GII TÊCH MẢNG Trang 42 CHỈÅNG 4 CẠC MA TRÁÛN MẢNG V PHẢM VI ỈÏNG DỦNG 4.1. GIÅÏI THIÃÛU: Sỉû trçnh by r rng chênh xạc ph håüp våïi mä hçnh toạn hc l bỉåïc âáưu tiãn trong gii têch mảng âiãûn. Mä hçnh phi diãùn t âỉåüc âàûc âiãøm ca cạc thnh pháưn mảng âiãûn riãng biãût nhỉ mäúi liãn hãû chi phäúi giỉỵa cạc thnh pháưn trong mảng. Phỉång trçnh ma tráûn mảng cung cáúp cho mä hçnh toạn hc nhỉỵng thûn låüi trong viãûc gii bàòng mạy tênh säú. Cạc thnh pháưn ca ma tráûn mảng phủ thüc vo viãûc chn cạc biãún mäüt cạch âäüc láûp, cọ thãø l dng hồûc ạp. Vç l âọ, cạc thnh pháưn ca ma tráûn mảng s l täøng tråí hay täøng dáùn. Âàûc âiãøm riãng ca cạc th nh pháưn mảng âiãûn cọ thãø âỉåüc trçnh by thûn låüi trong hçnh thỉïc hãû thäúng ma tráûn gäúc. Ma tráûn diãùn t âỉåüc âàûc âiãøm tỉång ỉïng ca mäùi thnh pháưn, khäng cung cáúp nhiãưu thäng tin liãn quan âãún kãút näúi mảng âiãûn. Nọ l cáưn thiãút, vç váûy biãún âäøi hãû thäúng ma tráûn gäúc thnh ma tráûn mảng l diãùn t âỉåüc cạc âàûc tênh quan hãû trong lỉåïi âiãûn. Hçnh thỉïc ca ma tráûn mảng âỉåüc dng trong phỉång trçnh âàûc tênh phủ thüc vo cáúu trục lm chøn l nụt hay vng. Trong cáúu trục nụt lm chøn biãún âỉåüc chn l nụt ạp v nụt dng. Trong cáúu trục vng lm chøn biãún âỉåü c chn l vng âiãûn ạp v vng dng âiãûn. Sỉû tảo nãn ma tráûn mảng thêch håüp l pháưn viãûc tênh toạn ca chỉång trçnh mạy tênh säú cho viãûc gii bi toạn hãû thäúng âiãûn. 4.2. GRAPHS. Âãø diãùn t cáúu trục hçnh hc ca mảng âiãûn ta cọ thãø thay thãú cạc thnh pháưn ca mảng âiãûn bàòng cạc âoản âỉåìng thàóng âån khäng kãø âàûc âiãøm ca cạc thnh pháưn. Âỉåìng thàóng phán âoản âỉåüc gi l nhạnh v pháưn cúi ca chụng âỉåüc gi l nụt. Nụt v nhạnh näúi liãưn våïi nhau nãúu nụt l pháưn cúi ca mäùi nhạnh. Nụt cọ thãø âỉåüc näúi våïi mäüt hay nhiãưu nhạnh. Graph cho tháúy quan hãû hçnh hc näúi liãưn giỉỵa cạc nhạnh ca mảng âiãûn. Táûp håüp con ca cạc graph l cạc nhạnh. Graph âỉåüc gi l liãn thäng nãúu v chè nãúu cọ âỉåìng näúi giỉỵa mäùi càûp âiãøm våïi nhau. Mäùi nhạnh ca graph liãn thäng âỉåüc áún âënh hỉåïng thç nọ s âënh theo mäüt hỉåïng nháút âënh. Sỉû biãøu diãùn ca hãû thäúng âiãûn v hỉåïng tỉång ỉïng ca graph trçnh by trong hçnh 4.1. Cáy l mäüt graph liãn thäng chỉïa táút c cạc nụt ca graph nhỉng khäng tảo thnh mäüt vng kên. Cạc thnh pháưn ca cáy âỉåüc gi l nhạnh cáy nọ l táûp håüp con cạc nhạnh ca graph liãn thäng â chn trỉåïc. Säú nhạnh cáy b qui âënh cho mäùi cáy l: b = n - 1 (4.1) Våïi: n l säú nụt ca graph GIAI TấCH MANG Trang 43 Nhaùnh cuớa graph lión thọng khọng chổùa trong cỏy õổồỹc goỹi laỡ nhaùnh buỡ cỏy, tỏỷp hồỹp caùc nhaùnh naỡy khọng nhỏỳt thióỳt phaới lión thọng vồùi nhau õổồỹc goỹi laỡ buỡ cỏy. Buỡ cỏy laỡ phỏửn buỡ cuớa cỏy. Sọỳ nhaùnh buỡ cỏy l cuớa graph lión thọng coù e nhaùnh laỡ: l = e - b Tổỡ phổồng trỗnh (4.1) ta coù l = e - n + 1 (4.2) Cỏy vaỡ buỡ cỏy tổồng ổùng cuớa graph cho trong hỗnh 4.1c õổồỹc trỗnh baỡy trong hỗnh 4.2 Nóỳu nhaùnh buỡ cỏy õổồỹc cọỹng thóm vaỡo cỏy thỗ kóỳt quaớ graph bao gọửm mọỹt õổồỡng kờn õổồỹc goỹi laỡ voỡng. Mọựi nhaùnh buỡ cỏy õổồỹc cọỹng thóm vaỡo seợ taỷo thaỡnh mọỹt hay nhióửu voỡng. Voỡng chố gọửm coù mọỹt nhaùnh buỡ cỏy õọỹc lỏỷp thỗ goỹi laỡ voỡng cồ baớn. Bồới vỏỷy, sọỳ G G G (a) 3 4 (b) 6 4 3 2 1 5 7 (c) Hỗnh 4.1 : Mọ taớ hóỷ thọỳng õióỷn. (a) Sồ õọử mọỹt pha. (b) Sồ õọử thổù tổỷ thuỏỷn. (c) Graph õởnh hổồùng. 2 1 0 3 4 2 1 0 64 3 2 1 5 7 Hỗnh 4.2 : Cỏy vaỡ buỡ cỏy cuớa graph lión thọng õởnh hổồùng Nhaùnh cỏy Nhaùnh buỡ cỏy e = 7 n = 5 b = 4 l = 3 4 1 2 3 0 GIAI TấCH MANG Trang 44 voỡng cồ baớn õuùng bũng sọỳ nhaùnh buỡ cỏy cho trong phổồng trỗnh (4.2). Sổỷ õởnh hổồùng cuớa voỡng cồ baớn õổồỹc choỹn giọỳng nhổ chióửu cuớa nhaùnh buỡ cỏy. Voỡng cồ baớn cuớa graph cho trong hỗnh 4.2 õổồỹc trỗnh baỡy trong hỗnh 4.3. Vóỳt cừt laỡ tỏỷp hồỹp cuớa caùc nhaùnh, nóỳu boớ õi hoỷc chia graph lión thọng thaỡnh hai graph con lión thọng. Nhoùm vóỳt cừt coù thóứ choỹn õọỹc lỏỷp duy nhỏỳt nóỳu mọựi vóỳt cừt chố bao gọửm mọỹt nhaùnh cỏy. Vóỳt cừt õọỹc lỏỷp nhổ vỏỷy goỹi laỡ vóỳt cừt cồ baớn. Sọỳ vóỳt cừt cồ baớn õuùng bũng sọỳ nhaùnh cỏy. Sổỷ õởnh hổồùng cuớa vóỳt cừt cồ baớn õổồỹc choỹn giọỳng nhổ hổồùng cuớa nhaùnh cỏy. Vóỳt cừt cồ baớn cuớa graph cho trong hỗnh 4.2 õổồỹc trỗnh baỡy trong hỗnh 4.4 4.3. MA TRN THM VAèO. 4.3.1. Ma trỏỷn thóm vaỡo nhaùnh - nuùt . Sổỷ lión hóỷ giổợa nhaùnh vaỡ nuùt trong graph lión thọng trỗnh baỡy bồới ma trỏỷn thóm vaỡo nhaùnh nuùt. Caùc thaỡnh phỏửn cuớa ma trỏỷn