SKKN Một số phương pháp giải bài toán tổ hợp

SKKN Một số phương pháp giải bài toán tổ hợp 1 g SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP Người thực hiện Đào Anh Tuấn Ch[.]

g SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP Người thực hiện: Đào Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HĨA, NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP Người thực hiện: Đào Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tốn THANH HĨA, NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lí chon đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 2.3 Nội dung sáng kiến Chương 1: Kiến thức sở 1 1 2 2 2 1.1 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp suy rộng 1.3 Nguyên lý đếm toán đếm Chương 2: Một số phương pháp giải toán tổ hợp 2.1 Phương pháp đại lượng bất biến 2.2 Phương pháp đếm dùng hàm sinh 2.3 Phương pháp nguyên tắc cực hạn sử dụng ánh xạ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo 5 10 16 24 24 25 SangKienKinhNghiem.net I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn tổ hợp chuyên đề toán học, dạng tốn quan trọng trương trình phổ thơng Mặt khác kì thi đại học, đặc biệt kì thi học sinh giỏi cấp ta hay gặp tốn khó tổ hợp Để giúp học sinh phổ thơng, giáo viên ngồi phương pháp giải toán tổ hợp quen thuộc ra, ta nắm thêm số kĩ thuật để giải số dạng toán tổ hợp, với mục đích giúp em có thêm cơng cụ giải tốn tổ hợp hay khó Chính lý trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giải toán tổ hợp” Mặc dù phương pháp nêu đề tài, lạ học sinh Trung học phổ thông, mạnh dạn đưa Đề tài vào để em có thêm cách nhìn toán tổ hợp, thấy đa dạng cách giải toán 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Đề tài trình bày số kiến thức tổ hợp, đồng thời đưa số cách xây dựng giải toán tổ hợp nâng cao lạ học sinh Trung học phổ thông để em có thêm nhiều hướng để giải vấn đề toán tổ hợp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số kiến thức tổ hợp, đồng thời đưa số phương pháp giải toán tổ hợp gồm: Phương pháp đại lượng bất biến; phương pháp đếm dùng hàm sinh; phương pháp nguyên tắc cực hạn; sử dụng ánh xạ 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu toán tổ hợp, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tài liệu hội thảo toán học, … SangKienKinhNghiem.net NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống hóa đưa số phương pháp giải toán tổ hợp Đề tài đóng góp thiết thực cho việc giạy học chun đề tốn trường trung học phổ thơng, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán cho giáo viên học sinh Trong sáng kiến kinh nghiệm đưa số phương pháp tốn học rời rạc, đưa số phương pháp giải toán tổ hợp gồm: Phương pháp đại lượng bất biến; phương pháp đếm dùng hàm sinh; phương pháp nguyên tắc cực hạn; sử dụng ánh xạ, kết hợp với toán thực tiễn gắn liền với tốn Trung Học Phổ Thơng nhằm giúp em dễ dàng tiếp cận với phương pháp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2017-2018 chưa đưa phương phải giải toán