Phòng Giáo dục- Đào tạo CHNG M đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2014 - 2015 môn: Toán ***** Trng thcs ng phỳ (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi nµy gåm trang Bài (4 điểm): Cho biểu thức A 4xy y x2 : 2 y xy x y x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trình : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009 y 2009 z 2009 32010 Bài (3 điểm): Chứng minh với n N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E ECB a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD b) Cho BMC 1200 S AED 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y (với x y dấu) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y x2 y 3 y x y x ThuVienDeThi.com (với x 0, y ) HƯỚNG DN CHM năm học 2014 - 2015 môn: Toán Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x y; y (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị nguyên dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = A + (x – y + 1)2 = A = – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với x ; y) A (0,5đ) x y x + A = 2x x y y x y;y (x y 1)2 + A = 2x x y Từ đó, cần cặp giá trị x y, chẳng x y;y 1 x hạn: y + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài 2: (4 điểm) x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 x 11 x 22 x 33 x 44 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 0 115 104 93 82 x 126 x 126 a) b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = x y y z z x ThuVienDeThi.com (0,5 điểm) xyz x2009 = y2009 = z2009 Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z =3 Vậy x = y = z = Bài (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) ( n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) - Chứng minh: n5 – n n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia hết cho - Vì ( ; ) = nên n5 – n 2.5 tức n5 – n 10 Suy n5 n có chữ số tận giống Bµi 4: ®iĨm E D A M Q B C P I H Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng víi - Tõ ®ã suy EB ED EA.EB ED.EC EC EA ECB * Chøng minh EAD - Chøng minh (1 ®iĨm) ECA (gg) 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm (1 ®iĨm) EAD ®ång d¹ng víi ECB (cgc) ECB - Suy EAD 0,75 điểm 0,25 điểm Câu b: 1,5 ®iÓm AMB = 60o ABM = 30o - Tõ BMC = 120o - XÐt = 30o EDB vuông D có B ThuVienDeThi.com 0,5 ®iÓm ED = ED EB EB 0,5 ®iĨm S EAD ED - Lý luËn cho tõ ®ã SECB = 144 cm2 S ECB EB 0,5 ®iĨm C©u c: 1,5 ®iĨm - Chøng minh BHD ®ång d¹ng víi DHC (gg) 0,5 ®iĨm BH BD BP BD BP BD DH DC DQ DC DQ DC 0,5 ®iĨm - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) BDP DCQ CQ PD o ma`BDP PDC 90 điểm Câu d: điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) - Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm - Chøng minh BM.BD + CM.CA = BC có giá trị không ®ỉi 0,5 ®iĨm C¸ch 2: Cã thĨ biÕn ®ỉi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Bài 5: (2 điểm) a) x, y dấu nên xy > 0, x y x y 2xy (x y)2 bất y x đẳng thức đúng, suy bđt ban đầu (đpcm) x y t y x x2 y2 t2 y x b) Đặt Biểu thức cho trở thành P = t2 – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + - Nếu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t t ; t t t 1 P Đẳng thức xảy t = x = y (1) - Nếu x; y trái dấu x y t < t – < t – < t t 1 > y x P>1 (2) - Từ (1) (2) suy ra: Với x ; y ln có P Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pmin= (khi x = y) Bài 5: (2 điểm) - Gọi R(x) đa thức dư phép chia f(x) : (x – 2)(x2 – x + 1), ta có: f(x) = (x – 2).(x2 – x + 1).P(x) + R(x) (1) - Vì đa thức chia (x – 2)(x2 – x + 1) đa thức bậc nên đa thức dư R(x) có bậc - Từ (1) dư phép chia f(x) : (x – 2) dư phép chia R(x) : (x – 2), mà R(x) đa thức có bậc 2, f(x) : (x – 2) dư (gt) R(x) = (x – 2)(kx + p) + - Lập luận tương tự ThuVienDeThi.com ...HNG DN CHM năm học 2014 - 2015 môn: Toán Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x y; y (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c)... 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = x y y z z x ThuVienDeThi.com (0,5 điểm) xyz x2009 = y2009 = z2009 Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 ... 1,5 ®iĨm AMB = 60o ABM = 30o - Tõ BMC = 120o - XÐt = 30o EDB vuông D có B ThuVienDeThi.com 0,5 ®iĨm ED = ED EB EB 0,5 ®iĨm S EAD ED - Lý luËn cho tõ ®ã SECB = 144