CHUYÊN đề cơ học CHẤT điểm

CHUYÊN ĐỀ CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM Giáo viên: Phạm Nguyên Hồng A KIẾN THỨC TỐN HỌC BỔ TRỢ I HÌNH HỌC Hệ thức lượng tam giác vuông + sin   AB CA + tan   AB (3) CB (1) + cos  B CB (2) CA + cot an  C CB (4) AB α A Cơng thức hình chiếu B Hình chiếu véc tơ AB trục Ox A A B xác định theo công thức: ' ' A' B ' =| AB |.cosα =| AB |.sin (5) O Định lý hàm số cosin Trong tam giác A, B, C cạnh a, b, c ta ln có: + a2 = b2 + c2 - 2b.c.cos A (6) 2 + b = a + c - 2a.c.cos B (7) + c2 = a2 + b2 - 2a.b.cos C (8) Định lý hàm số sin Trong tam giác bên ta có: a b c   sin A sin B sin C Phép cộng hai véc tơ      Cho hai véc tơ a , b gọi: c = a  b c A b C B a A b (10) (11) | c |2 = | a |2 + | b |2 +2| a || b |cos  (12) Suy ra:   + Nếu a , b hướng thì: |c | = |a | + |b |   + Nếu a , b ngược hướng thì: a c (9) x B theo quy tắc hình bình hành Gọi α góc hai véc tơ   a , b theo định lí hàm số cosin ta có: Hay B’ A’   c véc tơ tổng hai véc tơ c xác định | c |2 = | a |2 + | b |2 -2| a || b |cos   α (13) C | c | = || a | - | b ||   + Nếu a , b vng góc thì: (14) | c |2 = | a |2 + | b |2 (15) Bất đẳng thức Cô si a  b  ab ( a, b dương) (16) a  b  c  3 abc ( a, b, c dương) (17) - Dấu xảy số - Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ hai số Khi tổng hai số khơng đổi, tích hai số lớn hai số Bất đẳng thức Bunhiacôpski (a1b1  a2b2 )2  (a1  a2 )2 (b1  b2 )2 (18) Dấu xảy a1 b1  a2 b2 II ĐẠO HÀM NGUYÊN HÀM VI PHÂN TÍCH PHÂN Đạo hàm  Định nghĩa: y' (x )  lim x  y Trong x  x - x ; y  f(x  x) - f(x ) x  Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Bước 1: Cho x số gia x tính y = f(x0 + x) – f(x0) Bước 2: Tìm giới hạn lim x  y x  Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0; f(x0)) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0; f(x0)) có phương trình y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0)  Ý nghĩa học đạo hàm: v(t0) = s’(t0)  Đạo hàm hàm số khoảng + Hàm số f(x) gọi có đạo hàm J có đạo hàm f ’(x) x  J + Nếu hàm số f(x) có đạo hàm J hàm số f ’(x) xác định f ': J  R gọi x  f '(x) đạo hàm hàm số f(x)  Đạo hàm vài hàm số thường gặp: (c)’ = (c số) (x)’ = (xn)’ = nxn-1 u  n '  n.u n-1.u' ' ' 1   - x x u' 1   - u u  x  u   2u'u '  x ' u  v '  u'  v ' (uv)’ = u’v + uv’ '  u  u ' v - uv '    v2 v (ku)’ = ku’ (k số) ' kv ' k   - v v (k số) y'x  y 'u u 'x  Đạo hàm hàm số lượng giác (sinx)’ = cosx; (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx; (cosu)’ = - u’sinu ; cos2 x '  cotx   - ; sin x  tanx   '  tanu  '  u' cos2 u  cotu   - u' sin u ' Vi phân  Vi phân hàm số điểm ứng với số gia x: df(x0) = f ’(x0)x Vi phân hàm số: df(x) = f ’(x)x hay dy = y’x  Ứng dụng vi phân: f(x0 + x)  f(x0) + f ’(x0).x Bảng nguyên hàm  dx  x  C x 1  x dx     C   1 dx  x  ln x  C  x     e dx  e x x C ax  a dx  ln a  C   a  1 x  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C  cos x dx  tan x  C  sin x dx   cot x  C  tan xdx   ln cos x  c  cot xdx  ln sin x  c  kdx  kx  C  ax  b    ax  b  dx  a    C   1 dx   ax  b a ln ax  b  C  x   ax b ax b e dx  e C  a   1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C 1  cos  ax  b dx  a tan  ax  b   C 0  a  1 1  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C  dt  t  C t  1  t du     C   1 du  t  ln t  C  t    e dt  e t t C at  a dt  ln a  C t  cos tdt  sin t  C  sin tdt   cos t  C  cos2 t dt  tan t  C   sin t dt   cot t  C Các tính chất tích phân Cho hàm số f(x) g(x) liên tục [a; b] a  f ( x)dx  a b a a b  f ( x)dx   f ( x)dx b b  k f ( x)dx  k  f ( x)dx ( k số) a a b b b a a a  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx b c b a a c  f ( x)dx   f (c)dx   f ( x)dx Phương pháp đổi biến số b Cần tính I =  f ( x)dx a Loại 1: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: t = t(x) suy dt = t’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận    = t(a);  = t(b) + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Loại 2: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: x = u(t) suy dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: cho u(t) = a u(t) = b để tìm hai cận + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Lưu ý cách đặt: Cách đặt f ( x) có chứa a2  x2 Đặt x  a sin t (với   t   ) x  a cos t (với 0t  ) a  x Đặt x  a tan t (với    t   ) x  a cot t (với 2 0t  ) a2  x2 x2  a2 Đặt x  a sin t a    ;  \ 0 x  cos t  2 (với t    (với   t   0;  \   2 Phương pháp tích phân phần b  Công thức:  udv  uv a b b a   vdu a b   Các dạng bản: Giả sử cần tính I  P ( x).Q( x)dx a P(x): Đa thức Dạng P(x): Đa thức P(x): Đa thức P(x): Đa thức hàm Q(x): sinkx Q(x):ekx Q(x):ln(ax+b) hay coskx Cách đặt Q(x): hay sin x cos x * u = P(x) * u = P(x) * u = ln(ax + b) * dv Phần * dv Phần * dv = P(x)dx lại lại * u = P(x) * dv Phần lại biểu thức biểu thức biểu thức dấu tích dấu tích phân phân dấu tích phân Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích a) Diện tích hình phẳng  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) (liên tục) b S=  a f ( x ) dx (1)  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = f(x), y = g(x) (liên tục) b x = a; x= b tính bởi: S =  f ( x)  g ( x) dx (2) a b) Thể tích vật thể trịn xoay Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đường y = f(x); x = a; x = b; y = xoay b  quanh trục Ox tính bởi: V =  f ( x)dx (3) a Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm Dạng Khảo sát trực tiếp Nếu hàm số y = f(x) miền D cho dạng đơn giản, ta khảo sát trực tiếp hàm số rút kết luận GTNN, GTLN hàm số Dạng Khảo sát gián tiếp Trong nhiều tốn tìm GTNN, GTLN hàm số ta khảo sát trực tiếp gặp nhiều khó khăn, chẳng hạn tìm nghiệm f’(x), xét dấu f’(x) Do thay khảo sát trực tiếp f’(x) ta khảo sát gián tiếp hàm số cho cách sau: - Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số cho hàm số g(t) - Tìm điều kiện ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…) - Khảo sát hàm số g(t) suy GTNN, GTLN hàm số B CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM CHƯƠNG ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM I Hệ quy chiếu Định nghĩa chuyển động học Chuyển động học chuyển dời vị trí khơng gian vật chuyển động phận so với phận khác vật Nói vật chuyển động hay đứng n điều có tính chất tương đối điều cịn phụ thuộc vào việc người quan sát đứng vị trí Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối phụ thuộc vào vị trí mà ta đứng quan sát chuyển động Thực vũ trụ khơng có vật đứng n cách tuyệt đối, vật chuyển động không ngừng Vậy, nói vật chuyển động ta phải nói rõ vật chuyển động so với vật mà ta quy ước đứng yên Hệ quy chiếu Vật hay hệ vật mà ta quy ước đứng yên nghiên cứu chuyển động vật khác gọi hệ quy chiếu Với chuyển động hệ quy chiếu khác xảy khác Khi xét chuyển động cụ thể ta thường chọn hệ quy chiếu cho chuyển động mô tả đơn giản a) Hệ tọa độ Descartes Hệ toạ độ Descartes gồm trục Ox, Oy, Oz tương ứng vng góc với đôi một, chúng tạo thành tam diện thuận Điểm O gọi gốc toạ độ Vị trí điểm M hoàn toàn xác định bán kính véc tơ r , hay tập hợp số (x, y, z) hình chiếu điểm mút M véc tơ r lên trục Ox, Oy, Oz tương ứng, gọi toạ độ điểm Hệ tọa độ Descartes M hệ toạ độ Descartes b) Hệ tọa độ cầu Trong hệ toạ độ cầu, vị trí điểm M xác định toạ độ r, θ, φ Trong đó, r độ dài bán kính véc tơ, θ góc trục Oz r , cịn φ góc trục Ox tia hình chiếu r mặt phẳng xOy Biết ba toạ độ cầu điểm M, ta tính toạ độ Descartes điểm M theo công thức sau: Hệ tọa độ cầu Trong hệ toạ độ cầu: ≤ θ ≤ 1800 ≤ φ ≤ 3600 Các đường tròn ứng với giá trị θ gọi đường vĩ tuyến, đường tròn ứng với giá trị φ gọi đường kinh tuyến Hệ toạ độ cầu thuận tiện định vị địa điểm đất Chất điểm vật rắn Để mô tả chuyển động hạt có kích thước, cần phải biết rõ chuyển động điểm vật Tuy nhiên, kích thước vật nhỏ so với khoảng cách dịch chuyển mà ta xét điểm vật dịch chuyển gần nhau, mô tả chuyển động vật chuyển động điểm Trong trường hợp ta coi vật chất điểm, tức điểm hình học lại có khối lượng khối lượng vật (khơng có kích thước có khối lượng) Trong nhiều trường hợp nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển động vật trở nên đơn giản nhiều Một tập hợp chất điểm gọi hệ chất điểm Vật rắn hệ chất điểm khoảng cách tương hỗ chất điểm hệ không thay đổi Phương trình chuyển động phương trình quỹ đạo chất điểm a) Phương trình chuyển động Để xác định chuyển động chất điểm cần biết vị trí chất điểm thời điểm khác Nói cách khác, cần biết phụ thuộc theo thời gian bán kính véc tơ r chất điểm: r=r(t) Phương trình biểu diễn vị trí chất điểm theo thời gian gọi phương trình chuyển động chất điểm Trong hệ toạ độ Descartes, phương trình chuyển động chất điểm hệ gồm phương trình:  x  x(t)   y  y (t)  z  z (t)  (1.1) Tương tự hệ toạ độ cầu, phương trình chuyển động chất điểm là: r  r (t)     (t)    (t)  b) Phương trình quỹ đạo Khi chuyển động, vị trí chất điểm thời điểm khác nhauvạch không gian đường cong liên