Bài tập Giải tích 12 Các phép biến hình trong mặt phẳng Nguyễn Hữu Biển24222

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 1: PHÉP TỊNH TIẾN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo v = (a;b) phép biến hình, biến điểm M thành M’ cho MM ' = v Ký hiệu: Tv ( M ) = M ' Tv : M → M ' v Tính chất ĐỊNH LÝ Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N thành hai điểm M’ N’ M′N′=MN ĐỊNH LÝ Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khơng làm thay đổi thứ tự ba điểm HỆ QUẢ - Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với - Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng với - Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác - Phép tịnh tiến biến đường trịn thành đường trịn - Phép tịnh tiến biến góc thành góc … Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho v = ( a;b ) ;M ( x;y ) ;M ' ( x';y ') Khi phép tịnh tiến : Tv ( M ) = M ' có biểu thức tọa x ' = x + a độ :  y ' = y + b y' M' b y O M a x II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Xác định ảnh điểm hình qua phép tịnh tiến tính tốn Bài 1: v = ( −1;2); A(3;5);B( −1;1);d : x − 2y + = Tìm tọa độ điểm A’, B’ theo thứ tự ảnh A, B qua phép tịnh tiến v Tìm tọa độ điểm C cho A ảnh C qua phép tịnh tiến v Tìm phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến v Hướng dẫn:  x A' = x A + x v = − = Tv (A) = A ' ⇒  ⇒ A '(2;7)  y A' = y A + y v = + = Tương tự có : B’(-2;3) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com x' T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG  = xC −  xC =  x A = xC + x v Tv (C) = A ⇒  ⇔ ⇔ ⇒ C(4;3) = + = + = y y y y y C C   C v  A x ' = x −  x = x'+ Cách 1: Giả sử M(x;y) ∈ d, Tv (M) = M '(x ';y ') ∈ d' ⇒  ⇒  y ' = y +  y = y '− ⇒ M(x'+ 1;y '− 2) ∈ d ⇒ x'− 2y '+ = Vậy : d’ có phương trình: x - 2y + = Cách 2: Tv (d) = d ' ⇒ d'/ /d ⇒ d ' : x − 2y + c =  x M' = −3 − = −4 + Chọn M(-3;0) ∈ d ⇒ Tv (M) = M ' ⇒  ⇒ M '( −4;2) yM' = + = + M ' ∈ d ' ⇒ −4 − 2.2 + c = ⇔ c = ⇒ d' : x − 2y + = Bài 2: d cắt Ox A(-4;0), cắt Oy B(0;5) Hãy viết phương trình tham số d’ ảnh d qua phép tinh tiến v = (5;1) Hướng dẫn: + Chọn U d = AB = (4;5) + Vì Tv (d) = d ' ⇒ U d' = U d = (4;5)  x A' = x A + = + Gọi Tv (A) = A ' ⇒  ⇒ A '(1;1)  y A' = y A + =  x = + 4t ∈ + Vì A ∈ d ⇒ A ' ∈ d ' ⇒ d ' :   y = + 5t Bài 3: 2 Cho (C) : ( x − ) + ( y − 1) = Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép tịnh tiến v = ( −2;2) Cho (C) : x + y − 2x + 4y − = Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép tịnh tiến v = ( −2;3) Hướng dẫn: Cách 1: + (C) có tâm I(2;1); bán kính R = + Tv (C) = C' ⇒ R C' = R =  x I' = x I + ( −2) = + Tv (I) = I ' ⇒  ⇒ I '(0;3)  y I' = y I + = + Vậy (C') : ( x − ) + ( y − ) = Cách 2: 2  x' = x −  x = x'+ + Gọi Tv ( M(x;y) ∈ (C) ) = M '(x ';y ') ∈ (C') ⇒  ⇒ ⇒ M(x'+ 2;y '− 2)  y ' = y +  y = y '− + M ∈ (C) ⇒ x'2 + ( y '− ) = ⇒ (C') : x + ( y − ) = 2 Tương tự ta có (C') : ( x + 1) + ( y − 1) = 2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 4: Cho A(2;3);B(1;1); v = (3;1) Tìm tọa độ A’, B’ tương ứng ảnh A, B qua Tv Tính độ dài vectơ AB; A 'B' Hướng dẫn:  x A' = x A + = + = + Tv (A) = A ' ⇒  ⇒ A'(5;4)  y A' = y A + = + = + Tương tự ta có: B’(4;2) + AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2 = ⇒ A 'B ' = AB = (tính chất phép tịnh tiến) Bài 5: Cho U = (1;3);V = (2;1);M(x;y) Tìm tọa độ M1 ảnh M qua TU Tìm tọa độ M ' ảnh M1 qua TV Tính tọa độ vectơ MM ' So sánh MM ' vectơ t = u + v Hướng dẫn:  x M1 = x M + = x + 1  ⇒ M (x + 1;y + 3)  y M1 = y M + = y +  x M ' = xM1 + = x +  ⇒ M '(x + 3;y + 4)  y M ' = y M1 + = y +  MM ' = (3;4) ⇒ MM ' = t Có   t = u + v = (3;4) Bài 6: Giải toán sau cách sử dụng phép tịnh tiến: “Xác định tọa độ đỉnh C D hình bình hành ABCD, biết A(-1;0); B(0;4) giao điểm đường chéo I(1;1)” Hướng dẫn: A(-1;0) B(0;4)  xC = x I + (xI − x A ) = ⇒ C(3;2) + Ta có : TAI (I) = C ⇒   y C = y I + (y I − y A ) = + Tương tự: D(2;-2) I(1;1) D C Bài 7: Cho v = ( −2;1);d : 2x − 3y + = 0;d1 : 2x − 3y − = 1) Viết phương trình d ' = Tv (d) 2) Tìm tọa độ có phương vng góc với d để d1 = T (d) Hướng dẫn: 1) Đáp số: d’: 2x - 3y + 10 = 2) d Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Vì có phương vng góc với d nên = k.nd = ( k.2;k.( −3) )  x M ' = x M + x = 2k + Chọn M(0;1) ∈ d ⇒ T (M) = M ' ∈ d1 ⇒  ⇒ M '(2k; −3k + 1)  y M ' = y M + y = −3k +  16 24  + M ' ∈ d1 ⇒ 2.(2k) − 3.( −3k + 1) − = ⇔ k = ⇒ =  ;−  13  13 13  Bài 8: Cho (d): 3x - y - = Tìm phép tịnh tiến theo phương song song với trục Ox biến d thành d’ qua gốc tọa độ Hãy viết phương trình d’ Hướng dẫn: + Giả sử Tv (d) = d ' ⇒ d'/ /d ⇒ d ' : 3x − y + c = + Vì d’ qua gốc tọa độ ⇒ 3.0 − + c = ⇔ c = ⇒ d' : 3x − y = + Do v có phương song song với Ox ⇒ v = (a;0)  x M' = x M + x v = + a ⇒ M '(3 + a;0) + Chọn M(3;0) ∈ d ⇒ Tv (M) = M ' ∈ d ' ⇒   y M' = y M + y v = + + M ' ∈ d ' ⇒ 3.(3 + a) − = ⇔ a = −3 ⇒ v = ( −3;0) Vậy phép tịnh tiến cần tìm Tv với v = ( −3;0) Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = Gọi T phép tịnh tiến theo vectơ u = (m; n) (P’) ảnh (P) qua phép tinh tiến Hãy viết phương trình (P’) Hướng dẫn  x ' = x + m  x = x '− m + Gọi M(x; y) ∈ (P), M '(x '; y ') = Tu (M) ⇒  ⇒ ⇒ M(x '− m; y '− n) y ' = y + n  y = y '− n + Mà M ∈ (P) ⇒ y '− n = a(x '− m) ⇒ y ' = '2 − 2amx '+ am + n + Mặt khác ta có M '(x '; y ') ∈ (P ') ⇒ (P ') : y = − 2amx + am + n Bài 10: Cho đường thẳng ∆ : 6x + 2y − = Tìm vec tơ u ≠ để ∆ = Tu (∆ ) Hướng dẫn + Ta có VTCP đường thẳng ∆ U ∆ = (2; −6) = 2(1; −3) + Do ∆ = Tu (∆ ) ⇒ u phương với U ∆ ⇒ chọn u = (1; −3) Bài 11: Cho A(−5; 2), C(−1; 0) Biết B = Tu (A), C = Tv (B) Tìm mối quan hệ u v để thực phép tịnh tiến biến đổi A thành C Hướng dẫn + Ta có Tu (A) = B ⇒ AB = u, Tv (B) = C ⇒ BC = v ⇒ Tu + v (A) = C ⇒ AC = u + v = (4; −2) B u v A u +v C Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 12: Cho điểm K(1; 2), M(3; −1), N(2; −3) vec tơ u = (2;3), v = (−1; 2) Tìm ảnh K, M, N qua phép tịnh tiến Tu Tv Hướng dẫn + Theo cách làm Bài 11, ta có: K ' = Tu + v (K) ⇒ K '(2; 7) Tương tự: M '(4; 4), N '(3; 2) Bài 13: Cho ∆ABC, A(3;0), B(−2; 4), C(−4;5) G trọng tâm ∆ABC phép tịnh tiến theo vectơ u ≠ biến