Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 2014 môn thi: Toán học 820722

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI : TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 12/4/2014 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (4 điểm) 2  x   x 1 Cho biểu thức: A      x  1  :  x  3x x   3x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu 2: (4 điểm)     a) Chứng minh A =  n3 (n2  7)2  36n  với  nZ b) Cho P = n4 + Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tè Câu 3: (4 điểm) a) Giải phương trình : 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c   3 bca acb abc Câu 4: (6 điểm) Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB kẻ hai tia Ax By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A) Từ O kẻ đường thẳng vng góc với OC, đường thẳng cắt By D Từ O hạ đường vng góc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 = AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N giao điểm BC AD Chứng minh MN//AC Câu 5: (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a + b +c = Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab    bc ca ab Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI ThuVienDeThi.com CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KÌ THI NGÀY 12/4/2014 MƠN THI : TỐN Ghi chú: Đáp án sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai khơng chấm điểm Nếu HS giải cách khác chấm điểm phần tương ứng HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM ĐIỂM Câu 2  x   x 1 a) A      x  1  : 3 x x  x   x  0,5đ ( x  1)  x( x  1)  x  2 A   : x 3x  3x x  0,5đ  2(1  x)  x A  x  x   3x 0,5đ 2x x  x 1 x 1 0,5đ A  b) Với x  0; x  1 Ta có A  2x  2 x 1 x 1 0,5đ Để A  Z (x-1) phải ước 0,5đ Suy x   1;  2 Xét trường hợp tìm x Đối chiếu điều kiện tìm x = x = thỏa mãn kết luận 0,5đ 0,5đ Câu     a) Ta có: A =  n3 (n2  7)2  36n  A  n  n( n2  7)    n( n2  7)    n(n3  7n  6)(n3  7n  6)     n(n3  n  6n  6)(n3  n  6n  6)  n  n(n2 1)  6(n  1)   n(n2 1)  6(n 1)           n(n  1) n2  n  n 1 n2  n   n n  1n  n  3n 1n  n  3 Do A tích số ngun liên tiếp => A  với  nZ b) b) P = n4 + = n4 + 4n2 + - 4n2 = (n2 + 2)2 - (2n)2 ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ = (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n + 1)2 + 1] Vì n số tù nhiªn nªn (n + 1)2 +  2; ph¶i cã (n - 1)2 + = hay (n - 1)2 Nh- muốn P số nguyên tè th× = 0, suy n = 0,5đ 0,5 0,5 Khi P = số nguyên tè Câu 3: a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; 0,5đ x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; TXĐ : x  4; x  5; x  6; x  7 Phương trình trở thành : 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 0,5đ   1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1   x  x  18  18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)  (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2 (thỏa mãn) Kết luận 0,5đ 0,5đ b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Ta có x, y, z >0 Từ suy a= yz xz x y ;b  ;c  ; 2 Thay vào ta A=  yz xz x y   2x 2y 2z 1 y x x z y z  (  )  (  )  (  )  2 x y z x z y  Từ suy A  (2   2) hay A  Câu (6 điểm) Hình vẽ ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ D M C N A B O a) Xét  ACO  BOD có ฀A  B ฀ = 900 ; ฀ ฀ ฀ COA  ODB (cùng phụ với DOB ) 0,5đ Nên  ACO đồng dạng với  BOD => 0,5đ AO BD  => AO.BO = AC.BD AC BO 0,5đ 0,5đ mà AO=BO Nên AO2 = AC.BD b) Xét  CMO  OMD có ฀ ฀ CMO = OMD = 900 ฀ ฀ ฀ OCM  DOM (cùng phụ với COM ) 0,5đ =>  CMO đồng dạng với  OMD => CO OM  (1) OD MD Mà  ACO đồng dạng với  BOD => CO AO  OD BD => CO OB (2) (Do AO = OB)  OD BD Từ (1) (2) ta có dạng 0,5đ 0,5đ OM OB  => tam giác OMD tam giác OBD đồng MD BD 0,5đ ฀ ฀  BOD => MOD => OMD  OBD (cạnh huyền , góc nhọn) => OM = OB = OA suy tam giác AMB vuông M ThuVienDeThi.com c) Ta có AC // BD (cùng vng góc với AB) => CN AC  NB BD mà BD = MD (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) Tương tự ta chứng minh AC = CM Nên CN CM  => MN// BD//AC BN DM 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 5: - Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c) 0,5đ c + ab = (c + a)(c + b) đó: VT  (a  b)(a  c) (b  a )(b  c) (c  a )(c  b)   bc ca ab 0,5đ áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có (a  b)(a  c) (b  a )(b  c)   2(a  b) bc ca (a  b)(a  c) (c  a )(c  b)   2(a  c) bc ab (b  a )(b  c) (c  a )(c  b)   2(b  c) ac ab 0,5đ Vậy VT  4(a  b  c)  hay VT   ĐPCM Đẳng thức xảy  a = b =c= 0,5đ ThuVienDeThi.com ...CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KÌ THI NGÀY 12/4 /2014 MƠN THI : TỐN Ghi chú: Đáp án sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt... ngun liên tiếp => A  với  nZ b) b) P = n4 + = n4 + 4n2 + - 4n2 = (n2 + 2)2 - (2n)2 ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ = (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n + 1)2 + 1] Vì...  (  )  (  )  2 x y z x z y  Từ suy A  (2   2) hay A  Câu (6 điểm) Hình vẽ ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ D M C N A B O a) Xét  ACO  BOD có ฀A  B ฀ = 900 ; ฀ ฀ ฀ COA  ODB