Bài giảng Giải tích 11 Chương IV: Giới hạn hàm số37171

LUỤ ộ THI Vủ GIA S CH T L ộG CAỚ Ộ4ộ TỚỦộ SĐT ĐC ớhòng dãy T p th xã t c Tớ HU Biên so n Ths Tr n Đình C Bài gi ng Gi i tích Ch ng IV TÀI LI U THÂN T NG CÁC EM H C SINH L P TOÁN 11-TH Y C HU , NGÀY 4/1/2017 ThuVienDeThi.com Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT ng IV Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l ng cao Ộẫn Toán Tớ Hu M CL C CH ộG IV GI I H N .2 BÀI GI I H N C A DÃY S D ng S d ng đ nh nghĩa tìm gi i h n c a dãy s D ng S d ng đ nh lí đ tìm gi i h n c a dãy s .4 D ng S d ng gi i h n đ c bi t đ nh l đ gi i tốn tìm gi i h n dãy D ng S d ng cơng th c tính t ng c a m t c p s nhân lùi vơ h n, tìm gi i h n, bi u th m t s th p phân vơ h n tu n hồn thành phân s D ng Tìm gi i h n vô c a m t dãy b ng đ nh nghĩa D ng Tìm gi i h n c a m t dãy b ng cách s d ng đ nh lý, quy t c tìm gi i h n vơ c c 10 M TS D NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh o} .12 BÀI GI I H N HÀM S 20 D ng Dùng đ nh nghĩa đ tìm gi i h n 23 D ng Tìm gi i h n c a hàm s b ng công th c 26 D ng S d ng đ nh nghĩa tìm gi i h n m t bên .27 D ng S d ng đ nh lý cơng th c tìm gi i h n m t bên 27 D ng Tính gi i h n vô c c 29 D ng Tìm gi i h n c a hàm s thu c d ng vô đ nh D ng D ng vô đ nh 29  31  D ng D ng vô đ nh   ;0. .32 M TS D NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh o} .35 BÀI HÀM S LIÊN T C 38 D ng Xét tính liên t c c a hàm s f(x) t i m x0 38 D ng Xét tính liên t c c a hàm s t i m t m 41 D ng Xét tính liên t c c a hàm s m t kho ng K .43 D ng Tìm m gián đo n c a hàm s f(x) .45 D ng Ch ng minh ph M TS ng trình f x có nghi m 45 BÀI T P LÝ THUY T {Tham kh o} 51 ÔN T CH ộG 53 ThuVienDeThi.com Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT CH ng IV Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l ng cao Ộẫn Toán Tớ Hu ộG IV GI I H N BÀI GI I H N C A DÃY S A KI N TH C C B NC NN M Đ nh nghĩa dãy s có gi i h n Dãy (un ) có gi i h n n d n đ n d ng vô c c, n u m i s d h ng c a dãy s , k t s h ng tr un đ u có th nh h n m t s d Kí hi u: lim  un   hay lim un  hoaëc un  ng bé tùy cho tr c, m i s ng lim un     0, n0  , n  n0  un   (Kí hi u "lim un  0" đ c vi t "lim un  0" đ c dãy s (un ) có gi i h n n d n đ n d n ng vô c c) Nh n xét: T đ nh nghĩa ta suy r ng  un  có gi a) Dãy s (un ) có gi i h n ch dãy s ih n0 b) Dãy s không đ i (un ) , v i un  có gi i h n Các đ nh lí Đ nh lí 1: Cho hai dãy s  un    N u un  v i m i n lim  lim un  * Đ nh lí 2: N u q  lim qn  Đ nh nghĩa dãy có gi i h n h u h n Đ nh nghĩa Ta nói dãy (vn ) có gi i h n s L ( hay v n d n t i L) n u lim v n  L   n Kí hi u: lim  L hay  L Ngồi ta c)ng có thêm đ nh nghĩa nh sau Ngôn ng  ): lim  L    0, n0  , n  n   L   M t s đ nh lí Đ nh lí 1: Gi s lim un  L Khi  lim un  L lim un  L  N u un  v i m i n L  lim un  L Đ nh lí 2: Gi s lim un  L vaø lim  M  0, c số Ta coù: lim  un    a  b; lim  cun   cL; lim un  lim un lim ; lim un  lim un a  ; lim b T ng c a c p s nhân lùi vô h n  C p s nhân lùi vô h n c p s nhân vơ h n có cơng b i q thỗ mãn q   Cơng th c tính t ng c p s nhân lùi vô h n: S  u1  u2   un   u1 1 q Dãy có gi i h n  Đ nh nghĩa Ta nói dãy s (un ) có gi i h n  , n u v i m i s d dãy s , k t s h ng tr đ u l n h n s d ng tùy cho tr c, m i s h ng c a ng ThuVienDeThi.com Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT ng IV Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l ng cao Ộẫn Tốn Tớ Hu Kí hi u: lim un   hay un   lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M Dãy có gi i h n  Đ nh nghĩa Ta nói dãy s (un ) có gi i h n  , n u v i m i s âm tùy dãy s , k t s h ng tr đ u nh h n s d cho tr c, m i s h ng c a ng Kí hi u: lim un   ho c un   lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M Chú ý: Các dãy s có gi i h n   đ c c c g i chung dãy s có gi i h n vô c c hay d n đ n vô M t vài quy t c tính gi i h n vơ c c a)Nếu lim un  a lim   lim un 0 b)Neáu lim un  a  lim   với n lim Tương tự ta lập luận trường hợp lại c) Nếu lim un   lim  a  lim un   Tương tự ta lập luận trường hợp lại B PHÂN LO I Vủ ớH un   ộG ớHỦớ GI I BÀI T P D ng S d ng đ nh nghĩa tìm gi i h n c a dãy s ớh ng pháp lim un  ch |un| có th nh h n m t s d ng bé tu ý, k t s h ng tr Ví d Bi t dãy s (un) thoã mãn un  n 1 n2 v i m i n Ch ng minh r ng lim un  Gi i Đ t  n 1 n2 Ta coù lim  lim n 1  Do đó, v n nhỏ số dương tùy ý kể từ số hạng trở (1) n2 Mặt khác, theo giả thiết ta coù u n  v n  v n (2) Từ (1) (2) suy u n nhỏ số dương tùy ý kể từ số hạng trở đi, nghóa lim u n  Ví d Bi t r ng dãy s (un) có gi i h n Gi i thích dãy s (vn) v i vn=|un c)ng có gi i h n Chi u ng c l i có khơng H ng d n Vì (un ) có giới hạn nên un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt khác,  un  un Do đó, nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy (un ) nhoe số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy (vn ) có giới hạn (Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại đúng) n Ví d Vì dãy (un ) v i un   1 không th có gi i h n n   ? ThuVienDeThi.com Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT ng IV Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l Ví d S d ng đ nh nghĩa ch ng minh r ng lim H ng cao Ộẫn Toán Tớ Hu sin n 0 n ng d n Ta có sin n 1     n  ,n  Khi đó: n n  >0,n  : n  n  un    Vaäy :lim un  un   D ng S d ng đ nh lí đ tìm gi i h n c a dãy s ớh ng pháp Ta d ng đ nh lí và m t s gi i h n th ng g p   A   hay lim   n n   1  lim  ; lim  với k nguyên dương nk n  lim q n  q   lim Ví d a) Cho hai dãy s (un ) vaø (vn ) Ch ng minh r ng n u lim  vaø un  v i m i n lim un  b) Áp d ng k t qu câu a đ tính gi i h n c a dãy s có s h ng t ng quát nh sau n! d)un  (0,99)n cosn a) un  (1) 2n  e) un  5n  cos n  b) un  c) un   n(1)n  2n2 Ví d Tình gi i h n sau: a) lim 3n 1  2n 1 3n  2n ; b)lim 5n  5n  ; c)lim 4.3n  7n 1 2.5n  7n n ;  2   3n d)lim n 1  2   3n1 ng d n đáp s : S d ng công th c lim q n  0, q  H a) b)1 c)7 d) D ng S d ng đ nh nghĩa tìm gi i h n h u h n ớh ng pháp lim  a  lim   a   n n Ví d S d ng đ nh nghĩa ch ng minh lim 3n  3 n 1 H ng d n 1 1     n  ; choïn n  ,n  Khi đó:   n 1 n >0,n  : n  n  un    Vaäy :lim un  un    (1)n  Ví d S d ng đ nh nghĩa ch ng minh lim    1  n   Ví d Cho dãy (un xác đ nh b i: un  a) Tìm s n cho un   3n  n 1 1000 ThuVienDeThi.com Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT ng IV Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l b) Ch ng minh r ng v i m i n > 999 s (2,999;3,001) H ng cao Ộẫn Toán Tớ Hu h ng c a dãy (un đ u n m kho ng ng d n 1   n  999 n  1000 1  3  un    2,999  un  3,001 b) Khi n  999  un   1000 1000 1000 a) un   BTTT: Cho dãy (un xác đ nh b i: un  2n  n2 100 b) Ch ng minh r ng v i m i n > 2007 s (1,998;2,001) a) Tìm s n cho un   h ng c a dãy (un đ u n m kho ng D ng S d ng gi i h n đ c bi t đ nh l đ gi i tốn tìm gi i h n dãy ớh ng pháp ng s d ng: lim A A   lim   ; lim    lim  n n vn  Ta th  N u bi u th c có d ng phân th c t s m u s ch a lu th a c a n chia t m u cho nk v i k m) cao nh t b c m u  N u bi u th c ch a th c c n nhân m t l ng liên hi p đ đ a v d ng c b n AB lượng liên hiệp là: A  B A B lượng liên hiệp là: A  B A  B lượng liên hiệp là: A  B 3 A B lượng liên hiệp là:  A  B3 A  B2    3  2 A B lượng liên hiệp là:  A  B A  B    Ví d Tính lim 3n3  5n2  2n3  6n2  4n  Gi i  n n3  lim  lim 2n3  6n2  4n  n    n n n3 3 3n3  5n2  Ví d Tính lim 2n2   5n  3n2 Gi i lim 2n2   5n  3n2 1  2 n n n  lim  0 3 3 n2 Ví d Tính lim  n2   n2     ThuVienDeThi.com Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT ng IV Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l ng cao Ộẫn Toán Tớ Hu Gi i n2   n2  lim  n2   n2    lim  lim 0   n2   n2  n2   n2  Ví d Tính lim  n2  3n  n2    Gi i 3n 3 lim  n2  3n  n2   lim  lim    n2  3n  n2 1  n BÀI T P ÁP D NG Bài Tính gi i h n sau: a)lim 4n2  n   2n b)lim Tổng quát: Tính giới hạn: lim n2  n    c)lim  n   n 1 2n   m m 1   am 1n  am a0 n  a1n n  b0 n p  b1n p1   b p1n  b p  Xét p  m Hướng Dẫn:  Xét n  p Chia tử mẫu cho n p ,p bậc cao mẫu  Xét n  p  Tính giới hạn sau: 2  3n   n  1  2n  n2  d) lim e) lim  4n5    2n n n     Đáp s : a)  b)0 c)   d)  e) 27 Bài Tính gi i h n: 2n4  n2  a)lim 2n2  n  3n2   n2  b)lim ; n ; b) 1 Bài Tính gi i h n sau: Đáp s : a) a)lim  n 1  n  a)0 ng d n đáp s : Nhân l b) c)  n  2n2 ; d)lim 2n3  n n2 d) c)0 b)lim  n  3n  n     4n2   2n  e)lim n2  2n  n d)lim  n2  n  n    g) lim  n  n3  n     H c) lim 3n2  14  n c) l im  n3  2n  n    f)lim n  n   n     ng liên hi p d) e)1 f) g)3 D ng S d ng cơng th c tính t ng c a m t c p s nhân lùi vô h n tìm gi i h n bi u th m t s th p phân vơ h n tu n hồn thành phân s ớh ng pháp C p s nhân lùi vô h n c p s nhân vô h n có cơng b i |q|