Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Môn: Toán11786

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27 tháng 11 năm 2013 Bài (5 điểm)  x2  Cho biểu thức P =  a) Rút gọn P b) Tìm x để P =  x x 1  : x  x  1  x  x  x 1 2 c) So sánh P2 với 2P Bài (3 điểm) a) Giải phương trình: x2   x2   b) Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện:  x  y  4z     y  z  4x     z  x  4y  Bài (2 điểm) Cho x y số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức x  y  xy Chứng minh  xy số hữu tỉ Bài (5 điểm) Cho đường trịn (O,R) đường kính AB Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến d đường trịn Gọi I, K chân đường vng góc kẻ từ A B đến đường thẳng d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI.BK c) AB tiếp tuyến đường tròn đường kính IK Bài (2 điểm) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM Bài (3 điểm) 2 2 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y  x y b) Cho  x, y, z  Chứng minh : x y z     y  xz  z  xy  x  yz x  y  z Họ tên học sinh: ; Số báo danh: DeThiMau.vn PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HÓA Bài Bài (5 đ) a) 2,0 đ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Nội dung Điều kiện: x  0, x   x2 P =   ( x  1)( x  x  1) b) 1,5 đ 0,5 đ  x x  x 1   x 1 : x   = x   x ( x  1)  ( x  x  1) x  : ( x  1)( x  x  1) 0,5 đ = x   x  x  x  x 1 x 1 x  x 1 : = ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1) x  0,5 đ ( x  1) = ( x  1)( x  x  1) 2 P=   x  x 1 2 = x 1 x  x   x x 6   ( x  2)( x  3)   x   ( x   với x  0)  x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy với x = P = c) 1,5 đ P= P= x  x 1 x  x 1 > x  Điều kiện x  x2    x2  4  Đặt b) 2,0 đ *t   x    x  2 *t   x2    x   Điều kiện: x, y, z  Cộng vế ta có : 0,5 đ 0.5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ x2   x2   t   t  t2    t  0,5 đ 0,5 đ  x  x   Ta có P > P  nên P.(P - 2)   P2 - 2P   P2  2P Bài (3 đ) a) 1,0 đ Điểm x  = t (t  0) (Thỏa mãn điều kiện) DeThiMau.vn 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 2x  2y  2z  4x   4y   4z   4x  4y  4z  4x   4y   4z    Vì   0,5 đ   4y   1   4z   1  (*) 4x   1  0;  4y   1  0;  4z   1  2 4x    2 2  4x     Nên (*) xay   4y     x  y  z   4z 1     Kết luận : x  y  z  Bài (2đ) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ * Nếu x = y =  xy  số hữu tỉ * Nếu x, y khác y3 y y4 y2 3 x  y  xy  x     xy   x x x x y4 y2  y2    xy       1 x x  x  0,5 đ 0,5 đ  y2  y2   xy    1   số hữu tỉ x  x  Vậy x y số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức x  y  xy 0,5 đ  xy số hữu tỉ Bài (5 đ) d K C I A a) 1,5 đ H O Nối OC Vì d tiếp tuyến (O) C nên OC vng góc với d Ta có: AI// BK ( vng góc với d) => ABKI hình thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( vng góc với d) => CI = CK ( T/c đường trung bình hình thang) DeThiMau.vn B 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) 2,0 đ Vì 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ · · · CAI ACO ( So le trong, AI//CO), · ACO  CAO (OAC cân) ·  CAO ·  CAI  IAC  HAC ( Cạnh huyền - góc nhọn) => AI = AH Tương tự: BK = BH Do ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên ABC vng C => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hệ thức lượng tam giác vuông) c) 1,5 đ 0,5 đ Ta có: IAC  HAC  CI  CH  CK 0,5 đ IK ) Mà CH  AB H IK => AB tiếp tuyến (C , ) Hay AB tiếp tuyến đường tròn 0,5 đ  H  (C , 0,5 đ đường kính IK M Bài (2 đ) H A K · · Ta có: BMK  HAK ( góc có cạnh tương ứng vng góc) Suy ra: ฀BKM ฀ ฀HKA (g.g) BK KM   BK KA  KM KH ฀ HK KA AB  BK  KA    Mặt khác: BK.KA  ( bất đẳng thức Cosi)    Dấu “=” xảy BK = KA AB  KM KH  AB Vậy giá trị lớn tích KM.KH = BK = KA, tức K trung điểm cạnh AB DeThiMau.vn B 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ M Bài (3 đ) a) 1,5 đ Ta có: x  xy  y  x y  x  xy  y  x y    x  y   (2 xy  1)  1   x  y  xy  1 x  y  xy  1  1  x    2 x  y  xy   1   y    x  2 x  y  xy        2 x  y  xy     y  1    2 x  y  xy   1   x  1   y  0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Vậy phương trình có nghiệm (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) b) 1,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vì  x, y, z  nên (1  x)(1  y )    xy  x  y   z  xy  x  y  z y y   (1)  z  xy x  y  z x x Tương tự ta có   y  xz x  y  z (2) ; z z   x  xy x  y  z Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta x y z x yz      y  xz  z  xy  x  yz x  y  z x  y  z Dấu “=” xẩy x = y = z =1 (3) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Hết DeThiMau.vn ...PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THI? ??U HĨA Bài Bài (5 đ) a) 2,0 đ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Nội dung Điều kiện: x... P.(P - 2)   P2 - 2P   P2  2P Bài (3 đ) a) 1,0 đ Điểm x  = t (t  0) (Thỏa mãn điều kiện) DeThiMau.vn 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 2x  2y  2z  4x   4y   4z   4x  4y  4z  4x... thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( vng góc với d) => CI = CK ( T/c đường trung bình hình thang) DeThiMau.vn B 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) 2,0 đ Vì 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ · · · CAI ACO ( So le trong, AI//CO),