Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.comBỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K15 ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - LATEX TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút Câu I.
Trang 1ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHÓA 15
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I Cho (X, T ) là một không gian tôpô Chứng minh rằng
1 Với mỗi tập A trù mật trong X và mỗi tập mở U ⊂ X ta có
U = U ∩ A.
2 Với mỗi tập đóng F ⊂ X và mỗi tập A ⊂ X ta có
int(F ∪ intA) = int(F ∪ A).
3 Với mỗi tập A ⊂ X ta có X\A = X\intA
Câu II Kí hiệu X = R, F = {k1 | k ∈ Z∗} Với mỗi n ∈ N∗, mỗi x ∈ X, ta đặt
V n (x) = (x − 1n, x + n1) và
B(x) =
( {Vn(x) | n ∈ N∗} nếu x 6= 0 {Vn(x)\F | n ∈ N∗} nếu x = 0
Chứng minh rằng họ {B(x) | x ∈ X} xác định một tôpô trên X sao cho B(x)
là một cơ sở lân cận của điểm x, và với tôpô này X là T2− không gian nhưng không phải làT 3 −không gian
Câu III Cho X = {x = (xn)∞n=1 | xn ∈ Rvới mọin ∈ N∗}
1 Với mỗi n ∈ N∗ ta đặt pn(x) = |xn| với mọi x ∈ X Chứng minh rằng
P = {pn | n ∈ N∗} là họ các nửa chuẩn trên X và tách Suy ra X với tôpô
T sinh bởi họ nửa chuẩn P là lồi địa phương
2 Với x = (xn)n , y = (yn)n ∈ X ta đặt
d(x, y) =
∞ X n=1
2−n |xn− yn|
1 + |xn − yn| Chứng minh rằng (X, d) là một không gian mêtric
3 GọiT∞ là tôpô sinh bởi mêtricd Chứng minh rằng mọi dãy trong X hội tụ theo T∞ thì hội tụ theo tôpô T Hai tôpô T và T∞ có tương đương không? Câu IV Cho µ là một độ đo và f là một hàm khả tích ứng với độ đo µ Với mỗi tập đo được E ta đặt
ν(E) =
Z E
f dµ.
Chứng minhν là một độ đo có dấu và liên tục tuyệt đối đối với µ
——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài
Trang 2Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K15
ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - LATEX TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I Cho đa thức f = x3− 5x 2 + 4x + 5 ∈ Q[x]
1 Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy
2 Gọi α là một nghiệm của f Tìm dạng nhân tử hóa của f trong Q(α)[x]
3 Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực Xác định 3 nghiệm thực đó
Câu II Viết ít nhất một thủ tục bằng Maple được chọn trong bảng các đề tài lập trình đã cho Nộp file mws chạy trong Maple 9.5
Câu III Soạn thảo văn bản ở trang 2 bằng LATEX Nộp file tex chạy trong MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[tcvn]{vietnam}
Câu IV Trình chiếu văn bản ở trang 2 bằng định dạng pdf Nộp file pdf
————————————————Hết———————————————— Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài
1
Trang 31 ĐA TẠP AFIN
Định lí 1 (Không điểm Hilbert, dạng 2) Cho mở rộng trường K ⊂ L và l đóng đại số Khi đó mọi iđêan J ⊂ K[x1, x2, , xn], ta có I(Z(J )) = √
J
Chứng minh Ta chứng minh rằng định lí trên tương đương với (7) Ta đa biết
√
J ⊂ I(Z(J )) Vớif ∈ I(Z(J ))vàf 6= 0 Xét iđêanJ1củaK[x1, x2, , xn, t]sinh ra bởiJ vàf t−1 Nếu có(a1, a2, , an, t) ∈ An+1L thuộc Z(J1)thì(a1, a2, , an) ∈ Z(J )
và do đó t0f (a1, a2, , an) − 1 = −1 Mặt khác, do (a1, a2, , an, t0) ∈ Z(J1) ta có
t0f (a1, a2, , an) − 1 = 0 Vô lí VậyZ(J1) = ∅ Suy ra J1 = (1) Tồn tại biểu diễn
1 = n X i=1
gifi+ (tf − 1)g,với fi ∈ J, g, gi ∈ K[x1, x2, , xn, t]
Xét ánh xạ
β : K[x1, x2, , xn, t] −→ K(x1, x2, , xn, t)
