Một số phương pháp giải toán ViOlympic PHƯƠNG PHÁP NHẬN DIỆN VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN : TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA CHÚNG I Các dạng tốn: Dạng 1: Tìm hai số tự nhiên biết Tổng Hiệu chúng Công thức: Số bé = ( Tổng - Hiệu ) : Hoặc: Số lớn = ( Tổng + Hiệu ) : Số lớn = Số bé + Hiệu Số bé = Số lớn - Hiệu Dạng 2: Tìm hai số tự nhiên biết Tổng chúng có số số tự nhiên khác Ví dụ 1: Hai số tự nhiên có tổng 2009 chúng có tất 20 số tự nhiên khác Tìm hai số * Nhận diện dạng tốn: Đây tốn dạng “ Tìm số biết Tổng hiệu chúng” Tuy nhiên cần lưu ý đến số kiến thức học: + Tổng số chẵn số chẵn; tổng số lẻ số chẵn tổng số chẵn số lẻ số lẻ Bài tổng số 2009, số phải số lẻ + Để giải tốn, cần tìm hiệu số Muốn tìm hiệu số, cần xác định số có tất 20 số tự nhiên khác, số (kém) đơn vị Có thể xác định cách vẽ tia số lập luận, để xác định quy tắc chung tìm hiệu số dạng toán + Lập luận: Giữa chúng có 20 số tự nhiên khác, từ số bé đến số lớn cần tìm có 22 số ( có 21 khoảng cách, khoảng cách có giá trị đơn vị) Vậy hiệu hai số là: 21 x = 21 = ( 20 + ) x + Quy tắc chung: Đối với dạng toán này, hiệu hai số là: ( Số lượng số tự nhiên hai số cần tìm + 1) x Bài giải * Cách 1: Giữa chúng có 20 số tự nhiên khác, số tự nhiên liên tiếp đơn vị, nên hiệu số lớn số bé là: 20 + = 21 Số tự nhiên bé là: ( 2009 - 21 ) : = 994 Số tự nhiên lớn là: 994 + 21 = 1015 Đáp số: 994 1015 * Cách 2: Hai số tự nhiên liên tiếp có tổng 2009 là: Số bé là: ( 2009 - ) : = 1004 Số lớn là: 1004 + = 1005 Vì khoảng có 20 số tự nhiên khác nên ta có: Số bé cần tìm : 1004 – 10 = 994 Biên soạn: GV Trần Đức Nam – Trường Tiểu học Vĩnh Khê DeThiMau.vn Một số phương pháp giải tốn ViOlympic Số lớn cần tìm : 1005 + 10 = 1015 Đáp số: 994 1015 Đáp số: 994 1015 * Ví dụ 2: Hai số tự nhiên có tổng 2010 chúng có tất 21 số tự nhiên khác Tìm hai số * Cách hiểu: Giữa chúng có 20 số tự nhiên khác, từ số bé đến số lớn cần tìm có 23 số ( có 22 khoảng cách, khoảng cách có giá trị đơn vị) Vậy hiệu hai số là: 22 x = 22 * Cách giải: Tìm hai số biết Tổng Hiệu chúng * Lưu ý: Bài dạng không giải theo cách tổng số tự nhiên liên tiếp số lẻ Dạng 3: Tìm hai số tự nhiên biết chúng có số số chẵn ( số lẻ khác ) * Ví dụ 3: Hai số tự nhiên có tổng 2011 chúng có tất số chẵn Tìm hai số * Nhận diện dạng tốn: Đây tốn dạng “ Tìm số biết Tổng hiệu chúng” Tuy nhiên cần lưu ý : + Bài tổng số 2011, số cần tìm phải số lẻ số chẵn ( Nếu số bé số lẻ số lớn số chẵn ngược lại ) + Để giải tốn, cần tìm hiệu số Muốn tìm hiệu số, cần xác định số có tất số chẵn, số (kém) đơn vị Có thể xác định cách vẽ tia số sau để xác định quy tắc chung tìm hiệu số dạng tốn ( sử dụng PP lập luận trên) SC SC1 SC2 SC3 SC5 SC4 2 SC7 SC6 2 SC8 SC9 SL + Lưu ý: Có trường hợp xảy là: Có thể số bé số lẻ số lớn số chẵn ngược lại số bé số chẵn số lớn số lẻ Tuy nhiên trường hợp hiệu số không thay đổi, nên vẽ tia số ta giả sử số bé số chẵn ( kí hiệu SC), số lớn số lẻ ( kí hiệu SL); số chẵn kí hiệu theo thứ tự SC1; SC2; SC9 + Dựa vào tia số ta thấy hiệu số là: x + = 19 + Nhận xét rút quy tắc: Ta thấy số chẵn liên tiếp ( ) đơn vị, số cần tìm có số chẵn nên bằng: x Từ số chẵn đến số lẻ thêm đơn vị nên phải cộng thêm + Nhận xét chung: Đối với dạng tốn để tìm hiệu số, cần vẽ tia số để xác định Trường hợp toán chúng có nhiều số tự nhiên, số lẻ số chẵn gây khó khăn việc vẽ tia số, xác định cơng thức chung cho dạng tốn thơng qua việc lập luận: tổng số lẻ ( 2011) nên hai số cần tìm phải số chẵn số lẻ Giữa Biên soạn: GV Trần Đức Nam – Trường Tiểu học Vĩnh Khê DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán ViOlympic chúng có số chẵn, dãy số ( từ số bé đến số lớn cần tìm có 10 số chẵn – có khoảng cách – khoảng cách đơn vị số lẻ - đơn vị), nên hiệu cần tìm là: x + = 19 Bài giải: * Cách ( Theo tia số lập luận trên) : Từ tia số ta có hiệu số là: x + = 19 Số bé là: ( 2011 - 19 ) : = 996 Số lớn là: 996 + 19 = 1015 Đáp số: 996 1015 * Cách 2: Hai số tự nhiên liên tiếp có tổng 2011: Số lớn là: ( 2011 + ) : = 1006 Số bé là: 1006 - = 1005 Vì khoảng có số chẵn nên ta có: Số bé cần tìm : 1005 – = 996 Số lớn cần tìm : 1006 + = 1015 Đáp số: 996 1015 * Ví dụ Hai số tự nhiên có tổng 2009 chúng có tất số lẻ Tìm hai số * Giải tương tự Ví dụ Bài giải * Cách 1: Hiệu hai số tự nhiên là: x + = 11 Số tự nhiên bé cần tìm là: ( 2009 - 11 ) : = 999 Số tự nhiên lớn cần tìm là: 999 + 11 = 1020 * Cách 2: Hai số tự nhiên liên tiếp có tổng 2009 là: ( 2009 - ) : = 1004 1004 + = 1005 Vì khoảng có số lẻ nên ta có: Số bé cần tìm : 1004 – = 999 Số lớn cần tìm : 1005 + = 1020 Đáp số: 996 1015 Dạng 4: Tìm hai số chẵn ( hai số lẻ) biết chúng có số số chẵn ( số số lẻ khác ) Ví dụ Tìm hai số chẵn có tổng 210, biết chúng có tất 18 số chẵn khác * Nhận diện dạng tốn: Đây tốn dạng “ Tìm hai số biết Tổng hiệu chúng”; nhiên, cần tìm hiệu hai số bao nhiêu? Bài giải Biên soạn: GV Trần Đức Nam – Trường Tiểu học Vĩnh Khê DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán ViOlympic * Cách 1: Dựa vào tia số để tìm quy tắc chung tìm hiệu hai số, lập luận sau: Giữa chúng có 18 số chẵn khác, nên từ số bé đến số lớn có 20 số chẵn có 19 khoảng cách, số chẵn cách đơn vị nên hiệu : Hiệu hai số là: 19 x = 38 Số bé cần tìm là: ( 210 - 38 ) : = 86 Số lớn cần tìm là: 86 + 38 = 124 * Cách 2: Hai số chẵn liên tiếp có tổng 210 là: ( 210 - ) : = 104 104 + = 106 Số chẵn bé cần tìm là: 104 - 18 = 86 Số chẵn lớn cần tìm là: 210 - 86 = 124 Đáp số: 86 124 * Ví dụ Tìm hai số lẻ có tổng 474, biết chúng có tất 37 số lẻ khác Bài giải * Cách 1: Hiệu hai số là: ( 37 + ) x = 76 Số lẻ bé cần tìm là: ( 474 - 76 ) : = 199 Số lẻ lớn cần tìm là: 199 + 76 = 275 * Cách 2: Hai số lẻ ( chẵn ) liên tiếp có tổng 474 là: (474 - ) : = 236 Số lẻ bé cần tìm là: 236 - 37 = 199 Số lẻ lớn cần tìm là: 238 + 37 = 275 Đáp số: 199 275 Dạng 5: Tìm hai số chẵn ( hai số lẻ) biết chúng có số số lẻ ( số số chẵn khác ) * Đối với dạng toán hiểu theo tia số sau: * Ví dụ 7: Tìm hai số chẵn có tổng 2010 biết chúng có số lẻ SC SL1 SL2 SL3 2 * Ta có cơng thức tìm hiệu số: SL5 SL4 SL7 SL6 2 SL8 SL9 SC Biên soạn: GV Trần Đức Nam – Trường Tiểu học Vĩnh Khê DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán ViOlympic Hiệu hai số là: x = 18, tức số lượng số lẻ số x * Giải: Hiệu hai số là: x = 18 Số chẵn bé cần tìm là: ( 2010 - 18 ) : = 996 Số chẵn lớn cần tìm là: 996 + 18 = 1014 Đáp số: 996 1014 * Ví dụ 8: Tìm hai số lẻ có tổng 280 biết chúng có số chẵn SL SC1 SC2 SC3 SC5 SC4 2 SC7 SC6 2 SC8 SC9 SL * Ta có cơng thức tìm hiệu số: Hiệu hai số là: x = 18, tức số lượng số chẵn số x * Giải: Hiệu hai số là: x = 18 Số lẻ bé cần tìm là: ( 280 - 18 ) : = 131 Số chẵn lớn cần tìm là: 131 + 18 = 149 Đáp số: 131 149 Dạng 6: Một số dạng toán “Tổng – Hiệu” với phân số: * Lưu ý: + Khi thêm ( bớt) tử số mẫu số số đơn vị, Hiệu chúng khơng thay đổi + Khi thêm vào tử số A đơn vị bớt mẫu số A đơn vị Tổng chúng không thay đổi ( ngược lại) + Khi thêm vào tử số A đơn vị ta phân số 1, nghĩa Mẫu số tử số A đơn vị ( ngược lại) + Khi chuyển A đơn vị từ mẫu số lên tử số ta phân số 1, nghĩa Mẫu số Tử số: A x đơn vị; gọi vui “ cho mà hiệu chúng là: cho x 2” + Khi chuyển A đơn vị từ mẫu số lên tử số mà Mẫu số Tử số B đơn vị, nghĩa Mẫu số Tử số: A x + B đơn vị; gọi vui “cho mà hiệu chúng là: cho x + hơn” + Khi chuyển A đơn vị từ mẫu số lên tử số mà Mẫu số lại Tử số B đơn vị, nghĩa Mẫu số Tử số: A x - B đơn vị; cịn gọi vui “cho mà lại thua, hiệu chúng là: cho x - thua”… Dạng 7: Một số dạng toán “Tổng – Hiệu” khác: + Cho biết chu vi hình chữ nhật A chiều dài chiều rộng B ( dạng Tổng “ẩn”, hiệu tường minh) Muốn tính cần tìm nửa chu vi ( tổng chiều dài chiều rộng) + Cho biết Trung bình cộng hai số hiệu số ( dạng Tổng “ẩn”, Hiệu tường minh) Muốn tìm số cần tính tổng chúng ( lấy TBC x ) Biên soạn: GV Trần Đức Nam – Trường Tiểu học Vĩnh Khê DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán ViOlympic + Cho biết số có tổng A viết thêm chữ số B vào trước số bé ta số lớn II Một số tập Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 2011 chúng có 26 số tự nhiên khác Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 2012 giũa chúng có 31 số tự nhiên khác Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 2011 chúng có 25 số lẻ Tìm hai số chẵn có tổng 848, biết chúng có tất 13 số chẵn khác Tìm hai số lẻ có tổng 406, biết chúng có tất 11 số lẻ khác Tìm hai số chẵn có tổng 2010 biết chúng có 21 số lẻ khác Tìm hai số lẻ có tổng 2012 biết chúng có 23 số chẵn khác Tìm hai số biết trung bình cộng chúng 48 chúng có số lẻ Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 999 chúng có 25 số lẻ 10 Tìm hai số lẻ biết tổng chúng 1142 chúng có tát 53 số lẻ khác 11 Tìm hai số chẵn biết tổng chúng 810 chúng có tất 20 số chẵn khác 12 Tìm phân số, biết mẫu số tử số 22 đơn vị thêm vào tử số đơn vị, bớt mẫu số đơn vị tổng tử số mẫu số 56 13 Tìm hai số biết trung bình cộng chúng 252 số lớn số bé 12 đơn vị 14 Một hình chữ nhật có chu vi 352 cm2 Biết tăng chiều rộng thêm 5cm giảm chiều dài 7cm hình vng Tính diện tích hình chữ nhật 15 Tìm hai số biết tổng chúng 258 viết thêm chữ số vào trước số bé ta số lớn 16 Tìm phân số, biết tổng tử số mẫu số 120; thêm vào tử số 15 đơn vị giảm mẫu số 27 đơn vị ta phân số có giá trị 17 (*) Hiện tổng số tuổi ba mẹ 56 tuổi Biết 16 năm số tuổi mẹ tổng số tuổi hai Tính tuổi mẹ 18 (*) Tổng ba số 1978 Số thứ lớn tổng hai số 58 Nếu bớt số thứ hai 36 đơn vị số thứ hai số thứ ba Tìm ba số * Lời kết: Các em thân mến! Trước bắt tay vào làm tập, em nên nhớ phải đọc qua hiểu “bản chất” việc tìm hiệu hai số cần tìm thơng qua tia số ( lập luận) Một điều cần lưu ý: Đừng tâm vào cơng thức, cách lập luận dài dịng nêu trên, diễn giải cách chi tiết nhằm giúp em hiểu thật sâu số dạng toán “Tổng – Hiệu”, toán nêu hiểu “Tổng” tường minh (đã cho biết) “Hiệu” “ẩn”, ngược lại “Hiệu” tường minh (đã cho biết) “Tổng” “ẩn đòi hỏi phải qua lập luận bước tính tìm “Hiệu” “Tổng” Tìm “Hiệu” “Tổng” coi việc giải toán dễ dàng Với toán học, việc học thuộc lịng cơng thức, quy tắc, tính chất giải pháp “tạm thời” khơng có đủ trí thơng minh để học thuộc hết tất Biên soạn: GV Trần Đức Nam – Trường Tiểu học Vĩnh Khê DeThiMau.vn ... số bé số lẻ số lớn số chẵn ngược lại số bé số chẵn số lớn số lẻ Tuy nhiên trường hợp hiệu số không thay đổi, nên vẽ tia số ta giả sử số bé số chẵn ( kí hiệu SC), số lớn số lẻ ( kí hiệu SL); số. .. Khê DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán ViOlympic Hiệu hai số là: x = 18, tức số lượng số lẻ số x * Giải: Hiệu hai số là: x = 18 Số chẵn bé cần tìm là: ( 2010 - 18 ) : = 996 Số chẵn lớn cần.. .Một số phương pháp giải toán ViOlympic Số lớn cần tìm : 1005 + 10 = 1015 Đáp số: 994 1015 Đáp số: 994 1015 * Ví dụ 2: Hai số tự nhiên có tổng 2010 chúng có tất 21 số tự nhiên khác Tìm hai số