 3c a) ac 3c ac 3c abc a ab (2,0) y 2 x z2 z2 ) (8 y ) 2 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,25 x y 2 x 2 y 4 xy Bài (5,0đ) 0,25 0,5 Ta có P = Áp dụng bất đẳng thức Côsy ta có: Bài (4,5đ) 0,25 0,5 a b 3c a ab ab a 1 M = ab a bc b ac 3c ab a ab a ab a ab a (2 x y ) (8 x 0,25 z2 z2 2 x 4 xz 2 0,25 8x 8y z2 z2 2 8y 4 yz 2 0,25 b) 2 (2,5) Cộng theo vế ta được: P = 10 x 10 y z 4( xy yz xz ) 4 x y x y 4 x z 4 y z z 4 Dấu “=” xẩy xy yz xz 1 x y z 4 Vậy Min P = a) y Ta có B = 600 ta có D1 120 M1 (1) A (2,0) Vì M = 600 M 120 M1 (2) x M D E Từ (1) và (2) suy Kết hợp với B C 60 suy BMD ∽ CEM (g-g) BD CM BM CE (3) BD.CE = BM.CM D B 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 2 M C 0,25 (4) BC Vì M là trung điểm BC nên BM=CM= BC BD.CE= BD MD BD MD Từ (3) suy CM EM mà BM=CM nên ta có BM EM (4) M 60 b) Theo giả thiết ta có B (5) (1,5) Từ (4) và (5) BMD ∽ MED (c-g-c) Từ đó suy D1 D , đó DM là tia phân giác góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác góc CED Gọi H, I, K là hình chiếu M trên AB, DE, AC Vì DM là phân giác góc BDE MHD MID (Cạnh huyền-góc nhọn) DH = DI, tương tự ta có EI = EK c) Vì M là trung điểm MB và tam giác ABC nên ta (1,5) có AM là phân giác góc BAC MH = MK Ta có MD + DE + AE =(AD + DI) + (IE+AE) =AH+AK= 2AH (không đổi) Vậy góc DME quay quanh M thì chu vi tam giác ADE không thay đổi Tổng Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng, hợp lí cho điểm tối đa./ 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 20 (5)