Đề thi giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2013 2014 môn: Toán15245

PHỊNG GD & ĐT SƠNG LƠ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN : TỐN Thời gian : 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu (1.5 điểm): Cho đa thức f(x) thỏa mãn: (x + 1)f(x) = (x + 3)f(x + 2) ∀ x Tính f(1) f(5) Câu (1.5 điểm): Cho phương trình: (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = (m tham số) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu (1.5 điểm): Cho a, b, c số thỏa mãn: { � + � + � = 2013 1 1 + + = � � � 2013 Chứng ming ba số a, b, c phải có số nghiệm phương trình: x2 – 2014x + 2013 = �� + 4� = 10 ‒ � Câu (1.5 điểm): Cho hệ phương trình : � + �� = (m tham số) Tìm tất { giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dương Câu (1 điểm): Trong hình vng cạnh 1m có 51 điểm phân biệt tùy ý Chứng minh có điểm nằm hình trịn có bán kính m Câu (2 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) với đường cao AH= R Gọi D, K hình chiếu vng góc H xuống AB AC Chứng minh: a Hai tam giác ADK ACB đồng dạng 2�2 b ��.�� = ����.���� Câu (1 điểm): Tìm giá trị nguyên lớn k cho bất đẳng thức sau với giá trị x: (x + 1)(x + 2)2(x + 3) ≥ k HẾT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ThuVienDeThi.com NỘI DUNG TRÌNH BÀY CÂU (1.5 đ) ĐIỂM Vì (x + 1)f(x) = (x + 3)f(x + 2) ∀ x nên:  Cho x = -1 ta có: 0.f(-1) = 2.f(1)  f(1) = 0.5  Cho x = ta có: 2.f(1) = 4.f(3)  f(3) = (Do f(1) = 0) 0.5  Cho x = ta có: 4.f(3) = 6.f(5)  f(5) = (Do f(3) = 0) Vậy f(1) = f(5) = 0.5 (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = (*) Phương trình (*) tương đương với [ �2 + �� + = (1) �2 + 2� + � = (2) Ycbt thỏa mãn  (1) (2) có hai nghiệm phân biệt chúng khơng có nghiệm chung  (1) có hai nghiệm phân biệt khi: m2 – >  (1.5 đ) [��>  m < Suy ra: Để (1) (2) có hai nghiệm phân biệt �