xi 7−→ xi
t 7−→ 1
f
Khi đó1 =
n
P
i=1
β(gi)fi Đặtβ(gi) = hi
f ni vớihi∈ K[x1, x2, , xn]vàr = max{n1, n2, , nm} Khi đó fr ∈ (f1, , fm) ⊂ J Vậy f ∈ √
J Ngược lại, từ (9), nều Z(J ) = 0 thì ta
có √J = I(∅) = K[x 1 , x 2 , , x n ] Suy ra J = K[x 1 , x 2 , , x n ] Vô lí
Định lí 2 (Không điểm Hilbert) Cho J ⊂ K[x 1 , x 2 , , x n ] là một iđêan và
f ∈ I(Z(J )) Khi đó tồn tại r ∈ N sao cho fr ∈ J
Mệnh đề 3
(i) Các ánh xạ I và Z đảo ngược thứ tự bao hàm
(ii) Với mọi Y1, Y2 ⊂ A n, ta có I(Y1∪ Y2) = I(Y1) ∩ I(Y2)
(iii) Cho J là một iđêan tùy ý của K[x1, , xn] Khi đó I(Z(J )) = √
J (iv) Cho Y ⊂ An Khi đó Z(I(Y )) = Y
2
Trang 4Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K16
ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - LATEX TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I Cho đa thức f = x3+ 5x2+ 2x − 5 ∈ Q[x]
1 Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy
2 Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực Xác định 3 nghiệm thực (gần đúng) đó
3 Gọi α là một nghiệm của f, hãy biểu diễn (α2− 1)−1 ∈ Q(α) như một đa thức theo α có bậc không quá 2
4 Phân tích f thành tích các nhân tử bậc nhất trong một trwongf mở rộng của Q
Sản phẩm nộp là file mws chạy trong Maple 9.5
Câu II Hãy đưa ra vài ứng dụng của Maple trong giảng dạy toán phổ thông và đại học Nêu các bình luận về việc sử dụng Maple trong nghiên cứu và giảng dạy
Câu III Soạn thảo văn bản sau (đề thi mẫu)1 bằng LATEX Nộp file tex chạy trong MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[utf8]{vietnam}
Câu IV Trình chiếu văn bản sau (đề thi mẫu) bằng định dạng pdf Nộp file pdf
———————————————Hết——————————————— Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài
1 Xem văn bản ở trang 4 - C.M.Q
3
Trang 5BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỀ THI MẪU Môn thi: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 120 phút
—————————————————————————————————————
Câu I Trên tập hợp G = [0, 1) = {x ∈ R|0 ≤ x < 1}, xét phép toán ⊕ định bởi
∀x, y ∈ G, x ⊕ y = x + y − [x + y] (ở đây [x + y] là phần nguyên của x + y)
Chứng minh:
1) (G,⊕) là một nhóm aben;
2) Ánh xạ f : G −→ C∗ định bởi f = cos(2πx) + isin(2πx), là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm nhân các số phức khác 0
Câu II Cho A và B là các iđêan của vành R Vành R được gọi là tổng trực tiếp của các iđêan A và B, kí hiệu R = A ⊕ B, nếu R = A + B và A ∩ B = {0} Chứng minh rằng:
1) R = A ⊕ B nếu và chỉ nếu mọi phần tử x ∈ R đều biểu thị duy nhất dưới dạng x = a + b trong đó a ∈ A, b ∈ B
2) Vành số nguyên Z chỉ có sự phân tích tầm thường, tức là nếu Z = A ⊕ B thì A = {0} hoặc B = {0}
Câu III Cho T là một phép biến đổi tuyến tính của khôg gian vec tơ V và
x ∈ V Chứng minh rằng nếu tồn tại số m nguyên dương sao cho Tm(x) = 0 và
Tm−1(x) 6= 0 thì hệ(x, T (x), , Tm−1(x)) độc lập tuyến tính
Câu IV Cho A ∈ M (n, K), với n ≥ 2, là một ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong trường K Kí hiệu A e là ma trận phụ hợp của A Chứng minh rằng:
1) Nếu A không suy biến thì A e không suy biến
2) Nếu rank(A) = n − 1 thì rank( e A) = 1
3) Nếu rank(A) ≤ n − 2 thì A = 0 e
Câu V Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường F Chứng minh rằng:
rank(A) − rank(A2) ≥ rank(A2) − rank(A3).
