Một số phương pháp giải toán hình học không gian

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VÕ TRUNG HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - 2018 LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hồn thành hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển Các kết luận văn chưa công bố công trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Võ Trung Hiếu LỜI CẢM ƠN Bằng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc em xin gửi đến Thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển lời cảm ơn chân thành bảo hướng dẫn tận tình thầy suốt thời gian em làm luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, Cơ giáo Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng giảng dạy tạo nhiều điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Cảm ơn anh,chị bạn lớp Cao Học Phương Pháp Toán Sơ Cấp Khóa 32 giúp đỡ em nhiều trình học tập nghiên cứu Tác giả Võ Trung Hiếu MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN 1.1 QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 1.1.1 Hai đường thẳng song song 1.1.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng 1.1.3 Hai mặt phẳng song song 1.2 QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 1.2.1 Hai đường thẳng vng góc 1.2.2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 10 1.2.3 Hai mặt phẳng vng góc 13 1.2.4 Khoảng cách 14 1.3 HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES TRONG KHÔNG GIAN 17 1.3.1 Hệ trục tọa độ không gian 17 1.3.2 Tọa độ vector 17 1.3.3 Tọa độ điểm 18 1.3.4 Tích vơ hướng tích có hướng 18 1.3.5 Phương trình mặt cầu 19 1.3.6 Phương trình mặt phẳng 19 1.3.7 Phương trình đường thẳng 19 1.3.8 Khoảng cách 19 1.4 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 20 1.4.1 Hai đường thẳng song song 20 1.4.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng 23 1.4.3 Hai mặt phẳng song song 27 1.4.4 Hai đường thẳng vng góc 27 1.4.5 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 30 1.4.6 Hai mặt phẳng vng góc 33 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP VECTOR 34 2.1 Các bước giải toán hình học khơng gian phương pháp vector 34 2.2 Một số toán giải phương pháp vector 34 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 62 3.1 CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 62 3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 70 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lịch sử phát triển xã hội loài người minh chứng cho đời cách tự nhiên mơn hình học Xuất phát từ nhu cầu đo diện tích ruộng, đo thể tích thùng chứa, tính khoảng cách điểm, hình học thuở ban đầu môn khoa học thực nghiệm Do nhu cầu phát triển ngành khoa học kỹ thuật, hình học biến chuyển trở thành mơn khoa học suy diễn chặt chẽ Đến nay, hình học công cụ quan trọng việc xây dựng nên ngành tốn học đại Nó giữ vai trò quan trọng đời sống người ngành khoa học kỹ thuật Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, hình học không gian môn học vô hấp dẫn thú vị mơn học trừu tượng khó tiếp cận em học sinh Ngoài ra, để giải tập hình học khơng gian địi hỏi học sinh phải nỗ lực nhiều phải có tư trừu tượng cao Bởi thế, kiến thức hình học ngày trọng nghiên cứu sâu trường Trung học Phổ thông Nhằm mục đích tìm hiểu cách giải tốn hình học khơng gian để phục vụ cho việc giảng dạy sau với hướng dẫn Thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN.” Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp giải tốn hình học khơng gian chương trình phổ thơng: phương pháp vector, phương pháp tọa độ không gian, phương pháp sử dụng quan hệ song song, quan hệ vng góc Định hướng việc ứng dụng phương pháp cho nhóm tốn cụ thể Đối tượng nghiên cứu Phương pháp vector, phương pháp tọa độ không gian quan hệ song song, quan hệ vng góc giải tốn hình học khơng gian Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận văn hình học khơng gian chương trình Tốn phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Luận văn nghiên cứu dựa phương pháp: - Tham khảo tài liệu, hệ thống hóa kiến thức liên quan đến đề tài - Phân tích, nghiên cứu tài liệu chọn lọc - Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài - Trao đổi thảo luận với thầy giáo hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa thực tiễn mặt lý thuyết, tài liệu tham khảo dành cho giáo viên học sinh Trung học Phổ thông Cấu trúc luận văn Chương 1: QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 1.1 Quan hệ song song không gian 1.2 Quan hệ vng góc khơng gian 1.3 Hệ tọa độ Descartes khơng gian 1.4 Một số tốn giải phương pháp sử dụng quan hệ song song quan hệ vng góc khơng gian Chương 2: PHƯƠNG PHÁP VECTOR 2.1 Các bước giải toán hình học khơng gian phương pháp vector 2.2 Một số toán giải phương pháp vector Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 3.1 Các bước giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ 3.2 Một số toán giải phương pháp tọa độ 74 z D 4 A C y B x Hình 3.14 Bài giải Dễ dàng thấy tam giác ABC vuông A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho: A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(0; 4; 0), D(0; 0; 4) Ta có Suy −−→ −−→ BD = (−3; 0; 4); BC = (−3; 4; 0) −−→ −−→ BD, BC = (−16, −12, −12) = −4 (4, 3, 3) Mặt phẳng (BCD) qua B(3; 0; 0) nhận n = (4; 3; 3) làm vector pháp tuyến nên có phương trình: 4(x − 3) + 3y + 3z = ⇔ 4x + 3y + 3z − 12 = 75 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD √ 12 |−12| 34 d (A, (BCD)) = √ =√ = 17 34 42 + 32 + 32 Ví dụ 3.2.4 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AM N , biết mặt phẳng (AM N ) vng góc với mặt phẳng (SBC) z S N K x M A C H I B y Hình 3.15 Bài giải Gọi SH đường cao hình chóp SABC Khi đó, H trọng tâm tam giác ABC Kẻ AK⊥M N , (AM N )⊥(SBC) nên AK⊥(SBC) Gọi I trung điểm BC Khi S , K , I thẳng hàng AH = 2HI Mặt khác M N đường trung bình tam giác SBC nên K trung điểm 76 √ a SI , kéo theo tam giác SAI cân A Suy SA = AI = Ta có √ √ √ a 15 a ; HI = ; SH = SA2 − AH = a AH = 6 Chọn hệ trục tọa độ Ixyz hình vẽ cho: √ √ √ √ √ a a a a 15 a −a a 15 ;N I(0, 0, 0); A , 0, ; M , , , , 12 12 12 12 Suy −−→ AM = √ √ −5 3a a a 15 , , 12 12 Do đó, −−→ −−→ AM , AN = −−→ ; AN = √ √ −5 3a −a a 15 , , 12 12 √ √ 10 3a2 15a2 , 0, 48 48 ; Suy SAM N = −−→ −−→ AM , AN = √ 15a2 48 + √ 10 3a2 48 √ a2 10 = 16 Ví dụ 3.2.5 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B ′ C ′ D′ thỏa mãn AB = a, AD = a, AA′ = b(a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC ′ a) Tính thể tích khối tứ diện BDA′ M theo a b b) Xác định tỷ số với a để hai mặt phẳng (A′ BD) (M BD) vng góc b 77 z A′ a D′ B′ C′ b M A D y a B C x Hình 3.16 Bài giải Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Khi đó, b A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), A′ (0; 0; b), C ′ (a; a; b), M (a; a; ) a) Ta có −−→ −−→ −−→ b BD = (−a; a; 0) , BA′ (−a; 0; b) , BM = 0; a; Suy ra, −−→ −−→′ BD, BA = ab; ab; a2 Do đó, V = −−→ −−→′ −−→ a2 b a b+ BD, BA · BM = 3a2 b a2 b = = 12 −−→ −−→ b) Mặt phẳng (A′ BD) có vector pháp tuyến BD, BA′ = ab, ab, a2 hay n = (b, b, a) 78 −−→ −−→ Mặt phẳng (M BD) có vector pháp tuyến BD, BM = hay m = (b, b, −2a) Ta có (A′ BD)⊥(M BD) ⇔ m.n = ⇔ b2 + b2 − 2a2 = ⇔ a = b ⇔ a = b ab ab , , −a2 2 79 KẾT LUẬN Luận văn “Một số phương pháp giải tốn hình học khơng gian” đạt kết sau: (a) Tìm hiểu trình bày lại quan hệ vng góc, song song hình học khơng gian (b) Hệ thống phân loại số dạng tốn hình học khơng gian chương trình tốn Trung học phổ thơng Đối với dạng tốn có phương pháp giải ví dụ minh họa cụ thể Trong suốt thời gian thực luận văn, Mặc dù em tâm, song hạn chế khả nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q Thầy, Cơ bạn để luận văn em hoàn thiện 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Khu Quốc Anh, Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2014), Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục [2] Phạm Khắc Ban, Văn Như Cương, Lê Huy Hùng, Tạ Mân, Đồn Quỳnh (2010), Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [3] Phạm Khắc Ban, Văn Như Cương, Tạ Mân, Đồn Quỳnh (2014), Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [4] Văn Như Cương (2007), Bài tập hình học 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [5] Văn Như Cương, Trần Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy (2000), Bài tập Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục [6] Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, Đoàn Quỳnh (2006), Hình học 10 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [7] Lê Hữu Dũng, Lê Công Thuận (2002), 260 Bài tốn nâng cao hình học khơng gian, Nhà xuất Đà Nẵng [8] Trịnh Quốc Dũng, Võ Tiến Huy, Nguyễn Văn Nhượng (1997), Giải tốn hình học khơng gian 11 toàn tập, Nhà xuất Trẻ [9] Trần Bá Hà (2011), Phương pháp giải tốn hình học khơng gian, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [10] Trần Văn Hạo (2007), Hình học 11 bản, Nhà xuất Giáo dục [11] Phan Huy Khải, Nguyễn Đạo Phương (2000), Các phương pháp giải tốn sơ cấp hình học không gian 11, Nhà xuất Hà Nội 81 [12] Lê Lương, Nguyễn Thư Sinh (2000), Giải tốn hình học không gian nào, Nhà xuất Thành phố Hồ Chí Minh [13] Võ Đại Mau (1998), Phương pháp giải tốn hình học, Nhà xuất Trẻ ... “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN. ” Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp giải tốn hình học khơng gian chương trình phổ thơng: phương pháp vector, phương pháp tọa độ không gian, ... 2: PHƯƠNG PHÁP VECTOR 2.1 Các bước giải tốn hình học khơng gian phương pháp vector 2.2 Một số toán giải phương pháp vector Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 3.1 Các bước giải tốn hình khơng gian phương. .. CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP VECTOR 34 2.1 Các bước giải tốn hình học khơng gian phương pháp vector 34 2.2 Một số toán giải phương pháp