ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2013 – 2014 MƠN TỐN Thời gian làm 150 phút Câu (4đ) Cho biểu thức: P a) Rút gọn P b) Chứng minh P x2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 với x x Câu (4đ) a) Cho đường thẳng (d): m 1x 3my 12 Tìm m để (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Tính khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) ứng với m vừa tìm b) Cho M(a; b) điểm nguyên đường thẳng 4x 5y Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q a b 4t Câu (4đ) Cho t Tìm GTNN biểu thức: A t 3 t Câu (4đ) a) Cho ABC cân A Trên đáy BC lấy điểm D cho CD 2BD So sánh 1 số đo BAD CAD b) Từ điểm A (O) dựng tiếp tuyến AB, AC với (O) Gọi H giao điểm OA với BC Trên đường trung trực AH lấy điểm M cho M nằm (O) dựng tiếp tuyến MF với (O) Chứng minh: MA MF (B, C, F tiếp điểm) Câu (4đ) a) Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x 7 y x 2y b) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn: x 2010 y 2010 20122010 HẾT ThuVienDeThi.com Câu 1: a) Với x 0; x P x2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x2 x 1x x 1 x2 x 1x x 1x x x x 1 Vậy: P = x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1x x 1 x x x x 1 x 1x x 1 x 1 x 1 x với x 0; x x x 1 b)Cách xét hiệu: x P x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 Vì x 0; x nên: x 1 x x Do đó: P Vậy ta có điều phải chứng minh: Cách 2: Ta có : P = x = x x 1 với x 0; x 1 x 1 x Áp dụng BĐT Co – si cho số dương x; ta có: x x 2 x x 2 x Vì x nên dấu "=" khơng xảy Suy ra: x 1 Vậy P x Câu 2: 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Xét đường thẳng (d) Vì d cắt hai hệ trục toạ độ nên m khác m khác 4 (m khác 0) ta A(0; ) thuộc Oy m m 3 Cho y = suy x = (m khác 1) ta B( ;0) thuộc Ox m 1 m 1 Cho x = suy y = ThuVienDeThi.com Khi đó: OA = ; OB = m m 1 Để đường thẳng d tạo với hai trục toạ độ Ox, Oy tam giác có diện tích thì: OA.OB = tức là: giải phương trình ta m = - ; m = m m 1 Với m = -1 AB = Với m = AB = 73 12 Suy khoảng cách từ O đến (d) 73 13 Suy khoảng cách từ O đến (d) 13 2) Vì M (a;b) điểm nguyên đường thẳng 4x +5y = nên ta có: 4a + 5b = suy a 5b 3b 1 b Z Do – b = 4k (k thuộc Z) hay 4 b 4k từ ta tính a = 5k – Khi đó: Q 5k 3 4k Lập bảng xét dấu: k 5k - – 4k + + + + - mà k thuộc Z nên k Ta có Q = (1 – 13 k) TH2: k mà k Z nên không tồn k TH3: k mà k Z nên k Ta có Q = (13k – 1) 12 Gộp trường hợp ta được: Q Dấu "=" xảy k = Xét TH1: k M(-2;3) Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ giá trị đạt M(-2;3) 4t 4t Câu 3: Ta có A = t 3 t t t 3 t 9 4t t t 3 t Tiếp ta dễ dàng chứng minh: 4t 12 Dấu "=" xảy t = 1,5 t Dấu "=" xảy t = 1,5 t 3 t Suy A 16 16 Dấu "=" xảy t = 1,5 Vậy GTNN A 3 Câu 4: ThuVienDeThi.com A B D C HK I 1)Cách 1: Đặt AB=AC=a (a>0)BC =3m (m>0) suy ra: CD=2m,BD=m Kẻ đường cao AH, phân giác AKcủa góc CAD, ta có DH = Ta tính AH = 4a 9m ;AD = m a 2m 2m a 2m DK AD Vì AKlà phân giác góc CAD ta có: suy ra: DK DC AC AD a a 2m Xét hiệu: DI-DK = m-DK= m a a 2m a a 2m 2 a;m >0 nên a a 2m Từ suy K nằm Dvà I, hay I nằm Kvà C Do góc AKD > góc AIK mà góc AIK = góc ADK nên góc AKD >góc ADK Suy ADB > góc AKC Vậy: góc BAD < góc DAK Tức góc BAD < góc CAD A Cách 2: Gọi E trung điểm DC, ta có BD = DE = EC Khi tam giác ABD tam giác ACE (c-g-c) Suy góc BAD = góc CAE (1) Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho EF = EA Ta chứng minh tam giác CAE = tam giác DEF (c-g-c) B D Từ đó: AC = DF; góc DFE = góc CAE * Vì góc ADC = gócABD +gócBAD, nên ADC >góc ABD mà góc ABD = góc ACD Suy ra: góc ADC >góc ACD.Do AC>AD, Mà AC = DF suy ra: góc DAE > gócDEF suy ra: DAE+CAE>2DEF Hay: 1/2DAC>DE F Vậy BAD