THÔNG TIN TÀI LIỆU
Một số phương pháp giải toán cực trị THCS I kiến thức Các định nghĩa 1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền D : M gọi GTLN f(x,y, ) miền |D điều kiện sau đồng thời thoả mÃn : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) |D 1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền |D : M gọi GTNN f(x,y, ) miền |D đến điều kiện sau đồng thời thoả mÃn : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Min f(x,y, ) = fmin víi (x,y, ) |D C¸c kiÕn thøc thêng dïng 2.1 Luü thõa : a) x2 x |R x2k x |R, k z - x2k Tỉng qu¸t : f (x)2k x |R, k z - f (x)2k Tõ ®ã suy : f (x)2k + m m x |R, k z 2k M - f (x) M b) x x ( x )2k x0 ; k z 2k Tỉng qu¸t : ( A ) A 0 (A lµ biĨu thøc) 2.2 BÊt đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nÕu "=" x¶y x.y c) |x-y| |x| - |y| ; nÕu "=" x¶y x.y vµ |x| |y| 2.3 Bất đẳng thức côsi : ; i = 1, n : a1 a a n n n a1 a .a n nN, n 2 dÊu "=" x¶y a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta cã : (a1b1+ a2b2 + +anbn)2 ( a12 a 22 a n2 ).(b12 b22 bn2 ) DÊu "=" x¶y = Const (i = 1, n ) bi 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a : (1+a)n 1+na n N DÊu "=" x¶y a = Mét sè BÊt đẳng thức đơn giản thường gặp suy từ bất đẳng thức (A+B)2 ThuVienDeThi.com a b c d a2 + b2 2ab (a + b)2 4ab 2( a2 + b2 ) (a + b)2 a b 2 b a 1 e b a ab II Một số phương pháp giải toán cực trị đại số Phương pháp 01 ( Sử dụng phép biến đổi đồng ) Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đà cho tổng biểu thức không âm (hoặc không dương) số Từ : 1.Để tìm Max f(x,y, ) trªn miỊn |D ta chØ : f ( x, y ) M ( x , y ) | R cho f(x0,y0, ) = M Để tìm Min f(x,y, ) trªn miỊn |D ta chØ : f ( x, y ) m ( x , y ) | R cho f(x0,y0, ) = m I Các vi dụ minh hoạ : Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ cđa A1 = x2 + 4x + Gi¶i :Ta cã : A1 = x2 + 4x + = x2 + 4x + 4x + = (x + 2)2 + v× (x + 2)2 0 A1 = x + = x = -2 VËy A1 = x = -2 VÝ dơ : T×m giá trị lớn A2 = -x2 + 6x - 15 Gi¶i :Ta cã : A2 = -x2 + 6x - 15 = - (x2- 6x + 9) - A2 = - (x - 3)2 - - -(x - 3)2 x |R A2 max = - x - = x = VËy A2 max = - x = 3 VÝ dô : Tìm giá trị nhỏ A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Gi¶i : Ta cã : A3= (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 2 = (x -9x + 8) (x - 9x + 20) + 2002= {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002 = (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002 = (x2-9x + 14)2 + 1966 1966 v× (x2-9x + 14)2 0 x x VËy A3 = 1966 x A3 = 1966 x2-9x + 14 = x x x 10 x ( x 1) x 2x 2( x x 1) 6( x 1) x 10 x Gi¶i :Ta cã: A4 = 2 x ( x 1) x 2x ( x 1) VÝ dô : Tìm giá trị lớn biểu thức A4 = 2 1 v× - = - 1 x x 1 x 1 ThuVienDeThi.com x = -2 x 1 A4 Max = VËy : A4 Max = x = -2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn cđa A5 = Gi¶i :Ta cã:A = A5 = x y y x x y= ( x y ).( x y ) xy x y x x y víi x,y>0 x xy yx yy x xy ( x y ) ( x y ) = y xy 0 x( x y ) y ( x y ) xy x,y > A = x y x = y VËy : A5 = x = y > VÝ dô : Cho x,y x + y = Tìm giá trị nhỏ lớn A6 = x2 + y2 Giải :Do x; y x + y = x;y 1 x2 x, y2 y x x hc y 1 y A6 = x2 + y2 x + y = A6 max = Mặt khác : x + y = (x + y)2 = = x2 + 2xy + y2 (x2+y2)-(x-y)2 1 ( x y ) (x - y)2 2 1 A6 = x - y = x = y = 2 x x VËy : A6 max = ; y 1 y 1 A6 = x = y = 2 A6 = x2+y2 = VÝ dụ : Tìm giá trị lớn A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 Gi¶i :Ta cã : A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 = - (2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz) A7 = - {(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2} x,y,z A7 Max = x=y = z VËy : A7 Max = x = y = z VÝ dơ : T×m GTLN cđa biĨu thøc: y y Gi¶i: Ta cã thĨ viÕt: x x 1 x x 1 1 x 2 2 1 3 V× x Do ®ã ta cã: y DÊu “=” x¶y x 2 4 1 VËy: GTLN cđa y t¹i x II Nhận xét: Phương pháp giải toán cực trị đại số cách sử dụng phép biến đổi đồng áp dụng cho nhiều tập, nhiều dạng tập khác Song học sinh thường gặp khó khăn công việc biến đổi để đạt mục đích Vậy ThuVienDeThi.com phương pháp nào; để phương pháp vừa nêu giúp học sinh nhanh chóng tìm lời giải Trước hết ta giải số toán sau để suy ngẫm III Các tập đề nghị : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : a A =x2 - 10x + 20 b B = (x-1)2 + (x-3)2 c C x x y y d D = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) 3x x e E = (x 1) x 2x f F = x3 + y3 + xy biÕt x + y = g G = 4( x y xy ) víi x,y > x y xy Tìm giá trị lớn nhÊt cđa c¸c biĨu thøc : a A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002 b B= x2 x2 1 ; T×m GTLN, GTNN C= x 74 x 196 x 10 x 25 x2 4x cña A = x 2x Phương pháp 02 : ( Sử dụng bất đẳng thức ) Ta biết : Từ bất đẳng thức, cách chuyển ta đưa bất đẳng thức phép biến đổi tương đương mà vế số Vì : Sử dụng bất đẳng thức phép biến đổi tương đương ta tìm cực trị biểu thức I Các ví dụ minh ho¹ : VÝ dơ : Cho a > b > T×m GTNN cđa B1 = a + Gi¶i :Ta cã : B1 = a + b( a b) b(a b) 1 = b + (a-b) + 3 (theo C«si) b.(a b) b( a b) b( a b) B1 B1 = b = a-b = a b( a b) b a b VËy : B1 = VÝ dơ : Cho a,b > vµ a + b = T×m GTNN cđa B2 = x y Giải :Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( ) x y 1 x y x y (1) ThuVienDeThi.com 1 + 2 ab a b = (víi x,y > 0) xy Ta cã : ab ( ab 1 ) = 4 ab (2) a+b = ; a,b > áp dụng bất đẳng thức (1) kết (2) ta có : 1 1 1 4 ) ( 2 2 2ab a b 2ab 2ab a b 2ab a b ab a b B2 + a + b = B2min = a = b = 2 ( a b) VËy : B2min = a = b = B2 = VÝ dô : Cho xy + xz + yz = T×m GTNN cđa B3 = x4 + y4 + z4 Gi¶i : Do xy + xz + yz = 16 = (xy + xz + yz)2 (x2+y2+z2) (x2+y2+z2) (Theo Bunhiac«pxki) 16 (x2+y2+z2)2 (x4 + y4 + z4) (12+12+12) 16 16 B3min = x=y=z= 3 16 VËy : B3min = x=y=z= 3 VÝ dô : Cho |a| 1; |b| 1 vµ | a+ b| = B3 = x + y + z T×m GTLN cđa B4 = a b Gi¶i :Ta cã : (a-b)2 a2 b2 a b a;b (1) 0 ¸p dơng (1) ta cã : a2 b2 a2 b2 (a b ) a2 b2 1 2 2 3 a2 b2 a b Do a2 b2 (do | a + b| = ) - = ( a b 1 ) 4 B4 = a b B4Max = a = b = VËy : B4Max = a = b = Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña B6 = | x + 7| + | x - 1995| Gi¶i : Ta cã : |x| + |y| | x + y| dÊu "=" x¶y x,y Do vËy : B6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | |x+7 + 1995 - x| = 2002 B6Min = 2002 (x + 7) (1995 - x) -7 x 1995 VËy : B6Min = 2002 -7 x 1995 VÝ dô : Tìm giá trị nhỏ biểu thức B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| Gi¶i : Ta cã : B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| ThuVienDeThi.com B7 | x + 2000 + x + y + + - 2x - y| = 2010 B7min = 2010 (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cïng dÊu VËy : B7min = 2010 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ B = (1 + x2y + xy2)2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 víi x2y + xy2 Gi¶i :Theo B§T Becnully ta cã : (1 + x2y + xy2)2001 + 2001 (x2y + xy2) B (1 + x2y + xy2)2001- 2001 xy (x+y) + 2001 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001 x B 2002 B = 2002 xy(x+y) = y x y x VËy : B = 2002 y x y VÝ dô : Cho xyz = x + y + z = Tìm GTNN cđa B8 = x16 + y16 + z16 Gi¶i : C¸ch : Ta cã : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 a,b,c a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta cã : B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8 (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 B8 x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 B8 (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 B8 (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 B8 (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = (do xyz = vµ x + y + z = 3) B8min = x = y = z = Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1) áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta cã : = x + y + z = (x+ y + z)2 (x2 + y2 + z2).3 (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 + z2)2 (x4 + y4 + z4).3 x4 + y4 + z4 (x4 + y4 + z4)2 (x8 + y8 + z8).3 x8 + y8 + z8 (x8 + y8 + z8)2 (x16 + y16 + z16).3 B8 = x16 + y16 + z16 B8min = x = y = z = VËy : B8min = x = y = z = VÝ dô 9: Cho x + y = T×m GTNN cđa biĨu thøc M = x3 + y3 Gi¶i: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x2 y x2 y2 y x M ( x2 y ) xy (x y2 ) 2 2 2 2 Ngoµi ra: x + y = x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2) – (x – y)2 = ThuVienDeThi.com => 2(x2 + y2) ≥ 1 1 vµ x y x y 2 1 1 Ta cã: M ( x y ) vµ ( x y ) M 2 2 1 Do ®ã M dấu = xảy x y 1 VËy GTNN cña M x y Do ®ã x y 10 VÝ dô 10: Cho hai sè thùc x, y tháa m·n ®iỊu kiƯn: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y Gi¶i: Ta cã: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mµ x2 + y2 = (x + y)2 x y x y x y - XÐt x y DÊu “=” x¶y x y 2 x y x y x y - XÐt x y DÊu “=” x¶y x y VËy x + y đạt GTNN x y 11 VÝ dơ 11: Gi¶ sư x vµ y lµ hai sè tháa m·n x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: A x2 y x y Gi¶i: Ta cã thÓ viÕt: A x y x xy y xy ( x y ) xy x y x y x y Do x > y xy = nên: A ( x y ) xy x y x y x y x y x y x y V× x > y x – y > nªn áp dụng bất đẳng thức côsi với số không ©m, ta cã: x y x y x y x y ( x y ) ( x y ) (Do x – y > 0) DÊu “=” x¶y x y Tõ ®ã: A x y VËy GTNN cđa A lµ xy A x x 1 hay Tháa ®iỊu kiƯn xy = y 1 y 1 12 Ví dụ 12: Tìm GTLN hàm số: y x x x x 