Tổng hợp kiến thức: Tọa độ phẳng26874

PH N 1: T NG H P KI N TH C C B N I H TO H tr c to đ - to đ vect – to đ m  H g m hai tr c to đ Ox, Oy vng góc v i Vect đ n v Ox, Oy l n l g c to đ , Ox tr c hoành, Oy tr c tung      To đ c a vect đ i v i h tr c to đ : u  ( x; y )  u  x.i  y j     To đ c a m đ i v i h tr c to đ : M ( x; y )  OM  x.i  y j    t i , j O   Tính ch t: Cho a  ( x; y ), b  ( x ; y ), k  R , A( x A ; y A ), B( xB ; y B ), C ( xC ; yC ) :  x  x      + a  b  ( x  x ; y  y ) + ka  ( kx; ky ) + a b   y  y    + b ph ng v i a   k  R: x  kx vaø y  ky   + AB  ( xB  xA ; yB  y A ) x y  (n u x  0, y  0) x y x A  xB y  yB ; yI  A 2 x x x y  y B  yC + To đ tr ng tâm G c a tam giác ABC: xG  A B C ; yG  A 3 x  kxB y  kyB + To đ m M chia đo n AB theo t s k  1: xM  A ; yM  A 1 k 1 k   ( M chia đo n AB theo t s k  MA  k MB ) Góc gi a hai vect          a b Cho a , b  T m t m O b t kì v OA  a , OB  b  A a   Khi  a , b    AOB v i 0   AOB  1800 O  Chú ý: b B     +  a , b  = 900  a  b     +  a , b  = 00  a , b h ng     +  a , b  = 180  a , b ng c h ng     +  a, b   b , a  Tích vơ h ng c a hai vect       nh ngh a: a.b  a b cos  a , b    2 c bi t: a a  a  a     Tính ch t: V i a , b , c b t kì kR, ta có:        + a b  b a ; a  b  c   a b  a c ;         ka  b  k  a b   a  kb  ; a  0; a   a           a  b 2  a  2a.b  b ; +  a  b   a  2a b  b ;       a  b   a  b  a  b        + a b >   a , b  nh n + a b <   a , b  tù + To đ trung m I c a đo n th ng AB: xI  N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com    a b =   a , b  vuoâng Bi u th c to đ c a tích vơ h ng    a.b  a1b1  a2b2  Cho a = (a1, a2), b = (b 1, b2) Khi đó:      a1b1  a2b2  a  a12  a22 ; cos( a , b )  ; a  b  a1b1  a2b2  a12  a22 b12  b22  Cho A( x A ; y A ), B ( xB ; y B ) Khi đó: II H TH C L A TRONG TAM GIÁC VNG Cho ABC vng t i A, AH đ AB  ( xB  x A )  ( y B  y A ) NG TRONG TAM GIÁC – NG TRÒN ng cao A  BC  AB  AC (đ nh lí Pi–ta–go)  AB  BC.BH , AC  BC.CH 1  AH  BH CH ,   B H C 2 AH AB AC  AH BC  AB.AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C B TRONG 2 NG TRÒN T Cho đ ng tròn (O; R) m M c đ nh B  T M v hai cát n MAB, MCD A     R P M/(O) = MA.MB  MC.MD  MO  R O M  N u M ngồi đ ng trịn, v ti p n MT C P M/(O) = MT  MO  R D C TRONG TAM GIÁC B T KÌ Cho ABC có: – đ dài c nh: BC = a, CA = b, AB = c – đ dài đ ng trung n v t đ nh A, B, C: ma, mb, mc – đ dài đ ng cao v t đ nh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đ ng trịn ngo i ti p, n i ti p tam giác: R, r – n a chu vi tam giác: p – di n tích tam giác: S nh lí cơsin a  b  c  2bc.cos A ; b  c  a  2ca.cos B ; c  a  b  2ab.cos C nh lí sin a b c    2R sin A sin B sin C dài trung n 2(b  c2 )  a 2(a  c )  b 2(a  b )  c ; ; ma2  mb2  mc2  4 4 Di n tích tam giác 1 1 1 S = aha  bhb  chc = bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 abc = = pr = p( p  a)( p  b )( p  c ) (công th c Hê–rơng) 4R Gi i tam giác tính c nh góc c a tam giác bi t m t s y u t cho tr N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com c III PH NG TRÌNH NG TH NG Vect ch ph ng c a đ ng th ng   Vect u  đgl vect ch ph ng c a đ ng th ng  n u giá c a song song ho c trùng v i    Nh n xét: – N u u m t VTCP c a  ku (k  0) c ng m t VTCP c a  – M t đ ng th ng hoàn toàn đ c xác đ nh n u bi t m t m m t VTCP Vect pháp n c a đ ng th ng   Vect n  đgl vect pháp n c a đ ng th ng  n u giá c a vng góc v i    Nh n xét: – N u n m t VTPT c a  kn (k  0) c ng m t VTPT c a  – M t đ ng th ng hoàn toàn đ c xác đ nh n u bi t m t m m t VTPT     – N u u m t VTCP n m t VTPT c a  u  n Ph ng trình tham s c a đ ng th ng  Cho đ ng th ng  qua M ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (u1; u2 )  x  x0  tu1 (1)  y  y  tu   x  x0  tu1 Nh n xét: – M(x; y)     t  R:   y  y0  tu2 Ph ng trình tham s c a : ( t tham s ) – G i k h s góc c a  thì: + k = tan, u +k= , u1 v i=  xAv ,   900 v i u1  Ph ng trình t c c a đ ng th ng  Cho đ ng th ng  qua M ( x0 ; y0 ) có VTCP u  (u1; u2 ) x  