Nguy n Phú Khánh – ðà L t http://www.toanthpt.net GIÁ TR L N NH T VÀ NH NH T C A HÀM S TĨM T T LÝ THUY T • Hàm s • Hàm s kho,ng ( ) xác đ"nh có liên t(c ( ) xác đ"nh có liên t(c đo n n-a ño n ( ) ( ) xác ñ"nh kho,ng ( ) ) ( ( ) xác đ"nh • Hàm s có th khơng đ t giá tr" l0n nh1t ho2c nh3 nh1t m4t t5p h6p s th7c cho trư0c • • ∈ ∈ • = ( )= ( )= ∈ ∈ { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} ( )≤ ( )= ( )≥ ( )= ∀ ∈ ( ) ⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ • = ⇔ ∈ ∃ ∈ Ví d( 1: Tìm giá tr" l0n nh1t nh3 nh1t c>a hàm s : = + ∈ ( ) ( ) ( )= + − Gi,i : ( )= + Hàm s ñã cho xác ñ"nh ℝ Ta có ( )= + = ( ) + ≤ ≤ ⇒ ⇒ ≥− ≥− ( ) ( )= = ( )= + ⇒ ( )= ≥ − = = ≥ ( )= ( )= ≤ = = π + ( )≤ π π − Hàm s ñã cho xác ñ"nh ño n − ( )= = − ∈ ℝ , ta có V0i mAi Ta có = − − − = − − − ⇔ ∈ − ( ) = − − ∈ − ( ) ) < ⇔ − − − = ⇔ ∈ − ( ThuVienDeThi.com < = < < ⇔ = ⇔ = Nguy n Phú Khánh – ðà L t http://www.toanthpt.net ( ) ño n B,ng biEn thiên c>a − − ( ) ( ) − + − TF b,ng biEn thiên , ta ñư6c ∈ − ( )= = ∈ − Ví d( 2: Tìm giá tr" l0n nh1t nh3 nh1t c>a hàm s : = + + ( ) ( )= ( )=− =− π ño n − π − Gi,i : ( )= + + = − + Hàm s ñã cho xác ñ"nh ℝ ð2t = ≤ ≤ ( )= Xét hàm s ∈ ( )= − ∈ ( ) ( )= ⇔ = = ( )= ( )= ( )= ∈ − + ( )= ( )= = ∈ ( )= π ño n − π π Hàm s ñã cho xác ñ"nh ño n − π ( )= − ( )= Ta có : − − π π − = − + V5y π ∈ − π ( )= Ví d( 3:Cho parabol π a hình tr( cho t n kim lo i nh1t Gi,i : GAi Lư6ng kim lo i đ làm h4p bUng diVn tích tồn phWn c>a h4p : ( ) S7 biEn thiên c>a π − ( )= π = π Ví d( : Chu vi c>a m4t tam giác ( )= ( − )( − )( − − + − )( ( )= − π + π ⇔ = ( ) có th tích − )= ⇔ − V5y : π + − + < = ⇒ GAi = ( )⇒ = − < = DiVn tích tam giác l0n ( ) diVn tích c>a m,nh cáctơng Tìm Gi,i: = = = ( ) nh3 nh1t Th tích hình h4p > π Ví d( 6:M4t h4p khơng nLp đư6c làm tF m4t m,nh cáctơng H4p có đáy hình vu4ng c nh cho π π = + , ta có ( ) đNi d1u tF dương sang âm nên hàm s ( ) ñ t ñi.m c7c ñ i t i nh1t m_i c nh l i dài ( ) Khi diVn tích l0n nh1t : ( ) = ñưSng cao = ( ) , ñ4 dài c>a m4t c nh tam giác ( ) Tìm hai c nh )= ( − ( )= ( )= l i c>a tam giác cho tam giác có diVn tích l0n nh1t Gi,i : GAi m4t c nh l i c>a tam giác , c nh l i th[ hai DiVn tích tam giác : (theo cơng th[c hêrơng) ( )= hiTu cao c>a h4p ( ) ñ t ñi.m c7c ti.u t i ( ) ñNi d1u tF âm sang dương nên hàm s = cho trư0c Tìm bán kính đáy =π bán kính đáy ð h4p kim lo i hình tr( có th tích =− > ThuVienDeThi.com ( ), ( ) Nguy n Phú Khánh – ðà L t http://www.toanthpt.net ( )= DiVn tích c>a m,nh cáctơng dùng làm hình h4p : ( ) Ta có = − = ) − ( ) kho,ng ( B,ng biEn thiên c>a + > ( )= > +∞ ⇔ = ) +∞ ( ) ( ) V5y ( = ( ) ñ t giá tr" nh3 nh1t > cho t i Bài tốn trc thành tìm + − + ( ) ( ) = = Ví d( 7: Cho m4t tam giác đTu c nh NgưSi ta d7ng m4t hình che nh5t có c nh nUm c nh , hai đfnh theo th[ t7 nUm hai c nh c>a tam giác Xác đ"nh v" trí đi.m cho hình che nh5t có diVn tích l0n nh1t tìm giá tr" l0n nh1t Gi,i : ð2t = < < ⇒ = − = có Trong tam giác vng DiVn tích hình che nh5t + B,ng biEn thiên c>a ( ) + ∈ − ⇒ ( )= Bài tốn quy vT : Tìm giá tr" l0n nh1t c>a ( )=− = = = ( )=( − ( )= ( ) kho,ng ( = ) − ∈ ) ⇔ = − ( ) V5y diVn tích hình che nh5t l0n nh1t = Ví d( 8: Khi ni cá thí nghiVm hh ,m4t nhà sinh hAc th1y rUng : NEu m_i đơn v" diVn tích c>a m2t hh có cá trung bình m_i cá sau v( cân n2ng = − H3i ph,i th, ( ) ( ) cá m4t ñơn v" diVn tích c>a m2t hh đ sau m4t v( thu ho ch ñư6c nhiTu nh1t ? ThuVienDeThi.com Nguy n Phú Khánh – ðà L t http://www.toanthpt.net Gi,i : NEu m_i đơn v" diVn tích c>a m2t hh có cá sau m4t v( , s cá m_i đơn v" diVn tích m2t hh trung bình cân n2ng : = = − ∈ ( )= ( ) ( ) ( ( )= ⇔ = − ) V5y ñ thu ñư6c nhiTu nh1t sau m4t v( thu ho ch cWn th, m_i đơn v" diVn tích m2t hh = cá ( ) , đ"nh hình che nh5t có diVn tích l0n nh1t Ví d( 8: Trong hình che nh5t có chu vi Gi,i : ( ) TNng chiTu dài hai c nh ( ) ChiTu dài c nh − ( ) DiVn tích hình che nh5t : ( ) = ( − ) ≤ ≤ ( )= − < < ( )= ⇔ = DiVn tích hình che nh5t l0n nh1t = Trong hình che nh5t chu vi ( ) , hình vng c nh ( ) có diVn tích l0n nh1t bUng ( ) GAi m4t c nh b1t kỳ c>a hình che nh5t có chiTu dài Ví d( 9: Cho m4t t1m nhơm hình vng c nh NgưSi ta cLt c b n góc b n hình vng bUng , rhi g5p t1m nhơm l i đ đư6c m4t h4p khơng nLp Tính c nh c>a hình vng b" cLt cho th tích c>a kh i h4p l0n nh1t Gi,i : GAi < < ñ4 dài c>a c nh c>a hình vng b" cLt ⇒ = ( )( − ⇔ < < ( − ) )= = Th tích c>a kh i h4p < < = ⇔ − − Ví d( 10: Trong s hình che nh5t có chu vi ⇒ − > = ( )= = = )= + − < > ( + > + < < , tìm hình che nh5t có chu vi nh3 nh1t ñ4 dài hai kích thư0c c>a hình che nh5t, ta có : ( ) , tìm hình che nh5t có diVn tích l0n nh1t ⇒ = − − < Chu vi c>a hình che nh5t = )( < < đ4 dài hai kích thư0c c>a hình che nh5t , ta có : DiVn tích hình che nh5t GAi ( ⇒ Trong s hình che nh5t có diVn tích Gi,i : GAi = > Tìm giá tr" l0n nh1t nh3 nh1t c>a hàm s sau ñây : ThuVienDeThi.com ⇒ = > )= < < < ⇔ = = > ⇔ = = ( )= < − = = Nguy n Phú Khánh – ðà L t ( )= + ( )= + ( )= + − http://www.toanthpt.net ño n − + ño n − − kho,ng ( +∞ ( )=− + + ( )= + + ( )= ) Tìm giá tr" l0n nh1t nh3 nh1t c>a hàm s sau ñây : = + − + ño n − ( ) ( )= ( )= + ( ) − ( )= − − = + + ño n − ño n − ño n − + − ño n ño n ( ( n-a kho,ng n-a kho,ng − + ( )= ( )= + + ( )= − − kho,ng ( +∞ ) ño n − π ño n − π − Tìm giá tr" l0n nh1t nh3 nh1t c>a hàm s sau ñây : ( )= ( )= + − ( )= ( )= − + ð4 gi,m huyEt áp c>a m4t bVnh nhân đư6c cho bci cơng th[c ( ) liTu lư6ng thu − − ( )= + + + + ( − ) c đư6c tiêm cho bVnh nhân Tính liTu lư6ng thu c cWn tiêm cho bVnh nhân ñ huyEt áp gi,m nhiTu nh1t tính đ4 gi,m Hư0ng dmn ( )= ⇔ = = ( )< ( ) ð4 gi,m huyEt áp ( ) = Lư6ng thu c cWn tiêm ñ gi,m huyEt áp nhiTu nh1t V5n t c nư0c M4t cá hhi bơi ngư6c dịng đ vư6t m4t kho,ng cách ( ) lư6ng tiêu hao c>a cá giS ñư6c cho m4t hUng s , ( ) Tìm v5n t c bơi c>a cá nư0c ñ[ng v5n t c bơi c>a cá nư0c đ[ng n ( )= bci cơng th[c n đ lư6ng tiêu hao nh1t Hư0ng dmn : V5n t c cá dòng nư0c ñ[ng yên − ( NEu ( ) , v5n t c c>a cá ngư6c dịng nư0c ) ThSi gian c>a cá bơi ngư6c dòng v0i kho,ng cách = ThuVienDeThi.com = − Nguy n Phú Khánh – ðà L t http://www.toanthpt.net Năng lư6ng tiêu hao c>a cá ( )= = ( ) − > − ( )= ⇒ ( ) − () ⇒ = Sau phát hiVn m4t bVnh d"ch, chuyên gia y tE ư0c tính s ngưSi nhi m bVnh k tF ngày phát NEu coi = − ∈ hàm s xác hiVn bVnh nhân ñWu tiên đEn ngày th[ () () () ñ o hàm ñư6c xem t c ñ4 truyTn bVnh (ngưSi/ngày) t i thSi ñi.m ñ"nh ño n Tính t c đ4 truyTn bVnh vào ngày th[ năm Xác ñ"nh ngày mà t c ñ4 truyTn bVnh l0n nh1t tính t c đ4 ñó Xác ñ"nh ngày mà t c ñ4 truyTn bVnh l0n ( ) ño n Xét chiTu biEn thiên c>a hàm s Hư0ng dmn : ( )= ∈ − ( )= ( ( )= − ( )= ( ( )= ( )⇒ ( )= ⇒ ( )= ( )= − )> ⇔ < < − )> < < ⇒ Hàm s ( ) ñhng biEn ño n − Hình thang cân có đáy nh3 Tính góc α = hai c nh bên đTu dài = cho hình thang có diVn tích l0n nh1t Tính diVn tích l0n nh1t đó.Gi, s- = < < π Hư0ng dmn : ! ⊥ ! = ! = = + ⇒ + = ! = ( ) + < < Trong tam giác vuông mà c nh huyTn có đ4 dài c nh bUng , xác đ"nh tam giác có diVn tích l0n nh1t Hư0ng dmn : GAi ñ4 dài hai c nh góc vng c>a tam giác vng có c nh huyTn bUng , < < < < ( = )⇒ = ( ) ( = ) − < < v0i 10 M4t hành lang giea hai nhà có hình d ng c>a m4t lăng tr( ñ[ng Hai m2t bên ( ) = hai t1m kính hình che nh5t = ( ) = ( ) Tính th tích c>a hình lăng tr( theo Tìm cho hình lăng tr( có th tích l0n nh1t tính th tích l0n nh1t Hư0ng dmn : = − < < ⇒ ( ∈ ) = ( )= ThuVienDeThi.com + = π ... ∈ − Ví d( 2: Tìm giá tr" l0n nh1t nh3 nh1t c>a hàm s : = + + ( ) ( )= ( )=− =− π ño n − π − Gi,i : ( )= + + = − + Hàm s ñã cho xác ñ"nh ℝ ð2t = ≤ ≤ ( )= Xét hàm s ∈ ( )= ... nên hàm s ( ) ñ t ñi.m c7c ñ i t i nh1t m_i c nh l i dài ( ) Khi diVn tích l0n nh1t : ( ) = đưSng cao = ( ) , ñ4 dài c>a m4t c nh tam giác ( ) Tìm hai c nh )= ( − ( )= ( )= l i c>a tam giác... nh )= ( − ( )= ( )= l i c>a tam giác cho tam giác có diVn tích l0n nh1t Gi,i : GAi m4t c nh l i c>a tam giác , c nh cịn l i th[ hai DiVn tích tam giác : (theo cơng th[c hêrơng) ( )= hiTu cao