Đề tài Một số phương pháp giải bài toán chia hết lớp 6 Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n chia hÕt líp 6 VŨ HÙNG CƯỜNG Gi¸o viªn trêng THCS HẢI THANH 1 I §Æt vÊn ®Ò Cïng víi sù ph¸t triÓn cña ®Êt níc, sù nghiÖp gi¸o dôc còng ®æi míi kh«ng ngõng C¸c nhµ trêng cµng chó träng ®Õn chÊt lîng toµn diÖn bªn c¹nh sù ®Çu t thÝch ®¸ng cho gi¸o dôc Víi vai trß lµ m«n häc c«ng cô,bé m«n To¸n ® gãp phÇn t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em häc tèt c¸c m«n khoa häc tù nhiªn kh¸c D¹y nh thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng nh.
Một số phương pháp giải toán chia hết lớp V HNG CNG I Đặt vấn đề Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục đổi không ngừng Các nhà trường trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh đầu tư thích đáng cho giáo dục Với vai trò môn học công cụ,bộ môn Toán đà góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Dạy để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy cô đặt cho Để đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập học sinh Do giảng dạy phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tư Toán học Bản thân trình nghiên cứu chương trình lớp cũ nhận thấy phép chi hết đề tài thật lý thú, phong phú đa dạng thiếu môn số học lớp Giáo viên trường THCS HI THANH -1DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán chia hết lớp V HNG CNG B Giải vấn đề I Trước tiên học sinh phải nắm vững định nghĩa phép chia hÕt, c¸c dÊu hiƯu chia hÕt cịng nh c¸c tính chất quan hệ chia hết Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a b, b 0, nÕu cã sè tù nhiªn x cho b.x = a th× ta nãi a chia hÕt cho b vµ ta cã phÐp chia hÕt a : b = x C¸c dÊu hiƯu chia hÕt: a DÊu hiÖu chia hÕt cho 2: Mét sè chia hÕt cho chữ số tận số số chẵn b Dấu hiệu chia hÕt cho 3(hc 9): Mét sè chia hÕt cho 3(hc 9) tổng chữ số số chia hết cho 3(hoặc 9) Chú ý: Một số chia hết cho 3(hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho 3(hoặc 9) dư nhiêu ngược lại c Dấu hiệu chia hÕt cho 5: Mét sè chia hÕt cho chữ số số có tận hc b»ng d DÊu hiƯu chia hÕt cho 4(hc 25): Mét sè chia hÕt cho 4(hc 25) hai chữ số tận số ®ã chia hÕt cho 4(hc 25) e DÊu hiƯu chia hÕt cho 8(hc 125): Mét sè chia hÕt cho 8(hc 125) ba chữ số tận số chia hết cho 8(hoặc 125) f Dấu hiÖu chia hÕt cho 11: Mét sè chia hÕt cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn(từ trái sang phải) chia hết cho 11 Giáo viên trường THCS HI THANH -2DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán chia hết lớp V HNG CNG TÝnh chÊt cđa quan hƯ chia hÕt: + chia hết cho b với b số tự nhiên khác + a chia hÕt cho a víi mäi a số tự nhiên khác + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho a a = b + NÕu a chia hÕt cho b b chia hết cho c a chia hết cho c + NÕu a chia hÕt cho b vµ a chia hết cho c mà (b,c) = a chia hÕt cho (b.c) + NÕu a.b chia hÕt cho c (b,c) = a chia hết cho c + NÕu a chia hÕt cho m th× k.a chia hÕt cho m víi mäi k lµ sè tù nhiªn +NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho m th× (a b) chia hÕt cho m + NÕu a chia hÕt cho m, b kh«ng chia hết cho m (a b) không chia hÕt cho m + NÕu a chia hÕt cho m b chia hết cho n (a.b) chia hết cho (m.n) + NÕu (a.b) chia hÕt cho m vµ m số nguyên tố a chia hết cho m hc b chia hÕt cho m + NÕu a chia hÕt cho m th× a n chia hÕt cho m với n số tự nhiên + Nếu a chia hÕt cho b th× a n chia hÕt cho b n với n số tự nhiên II Khi học sinh đà nắm vấn đề nêu giáo viên đưa vài phương pháp thươngf dùng để giải toán chia hết: Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết §Ó chøng minh a chia hÕt cho b( b 0) ta biĨu diƠn sè a díi d¹ng mét tÝch thừa số, có thừa số b( hc chia hÕt cho b) VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng (3n)100 chia hÕt cho 81 víi mäi sè tự nhiên n Giải: Ta có (3n)100 = 31000 n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000 V× 81 chia hÕt cho 81 nªn 81.3996.n1000 chia hÕt cho 81 (3n)1000 chia hÕt cho 81 Giáo viên trường THCS HI THANH -3DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán chia hết lớp VŨ HÙNG CƯỜNG Ví dụ 2: Chứng minh : 165 + 215 chia hết cho 33 Giải : Ta có : 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215(25+1) = 215 33 Vì 33 chia hết cho 33 215 33 chia hết cho 33 Vậy 165 + 215 chia hết cho 33 Phương pháp 2: Dựa vào tính chất quan hÖ chia hÕt * Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, hiƯu: - §Ĩ chøng minh a chia hÕt cho b(b 0) ta biĨu diƠn sè a díi d¹ng mét tỉng cđa nhiỊu sè h¹ng råi chøng minh tất số hạng đeèu chia hết cho b - Để chứng minh a không chia hết cho b ta biĨu diƠn sè a thµnh tỉng cđa số hạng chứng minh số hạng không chia hết cho b tất số hạng lại chia hết cho b Ví dụ 3: Khi chia số cho 255 ta số dư 170 Hỏi số có chia hết cho 85 không? Vì sao? Giải: Gọi số a (a số tự nhiên) Vì a chia cho 255 có số dư 170 nên a = 255.k + 170 (k số tự nhiên) Ta có: 255 chia hết cho 85 nªn 255.k chia hÕt cho 85 170 chia hÕt cho 85 (255.k + 170) chia hÕt cho 85 (TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng) Do vËy a chia hÕt cho 85 VÝ dô 4: Chøng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + Tổng ba số tự nhiên liên tiếp a + a + + a + = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hÕt cho (TÝnh chÊt chia hÕt tổng) Giáo viên trường THCS HI THANH -4DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán chia hết lớp V HNG CNG Từ tập, giáo viên đưa học sinh vào tình : Có phải tổng n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay không? Qua gợi trí tò mò, đưa học sinh vào tình có vấn đề cần phải giải Sau giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, em cần làm tập sau: Ví dơ 5: Tỉng cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp có chia hết cho hay không ? Giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + Tỉng cđa số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + + a + = (a + a + a + a) + (1 + + 3) = (4a + 6) Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết (4a + 6) kh«ng chia hÕt cho Tỉng cđa sè tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Giáo viên chốt lại: Tổng n số tự nhiên liên tiếp chưa đà chia hết cho n * Dùng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tÝch: §Ĩ chøng minh a chia hÕt cho b (b 0) ta cã thĨ chøng minh b»ng mét c¸c c¸ch sau: + BiĨu diƠn b = m.n víi (m, n) = Sau ®ã chøng minh a chia hÕt cho m, a chia hÕt cho n + BiĨu diƠn a = a1.a2 , b = b1.b2 , råi chøng minh a1 chia hÕt cho b1 ; a2 chia hÕt cho b2 VÝ dô 6: Chøng minh (495a + 1035b) chia hÕt cho 45 víi mäi a , b lµ sè tù nhiên Giải: Vì 495 chia hết 1980.a chia hÕt cho víi mäi a V× 1035 chia hÕt cho nªn 1035.b chia hÕt cho víi mäi b Nªn: (495a + 1035b) chia hÕt cho Chøng minh t¬ng tù ta cã: (1980a + 1995b) chia hết cho với a, b Giáo viên trường THCS HI THANH -5DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán chia hết lớp V HNG CNG Mà (9, 5) = (495a + 1035b) chia hÕt cho 45 VÝ dơ 7: Chøng minh r»ng tÝch cđa hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp 2n, 2n + Tích hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1) V× n, n + không tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hÕt cho Mµ chia hÕt cho nªn 4n.(n + 1) chia hÕt cho (4.2) 4n.(n + 1) chia hÕt cho 2n.(2n + 2) chia hết cho Phương pháp 3: Dùng định lý vỊ chia cã d §Ĩ chøng minh n chia hÕt cho p, ta xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia n cho p VÝ dô 8: Chøng minh r»ng: a TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho b TÝch cđa số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải: a Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n +1, n + TÝch cña ba sè tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2) Mét sè tù nhiªn chia cho cã thĨ nhËn mét c¸c sè d 0; 1; - NÕu r = th× n chia hÕt cho n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho - NÕu r = thf n = 3k + (k số tự nhiên) n + = 3k + + = (3k + 3) chia hÕt cho n.(n + 1).(n + 2) chia hÕt cho - NÕu r = th× n = 3k + (k số tự nhiên) n + = 3k + + = (3k +3) chia hết cho Giáo viên trường THCS HI THANH -6DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán chia hÕt líp VŨ HÙNG CƯỜNG n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho Tãm l¹i: n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho víi mäi n lµ sè tù nhiên b Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hÕt cho víi mäi n lµ số tự nhiên Sau giải tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu tập dạng tổng quát Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n III Khi học sinh đà nắm vững phương pháp thường dùng để chứng minh chia hết, giáo viên số toán chia hết nhằm giúp học sinh nắm cách có hệ thống, đào sâu kiến thức phép chia hết Bài 1: Tìm tất số x, y ®Ĩ cã sè 34 x5 y chia hÕt cho 36 Giải: Vì (4, 9) = nên 34 x5 y chia hÕt cho 36 34 x5 y chia hÕt cho vµ 34 x5 y chia hÕt cho Ta cã: 34 x5 y chia hÕt cho 5y chia hÕt cho y 2 ; 6 34 x5 y chia hÕt cho (3 + + x + + y) chia hÕt cho (9 + 13 + x + y) chia hÕt cho (3 + x + y) chia hÕt cho V× x, y N x; y Nên x + y thuéc 6 ; 15 NÕu y = x = x = 13 ( > - Loại ) Nếu y = x = x = Vậy số phải tìm là: 34452; 34056; 34956 Bài 2: Cho chữ số 0, a, b HÃy viết tất số có ba chữ số tạo ba số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211 Giải: Tất số có ba chữ số tạo ba chữ 0, a, b là: a0b ; ab0 ; ba0 ; b0a T ỉng cđa số là: a 0b ab0 ba b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211(a + b) chia hÕt cho 211 Giáo viên trường THCS HI THANH -7DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán chia hết lớp V HNG CNG Bài 3: Tìm số tự nhiên n ®Ó (3n + 14) chia hÕt cho (n + 2) Gi¶i: Ta cã 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mµ 5.(n +2) chia hÕt cho (n +2) Do ®ã (5n + 14) chia hÕt cho (n +2) chia hÕt cho (n + 2) (n + 2) lµ íc cđa (n +2) 1 ; ; 4 n 0 ; 2 VËy víi n 0; 2 th× (5n + 14) chia hết cho (n +2) Bài 4: Tìm số tự nhiên n để Giải: Để n 15 số tự nhiên n3 n 15 số tự nhiên (n + 15) chia hết cho (n + 3) n3 [(n + 15) - (n + 3)] chia hÕt cho (n + 3) 12 chia hÕt cho (n +3) (n + 3) Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 n 0; 1; 3; 9 VËy víi n 0; 1; 3; 9thì n 15 số tự nhiên n3 Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để số chia hết cho 5; 7; Giải: Giả sử ba số viết thêm lµ abc Ta cã: 579abc ; ; 579abc chia hÕt cho 5.7.9 = 315 Giáo viên trường THCS HI THANH -8DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán chia hết lớp V HNG CNG Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hÕt cho 315 Mµ 315.1838 chia hÕt cho 315 (30 + abc ) chia hÕt cho 315 30 + abc (315) Do 100 abc 999 130 30 + abc 1029 30 + abc 315; 630; 945 abc 285 ; 600 ; 915 Vậy ba số viết thêm vào 285; 600; 915 C KÕt luËn I / KÕt qu¶: Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, sau nhiều năm dạy Toán 6, thân thấy: Khi dạy phần chia hết tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt nhận dạng toán liên quan đến phép chia hết từ hầu hết giải tập phần này, xoá cảm giác khó phức tạp ban đầu quy tắc giải tổng quát Qua rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ khác học sinh thấy dạng toán thật phong phú không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học môn II / Bài học kinh nghiệm: Phần " Phép chia hết " ë líp lµ mét néi dung quan trọng kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kến thức sau đặc biệt ứng dụng nã rÊt nhiỊu Do vËy, tríc hÕt chóng ta cÇn cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, dấu hiệu chia hết đặc biệt tính chÊt cđa quan hƯ chia hÕt bëi v× tÝnh chÊt hay sử dụng Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, cần chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Cần rèn luyện nhiều cách lập luận trình bày học sinh học sinh đầu cấp Với dạng quy tắc tổng quát, song sau giải giáo viên nên đặc điểm, hướng giải để gặp tương tự, học sinh tự liên hệ Giáo viên trường THCS HI THANH -9DeThiMau.vn Một số phương pháp giải to¸n chia hÕt líp VŨ HÙNG CƯỜNG III Kiến nghị đề xuất: Vấn đề sách tham khảo trường THCS Lương Chí cịn hạn chế số lượng chất lượng đầu sách , chưa đáp ứng đủ yêu cầu , giáo viên học sinh Vì cần đầu tư thêm Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện cho nhà trường xây dựng thêm phòng học để chuyển học ca Với việc đổi phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực , phát huy tính độc lập học sinh chốc lát mà trình , lâu dài bước từ thấp đến cao Mục tiêu cuối hướng dẫn học sinh biết cách giải toán , học toán vận dụng tốn học vào mơn khác cng nh vo thc t Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy phần phép chia hết N Trong trình giảng dạy chắn chưa thể hoàn hảo Rất mong nhận góp ý chân tình bạn đồng nghiệp để năm học tới tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu nghiệp giáo dục nước nhà Ngày 10 tháng năm2008 Người viết Bựi Th Hng Giáo viên trường THCS HI THANH - 10 DeThiMau.vn ... -2DeThiMau.vn Một số phương pháp giải toán chia hết lớp V HNG CNG TÝnh chÊt cđa quan hƯ chia hÕt: + chia hết cho b với b số tự nhiên kh¸c + a chia hÕt cho a víi mäi a số tự nhiên khác + Nếu a chia hÕt... hết cho chữ số tận số số chẵn b Dấu hiệu chia hÕt cho 3(hc 9): Mét sè chia hÕt cho 3(hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho 3(hoặc 9) Chú ý: Một số chia hết cho 3(hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho 3(hoặc.. .Một số phương pháp giải toán chia hết lớp V HNG CNG B Giải vấn đề I Trước tiên học sinh phải nắm vững định nghĩa phÐp chia hÕt, c¸c dÊu hiƯu chia hÕt cịng nh tính chất quan hệ chia hết Định