tổ hợp nâng cao trên, học sinh tiếp cận đề thi học sinh giỏi thường gặp nhiều khó khăn Một phần chương trình tốn học phổ thơng phương pháp lạ, nên việc đưa e thường ban đầu bỡ ngỡ, đơi khó hiểu, dẫn đến nhiều khó khăn q trình giảng dạy 2.3 Nội dung sáng kiến Chương 1: Kiến thức sở 1.1 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.1.1 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1 ([5]) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Kí hiệu: Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử SangKienKinhNghiem.net Công thức: Ank  n!  n.n  1n  k  1 (với  k  n ) (n  k )! Chú ý Một chỉnh hợp n chập n gọi hoán vị n phần tử Ann  Pn  n! 1.1.2 Tổ hợp Định nghĩa 1.2 ([5]) Giả sử tập A có n phần tử ( n  1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (0  k  n) Kí hiệu: C kn (0  k  n) số tổ hợp chập k n phần tử Công thức: C kn = n! k !(n  k )! Chú ý C n  1; nk Cn  Cn k (0  k  n); k k 1 k 1 C n + C n = C n1 1.2 (1  k  n ) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp suy rộng 1.2.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.3 ([3]) Một cách xếp có thứ tự r phần tử lặp lại tập n phần tử gọi chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Ngoài ra, chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử hàm từ tập r phần tử vào tập n phần tử Vì số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử nr Định lý 1.1 ([3]) Số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử n r Chứng minh Rõ ràng có n cách chọn phần tử từ tập n phần tử cho r vị trí chỉnh hợp cho phép lặp Vì theo quy tắc nhân, có n r chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử SangKienKinhNghiem.net 1.2.2 Hoán vị lặp Trong tốn đếm, số phần tử giống Khi cần phải cẩn thận, tránh đếm chúng lần Định lý 1.2 ([3]) Số hoán vị n phần tử có n1 phần tử thuộc loại 1, có n2 phần tử thuộc loại 2, … có nk phần tử thuộc loại k n! n1 !n2 ! nk ! Chứng minh Để xác định số hốn vị trước tiên nhận thấy có Cnn cách giữ n1 số cho n1 phần tử loại 1, cịn lại n – n1 chỗ trống Sau có Cnnn cách đặt n2 phần tử loại vào hốn vị, cịn lại n – n1 – n2 chỗ trống Tiếp tục đặt phần tử loại 3, loại , … , loại k – vào chỗ trống hốn vị Cuối có Cnnn n  n cách đặt nk phần tử loại k vào hoán vị k k 1 Theo quy tắc nhân tất hốn vị là: Cnn1 Cnn2 n1 Cnnk n1   nk 1  n! n1 !n2 ! nk ! 1.2.3 Tổ hợp lặp Một tổ hợp lặp chập k tập hợp cách chọn khơng có thứ tự k phần tử lặp lại tập cho Như tổ hợp lặp kiểu dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử Do k  n Định lý 1.3 ([3]) Số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử Cnk k 1 Chứng minh Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử biểu diễn dãy n1 đứng k Ta dùng n  đứng để phân cách ngăn Ngăn thứ i chứa thêm lần phần tử thứ i tập xuất tổ hợp Mỗi dãy n - k ứng với tổ hợp lặp chập k n phần tử Do dãy ứng với cách chọn k chỗ cho k từ n  k  chỗ chứa n – k ngơi Đó điều cần chứng minh SangKienKinhNghiem.net Chú ý Số tổ hợp có lặp chập k n là: C kn  k 1 = C nn 1k 