đa thức duy nhất và bi urs của hàm phân hình p adic nhiều biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN QUỐC HUY ĐA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC NHIỀU BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN QUỐC HUY ĐA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC NHIỀU BIẾN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS MAI VĂN TƯ Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Một số khái niệm 1.2 Hàm phân hình p-adic 12 1.3 Các định lý Nevanlinna 13 Đa thức bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều biến 17 2.1 Định lý cho hàm phân hình p-adic nhiều biến 17 2.2 Đa thức 24 2.3 Đa thức mạnh 29 2.4 Bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều biến 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 MỞ ĐẦU Một vấn đề quan trọng lý thuyết hàm giải tích nghiên cứu không điểm điểm kỳ dị Theo hướng vào năm 20 kỷ XX, R.Nevanlinna cơng bố cơng trình nghiên cứu mà ngày xem thành tựu đẹp đẽ sâu sắc tốn học lý thuyết Nevanlinna Sau đó, nhà tốn học vận dụng Lý thuyết Nevanlinna cho cơng trình nghiên cứu F.Gross, A.Boutaba - A.Escassut, G.Frank - M.Reinders, H.X.Yi, Hà Huy Khối - Tạ Thị Hồi An, Vấn đề Đa thức Bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều nhà tốn học quan tâm, họ nghiên cứu thành cơng có nhiều kết sâu sắc Với lý đó, tơi chọn đề tài "Đa thức bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều biến" nhằm trình bày cách có hệ thống khái niệm số tính chất liên quan sở tài liệu tham khảo tài liệu [3] Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Các kiến thức sở Trong chương này, tơi trình bày số kiến thức sở trường số phức p-adic, hàm phân hình p-adic, định lý Nevanlinna nhằm làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau Chương 2: Đa thức bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều biến Trong chương tơi trình bày đa thức bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều biến dựa vào tài liệu tham khảo [3] số tài liệu liên quan khác, gồm nội dung sau 2.1 Định lý cho hàm phân hình p-adic nhiều biến 2.2 Đa thức 2.3 Đa thức mạnh 2.4 Bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều biến Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Mai Văn Tư Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy giáo Khoa Tốn trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 23 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh Trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Nghệ An, tháng 07 năm 2017 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày (khơng chứng minh) số kiến thức sau: trường số phức p-adic, hàm phân hình p-adic, định lý Nevanlinna nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương 1.1 Một số khái niệm Cho p số nguyên tố Với số nguyên a = 0, ta viết a = pv a , với p không chia hết a Số tự nhiên v xác định a p, ta nhận hàm vp : Z∗ → Z+ , vp (a) = v Có thể mở rộng hàm vp lên trường số hữu tỷ: với z = a ∈ Q, ta b đặt vp (z) =  vp (a) − vp (b) z = 0,  +∞ z = Khi đó, có chuẩn p-adic tương ứng, ký hiệu |.|p Q, xác định bởi: |z|p =  −v (z) p p z = 0,  z = 1.1.1 Định nghĩa Cho p số nguyên tố cố định Qp bổ sung đầy đủ trường hữu tỷ Q theo chuẩn p-adic Ký hiệu Qp bao đóng đại số Qp Khác với trường hợp phức, Qp trường không đầy đủ theo tôpô không Acsimet Ký hiệu Cp = Qp bổ sung đầy đủ Qp theo tôpô không Acsimet Khi Cp gọi trường số phức p-adic 1.1.2 Mệnh đề Cp trường đóng đại số đầy đủ theo chuẩn không Asimet Cp trường khả ly không compact địa phương Với z ∈ Cp ta đặt vp (z) =  − logp |z| z = 0,  +∞ z = Với m số nguyên dương, không gian p-adic m chiều, ký hiệu Cm p xác định sau: Cm p = {(z1 , , zm ) : zi ∈ Cp với i = 1, , m} Một số ký hiệu b(m) = (b1 , , bm ), bi (b) = (b1 , , bi−1 , b, bi+1 , , bm ), b(m,is ) = bi (bis ) = (b1 , , bi−1 , bis , bi+1 , , bm ), (bi ) = (b1 , , bi−1 , bi+1 , , bm ), Dr = {z ∈ Cp : |z| < r, r > 0}, Dr = {z ∈ Cp : |z| ≤ r, r > 0}, D = {z ∈ Cp : |z| = r, r > 0}, Dr(m) = Dr1 × · · · × Drm , r(m) = (r1 , , rm ) với ri ∈ R∗+ D = D × · · · × D , γm z γ = z1γ1 zm , γm rγ = r1γ1 rm |γ| = γ1 + · · · + γm , với γ = (γ1 , · · · , γm ), γi ∈ N, |.| = |.|p , log = logp 1.1.3 Định nghĩa Một chuỗi lũy thừa aγ z γ , f= |zi | ≤ ri , zi ∈ Cp , với i = 1, , m |γ|≥0 hội tụ đĩa Dr(m) gọi hàm chỉnh hình p-adic Dr(m) Hàm chỉnh p-adic Cm p gọi hàm nguyên p-adic nhiều biến Độ cao hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến Giả sử f hàm chỉnh hình khơng đồng không Dr(m) aγ z γ ; |zi | ≤ ri , aγ ∈ Cm p , zi ∈ Cp , với i = 1, , m f (z) = |γ|≥0 Vì f hàm chỉnh hình, nên lim |aγ |rγ = |γ|→∞ Do tồn (γ1 , , γm ) ∈ Nm cho |aγ |rγ lớn Đặt |f |r(m) = max |aγ |rγ 0≤|γ| k − Hơn nữa, ta có k ≥ k0 Do đó, ta phải có k = k0 2.3.5 Bổ đề Giả sử k ≥ P (z) đa thức thỏa mãn điều kiện (H) Nếu tồn hai hàm phân hình khác số f g Cp cho 34 P (f ) = cP (g) với c ∈ Cp , ta tìm thấy hốn vị (t(1), t(2), , t(k)) (1, 2, , k) cho c= P (dk ) P (d1 ) = ··· = P (dt(1) ) P (dt(k) ) Chứng minh Bổ đề chứng minh ta k = k0 Ta xét trường hợp sau đây: c0 g + c1 Trường hợp 1: f = với c0 , c1 , c2 , c3 số, c0 = Khi đó, c2 g + c3 theo bổ đề 2.3.3, ta có k = k0 c0 g + c1 với c0 , c1 , c2 , c3 số Ta có Trường hợp 2: f = c2 g + c3 c0 g + c1 c2 g + c3 P = cP (g) Xét hàm hữu tỹ c0 z + c1 (c2 z + c3 )q , c2 z + c3 đa thức biến z ta có cP (g)(c2 g + c3 )q = Q(g) Do g hàm Q(z) = P phân hình khác số, nên ta có đa thức cP (z)(c2 z + c3 )q trùng với đa thức Q(z) Nếu c2 = 0, ta thay z = −c3 vào đồng thức trên, ta thu c2 q −c3 c0 + c1 = c2 Do c0 c3 = c1 c2 Khi c0 g + c1 c2 (c0 g + c1 ) c0 (c2 g + c3 ) c0 = = = f= c2 g + c3 c2 (c2 g + c3 ) c2 (c2 g + c3 ) c2 Suy f hàm số, mẫu thuẫn với giả thiết Như vậy, ta phải có c2 = Thay đổi lại ký hiệu, ta viết f = ag + b, với a, b ∈ Cp , a = Từ đồng thức P (az + b) = cP (z) ta thu aP (az + b) = cP (z), q1 qk c(z − d1 ) (z − dk ) = a q d1 − b z− a q1 dk − b z − a qk 35 Theo định lý phân tích nhất, tồn hốn vị (t(1), t(2), , t(k)) (1, 2, , k) cho dt(1) = dk − b d1 − b , , dt(k) = a a Khi cP (dt(l) ) = cP dl − b a =P a dl − b + b = P (dl ), a với l = 1, 2, , k Do (l, t(l)) ∈ A với l ∈ {1, 2, , k} Tức k0 = k Ta tiếp tục chứng minh định lý 2.3.3 Theo mệnh đề 2.3.4, tồn hoán vị (t(1), t(2), , t(k)) (1, 2, , k) cho c= P (d1 ) P (dk ) = ··· = = P (dt(1) ) P (dt(k) ) Theo giả thiết P thỏa mãn điều kiện (G), tức P (d1 ) + · · · + P (dk ) = 0, ta thu điều mâu thuẫn sau đây: c= P (d1 ) + · · · + P (dk ) = P (dt(1) ) + · · · + P (dt(k) Do vậy, P đa thức mạnh cho hàm phân hình Cp Theo mệnh đề 2.3.2 ta suy P đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm p Mệnh đề 2.3.4 chứng minh Các trường hợp đặc biệt • Nếu q = P (x) = x + a Khi P (f ) = P (g) ⇒ f + a = g + a ⇒ f = g Do P đa thức yếu cho hàm phân hình Cp Tuy nhiên, P (f ) = cP (g) ⇒ f = cg + (c − 1)a, P 36 đa thức mạnh cho hàm phân hình Cp Theo mệnh đề 2.2.6, ta suy P đa thức yếu cho hàm phân hình Cm p • Nếu q = P (z) = x2 + ax + b Với hàm khác số f , đặt g = −f − a, P (f ) = P (g) f = g Do đó, P khơng đa thức yếu cho hàm phân hình Cp Từ đó, P khơng đa thức mạnh cho hàm phân hình Cp Theo mệnh đề 2.2.6, ta suy P không đa thức yếu cho hàm phân hình Cm p Do đó, P khơng đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm p Sau số ví dụ, phản ví dụ đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm p 2.3.6 Ví dụ Đa thức P (x) = x4 − 26x2 + 48x Ta thấy P (x) = 4(x + 4)(x − 1)(x − 3) có số đạo hàm k = P (−4) = −352 = P (1) = 23 = P (3) = −9, P (−4) + P (1) + P (3) = Do P (x) thỏa mãn điều kiện định lý 2.3.3, nên P (x) đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm p 2.3.7 Ví dụ Đa thức P (x) = x4 − 8x2 + 10 có P (x) = 4x(x − 2)(x + 2) Ta có P (0) = 10, P (2) = P (−2) = −6 Vì P (0) = P (2) = P (−2) P (0) + P (2) + P (−2) = −2 = nên P thỏa mãn điều kiện (G) không thỏa mãn điều kiện (H) Theo định lí 2.3.3, dễ thấy P khơng đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm p Thật vậy, với hàm f g = −f P (f ) = P (g), f = g 2.3.8 Ví dụ Đa thức P (x) = 3x5 − 50x3 + 135x có P (x) = 15(x − 1)(x + 1)(x − 3)(x + 3) Ta có: P (±1) = ±88, P (±3) = ∓216 Vì P (±1) + P (±3) = P (±1) = P (±3) nên P thỏa mãn điều kiện (H) khơng thỏa mãn điều 37 kiện (G) Theo định lí 2.3.3, dễ thấy P không đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm p Thật vậy, với hàm f g = −f P (f ) = −P (g) f = g 2.4 Bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều biến 2.4.1 Định nghĩa Giả sử S, T tập khác rỗng Cp ∪ {∞} cho S ∩ T = ∅ Khi cặp (S, T ) gọi bi-URS cho hàm phân hình m Cm p với cặp hàm phân hình f g khác Cp thỏa mãn điều kiện Ei,f (S) = Ei,g (S) Ei,f (T ) = Ei,g (T ), với i = 1, , m, f = g 2.4.2 Bổ đề Cho S = {a1 , a2 , , aq } tập hợp gồm n phần tử đa thức q (x − ) P (x) = i=1 Giả sử f, g ∈ Cm p có số cực điểm kể bội thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) Khi có tồn số c = cho P (f ) = cP (g) Chứng minh Đặt h= P (f ) P (g) Do f, g ∈ Cm p có số cực điểm kể bội thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) nên P (f ) P (g) có số khơng điểm cực điểm kể bội Vì vậy, h hàm phân hình khơng có khơng điểm cực điểm Do h số khác không, tức tồn số c = cho P (f ) = cP (g) 2.4.3 Bổ đề Cho S = {a1 , a2 , , aq } tập hợp gồm n phần tử đa thức q (x − ) P (x) = i=1 38 Khi cặp (S, {∞}) bi-URS cho hàm phân hình Cm p P (x) đa thức mạnh hàm phân hình Cm p 2.4.4 Định lí Giả sử P (x) ∈ Cp [x] đa thức khơng có nghiệm bội, có số đạo hàm k ≥ 3,thỏa mãn điều kiện (H) (G) Khi ta có 1) Nếu {a1 , , aq } tập nghiệm P (x) = ({a1 , , aq }, {∞}) bi-URS cho hàm phân hình Cm p , i = 1, , q , tập nghiệm P (x) = 2) Nếu = u ∈ Cp − u ({a1 , , aq }, {u}) bi-URS cho hàm phân hình Cm p Chứng minh 1) Đặt S = {a1 , , aq } Từ k ≥ suy q ≥ Giả sử f g hai hàm phân hình Cm p thỏa mãn điều kiện Ei,f (S) = Ei,g (S), Ei,f (∞) = Ei,g (∞), với i = 1, , m P (f ) Theo bổ đề 2.2.5, ta có = c, với c số, c ∈ Cp P (g) Theo định lí 2.3.3, ta có P (x) đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm p Vậy f = g , nghĩa (S, {∞}) bi-URS cho hàm phân hình Cm p 2) Đặt bi = 1 , i = 1, , q, S = {bi }pi=1 , F = ,G = − u f −u g−u Khi Ei,F (bi ) = Ei,f (ai ), Ei,F (∞) = Ei,f (u), Ei,G (bi ) = Ei,g (ai ), Ei,G (∞) = Ei,g (u) Do Ei,F (S) = Ei,G (S), Ei,F (∞) = Ei,G (∞) 1 Tương tự trường hợp 1) ta có F = G tức = Do f = g f −u g−u Định lý 2.4.4 chứng minh 2.4.5 Hệ Với q ≥ với u ∈ Cp , tồn bi-URS cho hàm phân hình p-adic dạng ({a1 , , aq }, {u}) 39 Chứng minh Với q ≥ 4, ta xét lớp tất tập hợp gồm q phần tử S = {a1 , , aq } lớp tương ứng gồm đa thức liên kết P (x) = (x − a1 ) · · · (x − aq ) Dễ thấy, đa thức liên kết có số đạo hàm k = q − ≥ Hơn nữa, điều kiện (H) (G) điều kiện đại số, nên chọn tập hợp S cho P đa thức thỏa mãn điều kiện (H) (G) Khi theo định lý 2.3.3, ta có P đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm P Từ đó, theo bổ đề 2.4.3, ta suy cặp (S, {∞}) bi-URS cho hàm phân hình Cm p 2.4.6 Ví dụ Xét đa thức P (x) = 3x4 − 28x3 + 84x2 − 96x + 45 Khi P (x) = 12(x − 1)(x − 2)(x − 4), P4 có số đạo hàm k = P (1) = = P (2) = 13 = P (4) = −19 P (1) + P (2) + P (4) = = 0, giả thiết định lý 2.3.3 thỏa mãn Vậy P đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm p Dễ thấy đa thức P có nghiệm phân biệt Ta đặt S = {x1 , x2 , x3 , x4 } tập nghiệm P (x) Theo bổ đề 2.4.3, cặp (S, {∞}) bi-URS cho hàm phân hình Cm p 40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau: Các khái niệm trường số phức p-adic, hàm chỉnh hình p-adic, hàm phân hình p-adic Hai định lý Nevanlinna Định lý cho hàm phân hình p-adic nhiều biến Chứng minh số định lý, mệnh đề liên quan đến đa thức Cho số ví dụ đa thức cho hàm phân hình Cm p Chứng minh số định lý, mệnh đề liên quan đến đa thức mạnh Cho số ví dụ đa thức mạnh cho hàm phân hình Cm p Khái niệm tính chất bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều biến Cho số ví dụ bi-URS hàm phân hình p-adic nhiều biến 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Tạ Thị Hoài An (2000), Về tập xác định cho hàm nguyên, hàm phân hình đa thức trường đóng đại số, Luận án Tiến sỹ Toán học, Viện Toán học [2] Nguyễn Trọng Hịa (2006), Phương trình P(f)=P(g) bi-URS cho hàm phân hình trường Acsimet, Luận án Tiến sỹ Toán học, Đại học Vinh TIẾNG ANH [3] Vu Hoai An and Tran Dinh Duc (2008), Uniqueness polynomials and bi-URS for p-adic meromorphic functions in several variables, Vietnam J.Math.36, No.2, 191-207 [4] Tran Dinh Duc (2007), Unique range sets for p-adic meromorphic functions in several variables, East-West J.of Mathematics, Vol 9, No.2, 99-112 [5] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2001) On uniqueness polynomials and bi-URS for p-adic meromorphic funtions, J.Number Thoery 87, pp 211 - 221 [6] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p-adic Nevanlinna - Cartan Theorem, Internat.J.Math, Vol 6, No.5, 719-731 ... hàm phân hình p- adic đĩa Nếu f1 f2 hàm nguyên p- adic f hàm phân hình p- adic Cm p , cịn gọi hàm phân hình p- adic Sau này, khơng cần phân bi? ??t, gọi chung hàm phân hình Cm p hàm phân hình Cp hàm phân. .. tổng nhiều nghiệm bội tính lần 17 CHƯƠNG ĐA THỨC DUY NHẤT VÀ BI- URS CỦA CÁC HÀM PHÂN HÌNH P- ADIC NHIỀU BI? ??N Trong chương này, tơi trình bày định lý cho hàm phân hình p- adic nhiều bi? ??n, đa thức nhất, ... nhất, đa thức mạnh, bi- URS hàm phân hình p- adic nhiều bi? ??n Nội dung chương chuyển hàm p- adic nhiều bi? ??n hàm bi? ??n, nhờ nhận mệnh đề 2.2.6 Do vậy, ta thu kết đa thức trường h? ?p nhiều bi? ??n, bi? ??t