NHẬN DẠNG TAM GIÁC

NHẬN DẠNG TAM GIÁCI... Do đó ΔABC vuông tại C III.. TAM GIÁC CÂN http://nguyenthao.edu.vn... Bài 214:Chứng minh nếu ΔABC có tgA tgB 2cotgC2 thì là tam giác cân.

Trang 1

NHẬN DẠNG TAM GIÁC

I TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC

Bài 201: Tính các góc của ΔABC nếu :

2

Do A B C+ + = π

Nên: ( )* sin A sin B cosC 3

2

−

⎪⎪

⎪⎩

⇔

2

=

A B

2 C

2 cos cos 0 1 2

A

2

⎪⎩

π

⎧ = =

⎪⎪

⎪ =

⎪⎩

C

2

A B

6 2 C 3

Bài 202: Tính các góc của ΔABC biết:

2

Ta có: ( )* 2 cos A 1 2 3 cos B C cos B C2 ( ) ( ) 5

http://nguyenthao.edu.vn

Trang 2

( )

=

⎩

⎧ =

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

2

0 0

4 cos A 4 3 cos A.cos B C 3 0

3

2 2

A 30

B C 75

=

Bài 203: Chứng minh ΔABC có C 120= 0nếu :

Ta có

−

2 B 2 +

cos

2 > và

B

2 > vì

A B

π

< < )

⇔ C 120 = 0

Bài 204: Tính các góc của ΔΑΒ biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và C

sin A sin B sin C

2

+

Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử A B C< <

Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B

Mà A B C+ + = π nên B

3

π

=

Lúc đó: sin A sin B sin C 3 3

2

+

Trang 3

3 3 sin A sin sin C

3 sin A sin C

2

2cos cos

−

Do C > A nên ΔΑΒC có:

⎩

2

Bài 205: Tính các góc của ΔABCnếu

( ) ( )

⎪

⎨

⎪⎩

Áp dụng định lý hàm cosin: cos A b2 c2 a

2bc

2

Do (1): b2 +c2 ≤ a nên cos A 0≤

≤ < π ⇔ ≤ <

π

Mặt khác:sin A sin B sinC+ + sin A 2sinB CcosB C

sin A 2cos cos

−

2

≤ + ⎜⎜ ⎟⎟⋅

B C

2

Mà sin A sin B sin C 1+ + = + 2 do (2)

Trang 4

Dấu “=” tại (2) xảy ra

⎧

=

⎪

−

⎪⎩

sin A 1

cos

B C

2

π

⎧ =

⎪⎪

⎪ = =

⎪⎩

A 2

B C

4

Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004)

Cho ΔABC không tù thỏa điều kiện

( )

cos2A 2 2 cos B 2 2 cosC 3+ + = *

Tính ba góc của ΔABC

* Cách 1: Đặt M = cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3+ + −

Ta có: M = 2cos A 4 2 cos2 B CcosB C 4

⇔ M = 2 cos A 4 2 sin cos2 A B C 4

−

2 > và

B - C

Nên M 2 cos A 4 2 sin2 A 4

2

Mặt khác: ΔABCkhông tù nên 0 A

2

π

< ≤

0 cos A 1 cos A cos A

Do đó: M 2 cos A 4 2 sinA 4

2

A

2

4

Do giả thiết (*) ta có M=0

Vậy:

2

0 0

cos A cos A

A 90

B C

sin

⎧

⎪⎩

⎪

⎪⎩

* Cách 2: ( )* ⇔ cos 2A 2 2 cos B 2 2 cosC 3 0+ + − =

Trang 5

( )

2

−

=

⎞ =

⎟

⎠

C 0 (*)

Do ΔABC không tù nên cos A 0≥ và cos A 1 0− <

Vậy vế trái của (*) luôn ≤ 0

Dấu “=” xảy ra

cos A 0

B C

2

⎧

⎪

−

⎪⎩

⎧ =

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

0 0

A 90

B C 45

Bài 207: Chứng minh ΔABCcó ít nhất 1 góc 600 khi và chỉ khi

cos A cos B cosC

(*) ⇔ sin A− 3 cos A + sin B− 3 cosB + sin C− 3 cosC = 0

⎠

=

+ ⎞

⎟

⎠

A B

B

π 3

Trang 6

Bài 208: Cho ΔABC và V = cos2A + cos2B + cos2C – 1 Chứng minh:

a/ Nếu V = 0 thì ΔABC có một góc vuông

b/ Nếu V < 0 thì ΔABC có ba góc nhọn

c/ Nếu V > 0 thì ΔABC có một góc tù

Ta có: V 1(1 cos 2A) 1(1 cos 2B) cos 12

2 2 2

1

2

)

V 2cosC cos A cos B

Do đó:

a / V 0= ⇔ cos A 0 cosB 0 cosC 0= ∨ = ∨ =

⇔ΔABC⊥ tại A hayΔABC⊥ tại B hayΔABC⊥ tại C

b / V 0< ⇔ cos A.cosB.cosC 0>

⇔ΔABC có ba góc nhọn ( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên không có trường hợp có 2 cos cùng âm )

c / V 0> ⇔ cos A.cosB.cosC 0<

cos A 0 cosB 0 cosC 0

⇔ ΔABC có 1 góc tù

II TAM GIÁC VUÔNG

Bài 209: Cho ΔABC có cotg B = a c+

Chứng minh ΔABC vuông

Ta có: cotgB a c

+

=

B

cos 2R sin A 2R sin C sin A sin C

2

sin

2

C 2 B 2

−

⇔cos2 B = cos cosB A C (do sinB > 0)

−

⇔cosB =cosA C (do cosB >0)

Trang 7

− −

A B C C A B

ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C

Bài 210: Chứng minh ΔABC vuông tại A nếu

cos B cosC+ = sin Bsin C

+

2R sin B 2R sin C 2R sin A

sin B cosC sin C cos B sin A

( + )

cos B.cosC sin Bsin C

cos B cosC sin Bsin C (do sin A 0)>

π

⇔ Δ

cos B.cos C sin B.sin C 0

B C

2 ABC vuông tại A

=

Bài 211: Cho ΔABC có:

Ta có:

⎤

⎥⎦

C 2

sin cos cos 1 sin cos sin

sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin

C 2

⇔sin cosC C+cosA BcosC = cos2 C+cosA BsinC

Trang 8

−

π

B A

Bài 212: Chứng minh ΔABC vuông nếu:

3(cos B 2sin C) 4(sin B 2cosC) 15+ + + =

Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có:

3cosB 4 sin B+ ≤ 9 16 cos B sin B 15+ + = và 6sin C 8cosC+ ≤ 36 64 sin C cos C 10+ 2 + 2 =

nên: 3(cos B 2sin C) 4(sin B 2cosC) 15+ + + ≤

sin C cosC cotgC=4

3 3

π

tgB cotgC

B C

2 ⇔ ΔABCvuông tại A

Bài 213: Cho ΔABC có: sin 2A sin 2B 4sin A.sin B+ =

Ta có: sin 2A sin 2B 4sin A.sin B+ =

⇔ −cos C= 1 sin C cos(A B)− −

⇔ −cos C(1 sin C) (1 sin C).cos(A B)+ = − 2 −

⇔ −cos C(1 sin C) cos C.cos(A B) + = 2 −

⇔ cos C 0 hay= −(1 sin C) cos C cos(A B)+ = − (*)

⇔ cos C 0=

( Do sin C 0> nên − +(1 sin C)< −1

Mà cosC.cos(A B)− ≥ −1.Vậy (*) vô nghiệm.)

Do đó ΔABC vuông tại C

III TAM GIÁC CÂN

Trang 9

Bài 214:Chứng minh nếu ΔABC có tgA tgB 2cotgC

2

thì là tam giác cân

Ta có: tgA tgB 2cotgC

2

C 2cos

C cos A.cos B sin

2 C 2cos

C cos A.cos B sin

2

C cos A cos B sin

2

+

⇔sin2C cos A.cos B do cosC 0

)

A B

ABC

⇔ Δ cân tại C

Bài 215: Chứng minh ΔABC cân nếu:

A

Ta có: sin cosA 3B sin cosB 3

A

(do cosA

2 >0 và

B cos

2 >0 ) http://nguyenthao.edu.vn

Trang 10

2 2

⇔ tgA = tgB

⇔ A B =

⇔ ΔABC cân tại C

cos A cos B 1 cotg A cotg B (*) sin A sin B 2

+

Ta có:

2

⇔4 sin A sin B2 2 = sin A sin B 2 + 2 2

sin A sin B

Vậy ΔABC cân tại C

C

2

Ta có: a b tgC(atgA btgB)

2

⇔ a b cotg+ C = atgA btgB+

2

⎥⎦

B

Trang 11

⇔ A B hay= 2R sin A = 2R sin B

⇔ A B hay tgA tgB= = ⇔ ΔABC cân tại C

IV NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Bài 218: Cho ΔABC thỏa:a cos B b cos A a sin A b sin B (*)− = −

Chứng minh ΔABC vuông hay cân

Do định lý hàm sin: a 2R sin A, b 2R sin B= =

Nên (*) ⇔2R sin A cos B 2R sin B cos A 2R sin A sin B− = ( 2 − 2 )

sin A cos B sin B cos A sin A sin B

1

2

A B A B

2

π

vậy ΔABC vuông hay cân tại C Cách khác

sin A cos B sin B cos A sin A sin B

sin A B ( sin A sin B) ( sin A sin B)

⇔sin A B− =( 2 sin A BcosA B) (2 cosA BsinA B)

π

A B A B

2

Bài 219 ΔABC là tam giác gì nếu

(a2 +b sin A B2) ( − )= (a2 −b sin A B (*2) ( + ) )

Ta có: (*)

(4R sin A 4R sin B sin A B2 2 2 2 ) ( ) 4R sin A sin B sin A B2( 2 2 ) ( )

=

( )

2sin A cos A sin B 2sin Bsin A cosB 0

Trang 12

sin A cos A sin BcosB 0

⇔ − + = (do sin A 0> và sin B 0> )

sin 2A sin 2B

A B A B

2

π

Vậy ΔABC cân tại C hay ΔABC vuông tại C

Bài 220: ΔABClà tam giác gì nếu:

a sin 2B b sin 2A 4ab cos A sin B (1) sin 2A sin 2B 4 sin A sin B (2)

⎨

⎩

Ta có:

(1) ⇔ 4R sin A sin 2B 4R sin B sin 2A 16R sin A sin B cos A2 2 + 2 2 = 2 2

sin A sin 2B sin Bsin 2A 4 sin A sin B cos A

2sin A sin B cos B 2sin A cos A sin B 4 sin A sin B cos A

sin A cos B sin B cos A 2sin B cos A (do sin A 0,sin B 0)

sin A cos B sin B cos A 0

A B

2

>

Thay vào (2) ta được

sin 2A 2sin A= 2

2

2sin A cos A 2sin A

cos A sin A do sin A 0

tgA 1

A

4

π

Do đó ΔABC vuông cân tại C

V TAM GIÁC ĐỀU

Bài 221: Chứng minh ΔABCđều nếu:

bc 3 R 2 b c= ⎡⎣ + −a (*)⎤⎦

Ta có:(*) ⇔(2R sin B 2R sin C 3 R 2 2R sin B 2R sin C)( ) = ⎡⎣ ( + )−2R sin A⎤⎦

⇔2 3 sin B sin C 2 sin B sin C= + −sin B C+

⇔ 2 3 sin B sin C 2 sin B sin C= + −sin B cos C sin C cos B−

⎤

=

⎥

⎦

Trang 13

Do sin B 0> và 1 cos C 0

3

π

sinC 0> và 1 cos B 0

3

π

Nên vế trái của (1) luôn ≥ 0

Do đó, (1)

3

⎧ ⎛ − π⎞ =

⇔ ⎨

π

⎩

C B

3

π

⇔ = = ⇔ ΔABC đều

Bài 222: Chứng minh ΔABC đều nếu 3 3 3

2

3

4

a b c

⎪⎪

⎨

Ta có: (2) ⇔ a3 −a b a c a2 − 2 = 3 −b3 −c3

⇔ a b c2( + )= b3 +c3

2

c

⇔ b2 +c2 −2bc cos A = b2 +c2 −b (do đl hàm cosin)

π

2bc cos A bc

1

Ta có: (1) ⇔ 4sin Bsin C 3=

⇔2 cos B C⎡⎣ − −cos B C+ ⎤⎦ =3

⇔2 cos B C⎡⎣ − +cos A⎤⎦ =3

1

⇔cos B C− = ⇔1 B C =

Vậy từ (1), (2) ta có ΔABCđều

Bài 223: Chứng minh ΔABC đều nếu:

sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C+ + = + +

Ta có: sin 2A sin 2B 2sin A B cos A B+ = ( + ) ( − )

=2sin Ccos A B( − )≤ 2sin C (1) Dấu “=” xảy ra khi: cos A B( − )=1

Trang 14

Dấu “=” xảy ra khi: cos A C( − ) =1

Dấu “=” xảy ra khi: cos B C( − ) =1

Từ (1) (2) (3) ta có: 2 sin2A sin2B sin2C( + + )≤2 sinC sinB sinA( + + )

⎧

⎪

⎩

⇔ A = B C = ⇔ ΔABCđều

Bài 224: Cho ΔABC có:

sin 2A sin 2B sin C+ + = 2cos A cos B cosC

Chứng minh ΔABC đều

Ta có: (*) ⇔sin 2B.sin 2C sin 2Asin 2C sin 2Asin 2B2 2 + 2 2 + 2 2

sin 2A.sin 2B.sin 2C sin2Asin2Bsin2C 2cos A cos B cosC

4 sin A sin Bsin C sin 2A sin 2Bsin 2C

=

Mà: 4 sin A sin B sin C 2 cos A B= ⎡⎣ ( − )−cos A B sin A B( + )⎤⎦ ( + )

)

+

2 cos A B cos C sin C

2 sin C cos C 2 cos A B sin A B sin 2C sin 2A sin 2B

Do đó,với điều kiện ΔABC không vuông ta có

(*) ⇔ sin 2B sin 2C sin 2A sin 2C sin 2A sin 2B2 2 + 2 2 + 2 2

sin 2A.sin 2B.sin 2C sin 2A sin 2B sin 2C

sin 2A sin 2B sin 2C sin 2B sin 2A sin 2C sin 2C sin 2A sin 2B

1 sin 2B sin 2A sin 2B sin 2C 1 sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C

2

sin 2Bsin 2A sin 2Bsin 2C sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C sin 2A sin 2C sin 2Csin 2B

=

⎧

⎪

⎩

=

⎧

⎩

sin 2A sin 2B sin 2B sin 2C ⇔ A B C= = ⇔ ABC đều

Bài 225: Chứng minh ΔABC đều nếu:

a cos A b cos B c cosC 2p (*)

Trang 15

Ta có: a cos A bcosB c cosC+ +

2R sin A cos A 2R sin B cos B 2R sin C cosC

R sin 2A sin 2B sin 2C

Cách 1: a sin B bsin C c sin A+ +

3

2R sin A sin B sin Bsin C sin Csin A

2R sin A sin Bsin C do bđt Cauchy

≥

Do đó vế trái : a cos A b cos B c cosC 2 sin AsinBsinC3

a sin B b sin C c sin A 3

≤

Mà vế phải: 2p = a b c+ + = 2 sin A sinB sinC( + + )

3

2 sin AsinBsinC

3

Từ (1) và (2) ta có

( * )⇔sin A sin B sin C= = ⇔ ΔABC đều

Cách 2: Ta có: (*) 4R sin A sin Bsin C a b c

+ +

4R

a b c

Do bất đẳng thức Cauchy ta có

3

2 2 2 3

+ + ≥

Do đó: (a b c ab bc ca+ + )( + + )≥9abc

Dấu = xảy ra ⇔ = =a b c ⇔ ΔABC đều

Bài 226: Chứng minh ΔABC đều nếu

Ta có: cot gA cot gB sin A B( ) sin C

sin A sin B sin A sin B

+

2

sin C sin A sin B 2

≥

+

(do bđt Cauchy)

Trang 16

2 2 2

2

C 2tg 2

≥ (1) Tương tự: cot gA cot gC 2tgB

2

cot gB cot gC 2tgA

2

Từ (1) (2) (3) ta có

Do đó dấu “=” tại (*) xảy ra

⎪

⇔ ⎨

⎩

=

sin A sin B sin C

A B C

ABC đều

⇔ Δ

BÀI TẬP

1 Tính các góc của ΔABC biết:

a/ cos A sin B sin C= + − 3

2 (ĐS:

2

b/ sin 6A sin 6B sin 6C 0+ + = (ĐS: A B C

3

π

c/ sin5A sin5B sin 5C 0+ + =

2 Tính góc C của ΔABC biết:

a/ (1 cot gA 1 cot gB+ ) ( + ) =2

⎧⎪

⎨

⎪⎩

3 Cho ΔABC có: ⎧⎨ + + <

⎩

cos A cos B cos C 1 sin 5A sin 5B sin 5C 0 Chứng minh Δ có ít nhất một góc 36 0

4 Biết sin A sin B sin C m2 + 2 + 2 = Chứng minh

a/ m =2 thì ΔABC vuông

b/ m > 2 thì ΔABC nhọn

c/ m <2 thì ΔABC tù

5 Chứng minh ΔABC vuông nếu:

a

+

cos B cosC+ = sin Bsin C

Trang 17

c/ sin A sin B sin C 1 cos A cosB cosC+ + = − + +

2

2 1 cos B C

b c

=

−

6 Chứng minh ΔABC cân nếu:

a/

−

sin A sin B sin C cot g A.cot g B

c/ tgA 2tgB tgA.tg B+ = 2

⎞

⎟

⎠

e/ (p b cot g) C ptgB

2

7 ΔABC là Δ gì nếu:

2

+

b/ c c= cos2B bsin 2B+

c/ sin 3A sin 3B sin 3C 0+ + =

d/ 4S= (a b c a c b+ − )( + − )

8 Chứng minh ΔABC đều nếu

a/ 2 a cos A b cosB c cosC( + + ) = + +a b c

b/ 3S 2R sin A sin B sin C= 2( 3 + 3 + 3 )

c/ sin A sin B sinC 4sin A sin BsinC+ + =

2 + + = với m , m , ma b c là 3 đường trung tuyến

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	1,91 MB