õổồỹc trỗnh baỡy nhổ sau: a ởj = 1 : Nóỳu nhaùnh thổù i vaỡ nuùt thổù j coù chióửu hổồùng tổỡ nhaùnh i vaỡo nuùt j a ởj = -1: Nóỳu nhaùnh thổù i vaỡ nuùt thổù j coù chióửu hổồùng tổỡ nhaùnh i ra khoới nuùt j a ởj = 0 : Nóỳu nhaùnh thổù i vaỡ nuùt thổù j khọng coù mọỳi lión hóỷ vồùi nhau. Kờch thổồùc cuớa ma trỏỷn laỡ e x n, vồùi e laỡ sọỳ nhaùnh vaỡ n laỡ sọỳ nuùt cuớa graph. Ma trỏỷn thóm vaỡo nhaùnh nuùt cho trong graph hỗnh 4.2 trỗnh baỡy nhổ trón. Vồùi: 7 6 4 3 2 1 5 Hỗnh 4.3 : Voỡng cồ baớn õởnh hổồùng theo graph lión thọng F GE 4 0 31 2 7 6 4 3 2 1 5 Hỗnh 4.4 : Vóỳt cừt cồ baớn õởnh hổồùng theo graph lión thọng B D C A 0 1 4 2 3 GII TÊCH MẢNG Trang 45 eia j ji .,2,10 4 0 == ∑ = Cạc cäüt ca ma tráûn Á l phủ thüc tuún tênh. Vç váûy hảng ca Á < n. 4.3.2. Ma tráûn thãm vo nụt A. Cạc nụt ca graph liãn thäng cọ thãø chn lm nụt qui chiãúu. Nụt qui chiãúu cọ thãø thay âäøi, nọ âỉåüc xem nhỉ mäüt nụt trong graph cọ thãø cán nhàõc khi áún âënh củ thãø mäüt nụt no âọ lm nụt qui chiãúu. Ma tráûn thu âỉåüc tỉì ma tráûn Á b âi cäüt tỉång ỉïng våïi nụt chn lm nụt qui chiãúu l ma tráûn nhạnh - nụt A, nọ s âỉåüc gi l ma tráûn nụt. Kêch thỉåïc ca ma tráûn l e x (n-1) v hảng l n-1 = b. Våïi: b l säú nhạnh cáy ca graph. Chn nụt 0 lm nụt qui chiãúu thãø hiãûn trãn graph trong hçnh 4.2. Ma tráûn A l hçnh chỉỵ nháût v l duy nháút. Nãúu hng ca A sàõp xãúp theo mäüt cáy riãng biãût thç ma tráûn trãn cọ thãø phán chia thnh cạc ma tráûn con A b cọ kêch thỉåïc b x (n-1) v A t cọ kêch thỉåïc l l x (n-1). Säú hng ca ma tráûn A b tỉång ỉïng våïi säú nhạnh cáy v säú hng ca ma tráûn A t tỉång ỉïng våïi säú nhạnh b cáy. Ma tráûn phán chia ca graph trãn hçnh 4.2 âỉåüc trçnh by nhỉ sau: Â = 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -11 -11 1 -1 1 2 3 4 5 6 7 e n 4 0 1 2 3 nụt 1 2 3 4 5 6 7 e A = -1 -1 -1 -1 1 -11 -1 1 1 -1 4 1 2 3 GIAI TấCH MANG Trang 46 A b laỡ ma trỏỷn vuọng khọng duy nhỏỳt vồùi haỷng (n -1). 