Phương trình lượng giác

Tài liệu Ôn thi Đại Học LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh thân mến! Chắc rằng tất cả các em đều có mơ ước thành đạt trên con đường học vấn; Tuy nhiên không phải dễ dàng bởi trước tiên các em phải bước vào được ngưỡng của Đại học, điều mà không dễ ai cũng làm được. Bằng kinh nghiệm của bản thân, tôi viết tài liệu này ngõ hầu trang bị thêm cho các em những kiến thức, kĩ năng, phương pháp giải các phương trình lượng giác, giúp các em tự tin trước khi bước vào trường thi; Mong rằng với kinh nghiệm của tôi cộng với lòng đam mê, khát khao của các em sẽ giúp các em thành đạt trên đường học vấn. Tài liệu chia làm 3 phần Trang - Phần I: Tóm tắt lý thuyết : 2-6 - Phần II: Phương pháp giải - 1- Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 6-8 2- Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 8-11 3-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx 10-12 4-Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc 12-14 5-Phương trình lượng giác đưa về dạng chuẩn dùng công thức nhân ba 14-16 6-Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụ 16-21 7- Phương trình lượng giác dùng phương pháp so sánh 21-25 8- Tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước 25-27 9- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước 27-29 10- Giải và biện luận phương trình lượng giác theo tham số 29-31 11- Bài toán hai phương trình tương đương 31-34 12- Một số bài toán dùng nhiều phép biến đổi lượng giác để đưa vế phương trình tích có nhiều cách giải khác nhau tùy vào cách nhìn 34-37 - Phần III: các bài tập tự luyện. 38-41 Nhâm Thìn 2012 Hoàng Kim Dĩnh Hong Kim Dĩnh Trang : 1 Tài liệu Ôn thi Đại Học PHẦN I :TÓM TẮT GIÁO KHOA I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1) Dấu của hàm số lượng giác Phần tư HSLG I 0<α<ð/2 II ð/2<α<ð III ð<α<3ð/2 IV 3ð/2<α<2ð sinα + + - - cosα + - - + tanα + - + - cotα + - + - 2) Hệ thức cơ bản cos 2 α + sin 2 α = 1 ; tanα = α α cos sin , α ≠ 2 π + kð, k∈Z ; cotα = α α sin cos , α ≠ kð, k∈Z tanα. cotnα = 1, α ≠k 2 π k∈Z x 2 sin 1 = 1 + cot 2 α , α ≠ kð, k∈Z x 2 cos 1 = 1 + tan 2 α , α ≠ 2 π + kð, k∈Z 3) Cung liên quan đặc biet a) Cung đối nhau : cos(-α) = cosα ; sin(-α) = - sinα ; tan(-α) = -tanα ; cot(-α) = -cotα b) Cung bù nhau sin (ð-α) = sinα ; cos(ð-α)=-cosα ; tan(ð-α)= -tanα ; cot(ð-α)= -cotα c) Cung phụ nhau sin( 2 π -α) =cosα ; cos( 2 π -α) =sinα; tan( 2 π -α) =cotα ; cot( 2 π -α) =tanα d) Cung hơn kém nhau ð sin (ð+α) = -sinα ; cos (ð+α) = -cosα ; tan(ð+α) = tanα ; cot(ð+α) = cotα ; e) Cung hơn kém nhau 2 π sin( 2 π +α) =cosα ; cos( 2 π +α) = -sinα; tan( 2 π +α) =-cotα ; cot( 2 π +α) =-tanα 4) Công thức cộng sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa ; sin(a-b) = sinacosb - sinbcosa ; cos(a+b) = cosacosb – sinasinb ; cos(a-b) = cosacosb + sinasinb ; tan(a+b) = ba ba tantan1 tantan − + ; tan(a-b) = ba ba tantan1 tantan + − . cot(a+b) = ba ba cotcot 1cotcot + − ; cot(a-b) = ba ba cotcot 1cotcot − + . 5) Công thức nhân sin2a = 2sinacosa ; cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a sin3a = 3sina – 4sin 3 a ; cos3a = 4cos 3 a – 3 cosa Hong Kim Dĩnh Trang : 2 Tài liệu Ôn thi Đại Học tan2a = aa a tantan1 tan2 − 6) Công thức hạ bậc sin 2 a = 2 2cos1 a− ; cos 2 a = 2 2cos1 a+ sin 3 a = 4 3sinsin3 aa − ; cos 3 a = 4 3coscos3 aa + 7) Công thức chia đô i Đặt t= tan 2 a ( 2 a ≠ 2 π + kð) sina = 2t/(1+t 2 ) ; cosa = (1-t 2 )/ (1+t 2 ) ; tana = 2t/(1-t 2 ) 8) Công thức biến đổi a- Tích thành tổng : sinacosb=[sin(a-b)+sin(a+b)]/2 cosacosb=[cos(a-b)+cos(a+b)]/2 sinasinb=[cos(a-b) -cos(a+b)]/2 b- Tổng thành tích : sina + sinb = 2sin 2 ba + cos 2 ba − ; sina - sinb = 2cos 2 ba + sin 2 ba − ; cosa + cosb = 2cos 2 ba + cos 2 ba − ; cosa - cosb = -2sin 2 ba + sin 2 ba − ; tana + tanb = ba ba coscos )sin( + ; tana - tanb = ba ba coscos )sin( − cota + cotb = ba ba sinsin )sin( + ; cota - cotb = ba ba sinsin )sin( − 9) Dạng đặc biệt sinx + cosx = 2 sin(x + 4 π ) = 2 cos(x – 4 π ) sinx - cosx = 2 sin(x – 4 π ) = 2 cos(x + 4 π ) II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1-Phương trình lượng giác cơ bản Với u, v biểu thức của ẩn x. sinu = sinv ⇔    +−= += ππ π 2 vu k2 vu l cosu = cosv ⇔    +−= += π π 2 vu k2 vu l (k, l ∈ Z) tanu = tanv ⇔    += +≠ π ππ lvu kvu 2/, cotu = cotv ⇔    += +≠ π π lvu kvu, 2-Phương trình trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác a) Dạng : asinx + b = 0 (1) với a≠0, b ∈ R Hong Kim Dĩnh Trang : 3 Tài liệu Ôn thi Đại Học acosx + b = 0 (2) atanx + b = 0 (3) acotax + b = 0 (4) b) Cách giải : (1) ⇔ sinx = - a b  /- a b / > 1 thì phương trình vô nghiệm ; * /- a b /≤ 1 thì đặt sinv= - a b ; v ∈ [- 2 π , 2 π ] Ta được phương trình lượng giác cơ bản : sinx = sinv (2) tương tự (1) , v ∈ [0.ð] (3) ⇔ tanx = - a b , x ≠ 2 π + kð  tanx = tanv , v ∈ (- 2 π , 2 π ) (4) ⇔ cotx = - a b , x ≠ kð ⇔ cotx = cotv , v ∈ (0,ð) 3 -Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác a) Dạng : asin 2 x + bsinx + c = 0 (5) với a, b,c ∈ R acos 2 x + bcosx + c = 0 (6) atan 2 x + btanx + c = 0 (7) acot 2 x + bcotx + c = 0 (8) b) Cách giải : Đặt t = cosx , sinx , tanx, cotx (5),(6),(7),(8) ⇔ at 2 + bt + c = 0 (9) là phương trình bậc hai đối với t, giải phương trình (9) ta tìm t biết t ta suy ra x với lưu ý : t = cosx, sinx thì /t/ ≤ 1 4 -Phương trình bậc nhất đối với sin, cos a) Dạng : asinx + bcosx = c (10) với a, b,c ∈ R b) Cách giải : Cách 1 Chia hai vế cho ba + 2 Đặt cosv = 22 ba a + ; b / sinv = 22 ba b + ,v ∈ [0.2ð] Lúc đó (10) ⇔ sinxcosv + sinvcosx = 22 ba c + ⇔ Sin(x + v) = 22 ba c + là phương trình LG cơ bản. Lưu ý (10) có nghiệm ⇔ c 2 ≤ a 2 + b 2 Cách 2 Chia hai vế cho a sau đó đặt tanv= a b ta được : sinx + tanv cosx = a c ⇔ sinx cosv + sinv cosx = a c cosv ⇔ sin(x+v) = a c cosv là PT cơ bản. Hong Kim Dĩnh Trang : 4 Tài liệu Ôn thi Đại Học Cách 3 Đặt ẩn phụ t=tan 2 x Bước 1 : Xem các giá trị của x = ð + 2kð ,( k∈ Z ) có phải là nghiệm của (10) hay không ? Bước 2 : Với x ≠ ð + 2kð ,( k∈ Z ), đặt t=tan 2 x (10) ⇔ (b+c)t 2 – 2at +c – b = 0 phương trình bậc hai theo t . 6 -Phương trình đối xứng đối với sin, cos a) Dạng : a(sin x + cosx) + bsinx cosx + c = 0 (11) với a, b,c ∈ R a/sin x + cosx/ + bsinx cosx + c = 0 (12) b) Cách giải : Đặt t = sin x + cosx = 2 sin(x+ 4 π ) , /t/ ≤ 2 t = /sin x + cosx/ = 2 /sin(x+ 4 π )/ , 0≤/t/ ≤ 2 khi đó : sinx cosx = (t 2 – 1) /2 và phương trình (11),(12) trở thành phương trình bậc hai theo t, chọn t thoả mãn điều kiện sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản 2 sin(x+ 4 π ) = t hay 2 /sin(x+ 4 π )/=t Chú ý Tương tự với các phương trình gần đối xứng a(sin x - cosx) + bsinx cosx + c = 0 (13) a/sin x - cosx/ + bsinx cosx + c = 0 (14) Đặt t = sin x - cosx = 2 sin(x- 4 π ) , /t/ ≤ 2 t = /sin x - cosx/ = 2 /sin(x- 4 π )/ , 0≤/t/ ≤ 2 khi đó : sinx cosx = (1 - t 2 ) /2 và phương trình (13),(14) trở thành phương trình bậc hai theo t, chọn t thoả mãn điều kiện sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản 2 sin(x- 4 π ) = t hay 2 /sin(x- 4 π )/=t 6 -Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin, cos a) Dạng : asin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x + d = 0 (15), với a, b,c,d ∈ R b) Cách giải : Cách 1 Sử dụng công thức hạ bậc : sin 2 a = 2 2cos1 a− ; cos 2 a = 2 2cos1 a+ ; sin2x = 2 sinx cosx ta được phương trình bậc nhất đối với sin2x, cos2x đã biết cách giải. Cách 2 : Bước 1 : Kiểm tra xem x = 2 π + kð ,(k∈ Z) (tức là cosx=0) có Phải là nghiệm của (15) hay không ? Bước 2 : x ≠ 2 π + kð (k∈ Z) chia hai vế của phương trình (15) cho cos 2 x ta được phương trình : atan 2 x + b tanx + c +d( 1+ tan 2 x) = 0 ⇔ (a+d) tan 2 x + b tanx + c +d = 0 là phương trình bậc hai theo tanx đã biết cách giải . Chú ý - Tất cả các PT đã nêu ở trên gọi là các phương trình chuẩn mực . Hong Kim Dĩnh Trang : 5 Tài liệu Ôn thi Đại Học - Không được cộng độ và radian với nhau . Thí dụ không được viết x = 90 0 + kð mà phải viết x = 2 π + kð hoặc x = 90 0 + k360 0 . - Phải chỉ rỏ các giá trị k, l, m, n … trong nghiệm. - Cần nhớ gía trị đặc biệt của các hàm lượng giác để làm toán cho nhanh. PHẦN II : PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1) Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Bài 1 Giải các phương trình sau : a) 2 + cos2x = -5sinx (Đề thi ĐHQG Hà Nội 97 khối D) b) cos2x + 3cosx + 2 = 0 (Đề thi ĐH Đà Nẵng 97 khối D) c) cos 2 x + sinx +1 = 0 (Đề thi ĐH Đà Lạt 2001 