06.NEU_TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205

Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Hướng dẫn học Trong “Cực trị hàm số nhiều biến số” tìm hiểu cách tìm điểm cực trị hàm số tìm điểm cực trị hàm số mà điểm phải thỏa mãn phương trình đó, gọi phương trình ràng buộc Trong giới hạn học nói tới hàm số biến số Để giải vấn đề nêu học, sinh viên cần biết tìm đạo hàm riêng hàm số, giải hệ phương trình, tính định thức cấp cấp Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: BỘ MƠN TỐN CƠ BẢN, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục ALPHA C CHIANG,1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc MICHAEL HOY,JOHN LIVERNOIS, CHRIS MC KENNA, RAY REES, THANASIS STENGOS, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung  Bài tốn cực trị khơng có điều kiện (cực trị tự do);  Ứng dụng tốn cực trị khơng có điều kiện phân tích kinh tế;  Bài tốn cực trị có điều kiện ràng buộc;  Ứng dụng tốn cực trị có điều kiện ràng buộc phân tích kinh tế Mục tiêu Sau học xong học sinh viên cần phải thực yêu cầu sau:  Phân biệt tốn cực trị khơng có điều kiện cực trị có điều kiện ràng buộc  Tìm điểm dừng hàm số toán cực trị khơng có điều kiện  Kiểm tra điểm dừng hàm số có điểm cực trị hàm số tốn cực trị khơng có điều kiện  Lập hàm Lagrange từ toán cực trị có điều kiện ràng buộc  Tìm điểm dừng hàm số toán cực trị có điều kiện ràng buộc  Kiểm tra điều kiện đủ cực trị toán cực trị có điều kiện ràng buộc  Giải toán ứng dụng kinh tế học 58 TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số Tình dẫn nhập Lựa chọn tối ưu kinh tế Trong doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC  3Q12  2Q1Q  2Q 22  10 Với giá thị trường sản phẩm $160 giá sản phẩm $120 Hãy chọn cấu sản lượng (Q1, Q2) để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 59 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số 5.1 Bài tốn cực trị khơng có điều kiện ràng buộc 5.1.1 Khái niệm cực trị Khái niệm cực trị địa phương hàm số n biến số định nghĩa hoàn toàn tương tự cực trị hàm số biến số Giả sử hàm số w = f(x, y) = f(M) xác định liên tục miền D = {M(x, y) : a  x  b, c  y  d} Định nghĩa: Ta nói hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực đại điểm M0(x0, y0) thuộc D tồn số r > đủ nhỏ cho bất đẳng thức f (M)  f (M ) thoả mãn điểm M(x, y) miền D có khoảng cách đến điểm M0(x0, y0) nhỏ r: < d(M, M0) < r Ta nói hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực tiểu điểm M0(x0, y0) thuộc D tồn số r > đủ nhỏ cho bất đẳng thức f (M)  f (M ) thoả mãn điểm M(x, y) miền D có khoảng cách đến điểm M0(x0, y0) nhỏ r: < d(M,M0) < r Điểm M0(x0, y0) mà hàm số f(M) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số Giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hàm số gọi chung cực trị hàm số Ví dụ 5.1: Hàm số w = x2 + y2 đạt giá trị cực tiểu điểm O(0,0) x2 + y2  với điểm (x, y) khác (0, 0) thuộc lân cận điểm (0, 0) 5.1.2 Điều kiện cần điều kiện đủ  Điều kiện cần Hàm số w = f(x, y) = f(M) xác định, liên tục có đạo hàm riêng miền D: D = {M(x, y) : a  x  b, c  y  d} Khi đó, Nếu điểm M0(x0, y0) điểm cực trị hàm số điểm M0(x0, y0) tất đạo hàm riêng cấp hàm số triệt tiêu  w x (x , y )   (*)  w y (x , y )  w x  Điểm M0(x0, y0) thỏa mãn