4.3.3. Ma trỏỷn hổồùng õổồỡng - nhaùnh cỏy K: Hổồùng cuớa caùc nhaùnh cỏy õóỳn caùc õổồỡng trong 1 cỏy õổồỹc trỗnh baỡy bũng ma trỏỷn hổồùng õổồỡng - nhaùnh cỏy. Vồùi 1 õổồỡng õổồỹc õởnh hổồùng tổỡ 1 nuùt qui chióỳu. Caùc phỏửn tổớ cuớa ma trỏỷn naỡy laỡ: k ij = 1: Nóỳu nhaùnh cỏy i nũm trong õổồỡng tổỡ nuùt j õóỳn nuùt qui chióỳu vaỡ õổồỹc õởnh hổồùng cuỡng hổồùng. k ij = -1: Nóỳu nhaùnh cỏy i nũm trong õổồỡng tổỡ nuùt j õóỳn nuùt qui chióỳu nhổng õổồỹc õởnh hổồùng ngổồỹc hổồùng. k ij = 0: Nóỳu nhaùnh cỏy i khọng nũm trong õổồỡng tổỡ nuùt j õóỳn nuùt qui chióỳu. Vồùi nuùt 0 laỡ nuùt qui chióỳu ma trỏỷn hổồùng õổồỡng - nhaùnh cỏy lión kóỳt vồùi cỏy õổồỹc trỗnh baỡy ồớ hỗnh 4.2 coù daỷng dổồùi õỏy. ỏy laỡ ma trỏỷn vuọng khọng duy nhỏỳt vồùi cỏỳp laỡ (n-1). Ma trỏỷn hổồùng - õổồỡng nhaùnh cỏy lión hóỷ nhaùnh cỏy vồùi caùc õổồỡng nhaùnh cỏy nọỳi õóỳn nuùt qui chióỳu vaỡ ma trỏỷn A b lión kóỳt caùc nhaùnh cỏy vồùi caùc nuùt. Vỗ vỏỷy coù tố lóỷ tổồng ổùng 1:1 giổợa caùc õổồỡng vaỡ caùc nuùt. A b .K t = 1 (4.3) Do õoù: K t = A b -1 (4.4) 4.3.4. Ma trỏỷn vóỳt cừt cồ baớn B. Lión hóỷ giổợa nhaùnh vồùi vóỳt cừt cồ baớn cuớa graph lión thọng õổồỹc thóứ hióỷn trong ma trỏỷn vóỳt cừt cồ baớn B. Caùc thaỡnh phỏửn cuớa ma trỏỷn laỡ. nuù t nuù t 1 2 3 4 5 6 7 e A = -1 -1 -1 -1 1 -11 -1 1 1 -1 e = A t Caùc nuùt A b Nhaùnh cỏy Nhaùnh buỡ cỏy 41 2 3 õổồỡn g 1 2 3 4 Nhaùnh cỏy K = -1 -1 -1 -1 -1 4 1 2 3 GIAI TấCH MANG Trang 47 b ởj = 1 : Nóỳu nhaùnh thổù i vaỡ hổồùng cuỡng chióửu vồùi vóỳt cừt cồ baớn thổù j b ởj = -1 : Nóỳu nhaùnh thổù i vaỡ hổồùng ngổồỹc chióửu vồùi vóỳt cừt cồ baớn thổù j b ởj = 0 : Nóỳu nhaùnh thổù i khọng lión quan vồùi vóỳt cừt thổù j Ma trỏỷn vóỳt cừt cồ baớn coù kờch thổồùc laỡ e x b cuớa graph cho trón hỗnh 4.4 laỡ: Ma trỏỷn B coù thóứ phỏn chia thaỡnh caùc ma trỏỷn con U b vaỡ B t . Sọỳ haỡng cuớa ma trỏỷn U b tổồng ổùng vồùi sọỳ nhaùnh cỏy vaỡ sọỳ haỡng cuớa ma trỏỷn B t tổồng ổùng vồùi sọỳ nhaùnh buỡ cỏy. Ma trỏỷn phỏn chia õổồỹc bióứu dióựn nhổ sau: Ma trỏỷn õồn vở U b cho ta thỏỳy quan hóỷ tổồng ổùng cuớa mọỹt nhaùnh cỏy vồùi mọỹt vóỳt cừt cồ baớn Ma trỏỷn con B t coù thóứ thu õổồỹc tổỡ ma trỏỷn nuùt A. Lión hóỷ giổợa nhaùnh buỡ cỏy vồùi nuùt cho thỏỳy bồới ma trỏỷn con A t vaỡ giổợa nhaùnh cỏy vồùi nuùt laỡ ma trỏỷn con A b . Tổỡ õỏy 1 2 3 4 5 6 7 e A B C D B = 1 1 1 1 1 1-1 11 11 b Vóỳt cừt cồ baớn b 1 2 3 4 5 6 7 e A B C D B = 1 1 1 1 1 1-1 1-1 11 b e = B t Vóỳt cừt cồ baớn U b Nhaùnh cỏy Nhaùnh buỡ cỏy Vóỳt cừt cồ baớn GII TÊCH MẢNG Trang 48 tỉång ỉïng quan hãû ca mäüt nhạnh cáy våïi mäüt vãút càõt cå bn, B t .A b cho tháúy quan hãû giỉỵa cạc nhạnh b cáy våïi cạc nụt nhỉ sau: B t .A b = A t Vç váûy B t = A t .A b -1 Theo phỉång trçnh (4.4) ta cọ A b -1 = K t Vç váûy ta cọ B t = A t .K t (4.5) 4.3.5. Ma tráûn vãút càõt tàng thãm B ˆ . Vãút càõt gi thiãút âỉåüc gi l vãút càõt rng büc cọ thãø âỉa vo sau tỉìng bỉåïc âãø säú vãút càõt âụng bàòng säú nhạnh. Mäùi vãút càõt rng büc chè gäưm mäüt nhạnh b cáy ca graph liãn thäng. Vãút càõt rng büc ca graph cho trãn hçnh 4.4 âỉåüc trçnh by trong hçnh 4.5. Ma tráûn vãút càõt tàng thãm cọ hçnh thỉïc biãøu diãùn nhỉ ma tráûn vãút càõt cå bn cäüng thãm säú cäüt ca vãút càõt rng büc. Vãút càõt rng büc âỉåüc âënh hỉåïng phủ thüc vo hỉåïng ca nhạnh b cáy. Ma tráûn vãút càõt tàng thãm ca graph trçnh by trãn hçnh 4.5 l ma tráûn B ˆ nhỉ sau: 7 Vãút càõt rng büc G 6 4 3 2 1 5 Hçnh 4.5 : Vãút càõt cå bn v rng büc âënh hỉåïng theo graph liãn thäng B D C A Vãút càõt cå bn F E 4 1 2 3 0 =B ˆ 1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 e e A B C D EF G Vãút càõt cå bnVãút càõt gi tảo GIAI TấCH MANG Trang 49 B : Laỡ ma trỏỷn vuọng coù kờch thổồùc e x e vaỡ khọng duy nhỏỳt. Ma trỏỷn B coù thóứ phỏn chia nhổ sau: 4.3.6. Ma trỏỷn thóm vaỡo voỡng cồ baớn C. Taùc õọỹng cuớa nhaùnh cỏy vồùi voỡng cồ baớn cuớa graph lión thọng thóứ hióỷn bồới ma trỏỷn voỡng cồ baớn. Thaỡnh phỏửn cuớa ma trỏỷn laỡ: c ởj = 1 : Nóỳu nhaùnh cỏy thổù i vaỡ hổồùng cuỡng chióửu vồùi voỡng cồ baớn thổù j c ởj = -1: Nóỳu nhaùnh cỏy thổù i vaỡ hổồùng ngổồỹc chióửu vồùi voỡng cồ baớn thổù j c ởj = 0 : Nóỳu nhaùnh cỏy thổù i khọng lión quan vồùi voỡng cồ baớn thổù j Ma trỏỷn voỡng cồ baớn coù kờch thổồùc e x l theo graph cho trón hỗnh 4.3 nhổ sau: Ma trỏỷn C coù thóứ phỏn chia thaỡnh caùc ma trỏỷn con C b vaỡ U t . Sọỳ haỡng cuớa ma trỏỷn C b tổồng ổùng vồùi sọỳ nhaùnh cỏy vaỡ sọỳ haỡng cuớa ma trỏỷn U t tổồng ổùng vồùi sọỳ nhaùnh buỡ cỏy. Ma trỏỷn phỏn chia nhổ sau: 1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 e e A B C D =B EF G Vóỳt cừt cồ baớnVóỳt cừt giaớ taỷo e 0 U t U b B t Nhaùnh cỏy Nhaùnh buỡ cỏy e = Vóỳt cừt cồ baớn Vóỳt cừt giaớ taỷo l 1 2 3 4 5 6 7 e E F G C = 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 Voỡng cồ baớn GIAI TấCH MANG Trang 50 Ma trỏỷn õồn vở U t cho thỏỳy mọỹt nhaùnh buỡ cỏy tổồng ổùng vồùi mọỹt voỡng cồ baớn. 4.3.6. Ma trỏỷn sọỳ voỡng tng thóm C . Sọỳ voỡng cồ baớn trong graph lión thọng bũng sọỳ nhaùnh buỡ cỏy. óứ coù tọứng sọỳ voỡng bũng sọỳ nhaùnh, thóm vaỡo (e-l) voỡng, tổồng ổùng vồùi b nhaùnh cỏy, goỹi laỡ voỡng hồớ. Voỡng hồớ õổồỹc veợ bón caùc nuùt nọỳi bồới nhaùnh cỏy. Voỡng hồớ cuớa graph cho trón hỗnh 4.3 õổồỹc trỗnh baỡy trong hỗnh 4.6. Hổồùng cuớa voỡng hồớ õổồỹc xaùc õởnh theo nhổ hổồùng cuớa nhaùnh cỏy. Ma trỏỷn voỡng tng thóm coù hỗnh thổùc nũm bón caỷnh ma trỏỷn voỡng cồ baớn, caùc cọỹt cuớa noù bióứu dióựn mọỳi quan hóỷ giổợa caùc nhaùnh vồùi voỡng hồớ. Ma trỏỷn cuớa graph trỗnh baỡy trong hỗnh 4.6 õổồỹc bióứu dióựn dổồùi õỏy. C : Laỡ ma trỏỷn vuọng, kờch thổồùc e x e vaỡ khọng duy nhỏỳt. l 1 2 3 4 5 6 7 e E F G C = 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 Voỡng cồ baớn l Nhaùnh cỏy Nhaùnh buỡ cỏy e = C b U t Voỡng cồ baớn 7 6 4 3 2 1 5 Hỗnh 4.6 : Voỡng cồ baớn vaỡ voỡng hồớ õởnh hổồùng theo graph lión thọng F GE A C D B Voỡng cồ baớn Voỡng hồớ 4 1 2 0 3 GIAI TấCH MANG Trang 51 Ma trỏỷn C coù thóứ phỏn chia nhổ sau: 4.4. MANG IN GC. Thaỡnh phỏửn cuớa maỷng õióỷn laỡ tọứng trồớ vaỡ tọứng dỏựn õổồỹc trỗnh baỡy trong hỗnh 4.7. ỷc tờnh cuớa caùc thaỡnh phỏửn coù thóứ bióứu dióựn trong mọựi cọng thổùc. Bióỳn vaỡ tham sọỳ laỡ: v pq : Laỡ hióỷu õióỷn thóỳ cuớa nhaùnh p-q e pq : Laỡ nguọửn aùp mừc nọỳi tióỳp vồùi nhaùnh p-q i pq : Laỡ doỡng õióỷn chaỷy trong nhaùnh p-q j pq : Laỡ nguọửn doỡng mừc song song vồùi nhaùnh p-q z pq : Laỡ tọứng trồớ rióng cuớa nhaùnh p-q y pq : Laỡ tọứng dỏựn rióng cuớa nhaùnh p-q Mọựi mọỹt nhaùnh coù hai bióỳn v pq vaỡ i pq . Trong traỷng thaùi ọứn õởnh caùc bióỳn vaỡ tham sọỳ cuớa nhaùnh z pq vaỡ y pq laỡ mọỹt sọỳ thổỷc õọỳi vồùi doỡng õióỷn mọỹt chióửu vaỡ laỡ mọỹt sọỳ phổùc õọỳi vồùi doỡng õióỷn xoay chióửu. 1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 e e A B C D =C EF G Voỡn g hồớ Voỡng cồ baớn 1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 e e A B C D =C EF G Voỡng hồớ Voỡng cồ baớn = e C b U t U b 0 Nhaùnh cỏy Nhaùnh buỡ cỏy e Voỡng hồớ Voỡng cồ baớn