Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R.. Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C.. Gọi D là trung điểm của OA; qua D vẽ dây cung EF bất kỳ của đường tròn O;R, EF không là đường
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC : 2013-2014 MÔN : TOÁN
NGÀY 30/06/2013 Thời gian làm bài : 120 phút
Câu I( 3 điểm )
1 Tính giá trị của biểu thức A= 3× 27− 144 : 36
2.Tìm m để hai đường thẳng (d) : y =(2m-1)x+1,( m 1
2
≠ ) và (d'): y=3x-2 song song với nhau
3 Giải hệ phương trình 3 2 1
x y
+ = −
− =
Câu II( 2 điểm )
1 Rút gọn biểu thức B = 2
1
− +
− − ( với x>0; x≠1)
2 Cho phương trình x2− + − =x 1 m 0 (1)
a Giải phương trình (1) với m =3
b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x thoả mãn :1, 2
1 2
1 2
1 1
Câu III (1,5 điểm )
Tìm hai số tự nhiên hơn kém nhau 12 đơn vị biết tích của chúng bằng 20 lần số lớn cộng với 6 lần số bé
Câu IV ( 3 điểm )
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C Gọi D là trung điểm của OA; qua
D vẽ dây cung EF bất kỳ của đường tròn (O;R), ( EF không là đường kính) Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N
1 Chứng minh tứ giác MCAE nội tiếp
2 Chứng minh BE.BM = BF.BN
3 Khi EF vuông góc với AB, tính độ dài đoạn thẳng MN theo R
4 Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi dây cung EF thay đổi
Câu V(0,5 điểm)
Cho hai số x, y thỏa mãn 1≤ ≤x 3 và 1 2
2≤ ≤y 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6x y −7x y−24xy +2x +18y +28xy− −8x 21y+6
Trang 2Hướng dẫn Câu I( 3 điểm )
1 Tính giá trị của biểu thức A= 3× 27− 144 : 36=7
2 Hai đường thẳng (d) : y =(2m-1)x+1,( m 1
2
≠ ) và (d'): y=3x-2 song song với nhau khi
và chỉ khi a=a' và b ≠ b' <=> <=>m=2( thỏa mãn m 1
2
≠ ) KL
3 Giải hệ phương trình 3 2 1
x y
+ = −
− =
<=> <=>
1 2
x y
=
= −
KL
Câu II( 2 điểm )
1 Rút gọn biểu thức
B
1
1
x
x
−
−
( với x>0; x≠1)
2 Cho phương trình x2− + − =x 1 m 0 (1)
a Giải phương trình (1) với m =3
Với m =3 phương trình (1) trở thành x2− − =x 2 0
Nhận thấy a-b+c=0 nên pt có 2 nghiệm là x1 = −1;x2 =2
b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x thoả mãn :1, 2
1 2
1 2
1 1
Ta có ∆ =4m−3
Điều kiện để pt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 là :
3
4
1
m
m
− > >
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có 1 2
1 2
1
+ =
1 2
1 1
2(x +x )+ x +x +3x x =0 (**) thay (*) vào (**) ta được : 2
m − m+ = => m1=2; m2 =3 ( TM ĐK) KL
Trang 3Câu III (1,5 điểm )
Tìm hai số tự nhiên hơn kém nhau 12 đơn vị biết tích của chúng bằng 20 lần số lớn cộng với 6 lần số bé
Gọi số bé là x ( x∈N)
khi đó số lớn là x+12
Vì tích của chúng bằng 20 lần số lớn cộng với 6 lần số bé nên ta có phương trình :
x(x+12) = 20(x+12) +6x <=> x2 -14x-240 = 0 => x1 = 24(TM) ; x2 = -10( loại)
Vậy số bé là 24 => số lớn là 24+12=36
Cách 2: Gọi số lớn là x và số bé là y ( x,y ∈N và x> y)
12 (1) 12
20 6
x y
= +
− =
Giải pt (2) ta được y1 = 24 (tm) ; y2 = -10( không tm)
Thay y =y1 =24 vào (1) => x=36 KL
Câu IV ( 3 điểm )
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C Gọi D là trung điểm của OA; qua
D vẽ dây cung EF bất kỳ của đường tròn (O;R), ( EF không là đường kính) Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N
1 Chứng minh tứ giác MCAE nội tiếp
2 Chứng minh BE.BM = BF.BN
3 Khi EF vuông góc với AB, tính độ dài đoạn thẳng MN theo R
4 Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi dây cung EF thay đổi
Trang 4a) Ta có góc AEB = 900( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => góc AEM =900 ( vì góc này kề bù với góc AEB)
Xét tứ giác MCAE có:
góc ACM =900 (gt)
góc AEM =900 ( CM trên )
=> góc ACM =900 +góc AEM =1800 mà hai góc này ở vị trí đối diện nhau
=> tứ giác MCAE nội tiếp
b)
Chứng minh tam giác BAE đồng dạng tam giác tam giác BMC => BE.BM = BA.BC (1) Chứng minh tam giác BAF đồng dạng tam giác tam giác BNC => BF.BN = BA.BC (1)
Từ (1) và (2) => BE.BM = BF.BN
Cách 2: Góc BMN = góc BAE ( cùng bù với góc CAE)
mà góc BAE = góc EFN ( Hai góc nội tiếp cùng chăn một cung )
=> Góc BMN = góc EFN
Xét tam giác BEF đồng dạng với tam giác BNM => BE.BM = BF.BN
c)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác EDO vuông tại O ta có DE = 3
2 R => DE =R 3
Vì EF vuông góc với BC và D là trung điểm của BC nên ta sẽ chứng minh được EF là đường trung bình của tam giác BMN => EF =2R 3
d) Gọi A' là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và tia AB
Ta chứng minh được E,A,N và M, A, F thẳng hàng
=> A đối xứng với A' qua C => B đối xứng với A' qua điểm A mà A' cố định
Trang 5=> Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BA'
Câu V(0,5 điểm)
Cho hai số x, y thỏa mãn 1≤ ≤x 3 và 1 2
2≤ ≤y 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M= 6x y2 2−7x y2 −24xy2+2x2+18y2+28xy− −8x 21y+6
Ta có :
2
0 6 7 2 0 (2)
≤ ≤ ⇒ − ÷ − ÷≤ ⇒ − + ≤