Tài liệu Tổng hợp đề thi cao học ppt

Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHÓA 15 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I. Cho (X, T ) là một không gian tôpô. Chứng minh rằng 1. Với mỗi tập A trù mật trong X và mỗi tập mở U ⊂ X ta có U = U ∩ A. 2. Với mỗi tập đóng F ⊂ X và mỗi tập A ⊂ X ta có int(F ∪ intA) = int(F ∪ A). 3. Với mỗi tập A ⊂ X ta có X\A = X\intA. Câu II. Kí hiệu X = R, F = { 1 k | k ∈ Z ∗ }. Với mỗi n ∈ N ∗ , mỗi x ∈ X, ta đặt V n (x) = (x − 1 n , x + 1 n ) và B(x) =  {V n (x) | n ∈ N ∗ } nếu x = 0 {V n (x)\F | n ∈ N ∗ } nếu x = 0 Chứng minh rằng họ {B(x) | x ∈ X} xác định một tôpô trên X sao cho B(x) là một cơ sở lân cận của điểm x, và với tôpô này X là T 2 − không gian nhưng không phải là T 3 −không gian. Câu III. Cho X = {x = (x n ) ∞ n=1 | x n ∈ Rvới mọin ∈ N ∗ }. 1. Với mỗi n ∈ N ∗ ta đặt p n (x) = |x n | với mọi x ∈ X. Chứng minh rằng P = {p n | n ∈ N ∗ } là họ các nửa chuẩn trên X và tách. Suy ra X với tôpô T sinh bởi họ nửa chuẩn P là lồi địa phương. 2. Với x = (x n ) n , y = (y n ) n ∈ X ta đặt d(x, y) = ∞  n=1 2 −n |x n − y n | 1 + |x n − y n | Chứng minh rằng (X, d) là một không gian mêtric. 3. Gọi T ∞ là tôpô sinh bởi mêtric d. Chứng minh rằng mọi dãy trong X hội tụ theo T ∞ thì hội tụ theo tôpô T . Hai tôpô T và T ∞ có tương đương không? Câu IV. Cho µ là một độ đo và f là một hàm khả tích ứng với độ đo µ. Với mỗi tập đo được E ta đặt ν(E) =  E fdµ. Chứng minh ν là một độ đo có dấu và liên tục tuyệt đối đối với µ. ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài. Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K15 ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - L A T E X TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút Câu I. Cho đa thức f = x 3 − 5x 2 + 4x + 5 ∈ Q[x] 1. Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy 2. Gọi α là một nghiệm của f. Tìm dạng nhân tử hóa của f trong Q(α)[x] 3. Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực đó. Câu II. Viết ít nhất một thủ tục bằng Maple được chọn trong bảng các đề tài lập trình đã cho. Nộp file .mws chạy trong Maple 9.5. Câu III. Soạn thảo văn bản ở trang 2 bằng L A T E X. Nộp file tex chạy trong MikTex, dùng gói tiếng Việt \usepackage[tcvn]{vietnam} Câu IV. Trình chiếu văn bản ở trang 2 bằng định dạng pdf. Nộp file pdf. ————————————————Hết———————————————— Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài. 1 Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com 1 ĐA TẠP AFIN 1.1 ĐỊNH LÍ KHÔNG ĐIỂM HILBERT Định lí 1 (Không điểm Hilbert, dạng 2). Cho mở rộng trường K ⊂ L và l đóng đại số. Khi đó mọi iđêan J ⊂ K[x 1 , x 2 , ., x n ], ta có I(Z(J)) = √ J. Chứng minh. Ta chứng minh rằng định lí trên tương đương với (7). Ta đa biết √ J ⊂ I(Z(J)). Với f ∈ I(Z(J)) và f = 0. Xét iđêan J 1 của K[x 1 , x 2 , ., x n , t] sinh ra bởi J và f t−1. Nếu có (a 1 , a 2 , ., a n , t) ∈ A n+1 L thuộc Z(J 1 ) thì (a 1 , a 2 , ., a n ) ∈ Z(J) và do đó t 0 f(a 1 , a 2 , ., a n ) − 1 = −1. Mặt khác, do (a 1 , a 2 , ., a n , t 0 ) ∈ Z(J 1 ) ta có t 0 f(a 1 , a 2 , ., a n )− 1 = 0. Vô lí. Vậy Z(J 1 ) = ∅ . Suy ra J 1 = (1). Tồn tại biểu diễn 1 = n  i=1 g i f i + (tf − 1)g,với f i ∈ J, g, g i ∈ K[x 1 , x 2 , ., x n , t] Xét ánh xạ β : K[x 1 , x 2 , ., x n , t] −→ K(x 1 , x 2 , ., x n , t) x i −→ x i t −→ 1 f Khi đó 1 = n  i=1 β(g i )f i . Đặt β(g i ) = h i f n i với h i ∈ K[x 1 , x 2 , ., x n ] và r = max{n 1 , n 2 , ., n m }. Khi đó f r ∈ (f 1 , ., f m ) ⊂ J. Vậy f ∈ √ J. Ngược lại, từ (9), nều Z(J) = 0 thì ta có √ J = I(∅) = K[x 1 , x 2 , ., x n ]. Suy ra J = K[x 1 , x 2 , ., x n ]. Vô lí. Định lí 2 (Không điểm Hilbert). Cho J ⊂ K[x 1 , x 2 , ., x n ] là một iđêan và f ∈ I(Z(J)). Khi đó tồn tại r ∈ N sao cho f r ∈ J. 1.2 CHIỀU CỦA (TỰA) ĐA TẠP AFIN Mệnh đề 3. (i) Các ánh xạ I và Z đảo ngược thứ tự bao hàm. (ii) Với mọi Y 1 , Y 2 ⊂ A n , ta có I(Y 1 ∪ Y 2 ) = I(Y 1 ) ∩ I(Y 2 ) . (iii) Cho J là một iđêan tùy ý của K[x 1 , ., x n ]. Khi đó I(Z(J)) = √ J. (iv) Cho Y ⊂ A n . Khi đó Z(I(Y )) = Y . 2 Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K16 ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - L A T E X TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút Câu I. Cho đa thức f = x 3 + 5x 2 + 2x − 5 ∈ Q[x] 1. Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy. 2. Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực (gần đúng) đó. 3. Gọi α là một nghiệm của f, hãy biểu diễn (α 2 − 1) −1 ∈ Q(α) như một đa thức theo α có bậc không quá 2. 4. Phân tích f thành tích các nhân tử bậc nhất trong một trwongf mở rộng của Q. Sản phẩm nộp là file .mws chạy trong Maple 9.5. Câu II. Hãy đưa ra vài ứng dụng của Maple trong giảng dạy toán phổ thông và đại học. Nêu các bình luận về việc sử dụng Maple trong nghiên cứu và giảng dạy. Câu III. Soạn thảo văn bản sau (đề thi mẫu) 1 bằng L A T E X. Nộp file tex chạy trong MikTex, dùng gói tiếng Việt \usepackage[utf8]{vietnam} Câu IV. Trình chiếu văn bản sau (đề thi mẫu) bằng định dạng pdf. Nộp file pdf. ———————————————Hết——————————————— Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài. 1 Xem văn bản ở trang 4 - C.M.Q 3 Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh: . ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh: . TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỀ THI MẪU Môn thi: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 120 phút ————————————————————————————————————— Câu I. Trên tập hợp G = [0, 1) = {x ∈ R|0 ≤ x < 1}, xét phép toán ⊕ định bởi ∀x, y ∈ G, x ⊕ y = x + y − [x + y] (ở đây [x + y] là phần nguyên của x + y). Chứng minh: 1) (G,⊕) là một nhóm aben; 2) Ánh xạ f : G −→ C∗ định bởi f = cos(2πx) + isin(2πx), là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm nhân các số phức khác 0. Câu II. Cho A và B là các iđêan của vành R. Vành R được gọi là tổng trực tiếp của các iđêan A và B, kí hiệu R = A⊕ B, nếu R = A + B và A∩ B = {0}. Chứng minh rằng: 1) R = A ⊕ B nếu và chỉ nếu mọi phần tử x ∈ R đều biểu thị duy nhất dưới dạng x = a + b trong đó a ∈ A, b ∈ B. 2) Vành số nguyên Z chỉ có sự phân tích tầm thường, tức là nếu Z = A ⊕ B thì A = {0} hoặc B = {0}. Câu III. Cho T là một phép biến đổi tuyến tính của khôg gian vec tơ V và x ∈ V . Chứng minh rằng nếu tồn tại số m nguyên dương sao cho T m (x) = 0 và T m−1 (x) = 0 thì hệ (x, T (x), ., T m−1 (x)) độc lập tuyến tính. Câu IV. Cho A ∈ M(n, K), với n ≥ 2, là một ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong trường K. Kí hiệu  A là ma trận phụ hợp của A. Chứng minh rằng: 1) Nếu A không suy biến thì  A không suy biến. 2) Nếu rank(A) = n − 1 thì rank(  A) = 1. 3) Nếu rank(A) ≤ n − 2 thì  A = 0. Câu V. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường F. Chứng minh rằng: rank(A) − rank(A 2 ) ≥ rank(A 2 ) − rank(A 3 ). Hãy tổng quát hóa kết quả trên. ———————————————————————————————– Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 4 Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 15 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I. Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấp một. Câu II. Giải các phương trình vi phân sau: 1. y  + 2y = y 2 e x 2. y(x + y)dx + (xy + 1)dy = 0 Câu III. Giải hệ phương trình vi phân sau bằng cách tìm hệ tích phân đầu đầy đủ  y  1 = y 1 x y  2 = y 1 + y 2 x Câu IV. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân sau    y  1 = 2y 1 − y 2 + y 3 y  2 = y 1 + 2y 2 − y 3 y  3 = y 1 − y 2 + 2y 3 —————————————————————————————— Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài. Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 16 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I. Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân thường. Câu II. Giải các phương trình vi phân sau: 1. (1 − 2xy)y  = y(y − 1) 2. y  = 2( y+2 x+y−1 ) 2 Câu III. Giải hệ phương trình vi phân sau    x  1 = −3x 1 + 4x 2 − 2x 3 x  2 = x 1 + x 3 x  3 = 6x 1 − 6x 2 + 5x 3 Câu IV. Giải phương trình vi phân sau y  − 2y  + 5y = 2xe x + e x sin2x. ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài. D - ˆ E ` THI CH ´ U . NG CHI ’ CAO HO . C, Kh´oa 13 Chuyˆen ng`anh TO ´ AN, Mˆon thi : Gia ’ i tı´ch ha`m D - ˆe ` sˆo ´ : 01. Th`o . i gian l`am b`ai: 150 ph´ut Cˆau I. Cho X, Y la` hai khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ nv`a(A α ) α∈I ⊂L(X, Y ). 1. Ky´ hiˆe . u C n = {x ∈ X| sup α∈I A α x <n},n ∈ N. Biˆe ´ tr˘a ` ng sup α∈I A α  =+∞. Ch´u . ng minh r˘a ` ng ◦ C n = ∅, v´o . imo . i n ∈ N. 2. Gia ’ su . ’ A n ∈L(X, Y ) la` mˆo . tda ˜ y sao cho v´o . imo . i x ∈ X ta co´ A n x → 0,n→ +∞ . T` u . d¯ˆay co´ suy ra d¯u . o . . c A n →0 khˆong? Ta . i sao? Cˆau II. K´y hiˆe . u X = C [0,1] l`a khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ n c´ac h`am sˆo ´ liˆen tu . c trˆen [0, 1] v´o . ichuˆa ’ n “max”. 1. Ky´ hiˆe . u P la` tˆa . ptˆa ´ tca ’ ca´c d¯a th´u . c p(x) xa´c d¯i . nh trˆen [0, 1] co´ bˆa . c ≤ n. Ch´u . ng minh r˘a ` ng P la` mˆo . ttˆa . p d¯´ong trong C [0 , 1] . 2. X´et to´an tu . ’ tuyˆe ´ n t´ınh A : X → X x´ac d¯i . nh bo . ’ i cˆong th´u . c x → Ax, (Ax)(t)=  t 0 x(τ)dτ, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C [0,1] . Ch´u . ng minh A l`a mˆo . t to´an tu . ’ compact va` ∀ α ∈ (0 , 1) th`ı I + αA l`a mˆo . t ph´ep d¯ ˆo ` ng phˆoi tuyˆe ´ nt´ınh t`u . X lˆen X (I l`a ´anh xa . d¯ ˆo ` ng nhˆa ´ t). To´an tu . ’ I + A c´o pha ’ i l`a to´an tu . ’ compact khˆong? Cˆau III. Cho X l`a mˆo . t khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ n. 1. Ch´ u . ng minh r˘a ` ng phˆa ` n trong cu ’ a hı`nh cˆa ` ud¯o´ng B  (x 0 ,r) la` hı`nh cˆa ` umo . ’ B(x 0 ,r ). 2. Cho f ∈ X ∗ ,N= Ker f va ` x ∈ X \ N. Gia ’ su . ’ tˆo ` nta . i y ∈ N sao cho d (x, N )=  x − y  . Ch´ u . ng minh r˘a ` ng tˆo ` nta . i x 0 ∈ X, x 0  = 1 sao cho f  = |f(x 0 )|. Cˆau IV. Cho H l`a khˆong gian Hilbert trˆen tru . `o . ng K va` A ∈L(H). 1. Ch´u . ng minh r˘a ` ng A la` mˆo . t toa´ n tu . ’ compact khi va`chı ’ khi, v´o . imo . i(x n ) n ⊂ H, (y n ) n ⊂ H, nˆe ´ u x n w → x va` y n w → y thı` Ax n ,y n →Ax, y khi n → +∞. 2. Gia ’ su . ’ A = A ∗ va` λ ∈ K khˆong pha ’ ila`mˆo . t gia´ tri . riˆeng cu ’ a A. Ch´u . ng minh r˘a ` ng R(A − λI) tru` mˆa . t kh˘a ´ pno . i trong H. 3. Cu ˜ ng gia ’ su . ’ r˘a ` ng A = A ∗ va` thˆem A m la` mˆo . t toa´n tu . ’ compact v´o . i m la` mˆo . t sˆo ´ nguyˆen du . o . ng na`o d¯o´. Ch´u . ng minh r˘a ` ng A cu ˜ ng la` mˆo . t toa´ n tu . ’ compact. ————————————————————————————– Ghi ch´u: Ho . c viˆen d¯u . o . . c ph´ep su . ’ du . ng t`ai liˆe . ud¯ˆe ’ l`am b`ai nhu . ng khˆong d¯u . o . . c trao d¯ˆo ’ i, tha ’ o luˆa . nv´o . i nhau. 22 www.mathvn.com D - ˆ E ` THI CH ´ U . NG CHI ’ CAO HO . C Chuyˆen ng`anh TO ´ AN, K.14 Mˆon thi : GIA ’ IT ´ ICH H ` AM D - ˆe ` sˆo ´ : 1. Th`o . i gian l`am b`ai: 150 ph´ut Cˆau I. Ky´ hiˆe . u X = C [0,2] la` khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ n ca´ c ha`m liˆen tu . c trˆen d¯oa . n [0, 2] v´o . ichuˆa ’ n “max”. 1. D - ˘a . t f : X → R xa´c d¯i . nh bo . ’ i cˆong th´u . c f( x )=  1 0 x(t ) dt −  2 1 x(t ) dt. Ch´u . ng minh r˘a ` ng f ∈ X ∗ va`ha ˜ y tı´nh f. 2. Xe´t toa´ n tu . ’ A ∈L ( X) xa´ c d¯i . nh bo . ’ i X  x → Ax, trong d¯o ´(Ax)( t )=  t 0 x(τ ) dτ + tx (1) , v´o . imo . i t ∈ [0, 2]. Ch´u . ng minh A la` mˆo . t toa´ n tu . ’ compact. D - ˘a . t v = I − A v´o . i I =id X la` toa´n tu . ’ d¯ ˆo ` ng nhˆa ´ t. Ch´u . ng minh r˘a ` ng nˆe ´ u E la` tˆa . p compact trong X thı` v −1 (E) ∩ B  X (0, 1) la` tˆa . p compact trong X. Cˆau II. V´o . i p ≥ 1, k´y hiˆe . u  p l`a khˆong gian Banach ca´ c da ˜ y(x n ) n ⊂ K sao cho ∞  n =1 |x n | p < +∞. Ky´ hiˆe . u e i =(0, .,0, 1 (i) , 0, .) ∈  p ,i=1, 2, . 1. Kiˆe ’ m tra r˘a ` ng {e n | n =1, 2, .} la` mˆo . tco . so . ’ Schauder cu ’ a khˆong gian  p . 2. Gia ’ su . ’ (c n ) n la` mˆo . tda ˜ ysˆo ´ du . o . ng. Ky´ hiˆe . uΠ={x =(x n ) n ∈  p ||x n |≤ c n ,n =1, 2 , . }. Ch´ u . ng minh r˘a ` ng Π la` tˆa . p compact khi va `chı ’ khi ∞  n=1 c p n < +∞. Cˆau III. Ky´ hiˆ e . u H l`a mˆo . t khˆong gian Hilbert. 1. Gia ’ su . ’ (A n ) n ⊂L (H )la`mˆo . tda ˜ y tho ’ ad¯iˆe ` ukiˆ e . n ∀ x, y ∈ H : sup n∈N |A n x, y| < +∞. Ch´u . ng minh sup n∈N  A n  < +∞ 2. Cho a ∈ H, a =0va`d¯˘a . t A = {a} ⊥ . Ch´u . ng minh r˘a ` ng v´o . imo . i x ∈ H, ta co´ d(x, A) := inf u∈A { x − u } = |x, a| a . 3. Cho A ∈L(H). Ch´u . ng minh (ImA) ⊥ = KerA ∗ . 4. Bˆay gi`o . ta gia ’ thiˆe ´ t A ∈L(H) sao cho A ∗ A la` toa´n tu . ’ compact. Ch´u . ng minh r˘a ` ng A cu ˜ ng la` toa´n tu . ’ compact. ————————————————————————————– Ghi ch´u: Ho . c viˆen d¯u . o . . cph´ep su . ’ du . ng t`ai liˆe . ud¯ˆe ’ l`am b`ai nhu . ng khˆong d¯u . o . . c trao d¯ ˆo ’ i, tha ’ o luˆa . nv´o . i nhau. 23 www.mathvn.com D - ˆ E ` THI CH ´ U . NG CHI ’ CAO HO . C Ca´c chuyˆen ng`anh TO ´ AN, K.15 Mˆon thi : GIA ’ IT ´ ICH H ` AM D - ˆe ` sˆo ´ : 1. Th`o . i gian l`am b`ai: 150 ph´ut Cˆau I. Cho (X, · ) la` mˆo . t khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ n trˆen tru . `o . ng K. 1. Ch´u . ng minh r˘a ` ng X la` mˆo . t khˆong gian Banach khi va`chı ’ khi mo . ida ˜ y(y n ) n ⊂ X thoa ’ d¯ i ˆe ` ukiˆe . n y n ≤2 −n thı` chuˆo ˜ i ∞  n=1 y n hˆo . itu . . 2. Gia ’ su . ’ (X, ·) la` khˆong gian Banach va` · 1 la` mˆo . tchuˆa ’ n kha´c trˆen X sao cho (X, · 1 )cu ˜ ng la` Banach va` 2 chuˆa ’ n ·, · 1 khˆong tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i nhau. Ch´u . ng minh r˘a ` ng a´nh xa . d¯ ˆo ` ng nhˆa ´ t id: (X, ·) → (X, · 1 ) khˆong liˆen tu . c. Cˆau II. K´yhiˆe . u X la` mˆo . t khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ nva`(x n ) n la` mˆo . tda ˜ y trong X. 1. Cho x n → x va`(f n ) n ⊂ X ∗ sao cho f n w → f khi n →∞. Ch´u . ng minh r˘a ` ng f n (x n ) → f(x) khi n →∞. 2. Gia ’ su . ’ f(x n ) → 0, (n →∞)v´o . imo . i f ∈ M trong d¯o´ M ⊂ X ∗ va` ◦ M = ∅. Ch´u . ng minh r˘a ` ng x n w → 0. Cˆau III. Gia ’ su . ’ {e n | n ∈ N} la` mˆo . tco . so . ’ Schauder cu ’ a khˆong gian Banach (X, ·). V´o . imo . i x ∈ X ta co´ biˆe ’ udiˆe ˜ n x = ∞  i=1 η i e i . 1. D - ˘a . t x 1 = sup n∈N  n  i=1 η i e i . Ch´u . ng minh r˘a ` ng · 1 la` mˆo . tchuˆa ’ n trˆen X va` chuˆa ’ n na`y tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i chuˆa ’ n ·. 2. Ky´ hiˆe . u P n :(X, ·) → (X, ·) la` a´nh xa . xa´c d¯i . nh bo . ’ i P n x = P n ( ∞  i=1 η i e i )= n  i=1 η i e i . Ch´u . ng minh r˘a ` ng P n ∈L(X). Cˆau IV. Cho H l`a khˆong gian Hilbert trˆen tru . `o . ng K. 1. Gia ’ su . ’ U,V,W la` 3 khˆong gian con d¯o´ng trong H va` chu´ng tru . . c giao v´o . i nhau t`u . ng d¯ˆoi mˆo . t. Ch´u . ng minh r˘a ` ng tˆo ’ ng U + V + W cu ˜ ng la` mˆo . t khˆong gian con d¯o´ng trong H. 2. Cho A ∈L(H). Ch´u . ng minh r˘a ` ng (Im A ∗ ) ⊥ = KerA. Cˆau V. Cho X la` mˆo . t khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ nva` A ∈L(X). 1. Gia ’ su . ’ e 1 ,e 2 la` 2 vecto . riˆeng ´u . ng v´o . i 2 gia´ tri . riˆeng kha´c nhau cu ’ a A. Ch´u . ng minh {e 1 ,e 2 } la` d¯ˆo . clˆa . p tuyˆe ´ n tı´nh. 2. Bˆay gi`o . cho A la` toa´n tu . ’ compact va` λ = 0 la` mˆo . tsˆo ´ . Gia ’ su . ’ inf x∈X, x=1 {Ax−λx} = 0. Ch´u . ng minh r˘a ` ng λ la` mˆo . t gia´ tri . riˆeng cu ’ a A. ————————————————————————————– Ghi ch´u: Ho . cviˆen d¯u . o . . cph´ep su . ’ du . ng t`ai liˆe . ud¯ˆe ’ l`am b`ai nhu . ng khˆong d¯u . o . . c trao d¯ˆo ’ i, tha ’ o luˆa . nv´o . i nhau. 24 www.mathvn.com [...]... ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI - KHÓA 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, n là một số nguyên dương, φ : M −→ Rn là một toàn cấu R-môđun Chứng minh rằng Ker(φ) là R-môđun hữu hạn sinh Câu 2 Chứng minh rằng mọi không gian véctơ trên trường K đều là K -môđun... R-môđun M ta có dãy ϕ∗ ψ∗ 0 −→ Hom(M, A) − Hom(M, B) − Hom(M, C) → → cũng khớp Câu 5 Chứng minh rằng mọi R-môđun đều có một phép giải nội xạ ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHÓA 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu I Cho (X, T ) là một không gian tôpô 1... n3 (x)) là mục tiêu pháp tuyến ngoài tại x ∈ M Chứng minh rằng dV = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI - KHÓA 15 Thời gian làm bài: 120 phút Tất cả các vành được xét là vành có đơn vị 1 = 0 Câu 1 Cho E, E là các không gian Euclid...Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC GIẢI TÍCH TRÊN ĐA TẠP - KHÓA 16 Thời gian làm bài: 120 phút Câu I 1 Cho A là một tập mở trong Rn sao cho biên b(A) là một đa tạp (n−1)−chiều Chứng minh rằng N = A ∪ b(A) là một đa tạp n−chiều... của X , f, g là các hàm đo được trên X Với mỗi tập đo được E ta đặt ν(E) = f dµ E Giả sử |ν|(E) = gd|µ| Chứng minh g = |f | hầu khắp nơi theo µ E ——————————————————————————————– Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài ... sao cho f (x)f (y) = kxy với mọi x, y ∈ E Chứng minh rằng: 1 Ánh xạ ϕ : E −→ E là tuyến tính đồng dạng nếu có số thực k = 0 sao cho ϕ(x)ϕ(y) = kxy với mọi x, y ∈ E 2 Mọi ánh xạ tuyến tính đồng dạng ϕ đều có thể viết dưới dạng ϕ = αγ , trong đó γ có dạng λid, λ ∈ R, còn α là đồng cấu trực giao Câu 2 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, n là một số nguyên dương, φ : M −→ Rn là một toàn cấu R-môđun Chứng minh . chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài. Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K15 ĐẠI HỌC. http://quyndc.blogspot.com BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K16 ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - L A T E X TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120