A thành G Tìm G ' = Tu (G) Hướng dẫn A + Ta tính : G(−1;3) ⇒ TAG = ( −4;3) (A) = G ⇒ TAG =( −4;3) (G) = G ' ⇒ G '(−5; 6) G B C Bài 14: Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3) = 4, (C ') : x + y − 10x + 4y + 25 = Có hay không phép tịnh tiến vec tơ u biến (C) thành (C’) Hướng dẫn + Ta thấy (C) có tâm I(1;-3) bán kính R = 2, (C’) có tâm I’(5;-2) bán kính R’ = R = nên ta có phép tịnh tiến theo vec tơ u = II ' = (4;1) biến (C) thành (C’) Bài 15: Cho hình bình hành OABC với A(−2;1), B ∈ ∆ : 2x − y − = Tìm quỹ tích đỉnh C (biết O gốc tọa độ) Hướng dẫn + Do OABC hình bình hành nên TAO =(2;−1) (B) = C , mà quỹ tích B A(-2;1) đường thẳng ∆ bên quỹ tích C đường thẳng ∆ ' = TAO =(2;−1) (∆) B + Ta tìm ∆ ' : 2x − y − 10 = , quỹ tích C đường thẳng có O(0;0) phương trình 2x − y − 10 = DẠNG 2: Một số tốn suy luận quỹ tích #:2x - y - = C Bài 1: Cho U1 ;U ;TU1 (M) = M ;TU2 (M ) = M ' Tìm v để Tv (M) = M ' Hướng dẫn: Theo đề bài, ta có: + TU1 (M) = M ⇒ U = MM + TU2 (M ) = M ' ⇒ U = M 1M ' M1 U2 U1 M V=U1+U2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com M' T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + TV (M) = M ' ⇒ V = MM ' = MM + M 1M ' = U1 + U Vậ y V = U + U Bài 2: Cho d / /d ' Hãy phép tịnh tiến biến d thành d’ Hỏi có phép tịnh tiến ? Hướng dẫn: d d' + Chọn điểm cố định A ∈ d; A ' ∈ d ' + Xét điểm M tùy ý d Giả sử : A M T ' (M) = M ' ⇒ MM ' = + Do đó: T ' A' M' ' ⇒ MA = M ' A ' ⇒ MA / /M ' A ' ⇒ M ' ∈ d ' (d) = d ' Có vơ số phép tịnh tiến biến d thành d’ Bài 3: Cho đường tròn (O;R) (O’;R) Hãy phép tịnh tiến biến (O;R) thành (O’;R) Hướng dẫn: M + Đó phép tịnh tiến T ' Chứng minh: Lấy M ∈ (O;R) Giả sử T ' (M) = M ' ⇒ MM ' = M' ' ⇒ OM = O 'M ' (quy tắc O' O hình bình hành) ⇒ O'M ' = OM = R ⇒ M ' ∈ (O';R) Bài 4: ∆ABC , G trọng tâm Xác định ảnh ∆ABC qua phép tịnh tiến AG Xác định điểm D cho TAG (D) = A Hướng dẫn: + Ta có: TAG (A) = A ' ⇒ ' = AG ⇒ A ' ≡ G + TAG (B) = B' ⇒ ' = AG ⇒ + TAG (C) = C' ⇒ ' = AG ⇒ CC'G hình bình hành A 'B 'B hình bình hành Vậy TAG ( ∆ABC) = ∆A 'B'C' G A' + Xác định D: TAG (D) = A ⇒ DA = AG ⇒ A trung điểm DG B C G D A B' C' Bài 5: Cho điểm B, C cố định (O;R) A thay đổi đường trịn Chứng minh trực tâm H ∆ABC nằm đường tròn cố định Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hướng dẫn: A D O H B + Kẻ đường kính BD ⇒ ADCH hình bình hành (Vì AD // CD vng góc AB; AH // DC vng góc BC) ⇒ AH = DC ⇒ H = TDC (A) Mà A thay đổi đường tròn (O;R) ⇒ H thay đổi nằm đường tròn (O’;R) ảnh đường tròn (O;R) qua TDC C Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, điểm A, B cố định, tâm I di động đường trịn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh DC Hướng dẫn B K C I M A + Gọi K trung điểm cạnh AB ⇒ K cố định + Ta có TKI (I) = M , mà quỹ tích I đường trịn (C), quỹ tích M ∈ (C ') = TKI (C) D (C) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép đối xứng trục d phép biến hình biến điểm M thành M’ cho d đường trung trực MM’ Ký hiệu: Đd(M) = M’ * Nhận xét: + Đd(M) = M’ ⇒ Đd(M’) = M + M ∈ d ⇒ Đd(M) = M Biếu thức tọa độ phép đối xứng trục qua Ox, Oy y  x0 ' = − x0 + ĐOy(M) = M’ có biểu thức tọa độ:  y0 ' = y0 M' M y0 -x0 x O x0 y  x ' = x0 + ĐOx(M) = M’ có biểu thức tọa độ:  y0 ' = −y0 y0 M x0 O -y0 x M' Tính chất phép đối xứng trục Tính chất Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm Tính chất Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Trục đối xứng hình Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng qua d biến H thành Khi đó, ta nói H hình có trục đối xứng II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép đối xứng trục tính tốn Bài 1: Cho điểm M(1;3) Tìm tọa độ M’ ảnh M qua phép đối xứng trục Oy, tìm tọa độ điểm M’’ ảnh M’ qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG  x ' = − x = −1 + ĐOy(M) = M’ ⇒  ⇒ M '( −1;3) y ' = y =  x '' = x' = −1 + ĐOx(M’) = M’’ ⇒  ⇒ M ''( −1; −3)  y '' = − y ' = −3 Bài 2: Cho đường tròn (C) : ( x − 1) + ( y − ) = Viết phương trình đường trịn (C') ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn: + Goi I; R tâm bán kính đường trịn (C); gọi I’;R’ tâm bán kính đường trịn (C’) Khi ta có R’ = R = I’ = ĐOx(I) + Dễ dàng tìm I’(1;-2) từ có phương trình đường trịn (C’) là: 2 (C') : ( x − 1) + ( y + ) = 2 Bài 3: Cho d : x−1 y + = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép đối xứng trục Oy Cho M(-3;2); ∆ : x + 3y − = 0;(C) : ( x + ) + ( y + ) = Tìm ảnh M; ∆ ; (C) qua Đa, a: x - 2y + = Cho d: x - 5y + = 0; d’: 5x - y - 13 = Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’ Cho d: x - 2y + = 0; d’: x - 2y + = Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’ Hướng dẫn: x ' = −x  x = − x' + Gọi M(x;y) ∈ d , ĐOy(M) = M’ ⇒  ⇔ ⇒ M( − x';y ') y ' = y y = y ' − x '− y '+ + M∈d ⇒ = ⇔ 3x '+ 2y '+ = + Vậy d’: 3x + 2y + = Ý 1: a:x - 2y + = + Gọi M’ = Đa(M) ⇒ a đường trung trực MM’ + Đường thẳng MM’ qua M vng góc với a ⇒ MM ' : 2x + y + = 2 + Gọi H = MM '∩ a ⇒ H ( −2;0 ) + H trung điểm MM’ ⇒ M '( −1; −2) M(-3;2) H M' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Ý 2: a:x - 2y + =  8 + Lấy A(8;0);B  0;  ∈ ∆  3 + Gọi A’ = Đa(A); B’ = Đa(B) ⇒ A ', B ' + Gọi ∆ ' = Đa( ∆ ) ⇒ ∆ ' đường thẳng qua A’; B’ ⇒ ∆ ' : 3x − y − = Ý 3: a:x - 2y + = (C) I(-3;-2) I' # #' A A' I B B' K + Giả sử (C’) = Đa(C), đường trịn (C) (C’) bán kính, tâm I’ đường trịn (C’) tương ứng ảnh tâm I đường tròn (C) qua phép đối xứng trục a + Từ ta tìm 2 21   2  21   I '  − ;  ⇒ (C') :  x +  +  y −  =   5  5  + Ta thấy d; d’ không song song, trục đối xứng ∆ phép đối xứng trục biến d thành d’ phân giác d d’ có phương trình: x − 5y + 5x − y − 13 ∆1 : x + y − = = ⇔ Vậ y 2 2 ∆ : x − y − =  + ( −5 ) + ( −1 ) #2 Đ ∆ (d) = d’; Đ ∆ (d) = d’ d d' + Ta thấy d // d’ , trục đối d xứng ∆ phép đối xứng trục biến d thành d’ đường thẳng song song cách d; d’ có phương trình: 5+ ∆ : x − 2y + = Vậy Đ ∆ (d) = d’ #1 d' DẠNG 2: Một số tốn suy luận quỹ tích Bài 1: Cho A, B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm d điểm M cho tổng ( MA + MB ) Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG B A M d M' A' + Gọi Đd(A) = A’ ⇒ MA = MA ' ⇒ MA + MB = MA '+ MB ≥ A 'B + ( MA + MB )min = A 'B ≡ ∩ Bài 2: Qua phép đối xứng trục d: + Những điểm biến thành nó? + Những đường thẳng biến thành nó? + Những đường trịn biến thành nó? Hướng dẫn: + Những điểm nằm trục đối xứng d biến thành + Những đường thẳng vng góc với trục đối xứng d trùng với d biến thành + Những đường trịn có tâm nằm trục đối xứng d biến thành Bài 3: Tìm trục đối xứng hình sau: Hình gồm đường trịn khơng đồng tâm có bán kính Hình gồm đường trịn khơng đồng tâm có bán kính khác Đoạn thẳng AB Đường thẳng d Hướng dẫn: Có trục đối xứng: + Đường nối tâm + Đường trung trực đoạn thẳng nối tâm Có trục đối xứng: Là đường nối tâm Có trục đối xứng: + Đường trung trực đoạn AB + Đường thẳng chứa đoạnAB Có vơ số trục đối xứng: + Những đường thẳng vng góc với d + Chính đường thẳng d Bài 4: Cho đường tròn (O;R) ; (O’;R’) đường thẳng d Hãy xác định điểm M M’ nằm đường tròn cho d trung trực MM’ Hướng dẫn: d M M' H O O'' O' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Gọi (O’’) ảnh đường tròn (O) qua Đd ∩ + Lấy M (O), goi M’ = Đd(M) ⇒ M ' ∈ (O ''); ⇒ Số nghiệm hình số giao điểm (O’) (O’’) Bài 5: Cho điểm B; C phân biệt cố định đường tròn (O); A điểm di động (O) Tìm quỹ tích trực tâm H ∆ABC Hướng dẫn: A + Gọi H ' = AH ∩ (O) ⇒ A1 = C1 (cùng phụ với ABC ); sdBH ' ⇒ C1 = C2 ⇒ ∆HCH ' cân C ⇒ BC trung trực HH’ ⇒ H’ = ĐBC(H) ảnh (O) qua ĐBC + Do ! ∈ ⇒ !∈ A1 = C = O H B C H' KIẾN THỨC MỞ RỘNG : Biểu thức tọa độ phép đối xứng trục Nếu ∆ : " + By + C = 0;M(x ;y );M '(x ';y ') = # ∆ (M) Khi ta có: f (x ;y )  A  x ' = x0 − n ∆  $ %& ' "() "* )*   y ' = y − f (x0 ;y ) B  n ∆  Ví dụ minh họa: Cho điểm M(1;2) ∆ : 3x + 4y − = Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua ∆ ( ) ( ) 3.1 + 4.2 −   x ' = − 32 + 42 = −  6 ⇒ M ' − ;−  + Ta có điểm M’ có tọa độ :   5  y ' = − 3.1 + 4.2 − = − 2  +4 Nếu d1 : A1x + B1y + C1 = 0; ∆ : " + By + C = Khi d đường thẳng đối xứng với d1 qua ∆ có phương trình: nd n∆ d : 2 f (x;y) − f1 (x;y) = $ %&+ '1 (x;y) = A1 x + B1 y + C1 ;f (x;y) = Ax + By + C) n∆ ( ) Ví dụ 1: Hãy tìm đường thẳng d1 ' đối xứng với d1 : 5x + y − 14 = d ' đối xứng với d : 5x + 3y + 10 = qua đường thẳng ∆ : 5x + 3y − = + Đường thẳng d1 ' có phương trình là: ( 5;1) ( 5;3 ) 5x + 3y − − 5x + y − 14 = ( ) ( ) ( 5;3 ) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG d1 ' : 55x + 67y + 126 = + Đường thẳng d ' có phương trình là: ( 5;3 ) ( 5;3 ) 5x + 3y − − 5x + 3y + 10 = ( ) ( ) ( 5;3 ) d ' : 5x + 3y − 18 = Ví dụ 2: Lập phương trình cạnh ∆ABC , biết B(2;-1), đường cao đường phân giác qua đỉnh A C có phương trình: d1 : 3x − 4y + 27 = 0;d : x + 2y − = A + Đường thẳng BC qua B vng góc d1 ⇒ BC : 4x + 3y − = + CA đối xứng với BC qua ( 4;3 ) ( 1;2 ) x + 2y − − 4x + 3y − = d ⇒ CA : ( ) ( ) ( 1;2 ) d :x + 2y - = D ⇒ CA : y − = + A = CA ∩ d1 ⇒ A( −5;3) ⇒ AB : 4x + 7y − = B(2;-1) H C d1:3x - 4y + 27 = BÀI HỌC 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm E Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành điểm M’ cho EM ' = − EM gọi phép đối xứng tâm E Ký hiệu: ĐE(M) = M’ M E M' N Tính chất Định lý 1:  M ' N ' = MN Nếu ĐE(M) = M’; ĐE(N) = N’   M ' N ' = − MN Định lý 2: Nếu điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự qua phép đối tâm biến thành điểm M’, N’, P’ tương ứng thẳng hàng theo thứ tự M M' E N P N' E M' M * Nhận xét: N' P' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm Trong hệ tọa độ Oxy, cho E(a;b), M(x ;y ) ĐE(M) = M’(x’0;y’0) có biểu thức tọa độ là:  x '0 = 2a − x   y '0 = 2a − y M (x0;y0) E (a;b) M' (x'0;y'0) II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép đối xứng tâm tính tốn Bài 1: Cho A(-1;3); d: x - 2y + = Tìm ảnh A d qua phép đối xứng tâm O Hướng dẫn: Ý 1: A’ = ĐO(A) ⇒ A '(1; −3) x ' = −x x = −x ' ⇔ ⇒ M( − x '; − y ') Ý 2: Lấy M(x;y) ∈ d ⇒ ĐO(M) = M’ có tọa độ :  y ' = −y y = −y ' + M ∈ d ⇒ ( − x ') − 2.( − y ') + = ⇔ x'− 2y '− = + Vậy d’: x - 2y - = Bài 2: 2 Cho đường tròn (C) : ( x + ) + ( y − 1) = Viết phương trình đường trịn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0) Cho I(2;-3); d: 3x + 2y - = Viết phương trình d’ = ĐI(d) Cho I(1;2); d: 3x - y + = 0; (C) : x + y + 2x − 6y + = Viết phương trình ảnh d (C) qua ĐI Hướng dẫn:  x' = − x  x = − x' ĐO ( M ( x;y ) ∈ ( C ) ) = M ' ( x';y ') ∈ ( C' ) ⇒  ⇔ ⇒ M ( − x'; − y ') y ' = −y y = −y ' + M ∈ ( C ) ⇒ ( − x '+ ) + ( − y '− 1) = ⇔ ( x'− ) + ( y '+ 1) = 2 2 + Vậy đường tròn ( C') : ( x − ) + ( y + 1) = 2 x ' = − x  x = − x' Tương tự có  ⇔ ⇒ M(4 − x'; −6 − y ')  y ' = −6 − y  y = −6 − y ' + M ∈ d ⇒ 3x'+ 2y '+ = ⇒ d ' : 3x + 2y + = x ' = − x x = − x ' Tương tự có  ⇔ ⇒ M(2 − x';4 − y ') y ' = − y y = − y ' + M ∈ d ⇒ 3x'− y '− 11 = ⇒ d ' : 3x − y − 11 = + M ∈ ( C ) ⇒ x'2 + y '2 − 6x'− 2y '+ 30 = ⇒ ( C') : x2 + y − 6x − 2y + 30 = Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 3: (ĐHKA-2009): Trong hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6;2); M(1;5) nằm đường thẳng AB Trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Hướng dẫn: A M(1;5) E' B + Gọi ĐI(M) = M’ ⇒ M '(11; −1) ∈ CD + E ∈ ∆ ⇒ E ( x;5 − x ) I(6;2) D M' E C #: x + y - = + IE ⊥ CD ⇒ IE.EM ' = (hoặc  x = ⇒ E(6; −1) IM '2 = IE + EM ) ⇒   x = ⇒ E(7; −2) + Gọi ĐI(E) = E’(6;5) với E(6;-1); ĐI(E) = E’(5;6) với E(7;-2) + Đường thẳng AB cần tìm qua M E’  AB : y − = ⇒  AB : x − 4y + 19 = Bài 4: Cho đường thẳng a: 2x + 3y + = 0; b: 2x - 3y - = 0; a’: 2x + 3y - = 0; b’: 2x - 3y + = Tìm phép đối xứng tâm ĐE thỏa mãn : a → a';b → b ' Hướng dẫn: b a b' + G ọi A 1    A = a ∩ b ⇒ A  0; −  ;A ' = a '∩ b' ⇒ A '  − ;2  2    E a' + ĐE thỏa mãn : a → a';b → b ' ⇔ A → A ' ⇔ E trung điểm  5 AA’ ⇔ E  − ;   6 (Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng biến giao điểm thành giao điểm) Bài 5: Cho hình bình hành ABCD tâm I(0;1); đường thẳng AB: x + y + = Viết phương trình đường thẳng CD Hướng dẫn: A' A M + Ta thấy M ( x;y ) ∈ AB , M’(x’;y’) = ĐI(M) ⇒ M ' ∈ CD I(0;1) x ' = −x x = −x ' ⇔ ⇒ M( − x';2 − y ') + Ta có:  y ' = − y y = − y ' D M' C + M ∈ AB ⇒ − x '+ (2 − y ') + = ⇔ x '+ y '− = ⇒ CD : x + y − = B Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 6: Cho đồ thị hàm số y = (C) Chứng minh (C) có tâm đối xứng gốc tọa độ O x Hướng dẫn: + Lấy M(x;y) ∈ (C) , gọi M '(x ';y ') = ĐO(M) từ lập phương trình (C’) = ĐO(C) có phương trình : y = x + Như qua phép đối xứng tâm O, (C) biến thành nên O tâm đối xứng (C) Bài 7: Chứng minh gốc tọa độ O tâm đối xứng (E) (H) có phương trình x2 y x2 y + = 1; − =1 a2 b2 a2 b Hướng dẫn: + Lấy M(x;y) ∈ (E);(H) , viết phương trình (E’), (H’) hình đối xứng (E) (H) qua O + Nhận thấy (E) ≡ (E');(H) ≡ (H ') (đpcm) Bài 8: Cho đường thẳng a : 3x − 4y − = 0;b : 3x − 4y − = Tìm tập hợp tâm đối xứng I ĐI(a) = b Hướng dẫn: a d b + Vì a // b ; ĐI(a) = b ⇒ I cách a b + Gọi I(x;y) 3x − 4y − 3x − 4y − ⇒ d(I;a) = d(I;b) ⇔ = 2 + ( −4 ) + ( −4 ) ⇔ 3x − 4y − = + Vậy tập hợp I đường thẳng d: 3x - 4y - = ( −5) + ( −1)    −3 =    Bài 9: Hình vng ABCD có tâm I(1;2) A, B nằm trục hồnh Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D Hướng dẫn: O A I' B x I(1;2) D C + Gọi I’ hình chiếu I lên Ox ⇒ I '(1;0) + Vì A, B ∈ " ⇒ A(a;0);B(b;0) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG a+b  =1  x I' = + Giải hệ:  tìm a, b Từ suy tọa độ A, B  IA.IB =  + Sử dụng công thức C D đối xứng A B qua I có tọa độ C, D Bài 10: Cho I(3;0); d1 : 2x − y − = 0;d : x + y + = Viết phương trình d qua I, cắt d1 ;d A1 ; A nhận I làm trung điểm Hướng dẫn: d1 + A1 ∈ d1 ⇒ A1 (a;2a − 2) d2 + I trung điểm A1 A ⇒ A ( − a;2 − 2a ) d + A ∈ d ⇒ a? ⇒ A1 + Đường thẳng d cần tìm qua I A1 A1 A2 I(3;0) Bài 11: Cho (P) : y = x Phép đối xứng tâm I(1;2) biến (P) thành (P’) có phương trình ? Hướng dẫn: x ' = − x x = − x ' ⇔ ⇒ M(2 − x';4 − y ') + Gọi M(x;y) ∈ (P) M’ = ĐI(M) ⇒  y ' = − y y = − y ' + M ∈ (P) ⇒ y ' = − x'2 + 4x' ⇒ (P ') : y = − x + 4x DẠNG 2: Một số toán suy luận quỹ tích Bài 1: Trong hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình có tâm đối xứng ? Hướng dẫn: + Tam giác khơng có tâm đối xứng + Hình bình hành có tâm đối xứng giao điểm đường chéo + Ngũ giác khơng có tâm đối xứng + Lục giác có tâm đối xứng tâm Bài 2: Qua phép đối xứng tâm O: + Những điểm biến thành nó? + Những đường thẳng biến thành nó? + Những đường trịn biến thành nó? Hướng dẫn: Qua phép đối xứng tâm O: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Tâm O biến thành + Những đường thẳng qua tâm O biến thành + Những đường trịn tâm O biến thành Bài 3: Hãy tâm đối xứng hình sau đây: + Đường thẳng d + Hình tạo hai đường thẳng song song d d’ Hướng dẫn: + Mỗi điểm O nằm d tâm đối xứng d + Mỗi điểm O nằm đường thẳng a song song cách hai đường thẳng cho tâm đối xứng hình tạo đường thẳng song song Bài 4: Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh ghi theo chiều thuận) Gọi A ' = ĐO(A); I = CD ∩ ' H trực tâm ∆ACD Tìm ảnh A’ qua ĐI ? Hướng dẫn: B + ∆ACD cân A ⇒ ' trung trực CD + Vì A’ = ĐO(A) ⇒ A ' ∈ (O) + Chứng minh DHCA’ hình bình hành, gọi I = DC ∩ HA ' ⇒ I trung điểm HA’ Vậy H = ĐI(A’) C O A H I A' D E Bài 5: ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R) cố định A di chuyển đường trịn Tìm quỹ tích trực tâm H trọng tâm G ∆ABC Hướng dẫn: Ý 1: A Gọi A’ = ĐO(A) ⇒ A' ∈ (O;R) ⇒ BHCA ' hình H O C  BH / /A 'C ,,, ⊥ ) bình hành (Do  ,,, ⊥  !-+ Gọi I giao điểm đường chéo hình bình hành BHCA’ ⇒ A’ = ĐI(H) + Vậy A di chuyển đường trịn (O;R) A’ di chuyển (O;R), mà H ảnh A’ qua phép đối xứng tâm I ⇒ di chuyển đường trịn (O’;R), O’ = ĐI(O) I B A' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Ý 2: + Gọi I trung điểm BC K điểm OI cho IK = IO IG + G trọng tâm ∆ABC ⇒ = O IA KG 1 R ⇒ KG / /OA ⇒ = ⇒ GK = OA = K OA 3 + Do O; BC cố định nên K cố định Vậy G nằm đường B I  R tròn  K;  3  Bài 6: Cho điểm A, B cố định AB = Tìm tập hợp điểm M’ cho MA + MB = MM ' , biết MA + MB = Hướng dẫn: A G C M + Gọi O trung điểm AB ⇒ O cố định (Do AB cố định) MA + MB AB 2 ⇒ MO = − AB 2 2 A B ⇒ MA + MB = 2.MO + ⇒ MO = O Vậy quỹ tích M đường trịn (C) có tâm O, bán kính (1) M' + Có MA + MB = 2.MO , mà theo đề MA + MB = MM ' ⇒ MM ' = 2.MO ⇒ O trung điểm MM’ ⇒ M’ = ĐO(M) Từ (1) ⇒ quỹ tích M’ đường trịn (C’) = ĐO((C)) Do đường trịn (C) có tâm O tâm đối xứng ⇒ ( C ) ≡ ( C') ⇒ quỹ tích M’ đường trịn tâm O trung điểm AB, bán kính Bài 7: ∆ABC ; AM CN trung tuyến Xác định dạng ∆ABC , biết BAM = BCN = 300 Hướng dẫn: (Cách giải THCS) A + Do BAM = BCN = 300 nên tứ giác ACMN nội tiếp đường tròn (O;R) 300 O1 ⇒ MON = 600 (quan hệ góc nội tiếp góc tâm) N O B + ∆ABM vng M, MAB = 300 ⇒ AB = 2BM + Tương tự ta có BC = 2BN + Mà BC = 2BM; AB = 2BN ⇒ BC = BA 300 M C O2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Có ABC = sdAC − sdMN 1800 − 600 = = 600 (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) Vậy 2 ∆ABC Cách giải dùng đối xứng trục: + #N : O → O1 / OA = O1B ⇒ # N : OA → O1B ⇒  OA / /O1B OC = O B → ⇒ #M : OC → O B ⇒  OC / /O 2B → + #M : O → O / + Mà A, O, C thẳng hàng nên O1 ;B;O thẳng hàng O trung điểm AC nên B trung điểm O1 O + ∆ O1 ⇒ O1O = 2R ⇒ ∆ABCδ∆ O ⇒ ∆ABC Bài 8: (Tương tự 5) ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R); BC = R cố định A thay đổi đường trịn Tìm quỹ tích trực tâm H ∆ABC Hướng dẫn: A + Có BC C' sin BAC O H B' I B C = 2R ⇒ sin BAC = ⇒ BAC = 600 ⇒ BOC = 1200 + Xét phép đối xứng tâm I (I trung điểm BC) #I : H → H ' ⇒ IH = IH '  ⇒ BHCH ' hình bình B → C ⇒ IB = IC  hành BH 'C = BHC = 1800 − A (Do BHC = B' HC' (đối đỉnh), H' mà B' HC' = 1800 − A (do tứ giác AB’HC’ nội tiếp)) ⇒ BH 'C + A = 1800 ⇒ ABH’C nội tiếp ⇒ H ' ∈ (O;R) + Vì #I : H ' → H; ( → ( ⇒ Quỹ tích H đường tròn (O’;R) đối xứng với (O;R) qua phép đối xứng tâm I Bài 9: Cho A nằm xOy Tìm B ∈ ";C ∈ Oy cho A trung điểm BC Hướng dẫn: x B Cách 1: + Xét # A : O → O ';tia " → " + Dựng C = O' x'∩ Oy + Khi # A (C) Bài tốn có nghiệm hình O’x’ cắt Oy Cách 2: O' A O C y x' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ThuVienDeThi.com ... - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép đối xứng trục d phép biến hình biến điểm M thành M’ cho d đường... 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Tâm O biến thành + Những đường thẳng qua tâm O biến thành + Những đường trịn tâm O biến thành Bài 3: Hãy tâm đối xứng hình sau đây: + Đường thẳng d + Hình. .. Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến