Tài liệu Giải tích cổ điển cao học docx

CHUỖI ĐAN DẤU DẨU HIỆU LEPNIT: Nếu bn đơn điệu, giảm về 0 thì chuỗi hội tụ... ĐỊNH LÝ DIRICHLET: Nếu chuỗi bị chặn tức là và thì chuỗi hội tụ.. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Chuỗi t

Trang 1

I CHUỖI ĐAN DẤU (DẨU HIỆU LEPNIT):

Nếu bn đơn điệu, giảm về 0 thì chuỗi hội tụ

Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi:

Giải:

Đây là chuỗi đan dấu với bn =

Ta có: lnx đơn điệu tăng (x>0) đơn điệu giảm và 0

Ta chứng minh: ln(n + 1) > ln(n) ln(n + 1) - ln(n) > 0 mà Theo dấu hiệu Lepnit thì hội tụ

Miền hội tụ:

= ao(x) + ……… + an(x) + …………

.hội tụ

Giải bpt tìm đựơc 1 miền R1<x<R2

Xét xem tại R1, R2 chuỗi có hội tụ không?

Ví dụ: tìm miền hội tụ

Giải

Ta có: nếu thì chuỗi hội tụ

Xét f(x)= lnx

Giải bpt

Tại ta có chuỗi phân kỳ

Tại x = e ta có chuỗi phân kỳ

Vậy miền hội tụ của chuỗi là

II CHUỖI LŨY THỪA:

Tìm l ở 1 trong 2 dạng sau: hoặc

Miền hội tụ sẽ là (-R, R)

Xét thêm tại –R và R

Ví dụ: tìm miền hội tụ của chuỗi

Giải:

.là chuỗi lũy thừa với an =

Xét;

Trang 2

Tại x = -2 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có bn = đơn điệu) Tại x = 2 ta có chuỗi (chuỗi điều hòa p = 1) phân kỳ

Vậy miền hội tụ D = [-2, 2)

III CHUỖI ĐIỀU HÒA:

.p > 1: hội tụ

.p 1: phân kỳ

Ví dụ:

Chuỗi phân kỳ

Chuỗi hội tụ

Chuỗi phân kỳ

Chứng minh rằng:

Giải

Ta có: (đpcm)

Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:

Giải

Ta có:

Nếu thì chuỗi hàm hội tụ

Tại x = 0 ta có chuỗi hội tụ

Tại x = -2 ta có chuỗi phân kỳ

Vậy miền hội tụ của chuỗi là D =

Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

Giải

Ta có:

Khi thì chuỗi hội tụ

Xét tại x = 1 ta có chuỗi phân kỳ

Xét tại x = 3 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có bn đơn điệu) Miền hội tụ của chuỗi là D = (1, 3]

Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:

Giải

Đây là chuỗi hàm với

Trang 3

Xét

Chuỗi hàm hội tụ khi

Miền hội tụ chính

Tại x = ta có chuỗi

Áp dụng định lý Diriclet với và

Xét:

Sn = a1 + ……… + an

=

Ta cần chứng minh rằng

Thật vậy,

Với n chẳn, ta có: vì

Với n lẻ, ta có

Vậy

Theo định lý Diriclet ta suy ra hội tụ

Suy ra

Miền hội tụ của chuỗi là D = (tại x = ½ ta có chuỗi cũng là chuỗi hội tụ)

IV ĐỊNH LÝ DIRICHLET:

Nếu chuỗi bị chặn (tức là và) thì chuỗi hội tụ

Giải

Chuỗi trên có dạng chuỗi lũy thừa với an =

Xét:

Tại x = - 1/3 ta có chuỗi phân kỳ

Tại x = 1/3 ta có chuỗi phân kỳ

Vậy miền hội tụ của chuỗi là

Cho chuỗi hàm

Trang 4

Giải

Đặt X = x + 2

Ta có chuỗi lũy thừa với an =

Xét

Miền hội tụ chính của chuỗi là (-2, 2)

Miền hội tụ chính của chuỗi là -2< x + 2<2 -4 < x < 0

Tại x = 0 ta có chuỗi phân kỳ

Vậy miền hội tụ của chuỗi là D = (-4, 0)

Giải

Đây là chuỗi lũy thừa với an = n(n + 1)

Xét

Miền hội tụ chính (-1, 1)

Xét tại x = -1 ta có chuỗi phân kỳ

Tại x = 1 ta có chuỗi phân kỳ

Miền hội tụ của chuỗi là D = (-1, 1)

Giải:

Ta có:

Xét:

Chuỗi hội tụ khi

Tại x = 0 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có ) Tại x = -2 ta có chuỗi phân kỳ (p = 1)

Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là D =

Cho chuỗi hàm

Giải

Trang 5

Đặt X = 2x – 1 thì ta có chuỗi là chuỗi lũy thừa với an = Xét

Miền hội tụ chính của chuỗi là -1 < X < 1

Miền hội tụ chính của chuỗi là (-1, 1)

Tại x = 1 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có bn đơn điệu) Miền hội tụ của chuỗi là D = (-1, 1]

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	89,59 KB