BẤT ĐẲNG THỨC §1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I BẤT ĐẲNG THỨC: Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng “A>B”, “A B A-B > 0; A < B A - B < * A B A-B 0; A B A B Các tính chất bất đẳng thức: A>B AC a) TÝnh chÊt 1: B>C b) TÝnh chÊt 2: A>B A C>B C A.C>B.C, nÕu C>0 c) TÝnh chÊt 3: A>B A.CD A>B>0 A.C B.D e) TÝnh chÊt 5: C>D>0 f) TÝnh chÊt 6: A>B>0, n N* A n B n A>B>0, n N, n n A n B g) TÝnh chÊt 7: A>B, n N* A 2n 1 B 2n 1 A>B, n N* 2n+1 A 2n 1 B II BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: 1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm : Víi hai số không âm a b, ta có: a+b a+b ab hay a+b ab, ab Đẳng thức xảy vµ chØ a=b Các hệ bất đẳng thức Cauchy hai số : * HƯ qu¶ : 2(a +b2 ) (a+b)2 4ab, víi a, b R 1 * HƯ qu¶ : , víi a, b>0 a b ab a b * HƯ qu¶ : 2, víi a, b>0 b a ThuVienDeThi.com Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm : Với n số không âm a1 , a , , a n (n 2), ta cã : a1 a a n n a1a a n n Đẳng thức xảy a1 a a n III BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cặp số: Víi hai cỈp sè thùc (a1 , a ), (b1 , b2 ) bÊt k×, ta ®Òu cã: (a1b1 +a b2 )2 (a12 a 22 )(b12 b22 ) Đẳng thức xảy vµ chØ b1 b2 a1 a * Quy íc : NÕu a1 (hc a =0) b1 (hoặc b2 0) Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai n số: Víi hai bé sè thùc (a1 , a , , a n ), (b1 , b2 , , b n ) bÊt k×, ta cã : (a1b1 +a b2 + +a n b n )2 (a12 a 22 a 2n )(b12 b22 b2n ) Đẳng thức xảy b1 b2 b n a1 a an * Quy íc : NÕu mét a i bi (i=1,n) IV BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Víi mäi sè thùc a vµ b, ta cã: 1) a+b a b Đẳng thức xảy vµ chØ ab 2) a-b a b Đẳng thức xảy chØ ab V BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HC: 1) Bất đẳng thức bản: b-c a b c, c-a b c a vµ a-b c a b, p-a>0, p-b>0 p-c>0 2) Các bất đẳng thức khác: 2S ab; 2S bc vµ 2S ca 900 b2 c2 a nÕu A VI CƠNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC: b2 c2 a c2 a b2 a b c2 ; m 2b ; m 2c m a2 4 bc ca ab la p(p a); l b p(p b); l c p(p c) bc ca ab ThuVienDeThi.com §2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi, đánh giá thích hợp §Ĩ chøng minh A ≥ B, ta sÏ chøng minh A-B ≥ (nghĩa ta sử dụng định nghĩa, tính chất bản, để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức hay tính chất sử dụng bất đẳng thức biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh) VÝ dô 1: Cho ba sè a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1) b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c) (2) (§HQG TP HCM -1998) Lêi gi¶i a) (1) 2a 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 luôn b) (2) a b2 b2 c2 c2a a bc ab2 c abc2 2a b2 2b2 c2 2c2a 2a bc 2ab2 c 2abc2 (ab-bc)2 (bc ca)2 (ca ab)2 lu«n Ví dụ 2: Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) víi mäi a, b, c, d, e (1) (ĐH Y dược TP HCM-1999) Lời giải a2 a2 a2 a2 (1) ab b2 ac c2 ad d ae e2 4 4 2 2 a a a a b c d e hiển nhiên 2 2 2 1 VÝ dô : Cho ba sè thùc a, b, c tháa m·n abc=1 vµ a+b+c> a b c a) Chøng minh r»ng: (a-1)(b-1)(c-1)>0 (1) b) Chøng minh r»ng ba sè a, b, c cã ®óng mét số lớn (ĐHTH TP.HCM -1993) Lời giải a) Ta cã: (1) abc-ab-ac-bc+a+b+c>0 1 ab+bc+ca V× a+b+c> a+b+c> a b c abc a b c ab bc ca (vì abc=1) Vậy (2) Suy (1) b) Ta có: (a-1)(b-1)(c-1)>0 Suy ba số a, b, c lớn ba số a, b, c có số lớn NÕu a>1, b>1, c>1 abc>1, m©u thn víi gi¶ thiÕt VËy ba sè a, b, c cã ®óng mét sè lín h¬n a b c VÝ dô : Chøng minh: 3 3 3 3 b c c a a b ®ã a, b, c độ dài ba cạnh tam giác (2) ThuVienDeThi.com (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004) Lêi gi¶i Ta cã: b3 c3 (b c)3 (1) ThËt v©y: (1) 4(b3 +c3 ) b3 c3 3b2 c 3bc2 b3 c3 b2 c bc2 b2 (b c) c2 (b c) (b-c)(b2 -c2 ) (b-c)2 (b c) (2) ®óng (1) Tương tự: c3 a (c a)3 a +b3 (a+b)3 Do ®ã: (2) b c a 4 b+c c a a b b c c a a b a b c 2a 2b 2c mµ b+c c a a b 2(b c) 2(c a) 2(a b) 2a 2b 2c < =2 bca cab abc (Do a+b>c; b+c>a; c+a>b) Từ (3) (4) suy đpcm a 3 b 3 c 3 (3) (4) Bài tập tự luyện: Bµi : Cho x, y Chøng minh: x y x y2 3 y x y x (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường Trần Đại Nghĩa TP HCM năm 2004 ) Bµi : Chøng minh r»ng nÕu 0 Chøng minh r»ng: y x z 1 2 2 x y y z z x x y z (ĐH Nông Nghiệp I Khối A - 2001) Lời gii Dễ dàng chứng minh BĐT sau: a b2 c2 ab bc ca 1 1 1 ¸ p dơng (1), ta được: x y z xy yz zx (1) (2) ¸ p dụng BĐT Cauchy cho mẫu số, ta được: y y x z x z 2 + + = 2 x y y z z x x y 2 y z 2 z 3x = 1 1 1 (®pcm) z xy yz zx x y ThuVienDeThi.com VÝ dô : Chứng minh với a, b hai số không âm bất kì, ta có: 3a 17b3 18ab2 (ĐH Kinh tế Quốc dân - Năm 1997) Li gii p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm, ta có: 3a 17b3 3a 9b3 8b3 3 3a 9b3 8b3 18ab2 (®pcm) VÝ dơ : Cho a, b, c độ dài ba cạnh cđa mét tam gi¸c Chøng minh r»ng: a b c b+c-a c a b a b c (ĐH Y Hải Phòng – Năm 2000) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: bca ca b (b+c-a)(c+a-b) c T¬ng tù ta cã: (c+a-b)(a+b-c) a (a+b-c)(b+c-a) b Nhân vế tương ứng (1), (2) (3), ta được: (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) abc (1) (2) (3) abc (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba sè d¬ng, ta cã: a b c abc 33 b+c-a c a b a b c (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) VÝ dô : Cho a, b, c > Chøng minh: 1 1 (a +b3 +c3 ) + + a b c Lời giải Víi a, b, c > 0, ta cã: b+c c+a a+b + + a b c (Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ 6/2003) a b3 ab(a b); b3 c3 bc(b c); c3 a ca(c a) 2(a b3 c3 ) ab(a b) bc(b c) ca(c a) p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba sè d¬ng, ta cã: 1 1 1 33 a b c a b c abc Nhân vế tương ứng (1) (2), ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b = c VÝ dô : Cho a>b>0 Chøng minh: a+ 2 b(a-b)2 Li gii p dụng bất đẳng thøc Cauchy cho sè d¬ng, ta cã: a+ (1) (2) ab ab ab ab b 4 b 2 2 b(a-b) 2 b(a-b) 2 b(a-b)2 ThuVienDeThi.com VÝ dô : Cho a, b, c, d > Chøng minh: a b2 c2 d 1 1 b c d a a b c3 d (ĐH Thủy lợi – Năm 1997) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho năm số dương, ta có: a2 a2 a2 1 3a 5 b5 b5 b5 a a b15 b3 b b3 a 3b2 T¬ng tù, ta cã: - c c b 3c 3 d d c 3d 3 a a d Cộng vế tương ứng (1), (2), (3) (4) ta có đpcm VÝ dơ : Cho số thực x, y, z dương Chứng minh: (1) (2) (3) (4) 16xyz(x+y+z) 3 (x+y)4 (y z)4 (z x)4 (Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ 1/1996) Lời giải Gọi A = (x + y)(y + z)(z + x) Ta có: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz2 + zx2 p dụng BĐT Cauchy cho tám số dương gồm ba số với số xy(x y z), ba số với số zy(x y z), xz , zx b»ng (xyz)6 (x y z)6 đpcm 36 Đẳng thức xảy chØ x=y=z VÝ dô 10 : Cho a, b, c > 0, n N, n Chøng minh: Ta cã: (x+y)(y+z)(z+x) 8 n a b c n n n n n b+c ca a b n 1 (Tạp chí Tốn học & Tui tr 8/1996) Li gii p dụng BĐT Cauchy cho n sè d¬ng gåm mét sè b»ng (a+b)(n-1) c (n-1) số với số 1, ta cã: 1+1+ +1 (n-1) sè (a+b)(n-1) (a+b)(n-1) nn c c n (a b)(n 1) (a b c)(n 1) nc c Hay n c n n c n a+b n abc (1) ThuVienDeThi.com T¬ng tù, ta cã: n b n n b n c+a n abc a n n a n c+b n abc Cộng vế tương ứng (1), (2) (3), ta có đpcm (n-1)(a+b)=c Đẳng thức xảy (n-1)(b+c)=a n N (n-1)(c+a)=b n (2) (3) không xảy Trng hp 2: Cỏc bin b ràng buộc VÝ dô : Cho x, y, z ba số dương xyz=1 Chứng minh rằng: x2 y2 z2 1 y 1 z x (Đề dự bị Khối D-Năm 2005) Lời giải p dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta cã: x2 y x2 y 2 x 1+y 1+y y2 z y2 z 2 y 1+z 1+z z2 x z2 x 2 z 1+x 1+x Cộng vế tương ứng ba BĐT, ta được: x y y2 z z x (x y z) 1+z 1+x 1+y x2 y2 z2 xyz (x y z) 1+y 1+z 1+x 4 3(x y z) 4 3 3 3 x.y.z (Do x.y.z=1) 4 4 Đẳng thức xảy vµ chØ x=y=z=1 VÝ dơ : Cho số dương x, y, z thỏa mÃn xyz=1 Chøng minh r»ng: 1+x y3 y3 z 1+z x 3 xy yz zx Khi đẳng thức xảy