PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2016-2017 Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn : TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P = x +1 x x +1 x - x +1 a) Rút gọn P b) Chứng minh P Bài 2: (2 điểm) Chứng minh n3 - n chia hết cho với n Z Bài 3: (4 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = a) Tính giá trị biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1+ 1+ x y Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = Bài 5: (2 điểm) Tìm tất số có chữ số abcde cho abcde ab Bài 6: (5 điểm) Cho hình vuông ABCD, O giao điểm hai đường chéo M trung điểm cạnh AB Trên cạnh BC, CD lấy hai điểm G H cho hai đường thẳng MG AH song song với a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA b) Tính số đo góc HOG - HẾT - Lưu ý : Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com PHỊNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4đ) HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) a) ĐKXĐ: x P= x +1 x x +1 x - x +1 = x +1 x +1 x - x +1 x - x +1 0,25 0,5 x - x +1 x +1 x+ x = x +1x - x +1 x +1x - x +1 1,0 x x - x +1 b) x 0,75 = 0,5 x - x = x 2 4 x P= 0 x - x +1 P= n3 - n = n(n2 -1) = n(n+1)(n-1) Bài (2đ) Bài (4đ) 3 0,5 0,5 Ta có n(n+1) => P n(n+1)(n-1) 3=> P Mà (2,3) = => P 0,5 0,5 0,5 0,5 a) M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15 = x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15 = x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15 = (x +y)2 + 2000(x + y) + 15 = 12 + 2000.1+15 = 2016 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 x+y + b) P = 1+ 1+ = + + + = + y x xy xy xy x y =1+ 1 + =1+ xy xy xy 0,5 0,5 Ta có: x + y xy 1 xy xy 4 xy P=1+ 1+ 2.4=9 xy Vậy GTNN P x = y = ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 Bài (3đ) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = (x2 + 4x + x + 4)(x2 + 3x + 2x + 6) - 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = Đặt t = x2 + 5x + ta phương trình: t(t + 2) - 24 = t2 + 2t - 24 = t2 - 4t + 6t - 24 = t(t - 4) + 6(t - 4) = (t - 4)(t + 6) = t = t = -6 Với t = ta x2 + 5x + = x = 0; x = -5 Với t = -6 ta x2 + 5x + = -6 x2 + 5x + 10 = 15 (x + )2 + = Pt vô nghiệm Bài (2đ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = -5 Đặt x = ab , y = cde ta có abcde = 1000x + y 1000 31< x 1000x x3 < 1000x+1000 => 1000 x2 < 1000+ 0,25 0,5 0,25 0,25 A M B O G C D H a) ADH GBM có: = GBM (=900) ADH AHD = GMB ( cặp góc có cạnh tương ứng song song) => ADH GBM (g-g) => DH AD = BM GB => DH.GB = BM.DA b) Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a) 2 ADO vuông cân O => AD = DO 2 DH.GB = BM.DA = BO DO =BO.DO MBO vuông cân M => BM = BO ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 => => => => => DH DO mà ODH = GBO (=450) BO GB ODH GBO (c-g-c) = BGO DOH + HOG + GOB = BGO + GOB + OBG (=1800) DOH = OBG = 450 HOG Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 ...PHỊNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4đ) HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) a) ĐKXĐ: x P=... + HOG + GOB = BGO + GOB + OBG (=1800) DOH = OBG = 450 HOG Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 ... 2000.1+15 = 2016 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 x+y + b) P = 1+ 1+ = + + + = + y x xy xy xy x y =1+ 1 + =1+ xy xy xy 0,5 0,5 Ta có: x + y xy 1 xy xy 4 xy P=1+ 1+ 2.4 =9 xy Vậy