PHỊNG GD&ĐT QUẬN LONG BIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG Mơn : TỐN Năm học 2014-2015 Ngày thi: 05/02/2015 Thời gian làm bài: 150 phút x 1 xy x xy x x 1 1 : Bài 1.(3 điểm) Cho biểu thức : A xy 1 xy xy xy 1 , Tìm giá trị lớn A a) Rút gọn A b) Biết x y Bài 2.(6 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau: x y a) x x x 12 x 14 b) x y Tìm số nguyên x y, z thoả mãn: x y z xy y z Bài 3.(3 điểm) a) Cho a,b,c số thực dương có tổng a + b + c =2015 Chứng minh : 19b3 a 19c3 b3 19a c3 6045 ba 5b cb 5c ac 5a b) Mỗi ô vuông đơn vị bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dịng , 10 cột) ghi số nguyên dương không vượt 10 Hai số ghi hai ô chung cạnh hai ô chung đỉnh bảng hai số trùng Chứng minh có số ghi 17 lần Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên a cho A a 10a 136 có giá trị số phương b) Tìm số nguyên tố p cho 2p+1 4p+1 số nguyên tố Bài 5: (5điểm ) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC cố định A điểm di động cung lớn BC Vẽ đường cao AD tam giác ABC Từ D vẽ DE, DF vng góc với AB, AC (E AB; F AC ) a) Chứng minh tứ giác AEDF tứ giác BEFC nội tiếp b) Từ A vẽ đường thẳng vng góc với EF cắt BC I Chứng minh AI qua điểm cố định c) Từ I vẽ IK; IH vng góc với AB, AC chứng minh KH//BC d) Từ B C vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng AI M N Chứng minh đường thẳng AD; EF, KH đồng quy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM điểm cố định Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: SBD ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TỐN VỊNG NĂM HỌC 2014-2015 Bài Câ Nội dung Câu a x 1 xy x xy x x 1 A 1 : xy 1 xy xy xy Điều kiện xác định : x > 0; y>0; xy 1 Rút gọn P xy Áp dụng BĐT Cô Si cho hai số dương , ta có b) 1 2 x y 1 2 x y A A xy Điểm 1.5đ 1.5đ Suy A ≤ dấu “=” xảy x = y =1/9 Giải phương trình, hệ phương trình sau: a) x x x 12 x 14 a) Lập luận tập nghiệm S={2} x y b) x y 2.0đ 2.0đ b) Suy luận tập nghiệm (x,y) = (3;4) Tìm số nguyên x y, z thoả mãn: x y z xy y z Biến đổi (2x-y)2+3(y-2)2+4(z-1)2 KH//BC 0.5đ ThuVienDeThi.com 1.0đ 1.0đ d) Gọi giao điểm AD EF J Chứng minh tứ giác KJDE nội tiếp Suy luận KJ vng góc AD= KH qua J Vậy AD; EF; KH đồng quy J Gọi S, P, Q trung điểm BC; AB, AC Chứng minh SP//AC suy luận PS vng góc MD Suy luận P tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác (AMDB) mà PS vng góc MD suy S nằm đường trung trực NM Suy luận tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN S trung điểm BC Chú ý: Học sinh giải cách khác cho điểm tương đương Giám khảo chia nhỏ điểm thành phần không thay đổi tổng điểm ThuVienDeThi.com 1.0đ ... luận 5c cb 19a c3 4a c 5a ac Cộng vế (1) ; (2) ; (3) ta : 19b3 a 19c b3 19a c3 3( a b c) a+b+c=2015 ba 5b cb 5c ac 5a 0.5đ 19b3 a 19c b3 19a c3 6045 ba... 2 a b3 ab(a b) a 20b3 19b3 ab(a b) Suy 20b3 ab a b 19b3 a b 20b ab a a 19b a 0.5đ 19b3 a 4b a (1) Biến đổi 5b ab 19c3 b3 4c b (2)... luận y=2 x=1 thỏa mãn đk ThuVienDeThi.com 2.0đ 2Bài Bài Câu Nội dung Cho a,b,c số thực dương có tổng a + b + c =2015 Chứng minh : Điểm 19b3 a 19c3 b3 19a c3 6045 ba 5b cb 5c ac