điều kiện ( ), tức nghiệm hệ:  gọi w  y  điểm dừng hàm số w = f(x, y) Nhận xét 1: Từ định lý ta suy ra: Hàm số đạt cực trị điểm dừng nó, nên để tìm điểm cực trị ta cần tìm số điểm dừng Nhận xét 2: Một điểm điểm dừng hàm số chưa điểm cực trị Cho nên cần xét điều kiện đủ để điểm dừng điểm cực trị  Điều kiện đủ Giả sử hàm số w = f(x y) = f(M) có điểm dừng M0(x0,y0) đạo hàm riêng cấp hàm số xác định, liên tục M0(x0,y0) n n a11 a12  a11  w xx (x , y0 ); a12  w xy (x , y0 ) với  Xét: D  n n a 21 a 22 a 21  w yx (x , y0 ); a 22  w yy (x , y0 ) 60 TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số o Nếu D < điểm M0(x0,y0) điểm cực trị hàm số w  f (x, y) o Nếu D > điểm M0(x0,y0) điểm cực trị hàm số w  f (x, y)  a11  điểm M0(x0,y0) điểm cực tiểu hàm số  a11  điểm M0(x0,y0) điểm cực đại hàm số Bài tốn: “Tìm điểm cực trị hàm số w  f (x, y) ” Bước 1: Giải điều kiện cần (Tìm điểm dừng) o Tìm đao hàm riêng cấp hàm số w  f (x, y) w 'x , w 'y , w "xx , w "xy  w "yx , w "yy '  w  Giải hệ  'x  w y  o nghiệm M (x , y0 ) (điểm M (x , y0 ) gọi điểm dừng hàm số) Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ (tại điểm dừng kết luận) o a11 a12 w "xx  Tính định thức cấp 2: D  a 21 a 22 w "yx w "xy o Tại điểm dừng M (x , y0 ) thay x  x , y  y0 vào D(x, y) ta D(x , y0 ) w "yy  D(x, y)  Nếu D(x , y0 )  M (x , y0 ) điểm cực trị  Nếu D(x , y0 )  M (x , y0 ) điểm cực trị (ta xét tiếp a11 ) Nếu a11  M (x , y0 ) điểm cực tiểu Nếu a11  M (x , y0 ) điểm cực đại Như vậy: D0  M (x , y ) điểm cực tiểu  a11  D0  M (x , y ) điểm cực đại  a11  Ví dụ 5.2: Tìm điểm cực trị hàm số: w   x  2y  6x  9x  8y Giải: Bước 1: Giải điều kiện cần (Tìm điểm dừng) o Tìm đao hàm riêng cấp 2: w 'x  3x  12x   w "xx  6x  12, w "xy  w 'y  8y3   w "yx  0, w "yy  24y o  w '  3x  12x    Giải hệ :  'x 0  w y   8y  Giải hệ ta tìm nghiệm: (x, y)  (1, 1), (3, 1) Hàm số có điểm dừng M1(1, TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 1) M2(3, 1) 61 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ (tại điểm dừng kết luận) o Tính định thức cấp 2: D o a11 a12 w "xx  a 21 a 22 w "yx w "xy w " yy  6x  12 0 24y  24y (6x  12) Xét điểm dừng:  Tại M1 (1, 1) Ta có M(1, 1)  24(1) (6.1  12)  144  a11  6.1  12   nên M1 (1, 1) điểm cực tiểu  Tại M (3, 1) Ta có D(3, 1)  24(1)2 (6.3  12)  144  nên M (3, 1) khơng phải điểm cực trị Ví dụ 5.3: Tìm điểm cực trị hàm số: w  11x  7y  12xy  8x  18y  36 Giải: Bước 1: Giải điều kiện cần (Tìm điểm dừng) o Tìm đao hàm riêng cấp 2: w 'x  22x  12y   w "xx  22, w "xy  12 w 'y  12x  14y  18  w "yx  12, w "yy  14 o  w 'x   22x  12y    22x  12y    Giải hệ  ' 12x  14y  18   12x  14y  18  w y  Giải hệ ta tìm nghiệm nhất: (x, y)  (2,3) Hàm số có điểm dừng M(2, 3) Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ (tại điểm dừng kết luận) o Tính định thức cấp 2: a11 a12 w "xx D  a 21 a 22 w "yx o 5.2 D0 Nhận xét:  a11  w "xy 22 12   164  x, y " w yy 12 14 x, y nên điểm dừng M(2, 3) điểm cực tiểu Ứng dụng kinh tế: toán tối đa hoá lợi nhuận Các kết tạo sở toán học cho việc giải toán tối ưu Dưới góc độ định lượng tốn tối ưu đặt mục tiêu tối đa hoá tối thiểu hoá giá trị hàm số, gọi hàm mục tiêu: w = f(x1, x2, , xn) Các biến độc lập x1, x2, , xn gọi biến chọn: ta phải lựa chọn giá trị thích hợp chúng để mục tiêu đề đạt cách tốt Một tiên đề kinh tế học thị trường là: nhà sản xuất theo đuổi mục tiêu tối đa hoá lợi nhuận Dưới số ví dụ phân tích hành vi tối đa hoá lợi nhuận của doanh nghiệp 62 TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số 5.2.1 Chọn mức sản lượng tối ưu Xét doanh nghiệp cạnh tranh tuý sản xuất loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC = TC (Q1, Q2), Q1 số lượng sản phẩm thứ nhất, Q2 số lượng sản phẩm thứ hai Vì mơi trường cạnh tranh nên doanh nghiệp phải chấp nhận giá thị trường loại sản phẩm Với p1, p2 giá thị trường loại sản phẩm, hàm lợi nhuận có dạng:   p1Q1  p Q  TC(Q1 , Q ) Bài toán đặt ra: Chọn cấu sản lượng (Q1, Q2) để hàm lợi nhuận đạt tối đa Ví dụ 5.4 Xét doanh nghiệp cạnh tranh tuý sản xuất loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC  3Q12  2Q1Q  2Q 22  10 Với giá thị trường sản phẩm $160 giá sản phẩm $120 Hãy chọn cấu sản lượng (Q1, Q2) để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa Giải Bước 1: Lập hàm tổng lợi nhuận:   p1Q1  p Q  TC(Q1 , Q )   160Q1  120Q  (3Q12  2Q1Q  2Q 22  10)  3Q12  2Q 22  2Q1Q  160Q1  120Q  10) Bước 2: Bài tốn trở thành: Tìm (Q1, Q2) = ? Để   max Vấn đề quy tốn cực trị khơng có điều kiện ràng buộc: Giải điều kiện cần: Tìm đạo hàm riêng cấp 2: Q1  6Q1  2Q2  160  Q1 Q1  6, Q1 Q2  2 Q2  4Q  2Q1  120  Q2 Q1  2, Q2 Q2  4  'Q1  6Q1  2Q  160  6Q1  2Q  160 Giải hệ:  '   Q2  2Q1  4Q  120  2Q1  4Q  120 Giải hệ ta tìm nghiệm nhất: (Q1 , Q )  (20, 20) Hàm số có điểm dừng M(20, 20) Kiểm tra điều kiện đủ Tính định thức cấp 2: "Q1Q1 a11 a12  D a 21 a 22 "Q2Q1 D0 Nhận xét:  a11  "Q1Q2  " Q2 Q2  6 2  20  x, y 2 4 x, y ; nên điểm dừng M(20, 20) điểm cực đại, đồng thời điểm mà hàm số đạt max Kết luận: Khi (Q1 , Q )  (20, 20)   max TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 63 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số 5.2.2 Trường hợp doanh nghiệp độc quyền Xét trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC = TC(Q1, Q2) Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm vào chi phí sản xuất cầu thị trường: Giả sử cầu các sản phẩm là: Q1 = D1(p1) ↔ p1 = D11 (Q1) Q2 = D2(p2) ↔ p2 = D21 (Q2) Hàm lợi nhuận có dạng:   p1Q1  p Q  TC  Q1 , Q   D11  Q1  Q1  D 21  Q  Q  TC  Q1 , Q  Câu hỏi đặt chọn cấu sản xuất  Q1 , Q2   ? để lợi nhuận doanh nghiệp đạt giá trị cực đại? Nhận xét: Dưới góc độ tốn học, toán cực trị tự hàm biến Theo phương pháp giải toán cực trị hàm hai biến ta xác định mức sản lượng     Q1 , Q2 để  đạt cực đại, từ suy giá tối ưu: p1  D11 Q1 , p  D21 Q Ví dụ: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp TC  Q12  2Q1Q  Q 22  20 Cho biết hàm cầu sản phẩm sau: Q1  25  0,5p1 , Q2  30  p Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 cho lợi nhuận tối đa Giải  Lập hàm lợi nhuận:  = p1Q1 + p2Q2 – TC Từ giả thiết ta có: p1 = 50 – 2Q1; p2 = 30 – Q2 Từ suy ra,    50  2Q1  Q1   30  Q  Q   Q12  2Q1Q  Q 22  20    3Q12  2Q 22  2Q1Q  50Q1  30Q  20  Giải điều kiện cần: o Các đạo hàm riêng cấp 2: 'Q1  6Q1  2Q2  50  ''Q1Q1  6;  ''Q1Q2  2 'Q2  2Q1  4Q2  30   'Q' 2Q1  2;  'Q' 2Q2  4 o  'Q1  6Q1  2Q2  50  6Q1  2Q  50 Giải hệ:  '   2Q 4Q 30        2Q1  4Q  30  Q2 Q   Q  Hàm số có điểm dừng nhất:  Q1 , Q2    7,  64 TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số  Kiểm tra điều kiện đủ o Tính định thức cấp 2: '' a11 a12 Q1Q1  D a 21 a 22 ''Q2Q1 o 5.3 ''Q1Q2 ''Q2Q2  6 2  20  Q1 , Q  2 4 D  Q1 , Q2  nên điểm dừng  Q1 , Q2    7,  Như vậy,  a11  điểm cực đại Q   p  36 , giá cho lợi nhuận tối đa:  Kết luận:   max   Q  p  26 Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc Một người tiêu dùng phải định mua sắm hai loại hàng hoá giả sử hàm lợi ích (hay hàm thoả dụng) người là: U = U(x, y), biến số U lợi ích (độ thoả mãn) người có x đơn vị hàng hố thứ y đơn vị hàng hoá thứ hai Tâm lý chung người tiêu dùng nhiều ít, tức x y lớn U lớn Tuy nhiên, túi tiền có hạn nên muốn mua nhiều thứ người tiêu dùng phải bớt thứ Giả sử, giá thị trường loại hàng hoá mà người tiêu dùng muốn mua p1, p2 người có số tiền b Khi đó, để tối đa hố độ thoả dụng U, người phép lựa chọn x y khuôn khổ ràng buộc ngân sách: p1x + p2y = b 5.3.1 Bài toán cực trị có điều kiện ‘‘Tìm điểm cực trị hàm số w = f(x, y) thỏa mãn điều kiện g(x, y) = b” Trong mơ hình tốn trên:  x, y gọi biến chọn  w gọi biến mục tiêu; f(x, y) gọi hàm mục tiêu  g(x, y) = b gọi phương trình ràng buộc 5.3.2 Phương pháp nhân tử lagrange Các bước giải toán phương pháp nhân tử Lagrange Bước 1: Lập hàm Lagrange L  f (x, y)  [b  g(x, y)] Bước 2: Giải điều kiện cần  Tìm đạo hàm riêng cấp 2: L x , L y , L , L11  L xx , L12  L xy , L 21  L yx , L 22  L yy ;g1  g x , g  g y  Giải hệ (Tìm điểm dừng) nghiệm L x    nghiệm M (x , y0 ); L y  L   g(x, y)  b   TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 65 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ điểm dừng kết luận  Tính định thức cấp 3: g1 g2 g 'x g 'y D  g1 g2 L11 L 21 L12  g 'x L 22 g 'y L"xx L"yx L"xy  D(x, y,  ) L"yy  Xét điểm dừng M (x , y0 ); , ta có: D  D(x , y ,  ) o Nếu D  điểm M (x , y0 ) điểm cực đại o Nếu D  điểm M (x , y0 ) điểm cực tiểu Ví dụ 5.5: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm điểm cực trị hàm số w  3x  5xy với điều kiện: x  y  16 Giải: Trước hết ta ý: f (x, y)  3x  5xy;g(x, y)  x  y; b  16  Lập hàm Lagrange: L  3x  5xy  (16  x  y) o Giải điều kiện cần  Tìm đạo hàm riêng cấp 2: L"x  6x  5y    L11  L"xx  6, L12  L"xy  L"y  5x    L 21  L"yx  5, L 22  L"yy  L"  16  x  y;g1  g x  1, g  g y   Giải hệ (Tìm điểm dừng) L' x 6x  5y     6x  5y  '   L y   5x       5x L'  xy 0    Từ phương trình đầu ta suy ra: 6x  5y  5x  x  5y vào phương trình thứ 3: 5y  y  16  y  4  x  20    100 Vậy hàm số có điểm dừng nhất: M(20, 4);   100 o Kiểm tra điều kiện đủ (tại điểm dừng)  Tính định thức cấp 3: D  g1 g2 g1 g2 L11 L12  g L 21 L 22 g ' x ' y g 'x " xx " yx L L g 'y " xy " yy L L 1    x, y,   Vậy điểm dừng M(20, 4) điểm cực đại 5.4 Ứng dụng kinh tế: toán tối đa hóa lợi ích tiêu dùng Xét cấu tiêu dùng có hai mặt hàng Giả sử, giá hàng hố thứ thứ hai p1, p2 số tiền dành cho mua sắm người tiêu dùng b Khi đó, để tối đa hố độ thoả 66 TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số dụng u = u(x, y) người phép lựa chọn x y khuôn khổ ràng buộc ngân sách: p1x + p2y = b Bài toán: Chọn (x, y) để hàm lợi ích u = u(x, y) đạt cực đại với điều kiện p1x + p2y = b Ví dụ 5.7: Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích u = x0,4.y0,9 Trong điều kiện giá hàng hóa thứ $8, giá hàng hóa thứ hai $3 thu nhập dành cho tiêu dùng $260 xác định giỏ hàng đem lại lợi ích tối đa cho người tiêu dùng Giải: Bài toán thực chất toán cực trị có điều kiện: Tìm (x, y) cho hàm số u  x 0,4 y 0,9 đạt cực đại với điều kiện: 8x  3y  260  Lập hàm Lagrange: L = x0,4.y0,9 + (260 – 8x – 3y)  Giải điều kiện cần o Tính đạo hàm riêng cấp 2: L' x  0, 4x 0,6 y 0,9  8  L11  L"xx  0, 24x 1,6 y 0,9 ; L12  L"xy  0,36x 0,6 y 0,1 L' y  0,9x 0,4 y 0,1  3  L 21  L"yx  0,36x 0,6 y 0,1 ; L 22  L"yy  0, 09x 0,4 y 1,1 L'  260  8x  3y;g1  g x  8;g  g y  o 0,4.x 0,6 y 0,9  8  0,4.x 0,6 y 0,9  8 L' x     Giải hệ:  L' y   0,9.x 0,4 y 0,1  3   0,9.x 0,4 y 0,1  3 L'  8x  3y  260 8x  3y  260     Chia theo vế hai phương trình đầu hệ, ta được: y = 6x Thay y = 6x vào PT thứ 3, ta được: 8x + 3.6x = 260  x  10; y  60;   0,3.100,4.600,1 Vậy có điểm dừng là: M(10, 60);   0,3.100,4.600,1  Kiểm tra điều kiện đủ: o Tính định thức cấp 3: g1 g2 D  g1 g2 L11 L 21 L12  L11 L 22 L 21 Vì L12  0; L11  0; L 22  0 L12  48L12  9L11  64L 22 L 22 x, y,   nên D  48L12  9L11  64L 22  x, y,  Như vậy, điểm dừng M(10, 60) điểm cực đại Kết luận: Giỏ hàng cho lợi ích tối đa (x, y)  (10, 60) TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 67 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số Tóm lược cuối  Bài toán cực trị tự hàm số tốn tìm giá trị biến chọn miền xác định hàm số mà hàm số đạt giá trị lớn (nhỏ nhất) phạm vi lân cận đủ nhỏ điểm  Để tìm cực trị tự hàm số, ta tiến hành tìm điểm dừng hàm số Sau đó, sử dụng điều kiện đủ kiểm tra điểm dừng tìm có điểm cực trị hay khơng  Bài tốn tối đa hóa lợi ích nhà sản xuất giới thiệu với toán lựa chọn mức sản lượng tối ưu lựa chọn mức sử dụng yếu tố đầu vào tối ưu  Đối với cực trị có điều kiện ràng buộc ta phải tiến hành tìm cực trị hàm số điều kiện biến chọn thỏa mãn phương trình ràng buộc  Phương pháp nhân tử Lagrange sử dụng để tìm cực trị có điều kiện ràng buộc Nhân tử Lagrange biến số phụ đưa thêm vào lập hàm Lagrang Chúng ta thực tìm cực trị hàm Lagrang sử dụng điều kiện đủ kiểm tra hàm số có đạt cực trị điểm tìm hay khơng  Trong phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị b điều kiện ràng buộc tăng thêm đơn vị, ta khơng cần giải lại tốn mà dựa vào ý nghĩa nhân tử Lagrang để biết lượng thay đổi giá trị cực trị hàm số  Bài tốn tối đa hóa lợi ích có ràng buộc ngân sách đưa minh họa cho việc sử dụng tốn cực trị có điều kiện phân tích kinh tế 68 TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 Bài 5: Cực trị hàm số nhiều biến số Câu hỏi ôn tập Theo định nghĩa hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực đại điểm M0(x0, y0) giá trị hàm số điểm M0 lớn hay nhỏ giá trị hàm số điểm gần M(x, y) gần M0(x0, y0)? Cực trị hàm số gì? Để tìm điểm dừng hàm số ta phải làm gì? Hàm số có chắn đạt cực trị điểm dừng hàm số hay không? Hãy phát biểu quy tắc kiểm tra điều kiện đủ cực trị hàm số biến số Hàm Lagrange toán cực trị hàm số với biến chọn phương trình ràng buộc lập nào? Nhân tử Lagrange gì? Để tìm điểm dừng hàm số Lagrange ta cần phải làm gì? Hãy phát biểu quy tắc kiểm tra điều kiện đủ cực trị toán cực trị có điều kiện với biến chọn phương trình ràng buộc 10 Hãy nêu ý nghĩa nhân tử Lagrange TXTOCB01_Bai5_v1.0014105205 69