Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có bán kính bằng: A... Đường thẳng đi qua Q, vuông góc với AB cắt đường tròn O tại hai điểm P và S khác nhau.. Gọi G là giao điểm của các đường thẳn
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 2 trang
Phần I: Trắc nghiệm khách quan ( 2,0 điểm ) Các câu dưới đây, mỗi câu có 4
phương án trả lời (A, B, C, D) trong đó chỉ có một phương án đúng Hãy chọn phương án đúng (chỉ cần viết tên chữ cái đứng trước phương án vào bài làm)
Câu 1: ( 0,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng:
d1: y = – 2x + 1 và d2: y = – x – 1
Hai đường thẳng dó cắt nhau tại điểm có tọa độ là:
A (2; – 3) B (3; – 2) C (0; 1) D (– 2; 1)
Câu 2: (0,5 điểm) Trong các phương trình sau, phương trình nào có tổng hai
nghiệm bằng 6:
A x2 – 6x + 26 = 0 B 2x2 – 12x – 3 = 0
C x2 – 6 =0 D 2x2 + 12x +1 = 0
Câu 3: (0,5 điểm) Cho tam giác MNP vuông tại M có MN = 5cm, MP = 12cm.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có bán kính bằng:
A 13cm B 6cm C 6,5cm D 6cm
Câu 4: (0,5 điểm) Trong các phương trình sau, phương trình nào có hai nghiệm
âm:
A x2 + 4x + 5 = 0 B x2 + 3x – 1 = 0
C x2 + 5x + 1 = 0 D x2 +8 = 0
Phần II: Tự luận (18,0 điểm)
Câu 1: (3,0 điểm)
1) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện:
a2 – b = b2 – c = c2 – a
Chứng minh rằng: (a + b +1)(b + c + 1)(c + a + 1) = – 1
Trang 2
2) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng: ( 2 ) 22 1
b c a
Câu 2: (5,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
( 3) ( 8) 13
2) Giải phương trình: x 1 3 x 3x2 4x 2
Câu 3: (2,0 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên không âm (x; y; z) thỏa mãn
đẳng thức:
2012x 2013y 2014z
Câu 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) (có tâm là O), AB là đường kính của (O)
Điểm Q thuộc đoạn thẳng OB (Q khác O; Q khác B) Đường thẳng đi qua Q, vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại hai điểm P và S khác nhau Đường tròn tâm P đi qua Q cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D khác nhau (điểm D nằm trong nửa mặt phẳng bờ PS chứa B) Gọi G là giao điểm của các đường thẳng CD
và AP Gọi E là giao điểm của các đường thẳng CD và PS Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AQ
1) Chứng minh rằng tam giác PDE đồng dạng với tam giác PSD.
2) Chứng minh rằng: EP = EQ = EG
3) Chứng minh đường thẳng KG vuông góc với đường thẳng CD.
Câu 5: (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
a2 + b2 + c2 = 3
Chứng minh rằng:
1 3 1 3 1 3 1
1 8 a 1 8 b 1 8 c
……… HẾT ……….