4(*) Giải: Điều kiện: x áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) ThuVienDeThi.com a b c d Chän a x 2; c 1; b x ; d víi x Ta cã: DÊu “=” xảy y2 x2 4 x x2 x 1 2 2 y x 4 x y2 y V× y > nªn ta cã: y DÊu “=” x¶y x x x x x (Tháa m·n (*)) VËy GTLN cđa y lµ x = 13 Ví dụ 13: Tìm GTNN cđa biĨu thøc: M = x 1994 ( x 1995)2 Gi¶i: M = x 1994 ( x 1995)2 = x 1994 x 1995 áp dụng bất đẳng thøc: a b a b ta cã: M = x 1994 x 1995 x 1994 1995 x => M x 1994 1995 x DÊu = xảy (x 1994) (1995 – x) 1994 x 1995 VËy GTNN cña M = 1994 x 1995 14 VÝ dô 14: Cho x T×m GTLN cđa biĨu thøc y = x + 1 x Gi¶i: Ta cã: y x 1 x = x + 1 x Vì x nên x áp dụng bất đẳng thức Cô si số: (1 x) cho ta: 1 1 x x 1 x 2 1 DÊu “=” x¶y x x 2 Vậy GTLN y x = 2 y x 2 II NhËn xÐt : Rõ ràng áp dụng số bất đẳng thức bản, toán giải nhanh Song việc vận dụng bất đẳng thức thuận lợi tuỳ thuộc vào giả thiết toán vận dụng linh hoạt bất đẳng thức Một vấn đề đặt : Hai phương pháp vừa nêu chưa đủ để giải hết toán cực trị đại số THCS Chính lẽ nhu cầu phải có phương pháp khác tối ưu thực yêu cầu toán Trước nghiên cứu phương pháp 03 Chúng ta nghiên cứu số tập sau : III Một số tập đề nghị : a Cho a,b, > vµ a + b = T×m GTNN cđa B = ab a b2 b c Cho a,b,c > vµ a + b + c = T×m GTNN cđa A = (1+ ) (1+ ) (1+ ) ThuVienDeThi.com Cho a,b,c > a b c bc ca ab a b c bc ca ab b) T×m GTNN cña D = bc ca ab a b c Cho x,y,z x+y+z =1.Tìm GTLN E= x y z Cho a,b,c a + b + c = 1.Tìm GTLN cña F = a b a c b c Cho x T×m GTLN cđa G = 4x2 - 3x3 a) T×m GTNN cđa C = Cho x ; Cho y 4 T×m GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y) Cho x,y,z,t vµ 2x + xy + z + yzt = T×m GTLN cđa I = x2y2z2.t Cho x,y,z,t vµ xt + xy + z + yzt = T×m GTLN cđa K = xyzt 10 T×m GTNN cña M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 | Phương pháp 03 : ( Sử dụng phương pháp đặt biến phụ ) Bằng cách đặt biến phụ sử dụng phép biến đối tương đương Sử dụng bất đẳng thức ta cã thĨ chun biÕn thøc ®· cho vỊ biĨu thøc đơn giản hơn, dễ xác định cực trị I Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: T×m GTNN cđa C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 Gi¶i : C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - (x2 + 3x + 5) + 17 C1 = (x2 + 3x + 5)2 - (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt : x2 + 3x + = a C1 = a2 - 6a + 17 = a2 + 6a + + C1 = (a-3)2 + 8 (a-3)2 a x 1 y 2 C1min = a - = a = x2 + 3x + = x 1 y 2 VËy : C1min = x2 VÝ dơ 2: T×m GTNN cđa C2 = y y2 x2 x y - víi x,y > y x y2 y x2 x Giải :Đặt : = a 2 = a2 - y x y x C2 = 2.( a2 - 2) - 5a + = 2a2 - 5a + Ta thÊy : a C2 = 2a2 - 5a + C2min = a = x = y > VËy : C2min = x = y > VÝ dơ 3: T×m GTNN cña C3 = y y x x - 3 + 2004 víi x,y>0 y x y x ThuVienDeThi.com Giải : Đặt : x y y x y = a 2 = a2 – Khi ®ã : x y x C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004 C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + + 2002 = (a-1) (a-2) + 2000 Do ta cã : a a - 1> ; a - 20 (a-1) (a-2) 0 C3 = (a-1) (a-2) + 2000 2000 C3 = 2000 a = x = y ; xy > VËy C3 = 2000 x = y vµ xy > VÝ dô 4: Cho x,y,z > x T×m GTNN cđa C4 = y z y z x z x y y z ; b= x z ; c= x y abc x y z = abc abc abc x ; y ; z 2 abc abc abc Khi ®ã : C4 = 2 a b b c a c C4 = ( ) ( ) ( ) 3 2 b a c b c a a b a c b c Theo C«si víi a,b,c >0 ta cã : ; 2 ; 2 b a c a c b C4 (2 3) 2 C4min = a = b = c x = y = z > VËy C4min = x = y = z > ( x y )(1 x y ) VÝ dơ 5: T×m GTLN, GTNN cđa C5 = (1 x ) (1 y ) Giải : Đặt : a = ( a b) ( a b) Giải :Ta có : a.b (1) a,b ab (2) 4 x2 y2 1 x2 y2 Đặt : a b (1 x )(1 y ) (1 x )(1 y ) Khi ®ã : C5 =a.b ( a b) ( a b) C5 = ab 4 Theo (1) vµ (2) ta cã : x2 y 1 x2 y x2 y2 1 x2 y2 - C (1 x )(1 y ) (1 x )(1 y ) ( x 1)(1 y ) ( x 1)(1 y ) - C (1 x )(1 y ) (1 x )(1 y ) x2 1 1 y2 - C5 x 1 y 2 x2 1 Ta cã : x 1 ; 1 y2 1 1 y ThuVienDeThi.com a,b 2 1 y2 1 x2 1 Do ®ã : C5 1 y 4 x 1 C5min = (x2 - 1)2 = (x2 + 1)2 x = C5max = (1 - y2)2 = (1 + y2)2 y = 1 VËy C5min = x = 0; C5max = y = 4 VÝ dô 6: Cho x, y, z số dương thỏa mÃn điều kiện: xyz = T×m GTNN cđa 1 x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) 1 1 Giải: Đặt a ; b ; c abc x y z xyz 1 Do ®ã: a b x y (a b).xy x y c(a b) x y biĨu thøc: E T¬ng tù: y + z = a(b + c); E z + x = b(c + a) 1 1 1 x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) a2 b2 c2 1 b3 c3 a (b c) b (c a ) c ( a b) b c c a a b a b c Ta cã: (1) bc ca ab a3 Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z x yz yzx zx y x yz a ;b ;c 2 a b c yzx zx y x yz VT bc ca ab 2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3 111 2 x y 2 x z 2 y z 2 abc Khi đó, Nhân hai vế (1) víi a + b + c > Ta cã: a ( a b c ) b( a b c ) c ( a b c ) (a b c) bc ca ab 2 2 a b c a b c abc 3 E bc ca ab 2 2 GTNN cđa E lµ a = b = c = II Các tập đề nghị : T×m GTNN cđa A = x2 + - x + x x 1 50 T×m GTLN cđa B = a 2a 50 3a víi a ; 2 2 Cho a - ; b - ; c - vµ a+ b + c = ThuVienDeThi.com T×m GTLN cđa C = 2a 2b 2c Cho x,y > T×m GTNN cđa D = x y y2 x2 y2 x2 y x Phương pháp 04 : ( Sử dụng biểu thức phụ ) Để tìm cực trị biểu thức đó, người ta xét cực trị biểu thức khác so sánh với nó, biểu thức phụ dễ tìm cực trị Ví dụ : Để tìm cực trÞ cđa biĨu thøc A víi A > 0, ta cã thĨ xÐt cùc trÞ cđa biĨu thøc : , -A, kA, k + A, |A| , A2 A (k số) I Các vị dụ minh hoạ : VÝ dơ 1: T×m GTLN cđa A = x2 x4 x2 1 Gi¶i : a) XÐt x = A = giá trị GTLN A với x ta cã A > ®ã Amax Pmin A x4 x2 1 với cách đặt trªn ta cã : P = x2 1 x x 1 ta cã : x2 + x (theo côsi) x x b) Xét x đặt P = P + = Pmin = x = Do ®ã : Amax = x=1 VÝ dô 2: T×m GTNN cđa B = x víi x > ( x 2002) Giải : Đặt P1 = - B nh vËy P1max Mmin Ta cã : P1 = Đặt P2 = x với x > P > ( x 2002) > víi x > ®ã P2 Min P1 Max P1 ( x 2002) x 2.x.2002 2002 x x 2 x 2.x.2002 2002 4.x.2002 P2 = x ( x 2002) P2 = 4.2002 4.2002 8008 x ( x 2002) (do 0 x > 0) x P2 = P2 Min = 8008 x = 2002 ThuVienDeThi.com x = 2002 8008 BMin = x = 2002 8008 VËy BMin = x = 2002 8008 P1 Max = VÝ dô 3: Cho a,b,c dương a + b + c = T×m GTLN cđa C = 5a 4b 5b 4c 5c 4a Gi¶i : Do a,b,c > C > Đặt : P = C2 ®ã PMax CMax Ta cã : P = ( 5a 4b 5b 4c 5c 4a )2 P (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiac«pxki P 3.9(a + b + c) = 81 a + b + c = PMax = 81 a = b = c = C Max = 81 a = b = c = CMax = a = b = c = VËy CMax = a = b = c = VÝ dô 4: Cho x, y, z, t > T×m GTNN cđa D = yt y x y x tx t yt x tx y x y t Giải : Đặt P = 2D ta có : 2y 2(t x) 2( x y ) x 2( y t ) 2t yt x tx y x y t P= 2x y t 2y x y 3 y t t x xt t x 2t 2x t x 2y x y 2t x y t yt 2x y t 2y x y 3 y t t x x y t x 2t P= 2x t x 2y x y 2t x x y y t t yt P + + + (theo c«si) P= P 15 PMin = 15 x = y = t > 15 x=y=t 15 VËy DMin = x=y=t DMin = VÝ dô 5: Cho x, y > vµ 7x + 9y = 63 Giải :Đặt : P = 63.E ta có : T×m GTLN cđa E = x.y 7x y P = 63xy = 7x.9y (theo c«si) 2 63 3969 P = PMax 2 = 3969 ThuVienDeThi.com x 63 DÊu "=" x¶y 7x = 9y = 2 y x 4,5 3969 63 EMax = : 63 = 4 y 3,5 VÝ dô : Cho x2 + y2 = 52 T×m GTLN cđa F = 2x + 3y Gi¶i : XÐt : P1 = |F| P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P12 ®ã P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiac«pxky : P2 (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4 x x 4 hc y y 6 P2 Max = 13.13.4 P1 Max = 26 Do F |F| = P x x VËy FMax = 26 y y FMax = 26 VÝ dô 7: Cho x,y > T×m GTNN cđa G = y x4 y4 x2 y2 x y x y x y x Giải : Đặt : P = G - ta cã : P= y x4 y4 x2 y2 x -2 y4 x4 y2 x2 y x x4 y4 x2 x2 y2 x y y2 x y P = 2 1 2 1 y x x y x y x y x y 2 x2 y2 x y ( x y) P = 1 1 0 xy y x x y PMin = x = y > VËy GMin = x = y > II Các tập đề nghị : Cho x,y, z > x2 + y2 + z2 = T×m GTNN cđa A xy yz zx z x y Cho x T×m GTNN cđa B = x8 x x4 Cho x T×m GTLN cđa C = x 16 x8 x8 Cho a2 + b2 + c2 = T×m GTLN cđa D = a + 2b + 3c Cho a,b > vµ a + b = ThuVienDeThi.com 4 T×m GTNN cđa E = 1 1 Cho a, b, c, d > T×m GTNN cđa F = a b ab bc cd d a bcd cd a d ab abc Cho a,b |R T×m GTNN cđa G = a (1 b) b (1 a) Phương pháp 05 : ( Phương pháp miền giá trị ) Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số đà cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải thấy hiệu Đường lối chung : Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x D Điều có nghĩa điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm Sau giải điều kiện để phương trình f(x)=y có nghiƯm (x lµ biÕn, coi y lµ tham sè) Thêng ®a ®Õn biÓu thøc sau : m yM Tõ ®ã Min f(x) = m víi x D Max f(x) = M víi x D I C¸c ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Tìm GTNN cđa f(x) = x2 + 4x + Gi¶i : Gọi y giá trị f(x) Ta cã : y = x2 + 4x + x2 + 4x + - y = (cã nghiÖm) ' = - + y y1 VËy f(x) Min = x = -2 VÝ dơ 2: T×m GTLN cđa f(x) = - x2 + 2x - Gi¶i : Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = - x2 + 2x - x2 - 2x + y + (cã nghiÖm) ' = - y - y-6 VËy f(x)Max = -6 x = VÝ dơ 3: T×m GTLN, GTNN cđa f(x) = x 4x x 2x Giải : Gọi y giá trị f(x) Ta cã : y = x 4x yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = x 2x (y - 1)x2 + (y - 2).x + 3y - = (cã nghiÖm) ThuVienDeThi.com * NÕu y = x = - * NÕu y ' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y - - 2y2 + 5y + Ta thÊy : y2
Ngày đăng: 31/03/2022, 20:51
Xem thêm: