hệ thống bài tập tích phân đa dạng này sẽ giúp các bạn luyện tập và nâng cao trình độ của mình
TÍCH PHÂN LAISAC biên soạn. http://laisac.page.tl A. TÌM CÁC NGUYÊN HÀM. ∫ − dx xx xx 49 32 ; ; dxxx x )ln1( + ∫ ∫ − + dx x xx 2sin2 sincos ; ∫ dx xx x 4ln 2ln ; ∫ − xx dx sin22sin ; . 13 1 24 2 ∫ + − + dx x x x B.ĐỔI BIẾN SỐ.Tính các tích phân: dx xx x ∫ +− + 1 0 2 44 32 ; dx xx x ∫ −− +− 1 0 2 52 1 ; dx xx x ∫ +− 1 0 2 3 54 dx x x ∫ − − 1 0 3 )12( 25 ; ∫ + − 1 0 3 1 1 dx x x ; dx x xx ∫ + +− 2 0 4 4 1 1 ; . 1 1 2 1 4 2 dx x x ∫ + − ; dx x x ∫ + + 1 0 6 4 1 1 ; ; ∫ − 1 0 635 )1( dxxx ∫ 2 0 5 cos π xdx ; ∫ 2 0 4 sin π xdx ; ∫ 4 0 3 π xdxtg ; ∫ 2 4 sin π π x dx ; ∫ 2 4 cos π π x dx ; ∫ 4 0 4 cos π x dx ; ∫ 4 0 3 cos π x dx ; ∫ 4 0 4 π xtg dx ; ∫ π 0 5cos3sin xdxx ∫ π 0 2 cos2sin xdxx ; ∫ + 2 0 cos1 3sin π dx x x ; ; cossin sin 2 0 3 ∫ + π dx xx x ∫ + − 4 0 2sin2 sincos π dx x xx ; dx x xx ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π ; dx x xx ∫ − + 3 0 2cos6 sin32sin2 π ; ∫ + 3 4 2 cos1.cos π π dx xx tgx ; ∫ 3 4 35 cossin π π xx dx ; ∫ ++ 2 0 3sin2cos π xx dx ; ∫ 6 0 3 2cos π dx x xtg ; ∫ + 2ln 0 1 x e dx ; ∫ − 2ln 0 1dxe x ; ∫ + 1 0 2 12x dxx ; ∫ + 4 7 2 2 9xx dxx ; ∫ + 2 0 2 1xx dx ; ∫ + 1 0 2 2 4x dxx ; ∫ − 2 2 0 2 2 1 x dxx ; ∫ + 22 3 2 2 1xx dx ; ∫ − 2 3 2 2 1xx dx ; ∫ + 1 0 22 )31( x dx ; ∫ − 1 0 22 34 dxxx ; ∫ + 2 0 33 3 cossin sin π dx xx x ; dx x xx ∫ + π 0 2 cos1 sin .cossin 0 2008 xdxxx ∫ π ; ∫ + + 2 0 2 cos1 sin π dx x xx ; dxtgxLn )1( 4 0 + ∫ π ; dx e x x ∫ − + + π π 1 2cos1 ; dx x x ∫ − + π π 12 4 ; C.TỪNG PHẦN. ∫ 2 0 2 cos π xdxx ; ; ∫ e xdx 1 3 ln ∫ 2 1 ln e dxx ; ; ∫ + 1 01 3 )1ln( dxxx ∫ e xdxx 1 2 ln ∫ 2 0 2cossin π xdxxx ; ; ∫ π e e dxx)cos(ln dxe x ∫ + 1 0 13 ; ∫ + 4 0 2cos1 π dx x x ; dx x xx ∫ 3 6 2 cos sin π π ; () dx x x ∫ 3 6 2 cos sinln π π ; ∫ + e e dx x x 1 2 )1( ln dx x xx ∫ 4 0 4 2 cos 2sin π ; ∫ + 1 0 1 x x e dxxe ; ∫ + 3 1 2 1 ln x xdxx ; ∫ + + 1 0 2 )2( 1ln dx x x ; ∫ + 2 0 2sin1 π x xdx ; ∫ − ++ 1 1 22 )ln( dxxax ; D.TỔNG HỢP. ∫ + 2 0 ).2sin( π dxexx x ; . cos4 2sinsin 0 2 dx x xxx ∫ − + π ; dx x xx e e ∫ + + 2 cos1 ln1 2 ; dx x xx ∫ + + 2 0 cos1 3sin π dx x tgxxx ∫ + + 4 0 4 2cos1 cos π ; dxx xx x e ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 2 ln ln1 ln ; ∫ +− 2 0 24 3 3cos3cos cos π dx xx x ; . cos1 sin1 2 0 dxe x x x ∫ + + π ; ∫ ++ ++ 1 0 12 2 )12( dxexx xx dxexx x xsin 2 0 2 .cos 2 cos2 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + π ; dx x x e e ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 ln 1 ln 1 2 . Giải các phương trình : 0cos1.2sin 0 2 =+ ∫ x dttt ; ∫ = + x t dt t et 0 2 2 1 )2( với x > 0 . E TÍCH PHÂN DẠNG: .)( ∫ = b a dxxfI Phương pháp chung :+Lập bản xét dấu,và dùng tích chất ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( (với bac ;∈ ) để phá trị tuyệt đối.Hoặc: +Nếu f(x) không đổi dấu trong [a;b]thì ∫∫ == b a b a dxxfdxxfI )()( . +Nếu f(x) đổi dấu khi qua c với bac ;∈ thì ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( . (c chính là nghiệm phương trình f(x) = 0). Ví dụ 1. Tính dxxxI ∫ +−= 3 0 2 23 . Cách 1. ()()( dxxxdxxxdxxxdxxxI ∫∫∫∫ +−++−−+−=+−= 3 2 2 2 1 2 1 0 2 3 0 2 23232323 ) (Xét dấu). Cách 2.Ta có ()()() .23232323 3 2 2 2 1 2 1 0 2 3 0 2 ∫∫∫∫ +−++−++−=+−= dxxxdxxxdxxxdxxxI Ví dụ 2. Tính dxxJ ∫ −= π 0 2cos1 . HD.Ta có =−= ∫ dxxJ π 0 2cos1 =+= ∫∫∫ π π π π 2 2 00 sin2sin2sin2 xdxxdxdxx . Ví dụ 3.Tính diện tích S hình phẳnh (H) giới hạn bỡi ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −= −= )3(0 )2(2 )1(2 2 x xy xxy HD.Hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và (2)là nghiệm xx 2 2 − = 22 =⇒− x x . Hoành độ giao điểm của đồ thị (1) , (3) và (2) ,(3) là x = 0. Khi ⇒∈ ]2;0[ x đồ thị (1) trở thành y = -x 2 + 2x. Vậy () () =++−=++−=−−−= ∫∫∫ 2 0 2 2 0 2 2 0 2 22)2(2 dxxxdxxxdxxxxS . Ví dụ 4. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bỡi : ⎩ ⎨ ⎧ =+ −= )5(02 )4(2.34 y y xx HD.Hoành độ giao điểm hai đường (4) và (5) là nghiệm : 1;0022.34 ==⇒=+− xx xx Vậy () =+−=+−= ∫∫ 1 0 1 0 22.3422.34 dxdxS xxxx