3. Hàm mủ est
1.7 Phân loại hệ thống.
Hệ thống được phân loại thành:
1. Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến;
2. Hệ thống có tham số không đổi và hệ thống có tham số thay đổi theo thời gian;
3. Hệ thống tĩnh (không nhớ) và hệ thống động (có nhớ);
4. Hệ thống nhân quả và hệ thống không nhân quả;
5. Hệ thống có tham số tập trung và hệ thống có tham số phân bố
6. Hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc theo thời gian;
7. Hệ thống tương tự và hệ thống số;
1.7-1 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Ý niệm về tính tuyến tính
Hệ thống có ngõ ra tỉ lệ với các ngõ vào là một thí dụ về hệ thống tuyến tính. Tuy
nhiên, tính tuyến tính còn bao hàm cả đặc tính cộng. Đặc tính này có thể được trình bày
như sau: Hệ thống là tuyến tính nếu nguyên nhân c1 khi tác động riêng lẻ, tạo ảnh hưởng
1
e, và nếu nếu nguyên nhân c2 khi tác động riêng lẻ, tạo ảnh hưởng e2, thì khi tác động
cả hai nguyên nhân này vào hệ thống, sẽ tạo ra ảnh hưởng chung e1+e2. Vậy, nếu:
c1®e1 và c2 ®e2 (1.37) Thì với cả c1 và c2:
c1+c2 ®e1+e (1.38) Ngoài ra, hệ thống tuyến tính còn thỏa mãn tính đồng nhất hay tính tỉ lệ, tức là: c®e
Thì với mọi k thực hay ảo
kc®ke (1.39) Vậy, tuyến tính có hai đặc tính: tính đồng nhất (tỉ lệ) và tính cộng. Các đặc tính này
được tổ hợp thành một đặc tính gọi là tính xếp chồng, có thể được biểu diễn như sau:
Nếu c1 ®e1 và c2 ®e2 Thì với mọi giá trị hằng số k1 và k2.
k1c1+k2c2 ®k1e1+k2e2 (1.40)
Đúng với mọi c1 và c2.
Có vẽ như tính cộng đa bào hàm tính đồng nhất, tuy nhiên trong một số trường hợp, điều này không đúng, xem bài tập E1.11 dưới đây.
D Bài tập E 1.11
Chứng tõ là hệ thống có ngõ vào (nguyên nhân) c(t) và ngõ ra (ảnh hưởng) e(t)
với quan hệ e(t) = Re{c(t)} thỏa đặc tính cộng nhưng vi phạm tính đồng nhất. Vậy, tín
hiệu là không tuyến tính:
Hướng dẫn: chứng tõ phương trình (1.39) không thỏa khi k là số phức . Ñ
Đáp ứng của hệ thống tuyến tính
Để đơn giãn, ta chỉ khảo sát hệ một ngõ và, một ngõ ra (hệ SISO), tuy nhiên còn mở
rộng được cho trường hợp hệ nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra (hệ MIMO).
Đáp ứng ra của hệ thống khi t³0 là kết quả của hai nguyên nhân độc lập: điều kiện đầu của hệ thống (hay trạng thái hệ thống) tại t=0 và ngõ vào f(t) tại t³0. Nếu hệ
thống tuyến tính, thì ngõ ra phải là tổng của hai thành phần do hai nguyên nhân trên: thành phân đáp ứng khi ngõ vào là zêrô chỉ phụ thuộc vào điều kiện đầu tại t =0 và ngõ vào f(t)=0 tại t³0 và thành phần đáp ứng trạng thái zêrô chỉ phụ thuộc ngõ vào f(t) tại t³0 với điều kiện đầu được giả sử là zêrô. Khi mọi điều kiện đầu thích hợp đều là zêrô, thì hệ thống là trạng thái zêrô. Ngõ ra của hệ thống chỉ là zêrô khi ngõ vào là zêrô nếu hệ thống ở trạng thái zêrô.
Tóm lại, đáp ứng của hệ tuyến tính được diễn tả thành tổng của thành phần ngõ vào zêrô và thành phần trạng thái zêrô.
Đáp ứng tổng= đáp ứng ngõ vào zêrô + đáp ứng trạng thái zêrô (1.41)
Đặc tính của hệ tuyến tính cho phép phân chia ngõ ra thành các thành phần tử điều
kiện đầu và từ ngõ vào được gọi là đặc tính phân giải (decomposition property).
Trường hợp mạch RC trong hình 1.26, đáp ứng y(t)được tính từ phương trình (1.36c). y(t)=vC(0) + + òtf d C t Rf 0 ( ) 1 ) ( t t (1.42)
= Thành phần ngõ vào-zêrô + thành phần trạng thái zêrô
Phương trình (1.42) cho thấy: nếu f(t)=0 tại t³0, ngõ ra y(t)=vC(t), thì ngõ ra )
0 ( ) (t vC
y = ; Do đó, vC(0) là thành phần ngõ vào zêrô của đáp ứng y(t). Tương tự, nếu
trạng thái của hệ thống (trường hợp này là vC(t)) là zêrô tại t = 0, ngõ ra là thành phần
thứ hai của vế phải (1.42) và chính là thành phần trạng thái zêrô của đáp ứng y(t).
Hơn nữa, theo đặc tính phân giải, tính tuyến tính đòi hỏi các thành phần ngõ vào zêrô và thành phẩn trạng thái zêrô đều phải tuân thủ nguyên lý xếp chồng theo từng nguyên nhân tác động. Thí dụ, nếu ta tăng điều kiện đầu k lần, thành phần đáp ứng ngõ vào zêrô
cũng phải tăng k lần. Tương tự, nếu tăng ngõ vào k lần, thì thành phần đáp ứng trạng thái
zêrô cũng phải tăng k lần.
Điều này đã được chứng minh ởphương trình (1.42) cho trường hợp mạch RC ở hình 1.26. Thí dụ, nếu ta tăng đôi điều kiện đầu vC(0), thì thành phần đáp ứng ngõ vào zêrô cũng tăng đôi; nếu ta tăng đôi ngõ vào, thì thành phần đáp ứng trạng thái zêrô cũng tăng đôi.
■ Thí dụ 1.9:
Chứng tõ hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân: 3y(t) f(t)
dt
dy+ = (1.43)
là hệ thống tuyến tính.
Gọi y1(t) và y2(t) lần lượt là đáp ứng của hệ thống đối với các ngõ vào f1(t) và ) ( 2 t f , thì: 1 3y1(t) f1(t) dt dy + = 2 3y2(t) f2(t) dt dy + =
Nhân phương trình đầu với k1, và phương trình thứ hai với k2, rồi cộng lại, có: [k1y1(t) k2y2(t)] 3[k1y1(t) k2y2(t)] k1f1(t) k2f2(t) dt d + + + = + Với: f(t)=k1f1(t)+k2f2(t) Và: y(t)=k1y1(t)+k2y2(t)
Vậy khi ngõ vào là k1f1(t)+k2f2(t), thì đáp ứng của hệ thống là k1y1(t)+k2y2(t), nên là hệ thống là tuyến tính. Từ đây, ta có thể tổng quát hóa kết quả để chứng minh hệ
thống mô tả phởi phương trình vi phân có dạng
b f dt df b dt f d b y a dt y d a dt y d m m m n n n n n 0 1 0 1 1 1 + + = + + + + - -- L L (1.44)
Là hệ thống tuyến tính. Các hệ số ai và bitrong phương trình có thể là hằng số hay là hàm theo thời gian. ■
D Bài tập E 1.12
Chứng tõ hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân sau là hệ tuyến tính:
t2y(t) (2t 3)f(t)
dt
dy+ = + . Ñ
D Bài tập E 1.13
( ) 3y(t) f(t) dt dy t y + = . Ñ Nhận xét thêm về hệ thống tuyến tính
Hầu hết các hệ thống quan sát được trong thực tế đều trở thành phi tuyến khi áp
tín hiệu vào đủ lớn. Tuy nhiên, nhiều hệ thống cũng phi tuyến đối với tín hiệu vào nhỏ.
Phân tích các hệ này thường khó khăn. Tính phi tuyến có thể xuất hiện với nhiều dạng, nên thường không thể mô tả chúng theo dạng toán học thông thường được. Các hệ thống
không chỉ được xếp theo lớp, mà trong từng hệ thống, khi thay đổi điều kiện đầu hay biên
độ tín hiệu vào cũng làm thay đổi bản chất của vấn đề. Nói cách khác, đặc tính xếp
chồng của hệ thống tuyến tính là nguyên lý độc nhất đủ mạnh để tìm nghiệm tổng quát. Đặc tính xếp chồng (tuyến tính ) đơn giản hóa rất nhiều việc phân tích hệ tuyến tính. Đặc
tính phân giải cho phép ước lượng riêng biệt hai thành phần của ngõ ra. Thành phần ngõ vào zêrô có thể được tính với giả sử ngõ vào là zêrô, và thành phần trạng thái zêrô được
tính với giả sử với điều kiện đầu là zêrô. Tuy nhiên, khi biểu diễn f(t) thành tổng những hàm đơn giãn hơn.
f(t)=a1f1(t)+a2f2(t)+L+amfm(t) Do tính tuyến tính, đáp ứng y(t) được viết thành
y(t)=a1y1(t)+a2y2(t)+L+amym(t) (1.45) Với yk(t) là đáp ứng trạng thái zêrô của ngõ vào fk(t). Điều này đưa đến nhiều hàm ý quan trọng, được nhắc tới nhiều trong các chương kế, cho thấy tính cực kỳ hữu dụng và mở ra hướng mới trong phân tích hệ thống tuyến tính.
Thí dụ, xét hàm f(t) bất kỳ vẽ ở hình 1.27a. Có thể xấp xỉ f(t) dùng tổng của xung vuông có độ rộng Dt và độ cao thay đổi. Quá trình xấp xỉ được cải thiện khi Dt®0, tức
là khi các xung vuông biến thành các xung cách nhau Dt giây (với Dt®0). Như thế,
ngõ vào bất kỳ có thể được thay bằng tổng trọng các xung cách nhau Dt giây (với
0
®
Dt ). Do đó, nếu ta biết được đáp ứng của hệ thống với xung đơn vị, thì có thể xác định ngay được đáp ứng hệ thống với ngõ vào bất kỳ f(t) bằng cách cộng các đáp ứng
Tương tự, trong hình 1.27b, thì f(t) được xấp xỉ dùng phép tổng nhiềuhàm bước có
biên độ khác nhau và cách khoảng nhau Dt. Phép xấp xỉ được cải thiện khi Dt giảm nhỏ
dần. Như thế, nếu biết được đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào là hàm bước đơn vị, thì có thể tính được dễ dàng đáp ứng hệ thống với ngõ vào f(t) bất kỳ. Xu hướng này được dùng trong chương 2 khi phân tích hệ thống tuyến tính trong miền thời gian.
Trong các chương 4, 6, 10 và 11 xu hướng này cũng được dùng với các tín hiệu cơ
bản có dạng hàm sin hay hàm mủ. Khi đó, ta chứng minh là tín hiệu vào bất kỳ có thể được xem là tổng trọng của hàm sin (hay hàm mủ) với nhiều tần số khác nhau. Hiểu biết
về đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào sin cho phép ta xác định đáp ứng của hệ thống
với tín hiệu vào f(t) bất kỳ.
1.7-2 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến
Hệ thống có tham số không đổi theo thời gian là hệ thống bất biến (hay hệ có tham số
hằng). Trong các hệ thống này, khi ngõ vào được làm trể T giây, thì ngõ ra vẫn như củ nhưng được trễ đi T giây (với giả sử có cùng điều kiện đầu). Đặc tính này được vẽ trong
hình 2.28
Có thể chứng tõ được là hệ thống trong hình 1.26 là hệ bất biến theo thời gian. Mạch điện gồm các phần tử RCL và các phần tử tích cực thường dùng như transistor là hệ
thống bất biến theo thời gian. Một hệ thống có quan hệ vào –ra mô tả dùng phương trình vi phân có dạng (1.44) là hệ thống tuyến tính - bất biến (LTI) khi các hệ số ai và bi của phương trình là hằng số. Khi các hệ số này là hàm theo thời gian, thì hệ thống là tuyến
tính – thay đổi theo thời gian.
Hệ thống mô tả trong bài tập E1.12 là hệ tuyến tính – thay đổi theo thời gian. Thí dụ
khác của hệ tuyến tính – thay đổi theo thời gian là micrô than, trong đó giá trị điện trở R
tương được của micrô được vẽ ở hình 1.29. Đáp ứng là dòng điện i(t) và phương trình mô tả mạch là: ( ) R(t)i(t) f(t) dt t di L + =
Phương trình có hệ số R(t) thay đổi theo thời gian, nên là hệ thay đổi theo thời gian. D Bài tập E 1.14
Chứng tõ hệ thống mô tả bằng phương trình sau là hệ có tham số thay đổi theo
thời gian:
y(t)=(sint)f(t-2).
Hướng dẫn: Chứng tõ là hệ thống không có đượcđặc tính bất biến theo thời gian. Ñ
1.7-3 Hệ thống tức thời (tĩnh) và hệ thống động
Từ quan sát trước, ta thấy ngõ ra của hệ thống tại thời điểm t thường phụ thuộc
vào toàn bộ ngõ vào trước đó. Tuy nhiên, có một dạng đặc biệt mà ngõ ra tại thời điểm t
chỉ phụ thuộc các ngõ vào tại thời điểm này. Thí dụ, trong mạng thuần trở, ngõ ra của
mạng tại thời điểm t nào đó chỉ phụ thuộc ngõ vào tại thời điểm t này. Trong các hệ thống
dạng này, không cần thông tin quá khứ khi xác định đáp ứng. Các hệ thống này được gọi
là hệ thống tức thời (không có tính nhớ hay hệ thống tĩnh). Nói rõ hơn thì, hệ thống là hệ
tức thời (hay không có tính nhớ) nếu ngõ ra tại thời điểm t, chỉ phụ thuộc vào cường độ
của các tín hiệu vào tại thờiđiểm này, không phụ thuộc vào các giá trị quá khứ hay tương
lai của các ngõ vào. Ngược lại là hệ thống động (hệ thống có nhớ). Hệ thống có đáp ứng
tại t được xác định hoàn toàn bởi tín hiệu vào trong khoảng T giây trước đó [khoảng thời
gian từ (t - T) đến T] được gọi là hệ thống có nhớ hữu hạn (finite-memory) trong T giây. Mạng chứa phần tử cảm và điện dung thường là nhớ hữu hạn do đáp ứng của các mạng
này tại thời điểm t, thì được xác định từ các ngõ vào trong suốt quá khứ (-¥, t). Điều này
đúng với mạch RC trong hình 1.26.
Trong tài liệu này, ta chủ yếu khảo sát hệ thống động. Hệ thống tức thời được xem là
trường hợp đặc biệt của hệ thống động.
1.7-4 Hệ thống nhân quả và hệ thống không nhân quả.
Hệ nhân quả (còn gọi là hệ vật lý hay hệ không dự đoán trước (non- anticipative)) là hệ có ngõ ra tại thời điểm bất kỳ t0 chỉ phụ thuộc vào giá trị của ngõ vào
khứ và hiện tại của f(t), không phụ thuộc vào giá trị tương lai của f(t). Đơn giãn hơn thì trong hệ nhân quả, ngõ ra không thể bắt đầu trước khi áp tín hiệu vào. Nếu đáp ứng bắt đầu trước khi có ngõ vào, tức là hệ thống biết được trị của tương lai trong tương lai và tác động dựa theo kiến thức này trước khi có tín hiệu vào. Hệ thống vi phạm điều kiện nhân
quả thì được gọi là không nhân quả (hay hệ dự đoán trước).
Các hệ thống thực tế vận hành trong thời gian thực thì nhất thiết phải là hệ nhân quả.
Ta vẫn chưa biết cách nào để xây dựng hệ thống đáp ứng được với các ngõ vào tương lai
(các ngõ vào chưa được áp vào hệ thống. Hệ thống không nhân quả là hệ thống tiên tri,
đáp ứng được với các ngõ vào tương lai và đáp ứng với chúng trong thời gian hiện tại.
Vậy, nếu ta áp vào một tín hiệu tại t = 0 vào hệ thống không nhân quả, thì ngõ ra có thể
bắt đầu trước cả khi t = 0. Thí dụ, xét hệ thống đặc trưng bởi
y(t)= f(t-2)+ f(t+2) (1.46)
Tín hiệu vào f(t) trong hình 1.30a, tạo ngõ ra y(t), tính từ phương trình 1.46 (vẽ ở hình 1.40b), bắt đầu trước khi áp tín hiệu ngõ vào. Phương trình (1.46) cho thấy ngõ ra y(t) tại
thời điểm t, được cho bởi tổng của giá trị vào trước t hai giây và ngõ vào sau t hai giây
(tại t – 2 và t + 2). Nhưng nếu ta vận hành hệ thống theo thời gian thực của t, ta sẽ không
biết được giá trị của ngõ sau sau t hai giây. Tức là không thể thiết lập được hệ thống này trong thời gian thực. Do đó, không thực hiện được hệ không nhân quả trong thời gian thực.
Tại sao cần nghiên cứu hệ không nhân quả?
Từ thảo luận nói trên, có vẽ như là hệ không nhân quả không có mục đích thực tế. Điều này chưa đúng, việc nghiên cứu hệ không nhân quả có giá trị do nhiều nguyên nhân. Thứ nhất, hệ không nhân quả thực hiện được khi biến độc lập không phải là thời gian (thí
dụ là biến không gian). Thí dụ, xét điện tích có mật độ q(x) đặt theo trục x với x³0. Mật độ điện tích này tạo điện trường E(x) hiện diện tại mỗi điểm trên trục x từ x=-¥ đến ¥. Trong trường hợp ngõ vào [thí dụ điện tích q(x)] bắt đầu từ x = 0. Rõ ràng, hệ
điện tích không gian này là không nhân quả. Phần thảo luận này cho thấy là chỉ có hệ có
biến thời gian độc lập cần phải là nhân quả để có thể thực hiện được. Các hệ không dùng biến thời gian độc lập, như các hệ quang học, thực hiện được dù không là hệ nhân quả. Tuy nhiên, ngay cả với các hệ dùng biến thời gian độc lập dùng trong xử lý tín hiệu thì việc nghiên cứu hệ không nhân quả vẫn quan trọng. Trong các hệ không nhân quả này, ta có thể có được dữ liệu đã được ghi nhận trước đó (thường xuất hiện trong các tín hiệu
tiếng nói, địa vật lý, và khí tượng dùng các đầu dò không gian). Trong các trường hợp này, ta đã có được các giá trị tương lai của tín hiệu (so với thời điểm khảo sát t). Thí dụ,
giả sử ta đã có tập ghi giá trị các tín hiệu vào của hệ thống mô tả bởi phương trình (1.46). Từ đó, tính được y(t), do tại từng thời điểm t, chỉ cần tìm trong tập dữ liệu đã có để biết được các giá trị ngõ vào tại các thời điểm trước hai giây hay sau hai giây so với t. Vậy là thực hiện được hệ không nhân quả, dù không tại thời gian thực. Ta có thể thực hiện được
hệ không nhân quả, với điều kiện chấp nhận ngõ ra với thời gian trễ. Xét hệ thống có ngõ ra yˆ(t)là tín hiệu y(t) trong phương trình (1.46) được làm trễ hai giây (hình 1.30c), nên:
yˆ(t)=y(t-2)= f(t-4)+ f(t)
Với giá trị của ngõ ra yˆ(t) tại các thời điểm t là tổng các giá trị của ngõ vào f và t tại