SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2008 – 2009 Mơn : Tốn Thời gian làm 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Bài (5 điểm) Cho biểu thức A x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A Bài (4 điểm) Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : x2 + 2kx + = 2 x x Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức : x2 x1 Bài (3 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy > x Tìm giá trị lớn biểu thức : M y Bài (2 điểm) Cho phương trình : 2 x 2 x 2 x 2 x a) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa b) Giải phương trình Bài (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD AB BD Hai đường chéo AC BD cắt G Trên đường thẳng vng góc với AC C lấy điểm E cho CE = AG đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F cho DF = GB a) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG b) Chứng minh GF EF HẾT ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN KÌ THI HSG CẤP TỈNH MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2008-2009 Giải Bài (5 điểm) Cho biểu thức A x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x c) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa d) Rút gọn biểu thức A Điều kiện : x 0; x 4; x x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x A = = = = x 9 x x 1 x 2 x 3 x 2 x x 3 x 3 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2 x x 2x x x x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x x 2 x 1 x 3 Bài (4 điểm) Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : x2 + 2kx + = 2 x x Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức : x2 x1 Phương trình : x + 2kx + = có hai nghiệm x1 ; x2 , k k 4(*) x x 2k Khi ta có : Vậy : x1 x2 2 2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 x12 x22 3 3 3 x1 x2 x2 x1 x1 x2 k 4k k k k (**) k k 2 k Kết hợp (*) (**) ta có : k Vậy để phương trình : x2 x x + 2kx + = có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa : : x2 x1 x 2 x Bài (3 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy > ThuVienDeThi.com x Tìm giá trị lớn biểu thức : M y Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + + x + y + = (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = (*) Vì x 1 – x 1y 1 y 1 2 2 = x 1 y 1 y 1 Nên (*) x + y + = x + y = - 1 x y 2 2 Ta có : M x y xy xy 2 x y xy xy xy xy Vậy MaxM = -2 x = y = -1 Bài (2 điểm) Cho phương trình : 2 x 2 x 2 x 2 x a) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa b) Giải phương trình a) điều kiện : x 2 x b) 2 x 2 x 2 42 x 2 x 2 x 2 x 2 42 x (1) Đặt x = a ; x = b ( a ; b 0) a b Ta có : a b2 2 2 a b a b 2 2 a b ab a b a b 2ab 2 a b a b ab ab a b (I) a b ab Vì ab + > nên : a b 2ab ab I a b a b 2 b b a b a a a 1 a a 2a a a (loai a 0) a x 1 x3 x b ThuVienDeThi.com Bài (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD AB BD Hai đường chéo AC BD cắt G Trên đường thẳng vuông góc với AC C lấy điểm E cho CE = AG đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F cho DF = GB c) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG d) Chứng minh GF EF ABCD : AB // CD ; CD > AB ; B A AB BD X AB BD ; AG = CE ; BG = DF // E G \\ Chứng minh : a) FDG ~ ECG b) GF EF X D F C Chứng minh : BG GD DF GD , mà AG = CE ; BG = DF AG GC CE GC DF GD Xét FDG ECG có : ; GDF GCE 900 FDG ~ ECG ( c-g-c) CE GC b) Ta có FDG ~ ECG GFD GEC GFCE nội tiếp GCE chắn GE GFE mà GCE 900 GFE 900 GF FE a) Ta có AB // CD ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN KÌ THI HSG CẤP TỈNH MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2008- 20 09 Giải Bài (5 điểm) Cho biểu thức A x ? ?9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x c) Tìm điều kiện x... GCE 90 0 FDG ~ ECG ( c-g-c) CE GC b) Ta có FDG ~ ECG GFD GEC GFCE nội tiếp GCE chắn GE GFE mà GCE 90 0 GFE 90 0 GF FE a) Ta có AB // CD ThuVienDeThi.com... x + y + = (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = (*) Vì x 1 – x 1y 1 y 1 2 2 = x 1 y 1 y 1