khối D) d) x x sin1 cos − = 1 + sinx (Đề thi ĐH Huế 97 khối D1) e) xx 2coscos5 − + 2sinx = 0 (Đề thi ĐHSP Hà Nội 97 ) f) 3sinx + 2/cosx/ - 2 = 0 (Đề thi ĐH Thủy sản 2000) g) tan 2 x = x x cos cos1+ (Đề thi ĐH Đà Nẵng 2001 khối B- đợt2) h) cos(2x + 4 π ) + cos(2x- 4 π ) + 4sinx = 2 + 2 (1-sinx) (Đề thi ĐH Hàng Hải 2001 ) i ) sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx (Đề thi ĐH Công Đoàn 2001 ) Trước khi giải các phương trình này các em hãy đọc qua tất cả các phương trình để tập nhận xét, rồi nhận dạng trên cơ sở đó chọn cách biến đổi sử dụng công thức thích hợp cho từng phương trình để chuyển từng phương trình về dạng bậc hai đối với một hàm lượng giác Bài giải a) 2 + cos2x = -5sinx Nhận xét : Chỉ chứa sinx, cos2x ta nghĩ ngay ra rằng biến đổi cos2x về sinx bằng công thức nhân đôi cos2x=1-2sin 2 x thì ta được phương trình bậc hai theo sinx. Giải 2 + cos2x = -5sinx ⇔ 2 + (1 – 2sin 2 x ) = -5 sinx ⇔ 2sin 2 x – 5sinx – 3 = 0 (1) ; (1) là phương trình bậc hai đối với sinx , ta đã biết cách giải bằng cách đặt t = sin x , /t/ ≤ 1 ta được phương trình bậc hai : 2t 2 – 5t – 3 = 0 ⇔    −= = 2/1 3 t t , Với 2 giá trị t tìm được chúng ta nhớ phải kiểm tra lại điều kiện /t/ ≤ 1,như vậy t=3 loại; Vậy chỉ có nghiệm t=-1/2 thoả mãn . Với t = -1/2 ta có sinx = -1/2 = sin (- 6 π ) ⇔    ++= +−= πππ ππ kx kx 26/ 26/ ⇔    += +−= ππ ππ kx kx 26/7 26/ (k∈ Z) Vậy : Nghiệm của phương trình là :    += +−= ππ ππ kx kx 26/7 26/ , (k∈ Z) . b) cos2x + 3cosx + 2 = 0 Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cosx và cos2x nên ta sử dụng công thức nhân đôi cos2x = 2cos 2 x – 1 thì ta được phuơng trình bậc hai theo cosx : cos2x + 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2cos 2 x –1 + 3cosx +2 = 0 Hong Kim Dĩnh Trang : 6 Tài liệu Ôn thi Đại Học ⇔ 2cos 2 x + 3cosx +1 = 0 (các em tự giải tiếp) c) cos 2 x + sinx +1 = 0 Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cos 2 x và sinx ta biết ngay biến đổi cos 2 x = 1-sin 2 x ta được phương trình bậc hai theo sinx (các em tự giải) d) x x sin1 cos − = 1 + sinx (*) Nhận xét Đây là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số nên trước tiên ta phải đặt điều kiện, sau đó ta thấy nếu quy đồng thì vế phải là : 1 – sin 2 x = cos 2 x , phương trình trở thành phương trình bậc hai theo cosx. Giải  Điều kiện : sinx ≠ 1 ⇔ x ≠ 2 π + k2ð, (k∈ Z)  Với điều kiện trên (*) ⇔ cosx = 1-sin 2 x ⇔ cosx = cos 2 x ⇔ cos 2 x- cosx = 0 ⇔ cosx(1-cosx)= 0     = = 1cos 0cos x x  Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn điều kiện sinx ≠ 1  Với cosx = 1 ta có : cosx = cos0 ⇔ x = 2kð , (k∈ Z) Vậy : Nghiệm phuơng trình : x = 2kð , (k∈ Z) e) xx 2coscos5 − + 2sinx = 0 (*) Nhận xét Phương trình có ẩn trong căn bậc hai, nên thường ta tìm cách làm mất căn bậc hai, nếu ta chuyển 2sinx về vế phải rồi bình phương thì ta được phương trình chứa cosx, cos2x, sin 2 x dễ dàng chuyển về phương trình bậc hai theo cosx, tuy nhiên chúng ta lưu ý rằng : A = B ⇔ A = B 2 , B ≥ 0 Giải xx 2coscos5 − + 2sinx = 0 ⇔ xx 2coscos5 − = - 2sinx ⇔ 5cosx – cos2x = 4sin 2 x (1) , sinx ≤ 0 (1) ⇔ 5cosx –(2cos 2 x – 1) =4(1-cos 2 x) ⇔ 2cos 2 x +5cosx -3 = 0 ⇔    −= = 3cos 2/1cos x x ( cosx= -3 loại) Với cosx= 1/2 ⇔    +−= += ππ ππ 23/ 23/ kx kx , (k∈ Z) Do sinx ≤ 0 Vậy : Nghiệm của phương trình là x = - 3 π + k2ð , (k∈ Z) f) 3sinx + 2/cosx/ - 2 = 0 (*) Nhận xét Phương trình có ẩn trong gí trị tuyệt đối , nên thường ta tìm cách phá giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa, nhưng đối với bài toán này ta có thể bình phương thì quá trình giải đơn giản hơn: Giải (*) ⇔ 2(/cosx/ - 1) = -3sinx ⇔ 4(/cosx/ - 1) 2 = 9sin 2 x (1) , 0 ≤ sinx (1) ⇔ 4cos 2 x –8/cosx/ + 4 = 9(1-cos 2 x)  13/cosx/ 2 –8/cosx/ - 5 = 0  /cosx/=1, hoặc /cosx/=-5/13 (loại)  x = kð ,(k∈ Z) thỏa mãn 0 ≤ sinx Vậy Nghiệm của phương trình là x = kð ,(k∈ Z) Hong Kim Dĩnh Trang : 7 Tài liệu Ôn thi Đại Học g) tan 2 x = x x cos cos1+ (*) Nhận xét Phương trình có chứa ẩn ở mẫu số nên cần đặt điều kiện trước, sau đó ta thấy vế trái biến đổi về được cos 2 x , lúc đó ta được phương trình bậc hai theo cosx: Giải Điều kiện : cosx ≠ 0 (*) ⇔ sin 2 x = cosx(1+cosx)  1-cos 2 x = cosx(1+cosx)  2cos 2 x + cosx - 1 = 0     = −= 2/1cos 1cos x x (thoả mãn điều kiện bài toán) Vậy Nghiệm của phương trình là : x = (2k+1)ð x = + 3 π + 2lð (k,l,m∈ Z) x = - 3 π +2mð h) cos(2x + 4 π ) + cos(2x- 4 π ) + 4sinx = 2 + 2 (1-sinx) (*) Nhận xét Vế trái của phương trình có chứa (2x + 4 π ) , (2x - 4 π ) nếu [(2x + 4 π ) + (2x - 4 π )]/2 = 2x , [(2x + 4 π ) - (2x - 4 π )]/2 = 4 π nên áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích thì ta được phương trình chứa cos2x, sinx đã biết cách giải. i ) sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx Giải sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx  1- 2 1 sin 2 x = 1 –2sinx  sin 2 x –4 sinx = 0  sinx(sinx –4) = 0     = = 4sin 0sin x x  sinx = 0  x=kð (k ∈ Z) Vậy Nghiệm của phương trình là : x= kð (k ∈ Z) Bài 2 Giải các phương trình sau : (các em tự giải) a) cos2x + sin 2 x + 2cosx + 1 = 0 (Đề thi ĐH – khốiA 76 ) b) cosx - 2 sin 2 x +1 = 0 (Đề thi ĐH – khốiA 82 ) c) 6 cos 2 4x + 11cos4x - 2 = 0 d) cos 6 x + sin 6 x = 4 1 (cos 2 x – sin 2 x)tan2x (Đề thi ĐH - khối A-B-D 84 ) 2-Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Nều trong phương trình chỉ có sinx+cosx và sin2x thì ta đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx. Lưu ý Khi đặt t=sinx+cosx , /t/ ≤ 2 thì : sinx cosx = (t 2 -1)/2 và một số biểu thức đối xứng cần nhớ sin 3 x + cos 3 x = (-t 3 + 3t) /2 ; sin 4 x + cos 4 x = (-t 4 +2t 2 +1)/2 Hong Kim Dĩnh Trang : 8 Tài liệu Ôn thi Đại Học Đương nhiên vì sinx và cosx đều có thể biểu diễn theo t=tan 2 x nên ta có the biểu diễn phương trình theo t , rồi giải tìm được t, ta sẽ đưa về dạng cơ bản tan 2 x =m. Bài 3 Giải các phương trình sau : a) sinx cosx = 6(sinx+cosx-1) b) sinx cosx +2sinx +2cosx =2 (Đề thi ĐH Huế 2000 - A) c) 12sin sincos + + x xx =1 (Đề thi ĐH DL VL 1997) d) sin2x +4(cosx-sinx) =4 (Đề thi Tây Nguyên 2000 - D) e) sinx – cosx +7sin2x =1 (Đề thi ĐH DL Đông Đô 1997) f) sin2x + 2 sin(x- 4 π ) =1 (Đề thi ĐH Nnghiệp 2000 - A) g) /sinx+cosx/+3sin2x =1 (Đề thi ĐH ĐNẵng 1998 - A) h) 1+cos 3 x – sin 3 x = sin2x(Đề thi ĐH Nnghiệp I 2000 -) Bài giải a) sinx cosx = 6(sinx+cosx-1) Nhận xét Đây là phương trình đối xứng đối với sinx, cosx rất rõ ràng, ta chỉ cần thực hiện theo đúng cách giải thì không khó khăn gì. sinx cosx = 6(sinx+cosx-1) * Đặt t = sinx+cosx = 2 sin(x+ 4 π ) , điều kiện /t/ ≤ 2 thì phương trình viết lại : (t 2 – 1)/2 = 6(t-1) ⇔ t 2 – 12t +11 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 11 (loại ) ⇔ 2 sin(x+ 4 π ) = 1 ⇔ sin(x+ 4 π ) = 1/ 2 ⇔ sin(x+ 4 π ) =sin 4 π ⇔    +−=+ +=+ ππππ πππ 24/4/ 24/4/ lx kx ⇔    += = ππ π 22/ 2 lx kx (k,l,m∈ Z) b) sinx cosx +2sinx +2cosx =2 sinx cosx +2sinx +2cosx =2 ⇔ sinx cosx +2(sinx +cosx) =2 ( cách giải như trên ) c) 12sin sincos + + x xx =1 Nhận xét : Phương trình chỉ chứa sinx + cosx và sin2x ta đặt t như trên. Tuy nhiên lưu ý chứa ẩn ở mẫu số nên trước khi giải cần đặt điều kiện sin2x ≠ 1 . Giải  Điều kiện : sin2x ≠ 1  Với điều kiện trên phương trình viết lại :  cosx + sinx = sin2x + 1  Đặt t = sinx+cosx = 2 sin(x+ 4 π ) , điều kiện /t/ ≤ 2 thì ta có : t = t 2 – 1 +1 ta dễ dàng giải (các bạn tự làm – lưu ý kiễm tra điều kiện) d) sin2x +4(cosx-sinx) = 4 Nhận xét : Phương trình chỉ chứa sinx - cosx và sin2x ta đặt t Đặt : t = sinx-cosx = 2 sin(x- 4 π ) , điều kiện /t/ ≤ 2 thì phương trình viết lại : 1- t 2 - 4 t = 4 ⇔ t 2 + 4t + 3 = 0 Hong Kim Dĩnh Trang : 9 Tài liệu Ôn thi Đại Học  t= -1 hoặc t = -3 (loại)  2 sin(x- 4 π ) = -1 (dễ dàng giải- các em tự giải) e e) sinx – cosx +7sin2x =1 (Các em giải tương tự bài d) f) sin2x + 2 sin(x- 4 π ) =1 Nhận xét : Trong phương trình chứa 2 sin(x- 4 π ) = sinx - cosx và sin2x , sau khi biến đổi ta có phương trình giống bài d,e . (Các em tự giải) g) /sinx+cosx/+3sin2x =1 Nhận xét : Trong phương trình chứa /sinx+cosx/ và sin2x nên theo cách giải ta đặt : t= /sinx+cosx/ = 2 /sin(x+ 4 π )/ với điều kiện 0≤t ≤ 2 Giải Với cách đặt như trên thì phương trình /sinx+cosx/+3sin2x =1 viết lại như sau : t + 3(t 2 – 1 ) = 1 ⇔ 3t 2 + t – 4 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 4 − (loại) Với t = 1 ⇔ 2 /sin(x+ 4 π )/ = 1 ⇔ 2 /sin(x+ 4 π )/ = 1 hoặc 2 /sin(x+ 4 π )/ = -1 Đến đây các em đã biết cách giải . h) 1+cos 3 x – sin 3 x = sin2x Nhận xét : Trong phương trình chứa cos 3 x – sin 3 x và sin2x ta biến đổi cos 3 x – sin 3 x = (cosx – sinx)( sin 2 x + sinx cosx + cos 2 x) =(cosx – sinx)( 1 + sinx cosx ) như vậy phưong trình chỉ chưá cosx-sinx và sinx cosx ta đã biết cách giải. Giải 1+cos 3 x – sin 3 x = sin2x ⇔ 1+ (cosx – sinx)( 1 + sinx cosx ) = 2sinx cosx Đặt t = sinx – cosx = 2 sin(x- 4 π ) , điều kiện /t/ ≤ 2 thì phương trình viết lại : 1-t[1+(1-t 2 )/2]=1-t 2 ⇔ t=0 hoặc t 2 + 2t + 3 = 0 (vô nghiệm)  sin(x- 4 π ) = 0 đây là phương trình cơ bản các em đã biết cách giải. Bài 4 Giải các phương trình sau (tự giải) a) sin 2 x +sinx + cos 3 x = 0 (ĐS : x= - 2 π + 2mð,x = - 4 π + a + 2lð, x = 4 π - cosa + 2mð ,trong đó sina = ( 2 -2)/2 (k,l,m∈ Z) b) 1+sin 3 x +cos 3 x = 2 3 sin2x (ĐS : x = - 2 π +2mð , x = -ð+ 2lð ) c) sin2x -4(sinx – cosx) = 4 (ĐS : x = - 2 π +2mð , x = 2lð ) d) /xinx-cosx/ + 4sin2x = 1 (ĐS : x = 2 π +2mð , x = ð+ 2lð ) x = - 2 π +2nð , x = 2kð ) 3-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx Bài 5 Giải các phương trình sau : a) 2sin 2 x – cosx sinx – cos 2 x = -1 (Đề thi ĐH Nông N1 1997 - A) Hong Kim Dĩnh Trang : 10 [...]... HCM – 2001) b) Cho phương trình sin3x = msinx + (4-2m)sin 2 x Tìm tất cả m để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc [0,3 π ] (Đề thi Đaị Học SP2 – D+E – 2000) c) Cho phương trình cos4x + 6sinx cosx = m π Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0, ] 4 (Đề thi Đaị Học QG HCM –A1 – 1999) d) Cho phương trình (cosx+1)(cos2x-mcosx) = sin 2x 2π Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm... -1  m  -1/2 thì phương trình có đúng hai nghiệm thoả mãn bài toán Bài 20 (Tự giải) a) Cho phương trình cos3x – sin3x = m Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [- π π , ] 4 4 (Đề thi Đaị Học QG HCM – A – 2000) b) Cho phương trình sin3x – mcos2x – (m+1)sinx + m = 0 Tìm m để phương trình có đúng 8 nghiệm phân biệt thuộc (0,3 π ) (Đề thi Đaị Học SP2 – D+E – 2000) c) Cho phương trình cos2x = m cos... trình cos2x = m cos 2x 1 + tan x π Tìm m để phương trình có nghiệm trong [0, ] 3 (Đề thi HV Quân Sự – 2000) d) Cho phương trình cos3x – cos2x +mcosx - 1 = 0 π Tìm m để phương trình có đúng 7 nghiệm phân biệt thuộc (- ,2 π ) 2 (Đề thi Đaị Học Y Khoa HCM – 1999) 10- Giải và biện luận phương trình lượng giác theo tham số Bài 21 a) Với giá trị nào của m thì phương trình : sin2x + 4(cosx-sinx) = m có nghiệm... 