Giải tích 1: Bài 2. Giới hạn, liên tục133

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu GIẢI TÍCH I BÀI (§1.6 - §1.8) §1.6 Giới hạn hàm số  Đặt vấn đề x a) lim  ? x 1 b) lim  ? x 0 x c) lim x  x I Định nghĩa  ĐN1 Cho X   , x0 điểm tụ X  ( U(x0)\ {x0})  X   ,   > Ở U ( x0 )  ( x0   ; x0   ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu  ĐN2 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X lim f  x  a thuộc R   (xn)  X, xn  x0, xn xx0 f(xn)  a  ĐN3 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X lim f  x   a thuộc R    > bé tuỳ ý, x  x0  () > 0: < |x  x0| < ()  |f(x)  a| <  Chú ý ĐN2  ĐN3 Ví dụ lim  x   x 2 GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu xn   lim (3 xn  2)  lim +)   xn  : nlim n  n   +)      lim  x    x 2 Ví dụ lim cos x 0 x GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu n  +) xn , x n    lim cosx n  n  2n  lim cos(2n  )=1 n  n  +) y n , y n    lim cosy n  n  (2n  1)  lim cos(2n+1) =-1   lim cos xn  n  n  không tồn giới hạn lim cos x 0 x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu II Tính chất phép tốn 1) Tính chất a) lim f  x   a, lim f  x   b  a = b x  x0 x  x0 b) lim f  x   a  lim  f  x   a   x  x0 x  x0 c) f(x) = c  lim f  x   c x  x0 d) f(x)  h(x)  g(x), x  U  x  ; lim f  x   a  lim g  x   lim h  x   a x  x0 x  x0 x  x0 e) lim f  x   a, f(x)  c, x  U   x  \ x   x x0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu f  x   a, a > p  f(x) > p, f) xlim x x  U   x  \ x  Phép toán a) lim f  x   a, lim g  x   b x  x0 x  x0  lim  f  x   g  x    a  b x  x0 b) lim f  x   a, lim g  x   b x  x0 x  x0 f x a  lim  f  x .g  x   a.b lim  , x  x0 g  x  x  x0 b PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu Ví dụ (K65) Cho hàm số f :  \ 0  (0;  ) ]  Tính lim f ( x ) mãn lim [f ( x )  x 0 x 0 f (x ) GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu +)Từ giả thiết có f(x)>0   0,   ( )  :  x   ( )   f ( x )  f(x    f ( x )  f (x )  ( ) (x )  f x f   +)    f  f ( x )   ( x )   (2    2  f (x)   [f ( x )  1]2  f  ( x )  (2   )f ( x )   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu 2       4         f (x)  2 2          4   f (x)  1 2  lim f ( x )  x 0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu Khử dạng vô định a) Các dạng vô định  ; ; 0. ;    ; 1 ; 00 ; 0  b) Khử dạng vô định Sử dụng phép b đại số giới hạn đặc biệt x sin x 1  lim  ; lim     e x   x 0 x x x 4 2 Ví dụ lim x 0 x x   Ví dụ lim  x tan x 2 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu 3 a x a 1 lim    1 +) x arccos x   +) lim   x hàm số liên tục x 1 a    a  f) (K64) Tìm a để hàm số sau liên tục :  x  3, x  a ( 2) f ( x)    x  1, x  a GIẢI 46 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu +) Dễ thấy hàm số liên tục với x  a, a  +) Hàm số liên tục x  a  lim ( x2  3)  lim (4 x  1)  a2   a  x a x a  ( a  2)2   a  +) Hàm số liên tục  a  2 Tính liên tục hàm sơ cấp Mọi sơ cấp liên tục khoảng mà hàm số định Phép toán Cho f(x), g(x) liên tục x0  47 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu f(x)  g(x) liên tục x0, f(x)g(x) liên tục t f x liên tục x0 g(x0 )  g x Ý nghĩa f(x) liên tục [a ; b]  đ đường liền nét Tính chất Định lí (Weierstrass 1) f(x) liên tục trê  f(x) bị chặn [a ; b] Định lí (Weierstrass 2) f(x) liên tục [ f(x) đạt giá trị lớn bé [a ; b] Định lí f(x) liên tục [a ; b], M = m= f ,   [m ; M]   c  [a ; b]: f(c) = a ; b  48 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu Hệ f(x) liên tục [a ; b], f(a)f(b) < (a ; b): f(c) = Điểm gián đoạn Định nghĩa f(x) xác định U (x0 ), gián đoạ  f(x) không liên tục x0 f(x) xác định U0 (x0)\{x0} ta bảo f(x) giá x0 Định nghĩa Điểm gián đoạn x0 hàm điểm gián đoạn loại   lim f  x ,  lim f  x  x  x0 x  x0 49 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu Nếu thêm lim f  x   lim f  x  x0 điể x  x0 x  x0 đoạn bỏ Các điểm gián đoạn lại gọi điể đoạn loại x sin Ví dụ f  x   Ví dụ f  x   x Ví dụ (K54) Phân loại điểm gián đoạn c số a) f ( x )  ( x = 1, loại 2; x = 0, lo x 1 1 x 50 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) f ( x )  thao.ngu x 1 1 x (x = 1, loại 2; x = 0, Ví dụ (K56) Các điểm sau điể đoạn loại hàm số (loại 1) a) x = ; f ( x )  cot x 23  b) x  , f ( x )  (loại 2) tan x 32 Ví dụ a)(K60) Tìm phân loại điể đoạn hàm số 51 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 1) y  x 2 x 2 loại ) 2) y  thao.ngu 21 x sin x (x=0 đgđ loại 1, x=2  x e x x (x=0 x=1 đgđ loại b)(K61) Tìm phân loại điểm gián đo hàm số 52 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu  x  0, 9  log 1) y    a x (x=0 đgđ b  x  0, 9  được, x  9 đgđ loại ) 2) Tìm điểm gián đoạn f ( x )  lim ,x n n  x ( x  1) 53 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu c)(K64) Tìm phân loại điểm gián đo hàm số x  1  y   arctan  x   đgđ loại ) 1 (x=0 đgđ loại 1, x GIẢI 54 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu +) TXĐ : x  1, x  Hàm y liên tục TX 2 +) lim y  , lim y    x  điểm  x 0  x 0 đoạn loại +) lim y    x  1 điểm gián đoạn loạ x 1 Định nghĩa f(x) liên tục khúc [a;b] chia thành hữu hạn đoạn hàm f(x) liên tục đoạn II Hàm số liên tục 55 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu Định nghĩa f(x) liên tục X    > tuỳ ý  () > 0,  x1, x  X, |x1  x2| < ()  |f(x1 )  f(x2)| <  Ví dụ a) y = x + 1  , x  (0 ;1] b) y   x 0, x  GIẢI a) 56 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu  +)   0,  ( )  , x1, x2   : x1  x2   +) y ( x1)  y ( x2 )  ( x1  2)  ( x  2)   x1  x2   ( )     hàm số liên tục đ  b) 57 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu +)   ,  ( )  0, bé tùy ý, tồn dãy 1  (0;1)  x1  x2  x1  , x2  n n 1 n (n  1)    ( ) n +)  f ( x1 )  f ( x2 )  n  ( n  1)     Do hàm số khơng liên tục [0;1] c)(K65) Xét tính liên tục y  sinx2 t GIẢI 58 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) thao.ngu   ,   0, xn xn  yn    2n , y n  2n    2n  2n   xn  y n    0, n    +) f ( xn )  f ( yn )  sin(2n )  sin(  2n )  Do hàm số khơng liên tục  59 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu Định lí (Cantor) f(x) liên tục [a ; b] liên tục [a ; b] HAVE A GOOD UNDERSTANDING 60 ... Tương tự ta có ĐN liên tục phải Định nghĩa f(x) liên tục (a ; b)  f(x)  x  (a ; b) f(x) liên tục [a ; b]  f(x) liên tục liên tục trái b liên tục phải a Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục tạ ... < x0  x < ( )  |f(x)  b| <  Mối liên hệ giới hạn phía giới h lim f  x   a  lim f  x   a  lim f  x  x  x0 x x0 x x0 Giới hạn vô cực giới hạn vô cực Định nghĩa lim f  x ... Phép toán Cho f(x), g(x) liên tục x0  47 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.ngu f(x)  g(x) liên tục x0, f(x)g(x) liên tục t f x liên tục x0 g(x0 )  g x Ý nghĩa f(x) liên tục [a ; b]  đ đường