CT va nhan dang tam giac

Cung liên kết Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo a... Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn... Chứng minh : ĐC: Dương Sơn, Hịa Châu, Hịa Vang, Đà Nẵng.

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

cos

α

α =

α với cosα ≠0cos

12

IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo)

a Đối nhau: và α −α

b Bù nhau: và α π − α

sin a b sinacos b sin b cosa

cos a b cosacos b sin asin b

VI Công thức nhân đôi

sin2a 2sinacosa

cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1

2tgatg2a

1 tg acot g a 1cot g2a

2cot ga

−

VII Công thức nhân ba:

3 3

sin3a 3sina 4sin a

cos3a 4 cos a 3cosa

21cos a 1 cos2a

2 2 2

2

2tsin a

1 t

1 tcosa

1 t2ttga

cosacos bsin b acot ga cot gb

21sina.sin b cos a b cos a b

21sina.cos b sin a b sin a b

sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1

sin a cos a sin acos a 1

1 2sin acos a sin acos a 13sin acos a

Do đó: sin a cos a 146 46 2sin acos a 222 22

sin a cos a 1 3sin acos a 3

2 1 cos x 2sin x 2A

sin x sin x sin x

Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:

a A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x= 4 − 4 + 2 2 + 2

A 2 cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x

A 2 cos x 1 2 cos x cos x cos x cos x 3 3cos x

A 2

⇔ = (không phụ thuộc x)

b Với điều kiện sin x.cosx 0,tgx 1≠ ≠

Ta có: B 2 cot gx

tgx 1 cot gx 1

1+

ĐC: Dương Sơn, Hịa Châu, Hịa Vang, Đà Nẵng

1 cosa 1 cos b sin c cot g bcot g c cot ga 1

2sina sin a sin bsin c

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong

Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn

Tìm giá trị nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC=

Vậy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC= = + +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta được

3tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC+ + ≥

Bài 7: Cho hàm số y = sin x cos x 2msin x cos4 + 4 − x

Tìm giá trị m để y xác định với mọi x

ĐC: Dương Sơn, Hịa Châu, Hịa Vang, Đà Nẵng

Xeùt f (x) sin x cos x 2m sin x cos x= 4 + 4 −

21m

Do đó : A sin4 sin47 sin4 3 sin4

Ta có : (*) ⇔ 8 cot g tg 2tg 4tg

Mà : cot ga tga cos a sin a cos a sin a2 2

sin a cos a sin a cos a

−

cos 2a 2 cot g2a

1 sin2a2

⇔ = (hiển nhiên đúng)

=

a/

b/

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x+ + + = −

a/ Ta có : cos x cos2 2 2 x cos2 2 x

sin a sin b sin a sin b

−

sin b asin a sin b

−

=

Do đó : cot gx cot g2x sin 2x x( ) 1 ( )1

sin x sin 2x sin 2x

sin16x sin 8x sin16x

−

=Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được

cot gx cot g16x

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x

Bài 13 : Chứng minh : 8sin 18 +3 0 8sin 182 0 =1

Ta có: sin180 = cos720

⇔ sin180 = 2cos2360 - 1

⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1

⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1

⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 )

⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0

1

1 1 cos44

3 1 cos4x

4 4

= +b/ Ta có : sin6x + cos6x

) (sin x cos x sin x sin x cos x cos x2 2 )( 4 2 2 4

1 9 6cos 4x cos 4x 1 1 1 cos 4x

Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x3 + 3 = 3

Cách 1:

Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x3 + 3 = 3

(3sin x 4 sin x sin x3 ) 3 (4 cos x 3cos x cos x3 ) 3

Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x3 + 3

3sin x sin 3x 3cos x cos 3x

o o o o o 3 1cos12 cos18 4 cos15 co

=

o

8 3 cos203

=

Bài 19 : Cho ΔABC, Chứng minh :

ĐC: Dương Sơn, Hịa Châu, Hịa Vang, Đà Nẵng

a/ sin A sin B sin C 4 cos cos cosA B C

2A

b/ cA cosB cosC 1 4sin sin sinB C

so

c/ sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C+ + =

d/ cos2A +cos B cos C2 + 2 = −2cos A cosBcosC

e/ tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + =

f/ cot gA.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + =

g/ +cot gA cot gB +cot gC = cot g cot g cot gA B

cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)

= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C

= - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C

= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC

Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0

Bài 21 : Cho ΔABC Chứng minh :

2 + = π −2

3C2

ĐC: Dương Sơn, Hịa Châu, Hịa Vang, Đà Nẵng

Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh :

sin A sin B sin C tgA tg cot gB Ccos A cosB cosC 1 2 2 2

2

⇔tg tgA C tg tgB C tg tgA B 1 1( )

2 2 + 2 2 + 2 2 =

Ac B C sin cos cosB C A C A B

2 ( hiển nhiên đúng)

Bài 24 : tgA tgB tgC 3 cos A cosB cosC( )*

2 2 2 sin A sin B sin C

Do đó : Vế trái

Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2

2 là cấp số cộng

⇔ cot gA cot gC 2cot gB

Bài 27 : Cho ΔABC Chứng minh :

ĐC: Dương Sơn, Hịa Châu, Hịa Vang, Đà Nẵng

(Xem chứng minh bài 19g )

Mặt khác :tg cot g sin cos 2

cos sin sin 2

a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC

b/ Đ

Chứng minh (p-1)(q-1)ặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q 4

4 Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x :

c/ C cos x a= 2( − )+sin x b2( − )−2cos x a sin x b sin a b( − ) ( − ) ( − )

5 Cho ΔABC, chứng minh :

otgAcotgB + cotgBcotgC + cotgC otgA = 1

s C 1 2cos A cosBcosC= −in3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0

6 Tìm giá trị nhỏ nhất của :

7 Tìm giá trị lớn nhất của :

a/ y sin x cos x cos x sin x= +

b/ y = sinx + 3sin2x

c/ y cos x= + 2 cos x− 2

ĐC: Dương Sơn, Hịa Châu, Hịa Vang, Đà Nẵng