Hãy tổng quát hóa kết quả trên
———————————————————————————————–
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
4
Trang 6Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com
ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 15
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấp một
Câu II Giải các phương trình vi phân sau:
1 y0+ 2y = y2ex
2 y(x + y)dx + (xy + 1)dy = 0
Câu III Giải hệ phương trình vi phân sau bằng cách tìm hệ tích phân đầu đầy
đủ
y 0
1 = y1 x
y20 = y 1 +y2
x Câu IV Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân sau
y10 = 2y1− y2+ y3
y20 = y 1 + 2y 2 − y 3
y30 = y1− y2+ 2y3
——————————————————————————————
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài
Trang 7ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 16
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân thường
Câu II Giải các phương trình vi phân sau:
1 (1 − 2xy)y0= y(y − 1)
2 y0= 2(x+y−1y+2 )2
Câu III Giải hệ phương trình vi phân sau
x01 = −3x1+ 4x2− 2x3
x02 = x 1 + x 3
x03 = 6x1− 6x2+ 5x3 Câu IV Giải phương trình vi phân sau
y00− 2y0+ 5y = 2xex+ exsin2x.
——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài
Trang 8D - ˆ ` THI CH ´ E U . NG CHI’ CAO HO C, Kh´ oa 13 Chuyˆ en ng` anh TO ´ AN, Mˆ on thi : Gia’i tı ´ch ha `m
D - ˆ ` sˆ e o ´ : 01 Th` o.i gian l` am b` ai: 150 ph´ ut
Cˆau I Cho X, Y la` hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a (Aα)α∈I ⊂ L(X, Y ).
1 Ky´ hiˆe.u Cn = {x ∈ X| sup
α∈I
kAαxk < n}, n ∈ N Biˆe´t r˘a`ng sup
α∈I
kAαk = +∞.
Ch´u.ng minh r˘a`ng C◦n = ∅, v´ o.i mo.i n ∈ N.
2 Gia’ su.’ An ∈ L(X, Y ) la` mˆo.t da˜ y sao cho v´o.i mo.i x ∈ X ta co´ Anx → 0, n →
+∞ T`u d¯ˆay co´ suy ra d¯u.o. c kAnk → 0 khˆong? Ta.i sao?
Cˆ au II K´y hiˆe.u X = C[0,1] l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n c´ac h`am sˆo´ liˆen tu.c trˆen
[0, 1] v´o.i chuˆa’n “max”
1 Ky´ hiˆe.u P la` tˆa.p tˆa´t ca’ ca´ c d¯a th´u.c p(x) xa´ c d¯i.nh trˆen [0, 1] co´ bˆa.c ≤ n.
Ch´u.ng minh r˘a`ng P la` mˆo.t tˆa.p d¯´ong trong C[0,1].
2 X´et to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh A : X → X x´ac d¯i.nh bo’ i cˆ. ong th´u.c
x → Ax, (Ax)(t) =
Z t 0
x(τ )dτ, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C[0,1].
Ch´u.ng minh A l`a mˆo.t to´an tu’ compact va. ` ∀α ∈ (0, 1) th`ı I + αA l`a mˆo.t ph´ep
d¯ˆ`ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh t`u X lˆ en X (I l`a ´anh xa d¯ˆo`ng nhˆa´t) To´an tu.’ I + A c´o pha’i l`a to´an tu.’ compact khˆong?
Cˆau III Cho X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n
1 Ch´u.ng minh r˘a`ng phˆa` n trong cu’a hı`nh cˆ` u d¯oa ´ ng B0(x0, r) la` hı`nh cˆ` u mo.a ’
B(x0, r).
2 Cho f ∈ X∗, N = Ker f va ` x ∈ X \ N Gia’ su.’ tˆ`n ta.i y ∈ N sao cho d(x, N) =o
kx − yk Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo` n ta.i x0 ∈ X, kx0k = 1 sao cho kf k = |f (x0)|.
Cˆau IV Cho H l`a khˆong gian Hilbert trˆen tru.`o.ng K va ` A ∈ L(H).
1 Ch´u.ng minh r˘a`ng A la` mˆo.t toa´n tu.’ compact khi va` chı’ khi, v´o.i mo.i (xn)n ⊂
H, (yn)n ⊂ H, nˆ e´u xn → x vaw ` yn → y thı` hAxw n, yni → hAx, yi khi n → +∞.
2 Gia’ su.’ A = A∗ va` λ ∈ K khˆong pha’i la` mˆo.t gia´ tri riˆeng cu’a A Ch´u.ng minh r˘a`ng R(A − λI) tru` mˆa.t kh˘a´p no.i trong H.
3 Cu˜ ng gia’ su.’ r˘a`ng A = A∗ va` thˆem Am la` mˆo.t toa´ n tu.’ compact v´o.i m la` mˆo.t
sˆo´ nguyˆen du.o.ng na`o d¯o´ Ch´u.ng minh r˘a`ng A cu˜ ng la` mˆo.t toa´n tu.’ compact
————————————————————————————–
Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su.’ du.ng t`ai liˆe.u d¯ˆe’ l`am b`ai nhu.ng khˆong d¯u.o c trao d¯ˆo’i, tha’o luˆa.n v´o.i nhau
22
www.mathvn.com
Trang 9D ` THI CH ´ E U NG CHI’ CAO HO C Chuyˆ en ng` anh TO ´ AN, K.14 Mˆ on thi : GIA ’ I T´ICH H ` AM
D - ˆ ` sˆ e o ´ : 1 Th` o.i gian l` am b` ai: 150 ph´ ut
Cˆ au I Ky´ hiˆe.u X = C [0,2] la` khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n ca´ c ha`m liˆen tu.c trˆen d¯oa.n
[0, 2] v´o.i chuˆa’n “max”
1 D- ˘a.t f : X → R xa´c d¯i.nh bo.’i cˆong th´u.c f(x) =
Z 1 0
x(t)dt −
Z 2 1
x(t)dt Ch´u.ng
minh r˘a`ng f ∈ X∗ va` ha˜ y tı´nh kf k.
2 Xe´ t toa´ n tu.’ A ∈ L(X) xa´ c d¯i.nh bo’ i X 3 x → Ax, trong d¯o. ´ (Ax)(t) =
Z t
0
x(τ )dτ + tx(1), v´ o.i mo.i t ∈ [0, 2] Ch´u ng minh A la` mˆo.t toa´n tu.’ compact.
D- ˘a.t v = I − A v´o.i I = id X la` toa´ n tu.’ d¯ˆ` ng nhˆo a´t Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u E la` tˆa.p compact trong X thı` v−1(E) ∩ B X0 (0, 1) la` tˆa.p compact trong X.
Cˆ au II V´o.i p ≥ 1, k´y hiˆe.u ` p l`a khˆong gian Banach ca´ c da˜ y (x n)n ⊂ K sao cho
∞
X
n=1
|x n|p < +∞ Ky´ hiˆe.u e i = (0, , 0, 1
(i) , 0, ) ∈ ` p , i = 1, 2,
1 Kiˆe’m tra r˘a`ng {e n | n = 1, 2, } la` mˆo.t co so.’ Schauder cu’a khˆong gian ` p
2 Gia’ su.’ (c n)n la` mˆo.t da˜y sˆo´ du.o.ng Ky´ hiˆe.u Π = {x = (x n)n ∈ ` p | |x n| ≤
c n , n = 1, 2, } Ch´u.ng minh r˘a`ng Π la` tˆa.p compact khi va` chı’ khi
∞ X
n=1
c p n < +∞.
Cˆ au III Ky´ hiˆe.u H l`a mˆo.t khˆong gian Hilbert.
1 Gia’ su.’ (A n)n ⊂ L(H) la` mˆo.t da˜y tho’a d¯iˆe` u kiˆe.n
∀x, y ∈ H : sup
n∈N
|hA n x, yi| < +∞.
Ch´u.ng minh sup
n∈N
kA n k < +∞
2 Cho a ∈ H, a 6= 0 va` d¯˘a.t A = h{a}i⊥ Ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i x ∈ H, ta co´
d(x, A) := inf
u∈A
{kx − uk} = |hx, ai|
kak .
3 Cho A ∈ L(H) Ch´u.ng minh (ImA)⊥ = KerA∗.
4 Bˆay gi`o ta gia’ thiˆe´t A ∈ L(H) sao cho A∗A la` toa´ n tu.’ compact Ch´u.ng minh r˘a`ng A cu˜ng la` toa´ n tu.’ compact
————————————————————————————–
Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su.’ du.ng t`ai liˆe.u d¯ˆe’ l`am b`ai nhu.ng khˆong d¯u.o c trao
d¯ˆo’i, tha’o luˆa.n v´o.i nhau
23
Trang 10D - ˆ ` THI CH ´ E U . NG CHI’ CAO HO C
Ca ´ c chuyˆ en ng` anh TO ´ AN, K.15 Mˆ on thi : GIA ’ I T´ICH H ` AM
D - ˆ ` sˆ e o ´ : 1 Th` o.i gian l` am b` ai: 150 ph´ ut
Cˆau I Cho (X, k · k) la` mˆ o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen tru.`o.ng K.
1 Ch´ u.ng minh r˘ a`ng X la` mˆo.t khˆong gian Banach khi va` chı’ khi mo.i da˜y (yn )n ⊂ X
thoa’ d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n kyn k ≤ 2−n thı` chuˆ o ˜i
∞
P
n=1
yn hˆ o.i tu
2 Gia’ su.’ (X, k · k) la` khˆ ong gian Banach va ` k · k 1 la ` mˆ o.t chuˆa’n kha ´c trˆen X sao cho (X, k · k1 ) cu ˜ ng la ` Banach va ` 2 chuˆa’n k · k, k · k1 khˆ ong tu.o.ng d ¯u.o.ng v´ o.i nhau Ch´ u.ng minh r˘ a `ng a ´nh xa d¯ˆo ` ng nhˆa´t id: (X, k · k) → (X, k · k1 ) khˆ ong liˆ en tu.c.
Cˆ au II K´y hiˆe.u X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` (xn ) n la ` mˆo.t da˜y trong X.
1. Cho xn → x va ` (fn ) n ⊂ X∗ sao cho fn
w
→ f khi n → ∞ Ch´u.ng minh r˘ a `ng
fn(xn) → f (x) khi n → ∞.
2 Gia’ su.’ f (xn) → 0, (n → ∞) v´ o.i mo.i f ∈ M trong d¯o ´ M ⊂ X∗ va `
◦
M 6= ∅ Ch´u.ng minh r˘ a`ng xn
w
→ 0.
Cˆ au III Gia’ su.’ {en | n ∈ N} la` mˆ o.t co so.’ Schauder cu’a khˆong gian Banach (X, k · k).
V´o.i mo.i x ∈ X ta co´ biˆ e’u diˆ˜n x =e
∞
P
i=1
ηiei.
1 D- ˘a.t kxk1 = sup
n∈N
k
n
P
i=1
ηieik Ch´u.ng minh r˘ a `ng k · k 1 la ` mˆo.t chuˆa’n trˆen X va` chuˆa’n
na `y tu.o.ng d ¯u.o.ng v´ o.i chuˆa’n k · k.
2 Ky ´ hiˆe.u Pn : (X, k·k) → (X, k·k) la` a ´nh xa xa ´c d ¯i.nh bo’ i P. nx = Pn (
∞
P
i=1
ηiei ) =
n
P
i=1
ηiei.
Ch´ u.ng minh r˘ a`ng Pn∈ L(X).
Cˆau IV Cho H l`a khˆ ong gian Hilbert trˆ en tru.`o.ng K.
1 Gia’ su.’ U, V, W la` 3 khˆ ong gian con d ¯o´ng trong H va` chu ´ng tru. c giao v´o.i nhau t` u.ng
d ¯ˆ oi mˆ o.t Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo’ng U + V + W cu˜ng la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ng trong H.
2 Cho A ∈ L(H) Ch´u.ng minh r˘ a`ng (ImA∗
)⊥ = KerA.
Cˆau V Cho X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` A ∈ L(X).
1 Gia’ su.’ e1, e2 la ` 2 vecto riˆ eng ´ u.ng v´ o.i 2 gia ´ tri riˆeng kha´c nhau cu’a A Ch´u.ng minh
{e1, e2 } la ` d ¯ˆ o.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh.
2 Bˆ ay gi`o cho A la` toa ´n tu ’ compact va` λ 6= 0 la` mˆ o.t sˆo´ Gia’ su. inf
x∈X, kxk=1{kAx−λxk} =
0 Ch´u.ng minh r˘ a`ng λ la` mˆ o.t gia´ tri riˆeng cu’a A.
————————————————————————————–
Ghi ch´ u: Ho.c viˆen d¯u.o c ph´ep su.’ du.ng t`ai liˆe.u d¯ˆe’ l`am b`ai nhu.ng khˆong d¯u.o c trao d¯ˆo’i, tha’o luˆ a.n v´o i nhau.
24
www.mathvn.com
Trang 11ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC GIẢI TÍCH TRÊN ĐA TẠP - KHÓA 16
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I
1 ChoAlà một tập mở trongRn sao cho biênb(A)là một đa tạp(n−1)−chiều Chứng minh rằng N = A ∪ b(A)là một đa tạp n−chiều với bờ Hãy cho một
ví dụ trong đó bờ ∂N không trùng với biên b(A)
2 Cho c là một hình lập phương kì dị k−chiều và p : [0, 1]k −→ [0, 1] k là một ánh xạ 1 − 1 sao cho p([0, 1]k) = [0, 1]k và det p0(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [0, 1]k Chứng minh rằng đối với mọi k−dạng ω ta có
Z c
ω = Z c◦p ω
Câu II ChoM là một đa tạp 3−chiều compact, định hướng với bờ trong R3 và
α, β, γ : M −→ Rlà các hàm khả vi liên tục trên M Chứng minh rằng
Z
M
(∂α
∂x +
∂β
∂y +
∂γ
∂z)dx ∧ dy ∧ dz =
Z
∂M αdy ∧ dz + βdz ∧ dx + γdx ∧ dy.
Câu III Cho M là một đa tạp k−chiều với định hướng µ trong Rn Với mỗi
x ∈ M, kí hiệu ω(x) ∈ Λk(Mx) là phần tử thể tích trên Mx xác định bởi định hướng µx và tích vô hướng chính tắc Tx, tức là ω(x)(v1, , vk) = 1 với bất kì cơ
sở trực chuẩn v1, , vk của Mx sao cho [v1, , vk] = µx Khi đó k−dạng vi phân ω tương ứng được gọi là phần tử thể tích trênM và kí hiệu là dV
1 Chứng minh rằng nếuM là một đa tạp n−chiều trongRn mang định hướng chuẩn tắc thì dV = dx1∧ dx 2 ∧ ∧ dx n
2 Cho M là một đa tạp compact, định hướng hai chiều trong R3 và n(x) = (n1(x), n2(x), n3(x)) là mục tiêu pháp tuyến ngoài tại x ∈ M Chứng minh rằng dV = n1dy ∧ dz + n2dz ∧ dx + n3dx ∧ dy
——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài