GIAI TấCH MANG CHặNG GIAI PHặNG TRầNH VI PHN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ 2.1 GIÅÏI THIÃÛU Nhiãưu hãû thäúng vỏỷt lyù phổùc taỷp õổồỹc bióứu dióựn bồới phổồng trỗnh vi phán khäng cọ thãø gii chênh xạc bàịng gii têch Trong k thût, ngỉåìi ta thỉåìng sỉí dủng cạc giạ trë thu âỉåüc bàịng viãûc gii gáưn âụng cuớa caùc hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn bồới phổồng phaùp sọỳ hoùa Theo caùch õoù, lồỡi giaới cuớa phổồng trỗnh vi phán âụng l mäüt giai âoản quan trng gii têch säú Trong trỉåìng håüp täøng quạt, thỉï tỉû cuớa vióỷc laỡm tờch phỏn sọỳ laỡ quaù trỗnh tổỡng bỉåïc chênh xạc chøi giạ trë cho mäùi biãún phủ thüc tỉång ỉïng våïi mäüt giạ trë ca biãún âäüc láûp Thỉåìng th tủc l chn giạ trë ca biãún âäüc láûp mäüt khong cäú âënh Âäü chênh xạc cho låìi gii båíi têch phán säú phủ thüc c hai phỉång phạp chn v kêch thỉåïc ca khong giạ trở Mọỹt sọỳ phổồng phaùp thổồỡng xuyón duỡng õổồỹc trỗnh baỡy caùc muỷc sau õỏy 2.2 GIAI PHặNG TRầNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ 2.2.1 Phỉång phạp Euler: Cho phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc nhỏỳt dy = f ( x, y ) dx (2.1) y y = g(x,c) Hỗnh 2.1: ọử thở cuớa haỡm sọỳ tổỡ baỡi giaới phổồng trỗnh vi phỏn y y0 x x x0 Khi x laì biãún âäüc láûp vaì y laì biãún phuỷ thuọỹc, nghióỷm phổồng trỗnh (2.1) seợ coù daỷng: y = g(x,c) (2.2) Våïi c l hàịng säú â âỉåüc xạc âënh tỉì l thuút âiãưu kiãûn ban âáưu ổồỡng cong mióu taớ phổồng trỗnh (2.2) õổồỹc trỗnh baỡy hỗnh (2.1) Tổỡ chọự tióỳp xuùc vồùi õổồỡng cong, âoản ngàõn cọ thãø gi sỉí l mäüt âoản thàóng Theo cạch âọ, tải mäùi âiãøm riãng biãût (x0,y0) trãn âỉåìng cong, ta cọ: ∆y ≈ dy ∆x dx Trang 12 GII TÊCH MẢNG dy l âäü däúc ca õổồỡng cong taỷi õióứm (x0,y0) Vỗ thóỳ, ổùng vồùi giaù trë ban dx Våïi âáưu x0 v y0, giạ trë måïi ca y cọ thãø thu âỉåüc tỉì l thuyãút laì ∆x: y1 = y + ∆y y1 = y + hay dy h (âàût h = ∆x) dx Khi ∆y l säú gia ca y tỉång ỉïng våïi mäüt säú gia ca x Tỉång tỉû, giạ trë thỉï hai ca y cọ thãø xạc âënh nhæ sau y = y1 + dy h dx y y= g(x,c) y3 y2 y1 y0 Hỗnh 2.2 : Âäư thë ca låìi gii xáúp xè cho phỉång trỗnh vi phỏn bũng phổồng phaùp Euler h Khi x0 h h x1 x2 x3 x dy = f ( x1 , y1 ) dx Quaù trỗnh coù thãø tiãúp tủc, ta âỉåüc: y3 = y + dy h dx y = y3 + dy h dx Bng giạ trë x vaì y cung cáúp cho toaìn bäü baìi giaới phổồng trỗnh (2.1) Minh hoỹa phổồng phaùp nhổ hỗnh 2.2 2.2.2 Phỉång phạp biãún âäøi Euler Trong ỉïng dủng phỉång phạp Euler, giạ trë dy/dx ca khong gi thiãút toạn bàõt âáưu vỉåüt ngoi khong cho phẹp Sỉû thay thãú âọ cọ thãø thu âỉåüc bàịng cạch toạn giạ trë måïi ca y cho x1 nhæ træåïc x1 = x0 + h y1( ) = y + dy h dx Trang 13 GII TÊCH MẢNG (0) Dng giạ trë måïi x1 v y1 thay vaỡo phổồng trỗnh (2.1) õóứ tờnh toaùn gỏửn âụng giạ trë ca dy tải cúi khong dx (0) dy = f ( x1 , y1( 0) ) dx ( 0) Sau âọ táûn dủng giạ trë y1 (1) dy dy coù thóứ tỗm thỏỳy bồới duỡng trung bỗnh cuớa vaỡ nhổ dx dx sau: y1(1) ( 0) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx = y0 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟h ⎟ ⎟ ⎠ Duìng x1 v y1(1), giạ trë xáúp xè thỉï ba y1(2) cọ thóứ thu õổồỹc bồới quaù trỗnh tổồng tổỷ nhổ sau: y1( ) (1) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx = y0 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟h ⎟ ⎟ ⎠ ( 2) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx = y0 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟h ⎟ ⎟ ⎠ Ta âæåüc: y1( 3) Quaù trỗnh coù thóứ tờnh tióỳp tuỷc cho õóỳn hai säú liãưn ỉåïc lỉåüng cho y l ngang bũng nũm phaỷm vi mong muọỳn Quaù trỗnh hoaỡn ton làûp lải thu âỉåüc giạ trë y2 Kãút qu thu âỉåüc cọ sỉû chênh xạc cao hån tỉì sỉû biãún âäøi ca phỉång phạp Euler âỉåüc minh hỗnh 2.3 y = g(x,c) y dy (0) dx y2 y1 y0 h x0 ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ dy dx (0) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ Hỗnh 2.3 : ọử thở cuớa lồỡi giaới xỏỳp xố cho phổồng trỗnh vi phỏn bũng phổồng phaùp biãún âäøi Euler x x1 Phỉång phạp Euler cọ thãø ổùng duỷng õóứ giaới hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn cuỡng luùc Cho hai phổồng trỗnh: Trang 14 GIAI TấCH MANG dy = f1 ( x, y, z) dx dz = f ( x, y, z) dx Våïi giaï trë ban âáưu x0, y0 v z0 giạ trë måïi y1 s l: y1 = y + Våïi: dy dx dz h dx = f1 ( x0 , y , z ) Tæång tæû z1 = z + Våïi: dz h dx dz = f ( x0 , y , z ) dx Cho säú gia tiãúp theo, giaï trë x1 = x0 + h, y1 vaì z1 duìng âãø xạc âënh y2 v z2 Trong phỉång phạp biãún âäøi Euler y1 v z1 dng âãø xạc âënh giạ trë âảo hm tải x1 cho âạnh giạ gáưn âụng cáúp hai y1(1) v z1(1) 2.2.3 Phỉång phạp Picard våïi sỉû xáúp xè liãn tủc Cå såí ca phỉång phạp Picard l gii chênh xạc, båíi sỉû thay thãú giạ trë y hm ca x phảm vi giạ trë x â cho y ⎟ g(x) Âáy l biãøu thỉïc ỉåïc lỉåüng båíi sỉû thay thãú trỉûc tiãúp giạ trë ca x âãø thu âỉåüc giạ trë tỉång ỉïng ca y Cho phổồng trỗnh vi phỏn (2.1) dy = f(x,y)dx V têch phán giỉỵa khong giåïi hản cho x v y ∫ y1 y0 x1 dy = ∫ f ( x, y )dx x0 x1 Thỗ y1 y = ∫ f ( x, y )dx Hay y1 = y + ∫ f ( x, y )dx x0 x1 x0 (2.3) Sọỳ haỷng tờch phỏn trỗnh baỡy sổỷ thay âäøi kãút qu ca y våïi sỉû thay âäøi ca x tỉì x0 âãún x1 Låìi gii cọ thãø thu âỉåüc båíi sỉû âạnh giạ têch phán bàịng phỉång phạp xáúp xè liãn tủc Ta cọ thãø xem giạ trë ca y hm ca x cọ thãø â thu âỉåüc båíi sỉû thay thãú y dỉåïi dảng têch phán våïi y0, cho giạ trë ban âáưu sau: x1 y1(1) = y + ∫ f ( x, y )dx x0 Thæûc hiãûn biãøu thæïc têch phán våïi giạ trë måïi ca y báy giåì âỉåüc thay thóỳ vaỡo phổồng trỗnh (2.3) thu õổồỹc lỏửn xỏỳp xè thæï hai cho y nhæ sau: x1 y1( ) = y + ∫ f ( x, y1(1) ) dx x0 Trang 15 GIAI TấCH MANG Quaù trỗnh ny cọ thãø làûp lải thåìi gian cáưn thiãút âãø thu âỉåüc âäü chênh xạc mong mún Tháût váûy, æåïc læåüng têch phán luän luän phæïc taûp thãú nhæng phi gi thiãút cho biãún cäú âënh Khọ khàn v cáưn thỉûc hiãûn nhiãưu láưn têch phán, nãn âáy l màût hản chãú sỉû ạp dủng ca phỉång phạp ny Phỉång phạp Picard cọ thãø ạp dủng âãø gii âäưng thồỡi nhióửu phổồng trỗnh nhổ sau: dy = f ( x, y , z ) dx dz = f ( x, y, z ) dx Theo cäng thæïc, ta coï: x1 y1 = y + ∫ f ( x, y , z ) dx x0 x1 z1 = z + ∫ f ( x, y , z ) dx x0 2.2.4 Phỉång phạp Runge- Kutta Trong phỉång phạp Runge- Kutta sỉû thay âäøi giạ trë ca biãún phủ thüc l toạn tỉì cạc cäng thỉïc â cho, biãøu diãùn âiãưu kiãûn ỉåïc lỉåüng âảo hm tải nhỉỵng âiãøm âënh trỉåïc Tỉì mäùi giạ trë nháút chênh xạc ca y cho båíi cäng thỉïc, phỉång phạp ny khäng âi hi thay thãú làûp lải phỉång phạp biãún âäøi Euler hay têch phán liãn tiãúp phỉång phạp ca Picard Cäng thỉïc rụt gn gáưn âụng xút phạt båíi sỉû thay thãú khai triãøn chøi Taylor RungeKutta xáúp xè báûc hai cọ thãø viãút cäng thỉïc (2.4) y1 = y0 + a1k1 + a2k2 Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Caïc hãû säú a1, a2, b1 v b2 l chênh xạc Âáöu tiãn khai triãøn f(x0+ b1h, y0+ b2k1) chuäøi Taylor tải (x0,y0), ta âỉåüc: ⎫ ⎧ ∂f ∂f k = ⎨ f ( x , y ) + b1 h + b2 k1 + .⎬ h ∂x ∂y ⎭ ⎩ Thay thãú hai âiãöu kióỷn k1 vaỡ k2 vaỡo phổồng trỗnh (2.4), thu âæåüc: y1 = y + (a1 + a ) f ( x0 , y )h + a b1 ∂f ∂f h + a b2 f ( x , y ) h2 ∂x ∂y (2.5) Khai triãøn chuäøi Taylor cuía y tải giạ trë (x0,y0) l: y1 = y + Tỉì dy dx dy dx h+ = f ( x0 , y ) d2y h2 dx 2 vaì 0 d2y dx + = (2.6) ∂f ∂f + f ( x0 , y ) x y Phổồng trỗnh (2.6) trồớ thaỡnh Trang 16 GII TÊCH MẢNG y = y + f ( x , y )h + ∂f ∂x h 2 + ∂f ∂y f (x , y ) h 2 (2.7) Cỏn bũng caùc hóỷ sọỳ cuớa phổồng trỗnh (2.5) v (2.7), ta âỉåüc: a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2 Chn giạ trë ty cho a1 a1 = 1/2 Thỗ a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = Thay thãú giạ trë ny vo phổồng trỗnh (2.4), cọng thổùc gỏửn õuùng bỏỷc hai Runge-Kutta laì: y1 = y + k + k 2 Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h Vỗ thóỳ y = (k1 + k ) Ạp dủng ca phỉång phạp Runge-Kutta cho viãûc xáúp xè báûc hai âi hi sỉû toạn ca k1 v k2 Sai sọỳ lỏửn xỏỳp xố laỡ bỏỷc h3 bồới vỗ chøi â càõt sau âiãưu kiãûn báûc hai Täíng quạt cäng thỉïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta l: y1 = y + a1 k + a k + a k + a k (2.8) k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h Tiãúp theo th tủc giäúng dng cho láưn xáúp xè bỏỷc hai, hóỷ sọỳ phổồng trỗnh (2.8) thu õổồỹc laì: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6 Vaì b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = Thay thãú cạc giạ trë vo phỉång trỗnh (2.8), phổồng trỗnh xỏỳp xố bỏỷc bọỳn Runge-Kutta trồớ thaình Våïi y1 = y + (k1 + 2k + 2k + k ) Våïi k1 = f(x0,y0)h k h k = f ( x0 + , y + )h 2 k h k = f ( x0 + , y + )h 2 k = f ( x0 + h, y + k )h Nhỉ váûy, sỉû toạn ca ∆y theo cäng thỉïc âi hi sỉû toạn cạc giạ trë ca k1, k2, k3 v k4 : ∆y = 1/6(k1+2k2+2k3+k4) Sai säú sỉû xáúp xè l báûc h5 Trang 17 GII TÊCH MẢNG Cäng thỉïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta cho pheùp giaới õọửng thồỡi nhióửu phổồng trỗnh vi phán dy = f ( x, y , z ) dx dz = g ( x, y , z ) dx Ta co:ï y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4) Våïi: k1= f(x0,y0,z0)h k l h k = f ( x0 + , y + z + )h 2 k l h k = f ( x0 + , y + z + )h 2 k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h l1 = g(x0,y0,z0)h k l h l = g ( x0 + , y + z + )h 2 k l h l3 = g ( x0 + , y + z + )h 2 l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h 2.2.5 Phæång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi Phỉång phạp dỉûa trãn cå såí suy, hay têch phán vỉåüt trỉåïc, v làûp laỷi nhióửu lỏửn vióỷc giaới phổồng trỗnh vi phỏn dy = f ( x, y ) dx (2.9) Âæåüc goüi l phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi Th tủc cå bn phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi l xút phaùt tổỡ õióứm (xn,yn) õóỳn õióứm (xn+1, yn+1) Thỗ thu õổồỹc phổồng trỗnh vi phỏn vaỡ sổớa õọứi giaù trở yn+1 xáúp xè cäng thỉïc chênh xạc Loải âån gin ca cäng thỉïc dỉû âoạn phỉång phạp ca Euler l: yn+1 = yn + yn’h Våïi: ' yn = dy dx dy dx tỉì n +1 (2.10) n Cäng thỉïc chênh xạc khäng dng phỉång phạp Euler Màûc d, phỉång phạp biãún âäøi Euler giạ trë gáưn âụng ca yn+1 thu âỉåüc tỉì cäng thỉïc dỉû âoạn (2.10) vaỡ giaù trở thay thóỳ phổồng trỗnh vi phỏn (2.9) chờnh laỡ yn+1 Thỗ giaù trở chờnh xaùc cho yn+1 thu âỉåüc tỉì cäng thỉïc biãún âäøi ca phỉång phạp l: y n +1 = y n + ( y ' n +1 + y ' n ) h (2.11) Giaù trở thay thóỳ phổồng trỗnh vi phán (2.9) thu âỉåüc cọ sỉû âạnh giạ chênh xạc hån cho y’n+1, ln ln thay thãú phỉång trỗnh (2.11) laỡm cho yn+1 chờnh xaùc hồn Trang 18 GIAI TấCH MANG Quaù trỗnh tióỳp tuỷc lỷp laỷi cho âãún hai giạ trë toạn liãn tiãúp ca yn+1 tổỡ phổồng trỗnh (2.11) truỡng vồùi giaù trở mong mún cháúp nháûn âỉåüc Phỉång phạp dỉû âoạn biãún âäøi kinh âiãøn ca Milne Dỉû âoạn ca Milne v cäng thỉïc biãún âäøi, theo äng l: 4h (2 y ' n − − y ' n −1 +2 y ' n ) h y n +1 = y n −1 + ( y ' n −1 +4 y ' n + y ' n +1 ) ( y ' n +1 = f ( x n +1 , y n0 )1 ) + ( y n0 )1 = y n −3 + + V Våïi: Bàõt âáưu ca sỉû toạn âi hi biãút bäún giạ trë ca y Cọ thãø â toạn båíi RungeKutta hay mäüt säú phỉång phạp säú trỉåïc sỉí dủng cäng thỉïc dỉû âoạn sỉía âäøi ca Milne Sai säú phỉång phạp l báûc h5 Trong trỉåìng håüp täøng quạt, phỉång phạp mong mún chn h â nh nãn chè vi láưn làûp l âi hi thu âỉåüc yn+1 hon ton chênh xạc mong mún Phỉång phạp cọ thãø mồớ rọỹng cho pheùp giaới mọỹt sọỳ phổồng trỗnh vi phán âäưng thåìi Phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi l aùp duỷng õọỹc lỏỷp õọỳi vồùi mọựi phổồng trỗnh vi phỏn nhổ mọỹt phổồng trỗnh vi phỏn õồn giaớn Vỗ váûy, thay thãú giạ trë cho táút c cạc biãún phuỷ thuọỹc vaỡo mọựi phổồng trỗnh vi phỏn laỡ âi hi sỉû âạnh giạ âảo hm tải (xn+1, yn+1) 2.3 GIAI PHặNG TRầNH VI PHN BC CAO Trong kyợ thuỏỷt trổồùc õỏy mọ taớ cho vióỷc giaới phổồng trỗnh vi phán báûc nháút cng cọ thãø ạp dủng cho vióỷc giaới phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc cao bũng sổỷ õổa vaỡo cuớa bióỳn phuỷ Vờ duỷ, cho phổồng trỗnh vi phán báûc hai a d2y dy + b + cy = dx dx Våïi âiãöu kiãûn ban õỏửu x0, y0, vaỡ dy thỗ phổồng trỗnh coù thóứ õổồỹc vióỳt laỷi nhổ hai dx phổồng trỗnh vi phán báûc nháút dy = y' dx d y dy ' by '+ cy = =− dx a dx Mäüt nhỉỵng phỉång phạp mä t trỉåïc âáy coù thóứ laỡ vióỷc laỡm õi tỗm lồỡi giaới cho hai phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc nhỏỳt õọửng thồỡi Theo caùch tổồng tổỷ, mọỹt vaỡi phổồng trỗnh hay hóỷ phổồng trỗnh bỏỷc cao coù thóứ quy vóử hóỷ phổồng trỗnh vi phán báûc nháút 2.4 VÊ DỦ VÃƯ GII PHỈÅNG TRầNH VI PHN BềNG PHặNG PHAẽP S Giaới phổồng trỗnh vi phán s minh bàịng sỉû toạn dng âiãûn cho mảch RL näúi tiãúp Trang 19 GII TÊCH MANG t=0 R Hỗnh 2.4: Sổỷ bióứu dióựn cuớa maỷch âiãûn RL i(t) e(t) L Cho maûch âiãûn RL hỗnh 2.4 sổùc õióỷn õọỹng hióỷu duỷng õoùng khoùa laì: e(t) = 5t [ t [ 0,2 e(t) = t > 0,2 Âiãûn tråí cho theo âån vë ohms l R = 1+3i2 V âiãûn cm theo õồn henrys laỡ L=1 Tỗm doỡng õióỷn maỷch âiãûn theo cạc phỉång phạp sau: a Euler’s b Biãún âäøi Euler c Xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta d Milne’s e Picards Baỡi giaới: Phổồng trỗnh vi phỏn cuớa maỷch âiãûn laì L di + Ri = e(t ) dt Thay thãú cho R v L ta cọ: di + (1 + 3i )i = e(t ) dt Âiãöu kióỷn ban õỏửu taỷi t = thỗ e0 = v i0 = Khong chn cho biãún âäüc lỏỷp laỡ: t = 0,025 a Phổồng trỗnh theo phổồng phạp Euler l ∆in = di ∆t dt n in+1 = in +∆in Våïi di dt = en − (1 + 3in )in n Thay thãú giaï trë ban õỏửu vaỡo phổồng trỗnh vi phỏn, doỡng õióỷn i1 = Tải t1 = 0,025; e1 = 0,125 v dy dt = vaỡ i0 Vỗ thóỳ, di = 0,125 − {1 + 3(0) }0 = 0,125 dt i1 = (0,125)0,025 = 0,00313 Thỗ i2 = + 0,00313 = 0,00313 Láûp baíng kã kãút quaí låìi gii âỉa vo bng 2.1 Trang 20 GII TÊCH MẢNG n Bng 2.1: Gii bàịng phỉång phạp Euler Thåìi gian Sỉïc âiãûn âäüng Dng di en tn i n = i n −1 + ∆t dt 10 11 12 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,000 0,125 0,250 0,250 0,375 0,500 0.625 0,750 0,875 1,000 1,000 1,000 1,000 n −1 0,00000 0,00000 0,00313 0,00930 0,01844 0,03048 0,4534 0,06295 0,08323 0,10611 0,12837 0,15000 0,17100 di dt = e n − (1 + 3i n )i n n 0,00000 0,12500 0,24687 0,36570 0,48154 0,59444 0,70438 0,81130 0,91504 0,89031 0,86528 0,83988 b Phæång trỗnh cuớa phổồng phaùp bióỳn õọứi Euler laỡ ( in0 ) = di ∆t dt n ( ( in0)1 = in + ∆in0) + ⎛ di di ⎜ + ⎜ dt dt ( ∆in1) = ⎜ n ⎜ ⎜ ⎝ (1) ( in +1 = in + ∆in1) Våïi di dt ⎞ ⎟ n +1 ⎟ ⎟∆t ⎟ ⎟ ⎠ ( 0) (0) ( ( = en +1 − {1 + 3(in0)1 ) }in0 )1 + + n +1 Thay thãú giạ trë ban âáưu e0 = vaỡ i0 = vaỡo phổồng trỗnh vi phỏn di dx =0 Do âoï: ∆i0( ) = ; i1( 0) = Thay thãú vaìo phổồng trỗnh vi phỏn i1( 0) = vaỡ e1 = 0,125 (0) Vaì di = 0,125 − {1 + 3(0) }0 = 0,125 dt 0,125 + ( ∆i01) = ( )0,025 = 0,00156 Nãn i1(1) = + 0,00156 = 0,00156 Trang 21 GIAÍI TÊCH MẢNG ( Trong låìi gii vê dủ cho phỉång phạp, khäng thỉûc hiãûn làûp lải in1+)1 = in +1 Bi gii thu âỉåüc bàịng phỉång phạp biãún âäøi Euler âỉåüc âỉa vo bng 2.2 Bng 2.2: Bi gii bàịng phỉång phạp biãún âäøi Euler Thåìi Sỉïc Dng di ( ( n Gian âiãûn âiãûn in en +1 ∆in0) in0)1 dt n + tn âäüng en 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,00000 0,125 0,025 0,125 0,00156 0,12344 0,00309 0,250 0,050 0,250 0,00617 0,34383 0,00610 0,375 0,075 0,375 0,01375 0,36124 0,00903 0,500 0.100 0,500 0,02423 0,47573 0,01189 0,625 0.125 0,625 0,03754 0,58730 0,01468 0,750 0.150 0,750 0,05360 0,69594 0,01740 0,875 0,175 0,875 0,07234 0,80152 0,02004 1,000 0,200 1,000 0,09367 0,90386 0,02260 1,000 0,225 1,000 0,11596 0,87936 0,02198 1,000 10 0,250 1,000 0,13763 0,85455 0,02136 1,000 11 0,275 1,000 0,15867 0,82935 0,02073 1,000 12 0,300 1,000 0,17908 c Phổồng trỗnh duỡng phỉång phạp Runge-Kutta âãø gii 0,00000 0,00465 0,01227 0,02278 0,03612 0,05222 0,07100 0,09238 0,11627 0,13794 0,15899 0,17940 di dt ( 0) n +1 0,12500 0,24535 0,36272 0,47718 0,58874 0,69735 0,80293 0,90525 0,87901 0,85419 0,82895 0,80328 ( ∆in1) 0,00156 0,00461 0,00758 0,01048 0,01331 0,01606 0,01874 0,02133 0,02229 0,02167 0,02104 0,02041 di = e(t ) − (1 + 3i )i dt Ta coï: k1 = {e(t n ) − (1 + 3in )in }∆t ⎧ ⎡ k1 ⎞ ⎤ ⎛ k ⎞⎫ ∆t ⎛ ⎪ ⎪ k = ⎨e (t n + ) − ⎢1 + 3⎜ i n + ⎟ ⎥ ⎜ i n + ⎟⎬∆t 2⎠ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎪ ⎢ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎧ k ⎞ ⎤ ⎛ k ⎞⎫ ∆t ⎡ ⎛ ⎪ ⎪ k = ⎨e (t n + ) − ⎢1 + 3⎜ i n + ⎟ ⎥ ⎜ i n + ⎟⎬∆t 2 ⎠ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎢ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ k = {e (t n + ∆t ) − + 3(i n + k ) (i n + k )}∆t [ ] ∆in = (k1 + 2k + 2k3 + k ) in+1 = in + ∆in Våïi: e(tn) = en e(t n + e +e ∆t ) = n n +1 2 e(tn + ∆t) = en+1 Thay thãú giaï trë ban õỏửu tỗm õổồỹc k1: k1 = Trang 22 GIAI TấCH MANG Tỗm õổồỹc k2: [ ] + 0,125 ⎫ k2 = ⎨ − + 3(0) 00,025 = 0,00156 Tỗm õổồỹc k3: ⎧ + 0,125 ⎡ ⎪ ⎪ ⎛ 0,00156 ⎞ ⎤ 0,00156 ⎫ k3 = ⎨ − ⎢1 + 3⎜ ⎟ ⎥ ⎬0,025 = 0,00154 2 ⎪ ⎝ Tỗm õổồỹc k4: [ { ] } k = + 0,125 − + 3(0,00154) 0,00154 0,025 = 0,00309 Thỗ i0 = (0 + 0,00312 + 0,00308 + 0,00309) = 0,00155 Vaì i1 = i0 + ∆i0 = 0+ 0,00155 = 0,00155 Bi gii thu âỉåüc bàịng phỉång phạp Runge-Kutta âỉåüc âỉa vo bng 2.3 d Cäng thỉïc dỉû âoạn sỉía âäøi ca phỉång phạp Milne laì 4∆t (2i 'n − −i 'n −1 +2i 'n ) ∆t in +1 = in −1 + (i 'n −1 +4i 'n +i 'n +1 ) ( in0)1 = in −3 + + Våïi i 'n = di dt n Vaì di = en − (1 + 3in )in dt n Caïc giaï trë ban âáưu âi hi phi thu âỉåüc tỉì låìi gii ca phỉång phạp Runge-Kutta Våïi i0 = 0; i1 = 0,00155; i2 = 0,00615; i3 = 0,01372 Thay thãú vo phỉång trỗnh vi phỏn, ta coù: i0 = 0; i1 = 0,12345; i’2 = 0,23485; i’3 = 0,36127 Bàõt âáưu tải t4 = 0,100 v thay thãú vo cäng thỉïc dỉû âoạn, ỉåïc lỉåüng âáưu tiãn cho i4 l: ( i40) = + (0,025)[2(0,12345) − 0,24385 + 2(0,36127)] = 0,02418 Thay thãú e4 = 0,500 vaì i4 = 0,02418 vaỡo phổồng trỗnh vi phỏn, ta õổồỹc: i’4 = 0,500 [ + 3(0,02418)2]0,02418 = 0,47578 Dæû âoạn v giạ trë chênh xạc, chè khạc mäüt sọỳ haỡng thỏỷp phỏn vỗ vỏỷy khọng õoỡi hoới lỷp lải nhiãưu láưn Kãút qu sau tỉìng bỉåïc âỉåüc ghi vo bng 2.4 Tải t9 giạ trë dỉû âoạn ca dng âiãûn l 0,11742 nhỉng giạ trë chênh xạc l 0,11639 Viãûc thỉûc hiãûn làûp lải båíi sỉû thay thóỳ giaù trở chờnh xaùc phổồng trỗnh vi phán â thu âỉåüc i’9 = 0,87888 Cỉï láưn lỉåüt dng cäng thỉïc sỉía âäøi âãø thu âỉåüc ỉåïc læåüng thæï hai cho i9 = 0,11640, træåïc kiãøm tra giạ trë chênh xạc Thỉûc hiãûn làûp lải táút c cạc bỉåïc âãø âm bo u cáưu chênh xaïc Trang 23 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,750 0,875 1,000 1,000 1,000 1,000 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0.150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 10 11 12 0,00000 0,00155 0,00615 0,01372 0,02419 0,03749 0,05354 0,07227 0,09360 0,11590 0,13758 0,15863 Sỉïc Dng âiãûn âiãûn âäüng in en Thåìi gian tn n 0,00000 0,00309 0,00610 0,00903 0,01189 0,01468 0,01740 0,02004 0,02260 0,02199 0,02137 0,02073 k1 0,0625 0,1875 0,3125 0,4375 0,5625 0,6875 0,8125 0,9375 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,00000 0,00310 0,00920 0,01824 0,03014 0,04483 0,06224 0,08229 0,10490 0,12690 0,14827 0,16900 en+ en+1 k1 in + 2 Bng 2.3: Gii bàịng phỉång phạp Runge-Kutta 0,00156 0,00461 0,00758 0,01048 0,01331 0,01606 0,01874 0,02134 0,02229 0,02167 0,02105 0,02041 k2 0,00078 0,00386 0,00994 0,01896 0,03084 0,04552 0,06291 0,08294 0,10475 0,12674 0,14811 0,16884 k2 in + 0,00154 0,00459 0,00756 0,01046 0,01329 0,01604 0,01872 0,02132 0,02230 0,02168 0,02105 0,02042 k3 0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,750 0,875 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 en+1 0,00154 0,00614 0,01371 0,02418 0,03748 0,05353 0,07226 0,09359 0,11590 0,13758 0,15863 0,17905 in + k3 0,00309 0,00610 0,00903 0,01189 0,01468 0,01740 0,02004 0,02260 0,02199 0,02137 0,02073 0,02009 k4 0,00155 0,00460 0,00757 0,01047 0,01330 0,01605 0,01873 0,02133 0,02230 0,02168 0,02105 0,02041 ∆in GII TÊCH MẢNG Trang 24 GII TÊCH MẢNG Bng 2.4: Bi gii bàịng phỉång phạp ca Milne Thåìi gian Sỉïc âiãûn Dng âiãûn âäüng en (dỉû âoạn) in N tn 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,500 0,625 0,750 0,875 1,000 1,000 0,02418 0,03748 0,05353 0,07226 0,09359 0,11742 10 0,250 1,000 0,13543 11 0,275 1,000 0,16021 12 0,300 1,000 0,17894 i’n Dng âiãûn (sỉía âäøi) in 0,47578 0,58736 0,69601 0,80161 0,90395 0,87772 0,87888 0,85712 0,85464 0,82745 0,82881 0,80387 0,80382 0,02419 0,03748 0,05353 0,07226 0,09358 0,11639 0,11640+ 0,13755 0,13753+ 0,15911 0,15912+ 0,17898 0,17898+ + : giạ trë sỉía âäøi thỉï hai thu âỉåüc båíi vng làûp d Phỉång trỗnh duỡng phổồng phaùp Picard haỡm tổồng õổồng khồới õỏửu cho i, cáûn i0 = laì: t [ ] i = i0 + ∫ e(t ) − i − 3i dt Thay thãú e(t) = 5t vaì giạ trë ban âáưu i0 = t i (1) = ∫ t dt = 5t 2 Thay i(1) cho i phổồng trỗnh tờch phỏn, thu âæåüc: t⎛ 5t 375t − i ( 2) = ∫ ⎜ 5t − 0⎜ ⎝ ⎞ 5t 5t 375t ⎟ dt = − 56 Quaù trỗnh tióỳp tuỷc, ta âæåüc: t⎛ ⎞ 5t 5t 375t 375t 125t + − + − + ⎟ dt i ( 3) = ∫ ⎜ 5t − ⎟ 0⎜ 8 ⎝ ⎠ 5t 5t 5t 375t = − + − + 24 56 t⎛ ⎞ 5t 5t 5t 375t 375t + − − + + ⎟ dt i ( 4) = ∫ ⎜ 5t − ⎜ ⎟ 24 ⎝ ⎠ = 5t 5t 5t t 375t − + − − + 24 24 56 Giåïi haûn chuäøi sau säú haûn báûc bäún laì: i= 5t 5t 5t − + 24 Nãúu haìm duìng xáúp xè i chênh xạc bäún säú tháûp phán våïi säú hản xáúp xè âáưu tiãn khäng chụ âãún sai säú låïn thỗ Trang 25 GIAI TấCH MANG 5log t [ log0,00120 log t [ 9,415836 - 10 t [ 0,2605 Giạ trë giåïi hản l hm xáúp xè håüp l Vỗ vỏỷy, vờ duỷ naỡy haỡm coù thóứ duỡng chè âãø thu âỉåüc y cho khong [ t [ 0,2; Bồới vỗ cho t > 0,2 thỗ e(t) = Cho nãn, hm xáúp xè khạc phi chênh xạc cho khong 0,2 [ t[ 0,3 sau: i = 0,09367 + ∫ t 0, ( − i − 3i ) dt {1 − 0,09367 − 3(0,09367) }dt = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) i = 0,09367 + ∫ {1 − 0,09367 − 0,90386(t − 0,2 ) − 3[0,09367 + 0,90386(t − 0,2)] }dt = 0,09367 + 0,90386∫ {1 − 1,07897(t − 0,2) − 0,76189(t − 0,2) − 2,45089(t − 0,2) }dt i (1) = 0,09367 + ∫ ( 2) t 0, t 0, t 0, = 0,09367 + 0,90386 x ⎧ (t − 0,2) (t − 0,2) (t − 0,2) ⎫ − 0,76189 − 2,45089 x ⎨( t − 0,2) − 1,07897 ⎬ dt ⎩ ⎭ Cúi cng, ta cọ: i(3) = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - 0,48762(t - 0,2)2 - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 + 0,86646(t - 0,2)5 Chùi giåïi hản, hm xáúp xè l: i = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - 0,48762(t - 0,2)2 - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 Cho i hiãûu chènh bäún säú tháûp phán, ta coï: 0,86646(t - 0,2)5 [ 0,00005 (t - 0,2) [ 0,14198 Hm håüp l cho khong 0,2 [ t [0,342 Giạ trë thu âỉåüc bàịng phỉång phạp Picard âỉåüc âỉa vo bng 2.5 2.5 SO SẠNH CẠC PHỈÅNG PHẠP Trong baỡi giaới cuớa phổồng trỗnh vi phỏn haỡm quan hãû giỉỵa biãún phủ thüc y v biãún âäüc láûp x cỏửn tỗm õóứ thoớa maợn phổồng trỗnh vi phỏn Bi gii gii têch l ráút khọ v cọ mọỹt sọỳ vỏỳn õóử khọng thóứ tỗm õổồỹc Phổồng phaùp sọỳ duỡng õóứ tỗm lồỡi giaới bũng caùch bióứu dióựn y mäüt säú hm ca biãún âäüc láûp x tỉì mäùi giạ trë xáúp xè ca y cọ thãø thu âỉåüc bàịng sỉû thay thãú hon ton hay biãøu diãùn tỉång âỉång quan hãû giỉỵa cạc giạ trë liãn tiãúp ca y xạc âënh cho viãûc chn giạ trë ca x Phỉång phạp Picard l phỉång phạp säú kiãøu âáưu tiãn Phỉång phạp Euler, Runge-Kutta, v Milne l vê dủ cho kiãøu thỉï hai Khọ khàn ch úu phạt sinh tỉì phỉång phạp xáúp xè y bàịng hm säú, nhổ phổồng phaùp Picard, tỗm thỏỳy lỏửn lỷp laỷi sỉû têch phán hiãûn tải phi thỉûc hiãûn âãø thu õổồỹc haỡm thoớa maợn Vỗ vỏỷy phổồng phaùp naỡy laỡ khäng thỉûc tãú háưu hãút cạc trỉåìng håüp v êt âỉåüc dng Trang 26 GII TÊCH MẢNG n 10 11 12 Bng 2.5: Gii bàịng phỉång phạp Picard Thåìi gian tn Sæïc âiãûn âäüng en 0 0,025 0,125 0,050 0,250 0,075 0,375 0,100 0,500 0,125 0,625 0,150 0,750 0,175 0,875 0,200 1,000 0,225 1,000 0,250 1,000 0,275 1,000 0,300 1,000 Doìng âiãûn in 0,00155 0,00615 0,01372 0,02419 0,03749 0,05354 0,07229 0,09367 0,11596 0,13764 0,15868 0,17910 Cạc phỉång phạp theo kiãøu thỉï hai âi hi phẹp säú hc âån gin âo âọ thêch håüp cho viãûc gii bũng maùy tờnh sọỳ cuớa caùc phổồng trỗnh vi phỏn Trong trỉåìng håüp täøng quạt, âån gin quan hãû âi hi dng mäüt khong nh cho cạc biãún âäüc láûp nhỉng ngỉåüc lải nhiãưu phỉång phạp phỉïc tảp cọ thãø dng khong tỉång âäúi låïn täún nhiãưu cäng sỉïc viãûc chênh xạc họa låìi gii Phỉång phạp Euler l âån gin nháút, nhỉng trỉì khong rỏỳt nhoớ thỗ duỡng noù cuợng khọng õuùng vồùi thổỷc tãú Phỉång phạp biãún âäøi Euler cng sỉí dủng âån gin v cọ thãm thûn låüi kiãøm tra hãû thäúng vọỳn coù quaù trỗnh thu õổồỹc õóứ caới thióỷn sỉû ỉåïc lỉåüng cho y Phỉång phạp cọ sỉû chênh xaùc giồùi haỷn, vỗ vỏỷy õoỡi hoới duỡng khoaớng giaù trë nh cho biãún âäüc láûp Phỉång phạp Runge-Kutta âi hi säú ráút låïn ca phẹp säú hc, nhỉng kãút qu cng khäng chênh xạc Phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi ca Milne l êt khọ khàn hån phỉång phạp RungeKutta v so sạnh âỉåüc âäü chênh xạc ca bỏỷc h5 Vỗ vỏỷy, phổồng phaùp cuớa Milne õoỡi hoới cọ bäún giạ trë ban âáưu cho biãún phủ thüc phi thu âỉåüc bàịng mäüt säú phỉång phạp khạc, háưu phỉång phạp biãún âäøi Euler hay phỉång phạp Runge-Kutta, l Trong sỉû ỉïng dủng mạy cho phổồng phaùp sọỳ Chổồng trỗnh õoỡi hoới bừt õỏửu lồỡi gii phỉång phạp ca Milne Låìi gii tiãúp tủc dng cäng thỉïc khạc cho dỉû âoạn v sau âọ sổớa chổợa giaù trở cuớa y cung cỏỳp quaù trỗnh hãû thäúng cho kiãøm tra täút bàịng sỉía chỉỵa ỉåïc lỉåüng ban âáưu Nãúu sỉû khạc giỉỵa dỉû âoạn v giạ trë chênh xạc l âạng kãø, khong cọ thãø âỉåüc rụt gn lải Kh nàng phỉång phạp ca Milne khäng cọ hiãûu lỉûc phỉång phạp Runge-Kutta Baỡi tỏỷp: 2.1 Giaới phổồng trỗnh vi phỏn Trang 27 GII TÊCH MẢNG dy = x2 − y dx Cho [ t [ 0,3; vồùi khoaớng phổồng trỗnh 0,05 v giạ trë ban âáưu x0 = v y0 = 1, bàịng cạc phỉång phạp säú sau âáy a Euler b Biãún âäøi Euler c Picard d Xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta e Milne dng giạ trë bàõt âáưu thu âỉåüc phỉång phạp Runge-Kutta 2.2 Gii bàịng phỉång phaùp bióỳn õọứi Euler hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn dx = 2y dt dy x =− dt Cho [ t [ 1,0; Vồùi khoaớng phổồng trỗnh 0,2 vaỡ giạ trë ban âáưu i0 = 0,x0 = v y0 = 2.3 Gii bàịng xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta phổồng trỗnh vi phỏn bỏỷc hai y = y + xy’ Cho [ x [ 0,4; Våïi khoaíng phổồng trỗnh 0,1 vaỡ giaù trở ban õỏửux0 = 0,y0 = 1, vaì y’0 = Trang 28