ra? (ĐH, CĐ Khối D-Năm 2005) Lời giải áp dụng BĐT Cauchy cho ba số d-ơng, ta có: ThuVienDeThi.com 1+x y3 3 1.x y3 3xy 1+x y3 xy xy T-¬ng tù, ta cã: (1) 1+y3 z 3 yz yz (2) 1+z +x 3 zx zx Mặt khác, ta có: xy yz (3) 3 33 zx xy yz zx 3 xy yz zx Céng c¸c vế t-ơng ứng (1), (2), (3) (4) ta có đpcm Đẳng thức xảy x=y=z=1 VÝ dơ : Cho x, y, z lµ ba sè tháa m·n x + y + z = Chøng minh r»ng : (4) + 4x y z (Đề dự bị Khối A - Năm 2005) Lời giải p dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 3+4x 4x 4 4x 3+4x 4x 4x T¬ng tù, ta cã: 3+4 y y 3+4 z z Cộng vế tương ứng ba bất đẳng thức trên, ta được: 3+4x 3+4 y 3+4 z 4 x y z 2.3 4x.4 y.4 z 624 4x y z Đẳng thức xảy x=y=z=0 VÝ dơ 4: Chøng minh r»ng víi mäi x, y, z d-ơng x + y + z = 18xyz xy+yz+zx> 2+xyz Li gii p dụng B§T Cauchy, ta cã: (ĐH Tây Nguyên Khối A, B-Năm 2000) 2=x+y+z+x+y+z xyz (1) xy+yz+zx 3 x y2 z Nhân vế tương ứng (1) (2), ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz Mặt khác, ta có: xyz(xy + yz + zx) > (2) (3) (4) ThuVienDeThi.com Cộng vế tương ứng (3) (4), ta được: (xy+yz+zx)(2+xyz)>18xyz 18xyz xy yz zx (v× 2+xyz>0) xyz VÝ dơ : Cho x, y, z số dương thỏa mÃn 1 Chøng minh r»ng: x y z 1 2x+y+z x 2y z x y 2z (ĐH, CĐ Khối A - Năm 2005) Lời giải Cách : Víi a, b>0 ta cã: 4ab (a+b)2 ab 11 1 a b 4ab ab 4a b Đẳng thức xảy a=b p dụng kết ta có: 2x+y+z T-ơng tù: x+2y+z 1 1 1 1 1 2x y z 2x y z x 2y 2z 1 1 1 1 1 2y x z 2y x z y 2z 2x 1 1 1 1 1 x+y+2z 2z x y 2z x y z 2x 2y 1 11 1 2x+y+z x 2y z x y 2z x y z Đẳng thức xảy x=y=z= 1 C¸ch 2: ¸ p dụng BĐT với a, b>0, ta được: a b ab 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8=2 x y z x y y z z x xy yz zx T¬ng tù, ta cã: (1) (2) (3) VËy 1 1 1 1 2 x+y y z z x x y x z x y y z y z z x 1 4 2x y z x 2y z x y 2z Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: (1) (2) 1 8 ®pcm 2x+y+z x 2y z x y 2z Cách : Với a, b hai số x, y hai số dương ta cã: a b2 (a b)2 x y xy (*) 10 ThuVienDeThi.com a y(x+y)+b2 x(x+y) (a+b)2 xy a y2 +b2 x 2abxy (ay-bx)2 B§T sau cïng hiĨn nhiên Đẳng thức xảy a b x y Sư dơng B§T (*) hai lÇn ta cã: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 2 xy xz 2x+y+z 2x y z x y x z 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 2 1 x y x z 16 x y z T¬ng tù ta cã: 1 1 1 x+2y+z 16 x y z 1 1 2 x+y+2z 16 x y z Céng tõng vế ba bất đẳng thức ý tới giả thiết dẫn đến: 1 11 1 2x+y+z x 2y z x y 2z x y z Đẳng thức xảy x=y=z= Cách : áp dụng BĐT Cauchy cho bốn số dương (hoặc B§T Bu-nhia-cèpxki): 1 1 1 (x+y+z) 4 x yz.4 16 x yz x x y z 1 2 1 Suy 2x+y+z 16 x y z T¬ng tù: 1 1 1 x+2y+z 16 x y z 1 1 2 x+y+2z 16 x y z Cộng vế ba BĐT ta được: 1 11 1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z x y z VÝ dô : Cho x, y, z vµ x+y+z Chøng minh r»ng: x y z 1 2 1+x y z 1 x y z Li gii (ĐH Hàng hải Tp HCM - Năm 1999) 11 ThuVienDeThi.com Ta có: x 2x x (x 1)2 x 0 2 2 1+x 2(1 x ) 2(x 1) 1+x T¬ng tù ta cã: y 1+y z 1 z Céng c¸c vế tương ứng ba bất đẳng thức trên, ta ®ỵc: x y z (1) 2 1+x y z (Đẳng thức xảy x=y=z=1) Mặt khác, áp dụngB ĐT Cauchy cho ba số dương, ta ®ỵc: 1 1 (Do x+y+z 3) (1 x)(1 y)(1 z) 1 x 1 y 1 z 1+x y z 3 1 (2) 1+x y z Đẳng thức xảy x=y=z=1 Bài tập tù lun: Bµi : Víi a, b, c lµ ba số dương Chứng minh rằng: (1+a )(1+b3 )(1+c3 ) (1+ab2 )(1+bc2 )(1+ca ) (§HDL Hải Phòng Khối A - Năm 2000) Bài : Chứng minh rằng: với số thực dương bất kì, ta lu«n cã a a a (ĐHDL Ph-ơng Đông Khối A - Năm 2000) Bài : Cho ABC có ba cạnh a, b, c vµ p lµ nưa chu vi Chøng minh r»ng: 1 1 1 p-a p b p c a b c (Học viện Ngân hàng Khối A - Năm 2001) Bài : Với a, b, c ba số thực dương thỏa mÃn ®iỊu kiƯn a+b+c=0 Chøng minh r»ng: 8a 8b 8c 2a b 2c (ĐHQG Hà Nội Khối A - Năm 2000) Bài : Chứng minh r»ng víi mäi x, y >0 ta cã: y (1+x) 1+ 256 y x Đẳng thức xảy nào? (Đề Dự bị Khối A-Năm 2005) Bài : Cho a, b, c ba số dương thỏa mÃn: a+b+c= Chứng minh r»ng : a+3b b 3c c 3a Khi nµo đẳng thức xảy ra? (Đề Dự bị Khối B-Năm 2005) 12 ThuVienDeThi.com Bµi : Chøng minh r»ng nÕu y x th× x y y x Đẳng thức xảy nào? (Đề Dự bị Khối B-Năm 2005) Bài : Cho số thực x, y, z tháa m·n ®iỊu kiƯn: 3-x 3 y 3 z Chøng minh r»ng: 9x 9y 9z 3x 3y 3z 3x 3y z 3y 3z x 3z 3x y (Đề Dự bị Khối A-Năm 2006) Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức Bu - nhia - cốpski: Trường hợp 1: Các biến không bị ràng buộc VÝ dô : Cho x [0; 1] Chøng minh: x + 1-x + x + 1-x 2+ 2 T×m x để dấu đẳng thức xảy ra? (H An ninh Nm 1999) Li gii p dụng BĐT Bu-nhia-Cốpski cho hai bé sè (1; 1) vµ ( x; 1-x ), ta được: x x x (1 x) (1) TiÕp tơc ¸p dụng BĐT Bu-nhia-Cốpski cho hai số (1; 1) ( x; 1-x ), ta được: x x ( x x ) 2 Cộng vế t-ơng ứng (1) (2), ta có đpcm x [0;1] Đẳng thức xảy vµ chØ x x x 4 x x VÝ dô : Cho a, b, c>0 Chøng minh: a b c 1 a+ (a+b)(a+c) b (b c)(b a) c (c a)(c b) (2) (T¹p chÝ Toán học & Tuổi trẻ 11/2004) Lời giải p dơng B§T Bu-nhia-cèpski cho hai bé sè ( a; b) vµ ( c; a ), ta cã: ( ac+ ab)2 (a b)(c a) ac ab (a b)(c a) a ac ab a (a b)(c a) a a (a b)(c a) T-¬ng tù, ta cã: a a ac ab b b+ (b+c)(b+a) c a a b c b a b c c c+ (c+a)(c+b) a b c Cộng vế t-ơng ứng (1), (2) (3), ta đ-ợc: (1) (2) (3) 13 ThuVienDeThi.com a b c a+ (a+b)(a+c) b (b c)(b a) c (c a)(c b) Đẳng thức xảy a = b = c VÝ dô : Chøng minh r»ng tam giác bất kì, ta có: p-a p b p c 3p a, b, c độ dài ba cạnh p nửa chu vi tam giác Lời giải p dụng BĐT Bu-nhia-cốpski cho hai ba sè (1, 1, 1) vµ ( p-a, p-b, p-c), ta ®ỵc: p-a p b p c 12 12 12 ( p a )2 ( p b)2 ( p c)2 = p a p b p c p Đẳng thức xảy vµ chØ p-a pb pc abc Trường hợp 2: Các biến bị ràng buộc VÝ dơ : Víi a, b, c lµ ba số dương thỏa mÃn đẳng thức ab+bc+ca=abc Chứng minh r»ng: b2 2a c2 2b2 a 2c2 ab bc ca (§HQG Hà Nội Khối D - Năm 2000) Lời giải Nhân hai vế BĐT với abc>0, ta được: c b2 2a a c2 2b2 b a 2c2 3abc M b2 c2 2a c2 a c2 2a b2 a b2 2b2 c2 3abc Theo B§T Bu-nhia-cèpski, ta cã: b2 c2 2a c2 (bc)2 (ac)2 (ac)2 (bc ca ca) (bc 2ca) 3 T-¬ng tù, ta cã: a c2 2a b2 (ac 2ab) 3 a b2 2b2 c2 (ab 2bc) Céng tõng vÕ cđa (2), (3) vµ (4) ®i tíi: M 3(ab bc ca) 3abc (1) ®óng: ®pcm VÝ dơ : Cho x, y, z ba số dương x+y+x Chøng minh r»ng: x2 (1) (2) (3) (4) 1 y2 z 82 x y z (§H, CĐ Khối A - Năm 2003) Lời giải 14 ThuVienDeThi.com Gäi S= x 1 y2 z 2 x y z p dụng BĐT Bu-nhia-cốpski cho hai bé sè (1; 9) vµ x; , ta cã: x 1 1+81 x = 82 x x x x T-¬ng tù, ta cã: y+ 82 y2 y y x+ z+ 82 z z z Céng (1), (2) vµ (3) theo vÕ, ta cã: 1 1 S 82 x y z x y z (1) (2) (3) 1 1 hay S 82 81(x y z) 80(x y z) x y z 1 1 2.9.3 (x y z) 80 162 80 82 x y z đpcm Chú ý: Bài toán ta giải ph-ơng pháp tọa độ, trình bày phần sau Bất đẳng thức tam gi¸c: VÝ dơ : Cho ABC Chøng minh r»ng: 1 (la l c ) (l c la ) (la l b ) 3 a b c (Häc viƯn Kü tht Qu©n - Năm 1997) Lời giải A b c l cos A l cos A Ta cã: la a b c a bc bc 2 B 1 1 T¬ng tù, ta cã: l b cos c a C 1 1 a b l c cos 2bc.cos Céng tõng vÕ ba đẳng thức trên, ta được: 1 A B C (l b l c ) (l c la ) la l b cos cos cos a b c 2 2 A B C p dụng BĐT Bu-nhia-cốpxki cho hai sè (1; 1; 1) vµ cos ;cos ;cos , ta cã: 2 2 cos (1) A B C A B C cos cos cos2 cos2 cos2 2 2 2 15 ThuVienDeThi.com (cos A cos B cos C) 2 3 3 2 2 3 v× cosA+cosB+cosC 1 Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: (l b l c ) (l c la ) la l b 3 a b c Đẳng thức xảy ABC (2) Chú ý: Ta giải toán cách sử dụng BĐT Cauchy dùng ph-ơng pháp đạo hàm kết hợp với BĐT Jensen Bài tập tù lun: Bµi : Chøng minh: a-1 b c c(ab 1), víi mäi sè thùc d¬ng a, b, c Bµi : Cho x, y, z>0 Chøng minh: xyz(x+y+z+ x y2 z ) 3 2 2 2 (x y z )[(x y z) (x y z )] 18 Bµi : Cho a, b, c >0 vµ tháa m·n abc=1 Chøng minh: 1 a (b c) b (c a) c (a b) Bµi : Cho x>0, y>0 vµ x y2 x y Chøng minh: x+3y 2+ Dạng 3: Phương pháp dùng dấu tam thức bậc hai: C¬ së cđa ph¬ng pháp biến đổi bất đẳng thức giả thiết vỊ d¹ng chøa: f(x)=ax bx c (a 0) §Ĩ xÐt dÊu tam thøc bËc hai f(x), ta thường viết dạng: Cơ sở phương pháp biến đổi bất đẳng thức giả thiết vỊ d¹ng chøa: f(x)=ax bx c (a 0) §Ĩ xÐt dÊu tam thøc bËc hai f(x), ta thêng viÕt nã díi d¹ng: 2 b b2 4ac b f(x)=a x a x 2a 4a 2a 4a DÊu cña f(x) DÊu cđa biƯt thøc af(x)>0, x R 0, x - ; f(- )=0 2a 2a af(x)0 Ph-ơng trình f(x) = có hai nghiệm x1 < x2 af(x)>0, x (-; x ) (x ; +) Tóm lại, việc sử dụng định lý thuận đảo tam thức bậc hai, xử lý điều kiện tồn 16 ThuVienDeThi.com nghiệm biƯt thøc , … tá tiƯn lỵi chøng minh bất đẳng thức mà đà đ-ợc nhận dạng nhắc lại tính chất sau để tiƯn sư dơng: * f(x)=ax bx c 0, x R * f(x)=ax bx c 0, x R a>0 a 'x (3y 4z)2 5(5y2 5z 8yz)=-16y2 16zy 9z (1) Xem 'x lµ mét tam thøc bậc hai y, z tham số, ' y 64z 9.16z 80z NÕu z th× ' y : Do ®ã 'x víi mäi y Tõ ®ã suy r»ng PT (1) nghiệm với x Nếu z=0 'x 16y2 a) NÕu y th× 'x Do dã PT (1) nghiƯm ®óng víi mäi x b) NÕu y=0 th× v× x y2 z nªn x f(x, y, z)=5x Vậy bất đẳng thức (1) với x, y, z không đồng thêi b»ng VÝ dô : Cho ABC Chøng minh: x2 A x(cos B cos C) sin , x R 2 Lêi gi¶i XÐt tam thøc: f(x)= x2 A x(cos B cos C) sin Ta cã: 2 A BC BC A x (cos B cos C) sin cos sin cos 2 2 17 ThuVienDeThi.com =4sin A BC cos 1 Do ®ã: f(x) 0, x R (®pcm) VÝ dơ : Chøng minh r»ng nÕu ba sè a, b, c tháa m·n điều kiện: a b2 c2 ab bc ca 4 4 4 th× - a , - b , - c 3 3 3 Lêi gi¶i Xem hai đẳng thức đà cho hệ hai ph-ơng trình mà b, c hai ẩn số, a tham số Hệ ph-ơng trình có nghiệm Từ ta tìm đ-ợc tập hợp giá trị tham sè a Tõ gi¶ thiÕt, ta suy ra: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) =2+2=4 a+b+c=2 a+b+c=-2 HÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi hai hƯ: a+b+c=2 a+b+c=-2 (I) ; (II) ab+bc+ca=1 ab+bc+ca=1 XÐt hÖ (I) Tõ PT thø nhÊt cđa hƯ ta suy b+c=2-a Thay vào PT thứ hai, ta được: bc+a(2-a)=1 bc=(a-1)2 Hệ (I) tương đương với hệ: b+c=2-a bc=(a-1) b,c nghiệm PT: x (2 a)x (a 1)2 PT nµy cã hai nghiƯm nªn =(2-a)2 4(a 1)2 3a 4a 0a (1) Lập luận tương tự hệ (II), ta được: - a0 (2) Phối hợp kết (1) (2), ta được: 4 - a 3 V× a, b, c cã thể đổi chỗ cho hai đẳng thức đà cho nªn ta cịng cã: 4 4 - b vµ - c 3 3 Bµi tËp tù lun: 18 ThuVienDeThi.com Bµi : Chøng minh: (x+y)2 2x 5y2 4y 6, x,y R Bµi : Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ độ dài ba cạnh tam giác ta lu«n cã: a b2 b2 c2 c2a (a b c ) Bµi : Chøng minh r»ng víi mäi x R, ta ®Ịu cã: 4sin3x+5 4cos2x+5sinx Dạng 4: Ph-ơng pháp đạo hàm I Kiến thức cần nhớ: Định lý Lagrange: Nếu hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn điểm c (a; b) cho: f(b) f(a) f(b)-f(a)=f ' (c)(b a) hay f ' (c) ba Tính đơn điệu hàm số: a) Khái niệm tính đồng biến nghịch biến hàm số : Cho hàm số y=f(x) xác định K (K khoảng (a; b) đoạn [a; b]) * f(x) gọi đồng biến (tăng) K nếu: x1 , x K : x1 x f(x1 ) f(x ) * f(x) gọi nghịch biến (giảm) K nếu: x1 , x K : x1 x f(x1 ) f(x ) * Tính đồng biến hay nghịch biến gọi chung tính đơn điệu b) Điều kiện cần tính đơn điệu : Cho hàm số y=f(x) xác định có đạo hàm khoảng (a; b) * Nếu f(x) đồng biến khoảng (a; b) f / (x) 0, x (a; b) * NÕu f(x) nghịch biến khoảng (a; b) f / (x) 0, x (a; b) c) §iỊu kiƯn ®đ cđa tÝnh ®¬n ®iƯu (dÊu hiƯu ®¬n ®iƯu) : Cho hàm số y=f(x) xác định có đạo hàm khoảng (a; b) x (a; b): f / (x) * / / f (x) f (x) hữu hạn điểm x f(x) đồng biến khoảng (a; b) x (a; b): f / (x) * / / f (x) hc f (x) hữu hạn điểm x f(x) nghịch biến khoảng (a; b) Chú ý: Trong dấu hiệu đơn điệu, thêm giả thiết f(x) liên tục đoạn [a; b] kết luận mạnh hơn: f(x) đồng biến (hay nghịch biến) đoạn [a; b] Cực trị hàm số: Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) x (a;b) a) Định lý 1: / f (x) (x ; x ) x điểm cực đại f(x) * / f (x) trªn (x ; x + ) 19 ThuVienDeThi.com f / (x) trªn (x ; x ) * / x điểm cực tiểu f(x) f (x) trªn (x ; x + ) b) Định lý 2: / f (x) * // x điểm cực tiĨu cđa f(x) f (x) f / (x) * // x điểm cực đại f(x) f (x) II Ví dô minh häa: x VÝ dô : Cho n số tự nhiên, n Chứng minh rằng: ex , víi mäi x>0 n (§HSP Quy Nhơn - Năm 1999) Lời giải x nửa kho¶ng 0; + Víi mäi x>0, n 1, ta cã: n 1 f / (x) ex >0 (v× ex e0 víi x>0, n 1) n n Mặt khác dễ thấy hàm số liên tục 0; + Do f(x) đồng biến nửa khoảng 0; + Xét hµm sè f(x)=ex VËy víi mäi x>0, n 1: x f(x)=ex >f(0)=0 n x Điều chứng tỏ ex , x>0, n n Chó ý: 1) Víi toán này, ta xét hàm số g(x)=ex x nửa khoảng 0; + , với chó n ý r»ng g(0) = 2) NÕu kh«ng sử dụng tính liên tục hàm số, ta kết luận hàm số đồng biến khoảng (0; +) Khi ch-a thể có bất đẳng thøc f(x) > f(0) víi x > VÝ dơ 2: Chứng minh với số nguyên d-ơng n ≥ ta ®Ịu cã: nn+1 > (n+1)n (ĐH An ninh Khối A - Năm 2000) Lêi gi¶i nn+1 > (n+1)n (n+1)lnn>nln(n+1) (1) n+1 n ln(n+1) ln n (2) x víi x lnx ln x x x ln x (Do x 3) Ta cã: f / (x) ln x ln x VËy f(x) ®ång biến nên f(n+1)>f(n) (2): đpcm Xét hàm số f(x)= VÝ dơ : Víi 00, p-b>0 p-c>0 2) Các bất đẳng thức khác: 2S ...2 Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm : Với n số không âm a1 , a , , a n (n 2), ta cã : a1 a a n n a1a a n n Đẳng thức xảy a1 a a n III BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI Bất đẳng