1 Tổ hợp có lặp lại phần tử xuất nhiều lần thứ tự phần tử không cần để ý 1.3 Nguyên lý đếm toán đếm 1.3.1 Nguyên lý cộng Mệnh đề 1.1 ([3]) Cho A B hai tập hữu hạn Nếu A  B =  AB= A+ B 1.3.2 Nguyên lý nhân Mệnh đề 1.2 ([3]) Nếu A B tập hữu hạn, A  B  A  B Chương 2: Một số phương pháp giải toán tổ hợp 2.1 Phương pháp đại lượng bất biến 2.1.1 Giới thiệu phương pháp đại lượng bất biến([2]) Nhiều toán cho biết thực số thao tác hệ đối tượng số, quân bài, quân cờ biến cho Tuy tốn có phức tạp ẩn chứa đại lượng bất biến tính chẵn lẻ tổng, tích biến khơng thay đổi, Nhờ phát ra, xây dựng biến cố có tính chất bất biến tốn, ta dựa vào bất biến để đến lời giải Phương pháp gọi phương pháp sử dụng bất biến, thường dùng toán tổ hợp Những toán liên quan đến bất biến chia làm hai loại: Những tốn lấy bất biến làm kết luận phải tìm Những toán lấy bất biến làm phương pháp giải Thực khơng có lý thuyết chung cho tốn mà có đại lượng bất biến Phương pháp hình thành cách phân loại tập có ý tưởng chung lời giải Vì tốt tìm hiểu phương pháp bất biến thông qua số tập cụ thể SangKienKinhNghiem.net Những tập lựa chọn phù hợp với trình độ THPT, đặc biệt học sinh giỏi Mặt khác, lựa chọn Bài tốn điển hình, tơi cố gắng làm bật thao tác thường dùng sử dụng phương pháp bất biến tình khác 2.1.2 Một số toán Dạng 1: Phát bất biến toán Bài toán 2.1 Trên bảng ta viết 10 dấu cộng (+) 15 dấu trừ (-) vị trí Thực xóa hai dấu viết vào dấu cộng (+) hai dấu vừa xóa giống dấu trừ (-) hai dấu vừa xóa khác Làm bảng cịn dấu Hỏi bảng cịn lại dấu gì? Lời giải Cách Ta thay dấu cộng số 1, dấu trừ số -l Thao tác thực xóa hai số viết lại số tích chúng Vì tích tất số viết bảng không thay đổi, thời điểm xuất phát, tích số bảng -1, nên cuối lại số -1, nghĩa bảng lại dấu trừ Cách Ta thay dấu cộng số 0, dấu trừ số Thao tác thực là: Nếu tổng hai số xóa số chẵn ta viết lại số 0, tổng lẻ ta viết số Như tổng số bảng sau thực thao tác không thay đổi giảm Đầu tiên tổng số bảng số lẻ, nên số cuối bảng lại số lẻ, số 1, nghĩa bảng dấu trừ Cách Sau thực thao tác, ta thấy số dấu trừ không đổi, giảm đơn vị Như tính chẵn lẻ số dấu trừ bất biến Tại trạng thái ban đầu số dấu trừ số lẻ, nên cịn lại dấu, phải dấu trừ Phân tích ba cách giải ta thấy: Trong cách ta thay dấu số, lợi dụng tính bất biến tích số viết bảng; cách sử dụng bất biến tính chẵn lẻ tổng số cách bất biến tính chẵn lẻ số SangKienKinhNghiem.net dấu trừ Như cách giải ta sử dụng tính bất biến tích, tổng, tính chẵn lẻ số Qua cách giải ta thấy gặp lớp toán mà thao tác lặp đi, lặp lại, ta phải biến đổi tìm đại lượng bất biến thao tác ta thực Chú ý thao tác ta thực không phụ thuộc vào thứ tự đối tượng chọn Bài toán 2.2 Trên bảng ta viết tâp hợp số gồm số 0; Cho phép xóa hai số khác điền vào số cịn lại số ( nghĩa thay cho 1; thay cho 2; thay cho 1) Chứng minh sau số lần thực thao tác trên, bảng lại số số khơng phụ thuộc vào thứ tự thực thao tác Lời giải Ta thực lần thao tác số lượng loại ba loại số tăng lên giảm 1, suy số lượng số thay đổi tính chẵn lẻ Khi bảng lại số, nghĩa hai số 0, có số lượng cịn số thứ ba Như từ đầu số lượng hai số ba số bảng phải có tính chẵn lẻ số lượng loại số cịn lại có tính chẵn lẻ khác Vì khơng phụ thuộc vào thứ tự thực thao tác, cuối số 0, 1, 2, số số thuộc loại mà số lượng loại số khác tính chẵn lẻ với số lượng hai loại số Nhận xét Trong chứng minh toán trên, số lượng ba loại số bảng có tính chẵn lẻ dù có thực thao tác nữa, cuối cịn số bảng Bài tốn 2.3 Một hình vng có cạnh cm chia thành 16 vng, vng có cạnh cm Tại 15 ta đánh dấu cộng (+), cịn lại đánh dấu trừ (-) Những dấu vng thay đổi đồng thời theo hàng, cột theo đường chéo Có khả sau hữu hạn lần đổi dấu theo nguyên tắc dẫn đến tất ô vuông có dấu cộng (+) hay không? SangKienKinhNghiem.net Lời giải Ta thay dấu cộng (+), trừ (-) số tương ứng -1 Trạng thái ban đầu giả sử mơ tả Hình 3.1 Có thể thấy tích số tơ màu Hình 3.2 đại lượng bất biến, số dược tơ màu hàng, cột, đường chéo số chẵn, nên tích chúng khơng đổi sau thao tác Ở thời điểm xuất phát, tích -1, nghĩa ô tô màu tồn ô có số -1, suy nhận bảng không chứa dấu trừ (-) Dạng 2: Giải toán đại lượng bất biến Bằng cách phát đại lượng bất biến toán ta giải nhiều tốn Sau số tập giúp tìm hiểu thêm cách tìm đại lượng bất biến giải tốn Bài tốn 2.4 Có ba đống sỏi gồm viên sỏi nhỏ có số lượng tương ứng 19, (viên sỏi) Ta phép chọn hai đống sỏi chuyển từ đống sỏi chọn viên sang đống sỏi thứ ba Sau số lần làm có khả tạo đống sỏi có 12 viên sỏi hay khơng? Lời giải Đặt số viên sỏi ba đống sỏi tương ứng a, b, c Ta xét số dư chia cho số Khi xuất phát, số dư 1, 2, Sau lần chọn thay đổi, số dư 0, 1, hai đống sỏi có chuyển viên sỏi đến đống thứ ba Như số dư luôn 0, 1, với thứ tự khác Do tất đống sỏi có 12 viên sỏi khơng thể (vì số dư 0, 0, 0, vơ lí) Vậy khơng thể tạo đống sỏi có 12 viên sỏi SangKienKinhNghiem.net Bài toán 2.5 Hai người chơi trò chơi với hai đống kẹo Đống kẹo thứ có 12 đống thứ hai có 13 Mỗi người chơi lấy hai kẹo từ hai đống chuyển kẹo từ đống thứ sang đống thứ hai Người chơi làm thao tác coi thua Hãy chứng minh người chơi lượt thứ hai khơng thể thua Người thắng khơng? Lời giải Ta kí hiệu S giá trị tuyệt đối số keọ đống thứ hai trừ số kẹo đống thứ Khởi đầu S = 13 - 12 = Sau nước S giảm tăng lên Như số dư S chia cho có dạng 1, 3, 1, 3, Sau nước người thứ số dư S chia cho luôn Ta thấy người chơi bị thua đến lượt khơng cịn kẹo đống thứ kẹo đống thứ hai Khi S    Do người sau ln ln cịn nước đi, người khơng thua Ta thấy rằng, tổng số kẹo hai đống giảm số kẹo đống thứ giảm đi, trị chơi phải có kết thúc, người chơi thứ hai phải thắng Bài tốn 2.6 Tại hội nghị có 2n quan khách Mỗi vị khách mời có nhiều n-1 kẻ thù Chứng minh vị khách ngồi quanh bàn trịn cho khơng ngồi cạnh kẻ thù Lời giải Trước tiên ta xếp vị khách ngồi vào vị trí Gọi H số đôi thù địch ngồi cạnh Ta phải tìm thuật tốn để làm giảm số H H >0 Giả sử (A,B) cặp thù địch với B ngồi bên phải A ( Hình 3.3) Ta phải tách cặp Điều thực có cặp khác cạnh SangKienKinhNghiem.net (A’,B’), mà (A,A’) (B,B’) không cặp kẻ thù Khi ta đổi chỗ B A’ (Hình 3.4) H giảm Chỉ cịn chứng minh cặp (A’,B’) luôn tồn với B’ ngồi bên phải A’ mà A’ bạn A B’ bạn B Ta khởi đầu từ A theo chiều ngược kim đồng hồ(đi phía phải ) quanh bàn Ta bắt gặp n người bạn (khơng phải kẻ thù) A Về phía phải người bạn A có n chỗ Những chỗ khơng thể bị chiếm hết kẻ thù B B có nhiều n-1 kẻ thù Như tồn người bạn A’ A mà phía phải người B’ mà B’ người bạn B 2.2 Phương pháp đếm dùng hàm sinh 2.2.1 Tóm tắt lí thuyết *Định nghĩa 2.1([4]) Hàm sinh dãy số thực a0 , a1 , a2 ., an , hàm số xác định G x   a0  a1 x  a2 x   an x n  *Định nghĩa 2.2([4]) Cho dãy số thực a0 , a1 , a2 ., an , Hàm số cho  G x    an n 0 xn goi hàm sinh dang mũ dãy n! Một số đẳng thức liên quan đến hàm sinh   x  x  x3  ; 1 x   x  x  x3  ; (1  x)  Cii n 1 x i ;   n (1  x) i 0  — x  x — x3  ; 1 x  +x r  x r  x3r  r 1 x * Hai mệnh đề thường sử dụng + Mệnh đề 2.1([4]) Cho hàm sinh G x   1  x  x   n (i) Đạt ar hệ số xr khai triển G(x) thì: ar  Cnr r 1 ; 10 SangKienKinhNghiem.net (ii) (iii) 1  x    C x  C x   —1 x 1  x  x   x   1 — x  1  x  x m n l m n n 2m mn n m 1 n m n ;   n + Mệnh đề 2.2 ([4]) (Công thức xác định hệ số tích hai hàm sinh) Cho hai hàm sinh hai dãy (an); (bn) là: (iv) A x   a0  a1 x  a2 x  (v) B x   b0  b1 x  b2 x  (vi) Đặt G x   A x .B x   (a0  a1 x  a2 x  ) b0  b1 x  b2 x   = a0b0  a0 b1  a1b0  x  a0b2  a1b1  a2b0  x  Khi hệ số xr khai triển G(x) là: a0br  a1br 1  a2br 2   ar 2b2  ar 1b1  ar b0 Quy tắc xoắn: ([4]) Gọi A(x) hàm sinh cho dãy cách chọn phần tử từ tập A(x), B(x) hàm sinh cho dãy cách chọn phần tử từ tập B Nếu A B rời hàm sinh cho số cách chọn phần tử từ tập A  B A(x).B(x) Chú ý: - Thứ tự phần tử không quan trọng - Việc chọn phần tử A B giống với cách chọn phần tử A  B - Ý tưởng phương pháp hàm sinh sau: Giả sử ta cần tìm cơng thức tổng quát dãy số {an } Từ công thức truy hồi lý luận tổ hợp trực tiếp, ta tìm hàm sinh : A x   a0  a1 x  a2 x   an x n  - Khai triển A(x) thành chuỗi tìm hệ số xn khai triển ta tìm an Cho hàm số y  f x  có đạo hàm cấp x=a, khai triển Taylor hàm số a là: f x   f a   f ' a  f "a  x  a   x  a   1! 2! Bài tốn 2.7 Giả sử có loại kẹo: Chanh, dâu, sơcơla, sữa Tìm hàm sinh cho số cách chọn n kẹo thỏa mãn điều kiện khác sau đây: a) Mỗi loại kẹo xuất số lẻ lần b) Số kẹo loại kẹo chia hết cho 11 SangKienKinhNghiem.net c) Không có kẹo socola có nhiều 1cái kẹo chanh Lời giải a) Vì loại kẹo xuất nên ta cần tìm hàm sinh cho số cách chọn loại kẹo Ta có cách chọn kẹo; 1cách chọn 1cái kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; Vậy hàm sinh cho số cách chọn loại kẹo là: x  x3  x5  Áp dụng quy tắc xoắn ta hàm sinh cho số cách chọn n kẹo từ loại kẹo A x   x  x3  x5    x 1  x 4  x   x4 1 — x  b, Ta có số cách chọn kẹo thỏa mãn điều kiện số kẹo loại chia hết cho là: cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo; cách chọn kẹo Hàm sinh cho số cách chọn mội loại kẹo thỏa mãn điều kiện là:  x3  x  x9  Vậy hàm sinh cho số cách chọn n kẹo từ loại kẹo thỏa mãn điều kiện là: B( x)  1  x3  x  x9   12  1 — x  SangKienKinhNghiem.net d, Hàm sinh cho số cách chọn kẹo socola : 1; Hàm sinh cho số cách chọn kẹo chanh : 1+ x ; Hàm sinh cho số cách chọn kẹo dâu là:  x  x  x3   1 — x  ; Hàm sinh cho số cách chọn kẹo sữa là:  x  x  x3   1 — x  ; Vậy hàm sinh cho số cách chọn n kẹo từ loại kẹo thỏa mãn điều kiện là: C ( x)  1 x (1  x) 2.2.2 Các dạng toán dùng hàm sinh * Bài toán chọn phần tử riêng biệt Bài tốn 2.8 Có cách chọn n phần tử phân biệt từ tập hợp k phần tử Lời giải Bài tốn giải dễ dàng công thức tổ hợp Nhưng lần sử dụng hàm sinh Cụ thể Đầu tiên ta xét tập hợp có phần tử a1 Ta có: cách chọn phần tử; cách chọn phần tử; cách chọn phần tử trở lên Suy hàm sinh cho số cách chọn n phần tử từ tập a1là  x Tương tự vậy, hàm sinh cho số cách chọn n phần tử từ tập ai 1  i  k   x (không phụ thuộc vào khác biệt ai ) Tiếp tục xét tập phần tử a1 , a2 ta có: cách chọn phần tử; cách chọn phần tử; 13 SangKienKinhNghiem.net cách chọn phần tử; cách chọn phần tử trở lên Suy hàm sinh cho số cách chọn n phần tử từ tập a1 , a2 là:  x  x  1  x   1  x 1  x  Tiếp tục áp dụng quy tắc ta hàm sinh cho số cách chọn phần tử từ tập k phần tử: 1  x 1  x  1  x   1  x k Ta có Ck0  Ck1  Ck2   Ckk  1  x  Như hệ số x n 1  x k Ckn k số cách chọn n phần tử phân biệt từ tập k phần tử * Bài toán chọn phần tử có lặp Để hiểu cách giải toán trước tiên ta phải mở rộng, ta có quy tắc xoắn Gọi A x  hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập hợp A B x  hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập hợp B Nếu A B rời hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập A  B A x .B x  Quy tắc cho trường hợp chọn phần tử phân biệt, cho trường hợp chọn nhiều lần phần tử Bài tốn 2.9 Có cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử, cho phép phần tử chọn nhiều lần Lời giải Chia tập n phần tử thành hợp n tập Ai ,1  i  n ; tập gồm phần tử thuộc tập n phần tử Với tập Ai ta có: cách chọn phần tử; cách chọn phần tử ; cách chọn phần tử; Suy hàm sinh cách chọn có lặp từ tập Ai  x  x  x3   1 x 14 SangKienKinhNghiem.net Áp dụng quy tắc xoắn suy hàm sinh cách chọn có lặp phần tử từ tập hợp n phần tử : 1 1   x  x  x 1  x n Bây ta cần tính hệ số x k 1  x  n Áp dụng khai triển Taylor f x   1  x  n f ' 0  f '' 0  f k  0  k  f 0   x x   x  Suy hệ số x k k! 1! 2! f k   Cnk k 1 k! Như số cách chọn k phần tử có lặp từ tập hợp có n phần tử Cnk k 1 Bài tốn 2.10 Có loại kẹo : kẹo sữa, kẹo chanh, kẹo socola, kẹo dâu kẹo cà phê Hỏi có cách chọn 12 kẹo từ loại kẹo Lời giải Theo tập số cách chọn 12 kẹo từ loại kẹo C1612 Bài toán 2.11 Bài tốn chọn Có cách xếp giỏ n trái thỏa mãn điều kiện sau : Số táo phải chẵn Số chuối phải chia hết cho Chỉ có nhiều cam Chỉ có nhiều đào Bài tốn có điều kiện ràng buộc phức tạp ta có cảm giác việc giải tốn vơ vọng Nhưng hàm sinh lại cho ta cách giải nhanh gọn Lời giải Trước tiên ta tìm hàm sinh cho loại Chọn táo cách chọn táo ; cách chọn táo ; cách chọn táo ; cách chọn táo ; 15 SangKienKinhNghiem.net ……………………… Như ta có hàm sinh A x    x  x    x2 Tương tự ta tìm hàm sinh cho cách chọn chuối : B x    x5  x10    x5 Hàm sinh cho cách chọn cam đào khác chút Chọn cam cách chọn cam ; cách chọn cam ; cách chọn cam ; cách chọn cam ; cách chọn cam ; cách chọn cam Như ta có hàm sinh C x    x  x  x3  x   x5 1 x  x2 Tương tự ta tìm hàm sinh cho cách chọn đào : D x    x  1 x Áp dụng Quy tắc xoắn suy hàm sinh cho cách chọn từ loại là: A x .B x .C x .D x   1  x5  x    x  x  x3  2  x  x  x  x 1  x  Như cách xếp giỏ trái gồm n trái đơn giản n  cách 2.3 Phương pháp nguyên tắc cực hạn sử dụng ánh xạ 2.3.1 Khái niệm điểm cực hạn Một lời khuyên người làm toán là: "Hãy ý xét trường hợp đặc biệt" Khái niệm trường hợp đặc biệt hiểu theo nhiều góc độ: - Đối với đa giác, điểm đặc biệt điểm thuộc cạnh (điểm biên), đỉnh ( điểm cực biên) điểm mà có đặc trưng hình đạt giá trị đặc biệt(  0;   ; không xác định; đạt min; đạt 16 SangKienKinhNghiem.net max; ), Bài toán điểm trọng tâm hình - Đối với tập hợp thứ tự, điểm đặc biệt phần tử lớn phần tử nhỏ tập hợp - Trên trục số có ba điểm đặc biệt 0;  ;  - Đối với tốn có điều kiện, trường hợp đặc biệt xảy biến có mặt xảy dấu đánh giá điều kiện - Đối với hàm số, điểm đặc biệt điểm mà hàm số khơng xác định, 0, đạt cực trị, - Đối với đường cong, điểm gián đoạn, điểm cực trị, điểm uốn, điểm biên, Các điểm, trường hợp đặc biệt nói gọi chung điểm cực hạn Tóm lại, điểm cực hạn điểm mà đặc trưng đối tượng xét đạt khủng hoảng, có thay đổi chất Tùy theo trường hợp mà điểm cực hạn có tên gọi khác Chẳng hạn : "Điểm kì dị " lí thuyết hàm phức, "Điểm tới hạn" xét biến thiên hàm số, "Điểm gián đoạn" xét tính liên tục hàm số Các điểm cực hạn hệ thống có vai trị quan trọng việc khảo sát hệ thống Ta xét số trường hợp đặc biệt, riêng điểm cực hạn Muốn vậy, trước hết phải tồn Định lí 2.1 ([2]) (Về tồn điểm cực hạn tập hợp) Trong tập hợp gồm hữu hạn phần tử số, tồn phần tử lớn phần tử nhỏ Định lí trường hợp đặc biệt định lí sau đây: Định lí 2.2 ([2]) Xét tập A gồm hữu hạn phần tử Mỗi phần tử x  A đạt tương ứng với trạng thái f (x) Khi đó, trạng thái f (x) có đặc trưng P(f(x)) tập đặc trưng: {P( f x ) | x  A} thứ tự tồn tại: minP  f x và maxP  f x  x A x A Hệ 2.1: ([2]) Nếu vai trò số tập gồm n số: x1 ; x2 ; ; xn 17 SangKienKinhNghiem.net ... vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp suy rộng 1.3 Nguyên lý đếm toán đếm Chương 2: Một số phương pháp giải toán tổ hợp 2.1 Phương pháp đại lượng bất biến 2.2 Phương pháp đếm dùng... Một số kiến thức tổ hợp, đồng thời đưa số phương pháp giải toán tổ hợp gồm: Phương pháp đại lượng bất biến; phương pháp đếm dùng hàm sinh; phương pháp nguyên tắc cực hạn; sử dụng ánh xạ 1.4 Phương. .. đưa số phương pháp tốn học rời rạc, đưa số phương pháp giải toán tổ hợp gồm: Phương pháp đại lượng bất biến; phương pháp đếm dùng hàm sinh; phương pháp nguyên tắc cực hạn; sử dụng ánh xạ, kết hợp