x0 y  y0 Ph ng trình t c c a : (2) (u1  0, u2  0)  u1 u2 Chú ý: Trong tr ng h p u1 = ho c u2 = đ ng th ng khơng có ph ng trình t c Ph ng trình tham s c a đ ng th ng PT ax  by  c  v i a  b  đgl ph ng trình t ng quát c a đ ng th ng Nh n xét: – N u  có ph ng trình ax  by  c   có:    VTPT n  (a; b) VTCP u  (b; a) ho c u  (b; a )  – N u  qua M ( x0 ; y0 ) có VTPT n  ( a; b) ph ng trình c a  là: Các tr ng h p đ c bi t: Các h s Ph c=0 a=0 b=0 a ( x  x0 )  b( y  y0 )  ng trình đ ng th ng  ax  by  by  c  ax  c    qua hai m A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Ph (ph ng trình đ Tính ch t đ ng th ng   qua g c to đ O  // Ox ho c   Ox  // Oy ho c   Oy ng trình c a : ng th ng theo đo n ch n) x y   a b N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com   qua m M ( x0 ; y0 ) có h s góc k: Ph ng trình c a : y  y0  k ( x  x0 ) (ph ng trình đ ng th ng theo h s góc) V trí t ng đ i c a hai đ ng th ng Cho hai đ ng th ng 1: a1 x  b1 y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  a x  b1 y  c1  ng trình:  (1) a2 x  b2 y  c2  a b   (n u a2 , b2 , c2  ) a2 b2 a b c    (n u a2 , b2 , c2  ) a2 b2 c2 a b c    (n u a2 , b2 , c2  ) a2 b2 c2 To đ giao m c a 1 2 nghi m c a h ph  1 c t 2  h (1) có m t nghi m  1 // 2  h (1) vô nghi m  1  2  h (1) có vơ s nghi m Góc gi a hai đ ng th ng  Cho hai đ ng th ng 1: a1 x  b1 y  c1  (có VTPT n1  ( a1 ; b1 ) )  2: a2 x  b2 y  c2  (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) )   (n , n ) ( n1 , n2 )  900 ( 1, 2 )       180  ( n1 , n2 ) ( n1 , n2 )  90   n n a1b1  a2b2   cos( n1 , n2 )   2  1 , 2 )  cos( n1 n2 a  b2 a  b2 1 2  1  2  a1a2  b1b2   Cho 1: y  k1 x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: + 1 // 2  k1 = k2 + 1  2  k1 k2 = –1 Kho ng cách t m t m đ n m t đ ng th ng  Kho ng cách t m t m đ n m t đ ng th ng Cho đ ng th ng : ax  by  c  m M ( x0 ; y0 ) Chú ý: d (M , )  ax0  by0  c a  b2  V trí t ng đ i c a hai m đ i v i m t đ ng th ng Cho đ ng th ng : ax  by  c  hai m M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N )   – M, N n m phía đ i v i   ( axM  byM  c)(axN  byN  c )  – M, N n m khác phía đ i v i   ( axM  byM  c)(ax N  by N  c )   Ph ng trình đ ng phân giác c a góc t o b i hai đ ng th ng Cho hai đ ng th ng 1: a1 x  b1 y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  c t Ph ng trình đ ng phân giác c a góc t o b i hai đ ng th ng 1 2 là: a1 x  b1 y  c1 a x  b2 y  c2  a12  b12 a22  b22 IV PH NG TRÌNH NG TRỊN Ph ng trình đ ng trịn Ph ng trình đ ng trịn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x  a )  ( y  b)  R Nh n xét: Ph ng trình x  y  2ax  2by  c  , v i a  b  c  , ph ng trình đ N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com ng tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a  b  c Ph ng trình ti p n c a đ ng tròn Cho đ ng trịn (C) có tâm I, bán kính R đ ng th ng   ti p xúc v i (C)  d ( I ,  )  R V PH NG TRÌNH NG ELIP nh ngh a Cho F1, F2 c đ nh v i F1F2  2c (c > 0) M  ( E )  MF1  MF2  2a (a > c) F1, F2: tiêu m, F1F2  2c : tiêu c Ph ng trình t c c a elip x2 y2   ( a  b  0, b  a  c ) a b  To đ tiêu m: F1 ( c; 0), F2 (c;0)  V i M(x; y)  (E), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu m c a M c c MF1  a  x, MF2  a  x a a Hình d ng c a elip  (E) nh n tr c to đ làm tr c đ i x ng g c to đ làm tâm đ i x ng  To đ đ nh: A1 (  a; 0), A2 ( a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b)  dài tr c: tr c l n: A1 A2  a , tr c nh : B1B2  2b c (0 < e < 1)  Tâm sai c a (E): e a  Hình ch nh t c s : t o b i đ ng th ng x  a, y  b (ngo i ti p elip) ng chu n c a elip (ch ng trình nâng cao) a  Ph ng trình đ ng chu n i ng v i tiêu m Fi là: x   e MF1 MF2  e (e < 1)  V i M  (E) ta có: d ( M , 1 ) d ( M , 2 ) VI PH NG TRÌNH NG HYPEBOL nh ngh a Cho F1, F2 c đ nh v i F1F2  2c (c > 0) M  ( H )  MF1  MF2  2a (a < c) F1, F2: tiêu m, F1F2  2c : tiêu c Ph ng trình t c c a hypebol x2 y   ( a, b  0, b  c  a ) a b  To đ tiêu m: F1 ( c; 0), F2 (c;0)  V i M(x; y)  (H), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu m c a M MF1  a  c c x , MF2  a  x a a N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com Hình d ng c a hypebol  (H) nh n tr c to đ làm tr c đ i x ng g c to đ làm tâm đ i x ng  To đ đ nh: A1 (  a;0), A2 (a;0)  dài tr c: tr c th c: 2a, tr c o: 2b c  Tâm sai c a (H): (e > 1) e a  Hình ch nh t c s : t o b i đ ng th ng x   a, y  b b  Ph ng trình đ ng ti m c n: y   x a ng chu n c a hypebol a  Ph ng trình đ ng chu n i ng v i tiêu m Fi là: x   e MF1 MF2  V i M  (H) ta có:  e (e < 1) d ( M , 1 ) d ( M , 2 ) nh ngh a Cho m F đ F: tiêu m, Ph VII PH NG TRÌNH NG PARABOL ng th ng  khơng qua F M  ( P)  MF  d (M , ) : đ ng chu n, p  d ( F , ) : tham s tiêu ng trình t c c a parabol  To đ tiêu m:  Ph ng trình đ y  px (p > 0) p  F  ;0 2  ng chu n: : x  p   V i M(x; y)  (P), bán kính qua tiêu m c a M MF  x  Hình d ng c a parabol  (P) n m v phía bên ph i c a tr c tung  (P) nh n tr c hoành làm tr c đ i x ng  To đ đ nh: O(0;0)  Tâm sai: e = p N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com PH N 2: NH NG BÀI TOÁN C B N A M t s toán m đ u  ng th ng qua m M có VTCP u :    a) M(–2; 3) , u  (5; 1) b) M(–1; 2), u  ( 2;3) c) M(3; –1), u  (2; 5)  Bài L p PTTS, PTCT (n u có), PTTQ c a đ ng th ng qua m M có VTPT n :    a) M(–2; 3) , n  (5; 1) b) M(–1; 2), n  (2;3) c) M(3; –1), n  (2; 5) Bài L p PTTS, PTCT (n u có), PTTQ c a đ ng th ng qua m M có hsg k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = c) M(5; 2), k = Bài L p PTTS, PTCT (n u có), PTTQ c a đ ng th ng qua hai m A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) Bài Vi t PTTS, PTCT (n u có), PTTQ c a đ ng th ng qua m M song song v i đ ng th ng d: b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy a) M(2; 3), d: x  10 y   x 1 y  x   2t e) M(0; 3), d: d) M(2; –3), d:  y   4t 2 Bài Vi t PTTS, PTCT (n u có), PTTQ c a đ ng th ng qua m M vng góc v i đ ng th ng d: a) M(2; 3), d: x  10 y   b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy x 1 y  x   2t d) M(2; –3), d: e) M(0; 3), d:  y   4t 2 Bài Cho tam giác ABC Vi t ph ng trình c nh, đ ng trung n, đ ng cao c a tam giác v i: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Bài Cho tam giác ABC, bi t ph ng trình ba c nh c a tam giác Vi t ph ng trình đ ng cao c a tam giác, v i: AB : x  y   0, BC : x  y   0, CA : x  y   Bài Vi t ph ng trình c nh trung tr c c a tam giác ABC bi t trung m c a c nh BC, CA, AB l n l t m M, N, P, v i: 3 5 5 7 a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M  ;   , N  ;   , P(2; 4)  2  2 Bài 10 Tìm hình chi u c a m M lên đ ng th ng d m M đ i x ng v i M qua đ ng th ng d v i: a) M(2; 1), d : x  y   b) M(3; – 1), d : x  y  30  Bài 11 L p ph ng trình đ ng th ng d đ i x ng v i đ ng th ng d qua đ ng th ng , v i: a) d : x  y   0,  : x  y   b) d : x  y   0,  : x  y   Bài 12 L p ph ng trình đ ng th ng d đ i x ng v i đ ng th ng d qua m I, v i: a) d : x  y   0, I (2;1) b) d : x  y   0, I (3; 0) Bài 13 Tính kho ng cách t m M đ n đ ng th ng d, v i: b) M (3;5), d : x  y   a) M (4; 5), d : x  y   x  y 1 x  2t c) M (4; 5), d : d) M (3;5), d :  y   3t Bài L p PTTS, PTCT (n u có), PTTQ c a đ    Bài 14 a) Cho đ ng th ng : x  y   Tính bán kính đ ng trịn tâm I(–5; 3) ti p xúc v i  b) Cho hình ch nh t ABCD có ph ng trình c nh là: x  y   0, 3x  y   đ nh A(2; –3) Tính di n tích hình ch nh t c) Tính di n tích hình vng có đ nh n m đ ng th ng song song: d1 : x  y   d : x  y  13  Bài 15 Cho tam giác ABC Tính di n tích tam giác ABC, v i: N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) Bài 16 Vi t ph ng trình đ ng th ng d song song cách đ ng th ng  m t kho ng k, v i: x  3t b)  : , k 3 a)  : x  y   0, k  y   4t d)  : x   0, k  c)  : y   0, k  Bài 17 Vi t ph ng trình đ ng th ng d song song v i đ ng th ng  cách m A m t kho ng b ng k, v i: a)  : x  y  12  0, A(2;3), k  b)  : x  y   0, A(2;3), k  d)  : x   0, A(3;1), k  c)  : y   0, A(3; 5), k  Bài 18 Vi t ph ng trình đ ng th ng qua A cách B m t kho ng b ng d, v i: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = b) A(–1; 3), B(4; 2), d = c) A(5; 1), B(2; –3), d = d) A(3; 0), B(0; 4), d = Bài 19 Tính góc gi a hai đ ng th ng: b) x  y   0, 3x  y   a) x  y   0, x  y  11  c) 3x  y  26  0, x  y  13  d) 3x  y   0, x  y  11  Bài 20 Tính s đo c a góc tam giác ABC, v i: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : x  y  21  0, BC : x  y   0, CA : x  y   d) AB : x  y  12  0, BC : x  y  24  0, CA : x  y   Bài 21 Cho hai đ ng th ng d  Tìm m đ góc gi a hai đ ng th ng b ng , v i: a) d : 2mx  ( m  3) y  4m   0,  : ( m  1) x  ( m  2) y  m   0,   450  b) d : ( m  3) x  (m  1) y  m   0,  : (m  2) x  (m  1) y  m   0,   900 Bài 22 Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua m A t o v i đ ng th ng  m t góc , v i: b) A( 2;0),  : x  y   0,   450 a) A(6; 2),  : x  y   0,   450 c) A(2;5),  : x  y   0,   600 d) A(1;3),  : x  y  0,   300 Bài 23 Cho hình vng ABCD có tâm I(4; –1) ph ng trình m t c nh 3x  y   a) Vi t ph ng trình hai đ ng chéo c a hình vng b) Tìm to đ đ nh c a hình vng Bài 24 Trong ph ng trình sau, ph ng trình ph ng trình đ ng trịn Tìm tâm bán kính c a đ ng trịn đó: a) x  y  x  y   b) x  y  x  y  12  c) x  y  x  y   d) x  y  x   e) 16 x  16 y  16 x  y  11 f) x  y  x  y   g) x  y  x  12 y  11  Bài 25 Tìm m đ ph ng trình sau ph a) x  y  4mx  2my  2m   h) x  y  x  y  10  ng trình đ ng tròn: b) x  y  2(m  1) x  2my  3m   Bài 26 Vi t ph ng trình đ ng trịn có tâm I qua m A, v i: (d ng 1) a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Bài 27 Vi t ph ng trình đ ng trịn có tâm I ti p xúc v i đ ng th ng , v i: (d ng 2) b) I (2;3),  : x  12 y   a) I (3; 4),  : x  y  15  c) I (3; 2),   Ox d) I (3; 5),   Oy Bài 28 Vi t ph ng trình đ ng trịn có đ ng kính AB, v i: (d ng 3) a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) Bài 29 Vi t ph ng trình đ ng trịn qua hai m A, B có tâm I n m đ ng th ng , v i: N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com (d ng 4) b) A(0; 4), B (2;6),  : x  y   a) A(2;3), B ( 1;1),  : x  y  11  Bài 30 Vi t ph ng trình đ ng trịn qua hai m A, B ti p xúc v i đ ng th ng , v i: (d ng 5) a) A(1; 2), B(3; 4),  : 3x  y   b) A(6;3), B(3; 2),  : x  y   c) A( 1; 2), B (2;1),  : x  y   d) A(2; 0), B (4; 2),   Oy Bài 31 Vi t ph ng trình đ ng tròn qua m A ti p xúc v i đ ng th ng  t i m B, v i: (d ng 6) b) A(2;1),  : x  y   0, B(4;3) a) A(2;6),  : x  y  15  0, B(1; 3) c) A(6; 2),   Ox, B (6;0) d) A(4; 3),  : x  y   0, B (3; 0) Bài 32 Vi t ph ng trình đ ng tròn qua m A ti p xúc v i hai đ ng th ng 1 2, v i: (d ng 7) a) A(2;3), 1 : x  y   0, 2 : x  y   b) A(1;3), 1 : x  y   0, 2 : x  y   c) A  O(0;0), 1 : x  y   0, 2 : x  y   d) A(3; 6), 1  Ox, 2  Oy Bài 33 Vi t ph ng trình đ ng tròn ti p xúc v i hai đ ng th ng 1, 2 có tâm n m đ th ng d, v i: (d ng 8) a) 1 : x  y   0, 2 : x  y  15  0, d : x  y  b) 1 : x  y   0, 2 : x  y   0, d : x  y   Bài 34 Vi t ph ng trình đ ng trịn ngo i ti p tam giác ABC, v i: (d ng 9) a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C  O(0; 0) Bài 35 Vi t ph ng trình đ ng tròn n i ti p tam giác ABC, v i: (d ng 10) a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : x  y  21  0, BC : x  y   0, CA : x  y   Bài 36 Cho đ ng tròn (C) đ ng th ng d i) Vi t ph ng trình ti p n c a (C) t i giao m c a (C) v i tr c to đ ii) Vi t ph ng trình ti p n c a (C) vng góc v i d iii) Vi t ph ng trình ti p n c a (C) song song v i d a) (C ) : x  y  x  y   0, d : x  y   ng b) (C ) : x  y  x  y  0, d : x  y   Bài 37 Cho đ ng tròn (C), m A đ ng th ng d i) Ch ng t m A (C) ii) Vi t ph ng trình ti p n c a (C) k t A iii) Vi t ph ng trình ti p n c a (C) vng góc v i d iv) Vi t ph ng trình ti p n c a (C) song song v i d a) (C ) : x  y  x  y  12  0, A( 7; 7), d : x  y   b) (C ) : x  y  x  y  10  0, A(2; 2), d : x  y   N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com B toán c b n BÀI TỐN Tìm t a đ giao m c a hai đ ng th ng c t Ví d : Tìm t a đ giao m M c a c p đ ng th ng c t sau: a) x  y   2x  y    x   2t  x   3t b)    y  3t  y  1  t  x  1 t x 5 y  d) x  y    c) x  y    5  y   2t BÀI TỐN Tìm m đ i x ng c a m t m qua m t đ ng th ng Ví d : Tìm m M ' đ i x ng v i m M 1;  qua đ ng th ng  : x  y   BÀI TỐN Ki m tra tính phía, khác phía c a hai m v i m t đ ng th ng Ví d : Cho đ ng th ng AC Xét v trí phía, khác phía c a c p m sau v i đ ng th ng  a) A 1; 2  B  1; 3  b) C  2;3  D  2; 1 BÀI TOÁN Vi t ph ng trình đ ng phân giác c a góc t o b i hai đ ng th ng c t Ví d : Cho hai đ ng th ng 1 : x  y   C Vi t ph ng trình đ ng phân giác c a góc t o b i hai đ ng 1 2 BÀI TOÁN Vi t ph giác ng trình đ ng phân giác trong, phân giác ngồi c a góc tam Ví d : Cho tam giác ABC v i A  3;  , B 1;1 , C  1;8  Vi t ph ng trình đ ng phân giác trong, phân giác ngồi c a góc A BÀI TỐN Tìm chân đ ng phân giác trong, ngồi c a góc tam giác Ví d : Cho tam giác ABC v i A 1;5  , B  4;5  , C  4; 1 Xác đ nh t a đ chân đ phân giác c a góc A BÀI TỐN Tìm tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ tam giác ng tròn ngo i ti p, tâm đ ng phân giác ng trịn n i ti p Ví d : Cho tam giác ABC v i A  2;  , B  3; 4  , C  5;  Tìm tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ngo i ti p, tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ABC N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com ng trịn 10 PH N 3: 10 BÀI TỐN HÌNH H C OXY Bài tốn Tìm M thu c đ cho tr ng th ng d bi t ph ng trình cách m I m t kho ng c (IM=R khơng đ i) VÍ D G C: Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho m I  5;  đ m M thu c đ ng th ng  : x  y   Tìm t a đ ng th ng  cho MI   17  Cách 1: M  d  M  t  ; IM   t  M S: M 1;5  ho c M  ;  5  Cách 2: MI  th ng đ M thu c đ ng tròn CÁCH RA ng trịn tâm I bán kính R=5  M giao m c a đ ng M 1: Cho bi t M thu c đ ng th ng  m I dài đo n IM đ không cho C n d a vào d ki n c a tốn đ tính đ dài đo n IM Ví d (D – 2006): Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ đ ng tròn  C  : x  y  x  y   ng th ng d : x  y   Tìm t a đ m M n m d cho đ bán kính g p đơi bán kính đ HD: i m M thu c đ ng tròn  C  , ti p xúc ngồi v i đ ng trịn tâm M , có ng trịn  C  ng th ng d  M  t  T (C)  tâm I bán kính R ta có IM=3R  M S: M 1;  ho c M  2;1 Ví d (A – 2011): Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ  : x  y   đ ng th ng ng tròn  C  : x2  y  x  y  G i I tâm c a  C  , M m thu c  Qua M k ti p n MA MB đ n  C  ( A, B ti p m) Tìm t a đ m M , bi t t giác MAIB có di n tích b ng 10 H ng d n: T (C)  tâm I bán kính R T t giác MAIB có di n tích b ng 10  di n tích tam giác MBI Có BI  MB, mà M  t   M S: M  2; 4  ho c M  3;1 N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 11 1 2   Ví d (B – 2002): Cho hình ch nh t BC có tâm I  ;  , ph ng trình đ ng th ng AB x  y   AB  AD Tìm t a đ m A, B, C , D bi t r ng A có hồnh đ âm H ng d n: B thu c đ ng th ng AB  B  t  I trung m BD  D  t  Ta có AD=2d(I,AB)  t c IA=IB, t  A, B giao m c a đ Cách 2: AD=2d(I,AB)=2IH Tính đ ng th ng AB ng tròn tâm I, bán kính R=IA S: A  2;0  , B  2;  , C 3;0  , D  1; 2  đ Ví d (B – 2009 – NC): Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A có đ nh A  1;  đ nh B, C thu c đ ng th ng  : x  y   Xác đ nh t a đ đ nh B C , bi t di n tích tam giác ABC b ng 18 H đ ng d n: T di n tích tam giác ABC  BC  AB  AC Ta có B, C giao m c a ng th ng v i đ ng trịn tâm A bán kính AB 3 5  11  S: B  ;   ,C  ;  ho c  2  2    11  C  ; , B ;   2  2 Ví d 5: Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình vng ABCD , có BD n m đ có ph đ ng trình x  y   , m M  1;  thu c đ ng th ng ng th ng AB , m N  2; 2  thu c ng th ng AD Tìm t a đ đ nh c a hình vng ABCD bi t m B có hồnh đ d ng Phân Tích: Trong d ki n c a toán, ta th y m “có l i” đ khai thác nh t B (BBD x B >0) N u tìm đ c NB ho c MB s tìm đ c B  Ta tính MH=d(M,BD) đ tìm B (vì  MHB vng cân t i H) T A(2;2); B(1;2); C(1;1), D(2;1) Ví d Trong m t ph ng t a đ AB  AD  CD , m B 1;  , đ Oxy , cho hình thang ABCD vng t i A D , có ng th ng BD có ph  : x  y  25  c t đo n th ng AD , CD l n l ng trình y  Bi t đ ng th ng t t i hai m M , N cho BM vng góc v i BC tia BN tia phân giác c a  MBC Tìm t a đ m D bi t D có hồnh đ d ng N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 12 Phân Tích: V i d ki n tốn, ta th y DBD nên n u tính đ c DB ta s tìm đ c B Vì  bi t pt nên ta ngh đ n tính d(B,) tìm m i liên k t gi a đ i l V i gi ng v i BD thi t l i b ng ph BH=d(B,CD)=d(B,) T ta tính đ ng pháp hình h c thu n túy ta có th ch ng minh c đ dài BD Ví d (A, A1 – 2012 – CB): Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình vng ABCD G i M trung m c a c nh BC , N m c nh CD cho CN  ND Gi s AN có ph ng trình x  y   Tìm t a đ m A Phân Tích: A  AN s tìm đ  11  M  ;   2 i m M bi t t a đ nên n u tính đ c AM c A.Ta g n AM vào AMH vuông t i H v i AH=d(M,AN) Ta ch c n tìm thêm m t y u t v c nh ho c góc c a AMH tính đ c AM Vì c nh góc A c a AMH có liên  quan đ n c nh góc hình vng nên ta tính cot A  tan  DAN  BAM  ho c cosA(b ng đlí cơsin) Ví d Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đ đ ng th ng 1 : x  y   , 2 : x  y   ng tròn  C  : x  y  x  10 y   G i M m t m thu c đ m thu c đ ng tròn  C   N  ng th ng 1 cho M N đ i x ng v i qua 2 Tìm t a đ m N Phân Tích: i m N1 bi t pt, ta c n tìm thêm m t y u t liên quan đ n N thi t, đ đ ý đ n m bi t gi ng trịn (C) có tâm I(3;-5), n u bi t NI s tìm c N Song tìm NI ph c t p, v y ta s tìm m t m khác mà vi c tính kho ng cách t đ n N đ n gi n h n Trong tốn có ch a y u t đ i x ng (M,N đ i x ng qua 2 ), u g i cho ta ngh đ n m I’ đ i x ng v i I qua 2 m hồn tồn xác đ nh, t ta có NI’=MI=R=5 N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 13 Ví d Trong m t ph ng t a đ  ABC  300 , đ Oxy ,  cho tam giác ABC vuông t i A 1;  ng th ng  : x  y   ti p n t i B c a đ  có góc ng trịn ngo i ti p tam giác ABC Tìm t a đ m B x  y   , bi t B có hồnh đ m t s h u t Phân Tích: đây, B thu c  A bi t t a đ Do đó, n u tính đ c đ dài AB ta s tìm đ c B Khi tìm đ vi t đ c ph Ví d 10 Cho hình thoi ABCD , ngo i ti p đ c B ta s ng trình BC AC  C AC  BD , m B có hồnh đ d ng tròn  C  : x  y  x  y  18  Bi t ng thu c đ ng th ng  : x  y   Vi t ph ng trình c nh A, B Phân Tích: đây, B thu c  I tâm đ t a đ ,do n u tính đ tìm đ ng trịn (C)đã bi t c đ dài BI ta s tìm đ c B, ta chuy n v toán vi t ph c B Khi ng trình đ ng th ng AB qua m B cách I m t kho ng b ng R Ví d 11 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD có E , F l n l t thu c đo n AB , AD cho EB  EA, FA  3FD, F  2;1 tam giác CEF vuông t i F Bi t r ng đ ng th ng x  y   qua hai m C , E Tìm t a đ m C bi t C có hồnh đ d Phân Tích: C  CE bi t ph ng ng trình F bi t t a đ u g i ý cho ta tính đ dài CF V i d ki n EB=2EA, FA=3FD CEF vng t i F ta s tìm đ c m i liên h gi a hai c nh c a hình ch nh t Song ta thi u m t d ki n v đ nh l tính đ ng Ta tính d(F,CE) y u t n c a đ Thông s giúp ta c đ dài CF Ví d 12 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thang ABCD vng t i A D có đáy l n CD  BCD  450 Vi t ph d ng trình đ ng th ng AD BD l n l t có ph ng th ng BC bi t di n tích hình thang b ng 15 m B có tung đ ng Phân Tích:B  BD yB>0 giúp ta ngh đ n tìm B tr BD ng trình 3x  y  x  y  c D coi nh bi t, ta s tính đ dài cho SABCD=15(*), mà SABCD ph thu c AB, AD CD nên (*) ch a t i n Ta N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 14 c n gi m s n (*), mu n th ph i tìm m i liên h gi a AB, AD CD V y ta ph i khai thác d ki n v s li u c th c a toán D ph BCD  450 AD, BD bi t ki n cho  ng trình nên ta ngh đ n tính góc gi a AD BD t  t vng cân  bi u di n AD,BD theo AB  BD Khi tìm tam giác ABD BCD l n l đ c B  pt BC BC  BD Ví d 13: Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đ góc v i AD  3BC ng th ng BD có ph ng chéo vng ng trình x  y   tam giác ABD có tr c tâm H  3;  Tìm t a đ đ nh C D Phân Tích: V i yêu c u c a toán, ban đ u ta s t h i “ C D ta s tìm m tr DBD, CAC có th vi t đ c ph c? ng trình! Khi I=BD AC xác đ nh Ta c n tìm thêm d kiên “có l i” cho C D” Do ABCD hình thang cân nên IB=IC   BCI  450  BCH tam giác cân t i B  I trung m c a HC Ngh a ta s tìm đ tr c Lúc d ki n ch a đ đ nh lí talet suy đ cC c khai thác BC//AD AD=3BC, t ta ngh đ n c DI=3BI=3IH Khi ta s tìm đ cD Ví d 14: Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A , m B 1;1 Trên tia BC l y m M cho BM BC  75 Ph đ m x  y   bi t bán kính đ ng trình đ ng th ng AC : x  y  32  Tìm t a ng trịn ngo i ti p tam giác ABCD b ng 5 Phân Tích:Ta có A hình chi u c a B lên AC nên coi nh bi t D ki n BM.BC=75g i cho ta ngh đ n tam giác đ ng d ng t giác n i ti p Trong tốn l i có y u t bán kính đ ng trịn ngo i ti p tam giác MAC, đ khai thác d ki n ta d ng thêm m D cho ACMD n i ti p, vi c giúp ta khai thác đ c t t c thông s Sau d ng D ta s phân tích s li u c a tốn đ tính đ dài AC t tìm đ c C Ví d 15: Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ th ng  : x  y   T m A thu c  k hai đ ng tròn T  :  x  1   y    đ ng th ng l n l ng t ti p xúc v i T  t i B C Tìm t a đ m A bi t di n tích tam giác ABC b ng N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 15 Phân Tích: Bi t I(1;2) c đ nh A ta s tính đ dài AI D ki n SABC=8 cho phép ta làm u V n đ bi u di n SABC qua IA CÁCH RA toán đ vi t ph 2: Cho bi t M cách I m t kho ng không đ i C n d a vào d ki n ng trình đ ng ch a M Ví d (B – 2005): Cho hai m A  2;  B  6;  Vi t ph ng trình đ ng trịn  C  ti p xúc v i tr c hoành t i m A kho ng cách t tâm c a  C  đ n m B b ng Phân Tích: Mu n vi t ph ng trình (C) c n tìm t a đ tâm I bán kính R=IA I cách B m t kho ng khơng đ i ng trịn (C) ti p xúc v i Ox t i A  I thu c b ng đ ng th ng qua A vng góc v i Ox ng trịn  C  :  x    y  Ví d (B – 2009 – CB): Cho đ ng tròn  C1  ; bi t đ ABC Xác đ nh t a đ tâm K bán kính c a đ v i đ ng th ng AC tâm K thu c đ hai đ ng th ng J  2;1 ng tròn  C1  ti p xúc ng trịn  C  Phân Tích: (C1) ti p xúc v i  1,   K thu c đ ng phân giác góc t o b i   K  C  KI=R Ví d (B – 2012 – CB): Cho đ ng tròn C1  : x  y  4,  C2  : x  y  12 x  18  đ ng th ng d : x  y   Vi t ph ng trình đ ng trịn có tâm thu c  C2  , ti p xúc v i ABC c t  C1  t i hai m phân bi t A B cho AB vng góc v i d Phân Tích: Ta c n:Xác đ nh I tính bán kính R Xác đ nh I:AB  d  II1//d  ph ng trình II1 I  (C2)  II2=R2 R=d(I,d) Ví d Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 16 cân t i A n i ti p đ ng trịn T  có tâm I  0;5  M  5;0  v i M khác A ng tròn T  t i m ng th ng AI c t đ ng cao k t đ nh C c t đ  17 6 ng tròn T  t i N   ;   v i N  5 khác C Tìm t a đ đ nh c a tam giác ABC , bi t B có hồnh đ d ng Phân Tích: V n câu h i “Th t tìm m?” Do I trung m AM  tìm A đ u tiên Ti p đ n s B (vì xB>0) IB=IM nên ta c n thêm m t d ki n cho B  t o m i liên h m B v i s li u bi t c a toán M, N bi t vi c v hình xác cho ta d đốn IB  MN N u có u ta s vi t đ c ph ng trình IB tìm đ c B Ta s ch ng minh IB  MN C đ i x ng v i B qua AM Ví d 5: Cho đ ng tròn  C  : x  y  Vi t ph ng trình t c c a elip  E  có đ dài tr c l n b ng  E  c t  C  t i b n m phân bi t t o thành b n đ nh c a hình vng Phân Tích: C n tìm a, b (E) có đ dài tr c l n b ng  a=4 (E) c t (C) t i m phân bi t đ nh c a hình vng  đ nh n m hai đ ng phân giác góc ph n t th nh t th hai Ta gi s A n m đ ng th ng y=x Ta s tìm đ AO=R (A (C)) Mà A(E) b  ph Ví d (D – 2013 – NC): Cho đ cA ng trình (E) ng trịn  C  :  x  12   y  12  đ ng th ng A, B, C Tam giác MNP có tr c tâm trùng v i tâm c a  C  , đ nh N P thu c  , đ nh M trung m c a c nh MN thu c  C  Tìm t a đ m P ng th ng qua I vng góc v i  Phân Tích: M thu c đ MI=R=2  M N(t)  K(t) KI=R=2  t  N MP  NI  qua M P=MP Ví d Cho đ ng tròn C  :  x  2   y  52  Cho m t m di đ ng đ C  : x   y  12  AB m t đ ng kính thay đ i c a đ ng tròn  C ' M ng trịn  C  Tìm t a đ m M , A, B cho di n tích c a tam giác MAB l n nh t N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 17 Phân Tích: M  (C)  MI=R nên ta c n ch đ thu c đ ng th ng s tìm đ ki n đ SMAB l n nh t ta s tìm đ CÁCH RA c M V i u c u 3: K t h p cách cách D a vào d ki n tốn c n: Tính đ đ cM c đ dài MI (v i I bi t) vi t ph ng trình ng qua M Ví d 1: Cho đ ng trịn  C  : x  y  x  y  20  m A  4;  G i d ti p n t i A c a  C  Vi t ph ng trình đ ng th ng  qua tâm I c a  C   c t d t i M cho tam giác AIM có di n tích b ng 25 M có hồnh đ d ng Phân Tích: C n tìm t a đ M d qua A vng góc v i IA M  d SAIM=25 MA Ví d 2: Cho tam giác ABC có di n tích b ng 2, đ A B có ph ng th ng qua ng trình x  y  Tìm t a đ trung m M c a AC bi t I  2;1 trung m c a BC Phân Tích: SABC = 2SABI =AB.d(I,AB)  AB IM//AB qua I  ph ng trình IM AB=2IM t  M Ví d (B-2003): Cho tam giác ABC có AB  AC , BAC  900 Bi t M 1; 1 trung m c nh 2  BC G  ;  tr ng tâm tam giác ABC Tìm t a đ đ nh A, B, C 3    Phân tích: Do G tr ng tâm nên AM  3GM  A Khi B, C thu c đ ng th ng qua M vuông góc v i AM MB=MC=MA  3 Ví d (D-2013-CB): Cho tam giác ABC có m M   ;  trung  2 m c a c nh AB , m H  2;  m I  1;1 l n l đ t chân đ ng cao k t B tâm ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Tìm t a đ m C Phân tích: N u ta bi t đ c t a đ m A ta s tìm đ ct a đ m C (CAH, CI=AI) V y ta ph i tìm t a đ A A  AB AM=MH  A  C N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 18 Ví d 5: Cho m A 10;5  , B 15; 5  D  20;  đ nh c a hình thang cân ABCD AB song song v i CD Tìm t a đ đ nh C Phân tích: ví d ta có th tìm C theo hai cách: Cách 1: C thu c đ ng th ng qua D song song v i AM ABCD hình thang cân nên CB=AB Ki m tra u ki n BC kh n song song v i AD k t lu n Cách 2: G i I, J l n l t trung m c a AB CD ph ng trình IJ t a đ J J trung m CD  C Ví d 6.: Cho hình thoi ABCD có tâm I  3;3 AC  BD  4 M  2;  thu c đ  3 đ 13 ng th ng AB , m N  3;  thu c đ  3 i m ng th ng CD Vi t ph ng trình ng chéo BD bi t đ nh B có tung đ ngun Phân tích: N u tìm đ c B ta s vi t đ c ph ng trình BD Ta khai thác tính ch t đ i x ng c a hình thoi đ tìm m N’ thu c AB đ i x ng v i N qua I Khi AB qua M,N’ ph ng trình AB Ta khai thác d ki n AC=2BD đ tính IB T đóB Ví d (D-2010-CB): Cho tam giác ABC có đ nh A  3; 7  , tr c tâm H  3; 1 , tâm đ ng tròn ngo i ti p I  2;0  Xác đ nh t a đ đ nh C bi t C có hồnh đ d ng Phân tích: Ta c n tìm t a đ C CI=IA N u vi t đ c ph ng trình BC ta s tìm đ Lúc vi c vi t ph ta có th tìm đ cC ng trình BC ch c n bi t thêm m t d ki n c hình chi u D c a I CB ho c chân đ ng cao k t A lên BC N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 19 Ví d 8: Cho hai m A 1;  , B  4;3 Tìm t a đ m M cho  MAB  1350 kho ng cách t b ng M đ n đ 10 Phân tích: Vì MA qua A h p v i đ ph ng th ng AB ng th ng AB m t góc b ng 450 nên ta s vi t đ ng trình MA Do d(M,AB) bi t nên ta tính đ c MA T tìm đ c cM Ví d 9: Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD có c nh AB AD ti p xúc v i đ ng trịn T  có ph T  t i hai m ng trình  x     y  3  2 ng chéo AC c t đ ng tròn  16 23  M , N Bi t M   ;  , tr c tung ch a m N không song song v i  5  AD ; di n tích tam giác ADI b ng 10 m A có hồnh đ âm nh h n hoành đ c a D Tìm t a đ đ nh c a hình ch nh t ABCD Phân tích: V i d ki n A có hồnh đ âm g i ý cho ta tìm t a đ A tr c Ngh a ta s tìm khai thác d ki n “có l i” cho A Ta nh n th y Oy (T)=N  ph ng trình AC Vì AB,AD ti p xúc v i (T)  AI T ta có A D ki n SADI=10 AD khơng vng góc v i tr c tung g i ý cho ta tìmđi m ti p theo D AD qua A cách I m t kho ng b ng R  ph ng trình AD SADI=AD.d(I,AD)=10 T  D Ví d 10 (Kh i A, A1-2014): Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình vng ABCD có m M trung m AB N m thu c AC cho AN=3NC Vi t ph ng trình đ ng th ng CD , bi t M(1;2) N(2;-1) Phân tích: u c u tốn vi t ph ng trình CD giúp ta h vi c g n k t d ki n y u t liên quan t i đ toán cho M, N AN=3NC h ng t i ng th ng CD Vi c ng ta ngh đ n vi c ta tìm m E (E=MN CD) Lúc n u tìm đ c thêm m t m CD tốn s đ c gi i quy t Nh toán ta ngh đ n tìm m D b ng cách ch ng minh tam giác MND vuông cân t i N t suy D N u c n file word đ y đ l i gi i chi ti t xin liên h : vanthienbmt@gmail.com ThuVienDeThi.com 20