NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT A-Mục Tiêu: -Cung Cấp cho HS tránh sai lầm tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn biểu thức -Nắm vững phương pháp linh hoạt dạng toán -Vận dụng phương pháp vào giải toán cực trị B-Nội dung: I-Định nghóa giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: -Định nghóa 1: Cho biểu thức f(x,y,…) xác định miền D ta nói M giá trị lớn f(x,y,…) D hai ĐK thoã mãn : +Với x,y,…thu6ọc D f(x,y,…) M với M số +Tồn x0,y0,…thuộc D cho f(x0,y0,…) = M -Định nghóa 2: Cho biểu thức f(x,y,…) xác định miền D ta nói N giá trị lớn f(x,y,…) D hai ĐK thoã mãn : +Với x,y,…thu6ọc D f(x,y,…) với N số +Tồn x0,y0,…thuộc D cho f(x0,y0,…) = N II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ 1) a2 Tổng quát a2k (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy a = 2) a2 Tổng quát a2k (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy a = 3) {a{ Đẳng thức xẩy a = 4) –{a{ a {a{ Đẳng thức xẩy a = 5) {a+b{ {a{+{b{ Đẳng thức xẩy ab 6) a2+b2 2ab Đẳng thức xẩy a = b ab 7) ab Với a,b 0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy a= b 1 8) a b , ab > => Đẳng thức xẩy a= b a b a b 9) Với ab >0 Đẳng thức xẩy a= b b a 1 10) Với ab >0 Đẳng thức xẩy a= b a b ab a b 11) (am+bn)2 (a2+b2)(m2+n2) Đẳng thức xẩy (BĐT Bu nhi a côp xki) m n III-Những sai lầm thương gặp giải toán cực trị: 1-sai lầm chứng minh ĐK 1: VD1:Tìm giá trị lớn biểu thức P x x 17 Lời giải sai: Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn mẫu có giá trị nhỏ Ta coù :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 DeThiMau.vn x=3 Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn mẫu có giá trị nhỏ nhất” mà chư đưa nhận xét tử mẫu lànhững biểu thức có gioá trị dương Ta đưa phản ví dụ: 1 Xét biểu thức A = Với lập luận trên: A = “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên x 4 x 4 A có giá trị lớn mẫu có giá trị nhỏ nhất”Nghóa A có giá trị lớn x2 – có giá trị nhỏ Mà x2 – có giá trị nhỏ -4 x = Nên A có giá trị lớn x =0 Điều 1 không Vì Không phải giá trị lớn biểu thức A chẳng hạn với x =3 A = Lời giải đúng: Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 Tử mẫu P biểu thức có giá trị dương => P > ,do P có giá trị lớn Có gia 1trị nhỏ x2- 6x +17 có giá trị nhỏ P VD2: Tìm giá trị nhỏ A = (x-1)2 + (x-3)2 Lời giải sai:ta có (x-1)2 0(1) ; (x-3)2 0(2) Nên A có giá trị nhỏ 0.ta kết luận xẩy đẳng thức đồng thời (1) (2) x y z VD3: Tìm giá trị nhỏ A= Với x,y,z > y z x Lời giải sai: Giả sử :x y z > => x-z => y(x-z) z (x-z) => xy-yz+z2 xz x y z x y Chia hai veá cho số dương xz: Ta có : 1(1) Mặt khác ,ta có (2).Cộng (1) với (2): z x x y x x y z 3.Vaäy Min A = x = y = z y z x x y z Phaân tích sai lầm :Khi hoán vị vòng quanh A trở thành Tức biểu thức không đổi Điều y z x cho phép tược giả sử x làsố lớn (hoặc số nhỏ nhất),nhưng không cho phép giả sử x y z.Thật sau chọn x số lơn (x y,x z) vai trò y z lại không bình đẳng :giữ x z y nguyên x thay y bỡi z thay z bỡi y ta ,không biểu thức A z y x (Ta đưa ví dụ khác cho phép giả sử x y z.Chẳng hạn :B = x2+ y2+z2+xy+xz+yz.Sau chọn x số lớn vai trò y z bình đẳng :Giữ nguyên x thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta : x2+ y2+z2+xy+xz+yz, B) Cách giải : Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z: x z y x y z A= 33 z y x y z x x z y x y z Do min( ) = 3Khi khi: ,tức x = y = z z y x y z x Min(x2- 6x +17) = x = Vaäy MaxP = DeThiMau.vn x z y x y y z y y x = Ta có : (Do x,y>0)Nên để chứng minh z y x y x z x x x y x y z y z y Chỉ cần chứng minh : (1) y z x z x x (1) xy+z -yz xz(Nhân hai vế với số dương xz) xy+z2-yz-xz y(x-z)-z(x-z) (x-z)(y-z) 0(2) (2)đúng với giả thiết zlà số nhỏ ba số x,y,z (1) x y z Từ tìm giá trị nhỏ y z x Cách 2:Ta có VD3:Tìm giá trị nhỏ A = x2+y2 biết x+y =4 Lời giải sai:Ta có x2+y2 2xy Do A có giá trị nhỏ x2+y2=2xy x=y=2 Khi MinA = 22+22= Phân tích sai lầm :Đáp số không sai nhiên lập luận sai lầm Ta chứng minh f(x,y) g(x,y) Chứ chưa C/m f(x,y) M Với M số Ta đưa ví dụ :Với lập luận từ bất đẳng thức :x2 4x-4 suy :x2 nhỏ nhaát x2 = 4x-4 (x-2)2 = x=2 đến Min x2 = x=2 Dễ thấy kết phải minx2 = Khi x = Cách giải :Ta có x+y = => x2+2xy+y2 = 16 (1) Ta laïi có (x-y)2 => x2-2xy +y2 0(2) Từ (1) vaø (2) : 2(x2+y2) 16 => x2+y2 Min A = Khi x= y= 2.Sai lầm chứng minh điều kiện 2: VD1:Tìm giá trị nhỏ A= x+ x Lời giaûi sai: 1 1 1 A= x+ x = x x x 4 2 4 Vaäy MinA = Phân tích sai lầm : 1 Sau chứng minh f(x) ,chưa trường hợp xảy f(x) = Xảy dấu 4 x ,vô lý Lời giải :Để tôn x phải có x Do A= x+ x MinA = Khi x = VD2:Tìm giá trị lớn A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Với x,y.z x+y+z = Lời giải sai:Áp dụng bất đẳng thức 4ab (a b) : 4(x+y).z ( x y z ) 4(x+z).y ( x y z ) 4(z+y).x ( x y z ) DeThiMau.vn Nhân vế (do không âm) 64xyz(x+y)(y+z)(z+x) 1 Max A = 64 Phân tích sai lầm :Sai lầm chỗ chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Điều kiện để A = 64 x y z yz x x y z laø z x y x y z Mâu thuẫn x y z x, y , z x, y, z Cách giải :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm : 1= x+y+z xyz (1) 2= (x+y)+(y+z)+(z+x) 33 ( x y )( y z )( z x) (2) Nhaân vế (1) với (2) (do hai vế không aâm ): 2 2 A A 9 3 2 Max A = x y z 3 VD3:Tìm giá trị nhỏ A= x a x b với x > ,a,b số dương cho trước x Lời giải sai:Ta coù x+a ax (1) x+b bx (2) x a x b ax bx ab MinA = ab x a b x x Phaân tích sai lầm:Chỉ xẩy A = ab Khi (1) (2)xẩy dấu đẳng thức ,tức x = a x = b.Như đòi hỏi a= b Nếu a b A = ab Cách giải :Ta thực phép nhân tách số : x a x b x ax bx ab x ab a b A= x x x ab Ta lại có : x ab (bất đẳng thức côsi) x Neân A ab a b ( a b ) Do : ab x x x ab x VD4:Tìm giá trị nhỏ A= 2x+3y biết 2x2+3y2 Lời giải sai:Gọi B= 2x2+3y2 ta có B Xét A+B = 2x+3y +2x2+3y2 = 2(x2+x)+3(y2+y) =2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4 (1) Min A = a b DeThiMau.vn Ta laïi có B nên -B -5 25 25 x y Cộng (1)với (2):A minA = 4 Phân tích sai lầm :Sai lầm chỗ với x= y= - ,chỉ có xảy dâu “=” (1),còn dấu “=” (2) không xảy Thật với x = y = - : 2 1 1 B= 3 Do –B 5 2 2 Cách giải đúng: Ta xét biểu thức phụ:A2 = (2x+3y)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki 2 2 Ta có : A2 = (2x+3y)2 = x 3 y x =(2+3)(2x2+3y2) 5.5 25 x y A2 = 25 x y Do A2 25 neân -5 A xy Min A = -5 x y 1 2 x y 5 xy Max A = x y 1 2 x y y GV:Nguyễn Thị Duyên ******************************************* DeThiMau.vn ... Tử mẫu P biểu thức có giá trị dương => P > ,do P có giá trị lớn Có gia 1trị nhỏ x2- 6x +17 có giá trị nhỏ P VD2: Tìm giá trị nhỏ A = (x-1)2 + (x-3)2 Lời giải sai: ta có (x-1)2 0(1)... số nhỏ ba số x,y,z (1) x y z Từ tìm giá trị nhỏ y z x Cách 2:Ta có VD3 :Tìm giá trị nhỏ A = x2+y2 biết x+y =4 Lời giải sai: Ta có x2+y2 2xy Do A có giá trị nhỏ x2+y2=2xy x=y=2 Khi. .. x=3 Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn mẫu có giá trị nhỏ nhất? ?? mà chư đưa nhận xét tử mẫu l? ?những biểu thức