2 )  0 nên phương trình f(x) = 0 có duy nhất 1 nghiệm trên [0, 2 ] Vì vậy phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình : / a + 1 / + / a − 1 / = 2  x 2 − 2 cos 2 x = 0     2 2 theo lập luận trên hệ phương trình  2 − x sin x + 2 + x cos x = 2  0 ≤ x ≤ 2  / a / ≤ 1 − 2 ≤ x ≤ 2    luôn có nghiệm duy nhất Vậy /a/ ≤ 1 phương trình có nghiệm duy nhất /a/  1 thì phương trình đã cho... HCM 2001) 11- Bài toán hai phương trình tương đương a) Khaí niệm về hai phương trình tương đương : Hai phương trình (1) và (2) được gọi là tương đương , nếu mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) và ngược lại ( Hai phương trình vô nghiệm xem là tương đương) b) Cách giải :Giả sử ta cần tìm điều kiện để hai phương trình (1) và (2) tương đương Chúng ta hãy chọn lấy một phương trình với việc giải và biện... các nghiệm thuộc (0; 2 π ) của phương trình : = sin2x+cos2x 1 − cos x (Đề thi ĐH Y Dươc HCM hệ cử nhân – 2001) d) Tìm x ∈[0;14] nghiệm đúng phương trình : cos3x-4cos2x+3cosx -4 =0 (2002-D) 9- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Bài 19 a) Cho phương trình 2cos2x + sin2x cosx + sinx cos2x = m(sinx+cosx) (1) π Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc... dầu đây là phương trình mới nhìn vào ta thâý không 4 thuộc loại đẵng cấp nhưng nếu chúng ta biến đổi vế phải : cosx=cosx(cos2x + sin2x ) thì ta được phương trình đẵng cấp bậc ba ) π d) 5sin4x + 3cos3xsinx +6cos2xsin2x-cosxsin3x+cos4x = 2 (Đs : x = + kð, x= lð) 2 e) 4(sin3x+cos3x) = cosx + 3sinx (Đề thi dự bị 1-ĐH – 2004-A) 4 -Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc Khi gặp các phương trình có chứa... –tanx-(m+1) = 0 Phương trình có nghiệm  ∆ =1+4(2-m)(m+1) ≥ 0 1 − 10 1 + 10 ≤ m≤ 1+4(2m+2-m2-m)= -4m2+4m+9 ≥ 0  2 2 1 − 10 1 + 10 Vậy Với m ∈ [ , ] thì phương trình (*) luôn có nghiệm 2 2 Lưu ý Ta có thể chuyển phương trình trên về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x : 1 − cos 2 x 1 1 + cos 2 x 2 - sin2x -m=0  2-2cos2x-sin2x-1-cos2x-2m = 0 2 2 2  sin2x+3cos2x+2m-1 = 0 Phương trình có nghiệm... sin 2 x ) 2 =1 2 sin x + 2 − sin 2 x = 2  Do đó phương trình tương đương với hệ :  giải hệ phương trình naỳ sin x 2 − sin 2 x = 1  ta có nghiệm phương trình là : x = Hong Kim Dĩnh π + k2 π (k ∈ Z) 2 Trang : 24 Tài liệu Ôn thi Đại Học 8- Tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước Ta thường gặp nhữnng bài toán tìm nghiệm của phương trình thoả mãn một vài điều kiện cho trước Để giải... /a-5/(1+cos2x) (2) Tìm a để hai phương trình trên tương đương (Đề thi ĐH Lâm Nghiệp 2001) b) Tìm a để hai phương trình sau tương đương 1 sinx cos2x = sin2x cos3x – sin5x (1) 2 acos2x + /a/cos4x+cos6x = 1 (2) (Đề thi ĐH Năm 1979 – A – B) 12- Một số bài toán dùng nhiều phép biến đổi lượng giác để đưa vế phương trình tích có nhiều cách giải khác nhau tùy vào cách nhìn Bài 25 Giải các phương trình sau : 1 + cos x . 8-11 3 -Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx 10-12 4 -Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc 12-14 5 -Phương trình lượng giác. 14-16 6 -Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụ 16-21 7- Phương trình lượng giác dùng phương pháp so sánh 21-25 8- Tìm nghiệm của phương trình