tục gọi quỹ đạo chuyển động Vậy quỹ đạo chất điểm chuyển động đường tạo tập hợp tất vị trí khơng gian, suốt q trình chuyển động Phương trình mơ tả đường cong quỹ đạo gọi phương trình quỹ đạo f (x, y, z)  C Trong f hàm toạ độ x, y, z C số Về nguyên tắc, biết phương trình chuyển động (1.1) cách khử tham số t ta tìm mối liên hệ toạ độ x, y, z tức tìm phương trình quỹ đạo Vì vậy, đơi người ta cịn gọi phương trình chuyền động (1.1) phương trình quỹ đạo cho dạng tham số II Chuyển động thẳng trục Ox Độ dời Xét chất điểm chuyển động theo quỹ đạo Tại thời điểm t1, chất điểm vị trí M1 Tại thời điểm t2, chất điểm vị trí M2 Trong khoảng thời gian  t = t2 – t1 chất điểm dời từ điểm M1 đến điểm M2 Véc tơ M 1M gọi véc tơ độ dời chất điểm khoảng thời gian nói Vận tốc Vận tốc đại lượng vật lý đặc trưng cho chiều độ nhanh chậm chuyển động chất điểm Để đặc trưng cách đầy đủ phương, chiều độ nhanh chậm chuyển động chất điểm, người ta đưa véc tơ gọi véc tơ vận tốc Theo định nghĩa, véc tơ vận tốc vị trí M véc tơ v có phương nằm tiếp tuyến với quỹ đạo M, có chiều theo chiều chuyển động có giá trị giá trị tuyệt đối v v ds dt Véc tơ vận tốc Véc tơ vận tốc hệ tọa độ Descartes v ds dr  dt dt dx  vx  dt  dy  v v y  dt  dz  vz  dt  Độ lớn vận tốc tính theo cơng thức: v  vx2  v y2  vz2  ( dx dy dz ) ( ) ( ) dt dt dt Gia tốc Gia tốc đại lượng vật lý đặc trưng cho biến thiên vận tốc Giả sử sau khoảng thời gian Δt, vận tốc chất điểm thay đổi lượng Δv gia tốc trung bình atb khoảng thời gian Δt là: a tb  v t Ta thấy rằng, muốn đặc trưng cho độ biến thiên véc tơ vận tốc thời điểm, ta phải xác định tỷ số v khoảng thời gian Δt vô nhỏ, nghĩa cho t Δt → 0, ta biểu thức gia tốc tức thời a điểm quỹ đạo: v d v d r   t 0 t dt d 2t a  lim Ta tính ba toạ độ véc tơ gia tốc theo ba trục toạ độ Descartes:  dvx d x a   x dt  d 2t  dv y d y  a a y   dt d t   dvz d z a    z dt d t  d 2x d y d 2z Độ lớn gia tốc tính theo cơng thức: a  a  a  a  ( )  ( )  ( ) dt dt dt x y z Các phương trình chuyển động thẳng a=0 v = số x = x0 + vt Các phương trình chuyển động thẳng biến đổi a = số vt = v0 + at x = x0 + v t + at a dấu với v: chuyển động thẳng nhanh dần a trái dấu với v: chuyển động thẳng chậm dần Chuyển động rơi tự a=g vt = gt h = gt vt2 = 2gh Xác định vị trí sức căng sợi dây khơng vận tốc vị trí Tìm quỹ đạo chất điểm chuyển động thời gian chuyển động suốt q trình sức căng sợi dây khơng Hướng dẫn:    Phương trình chuyển động chất điểm P  T  mW (1)  T sức căng sợi dây Giả sử B độ cao h so với O (hình 1.37), sức căng T = 0; chiếu (1) lên BO: P sin   T  mvB2 l T=0 (2) Nhưng h  l sin  , h  vB2 g Áp dụng định luật bảo toàn năng: mv02 l mv2  P(l  )  B  P(l  h) 2 (3) Từ (3) ta tính vB2 Thay vB vào biểu thức h ta được: h (v02  gl ) 3g vB2  (v02  gl) Ra khỏi B, chất điểm chuyển động tác dụng trọng lực, chọn B làm gốc tọa độ, từ (1): h x  vB t l y gt  vB cos t y P2 l x  (l  h2 )1 / x 2h h (4) Từ (4): (5) Điểm C giao điểm parabol (5) đường tròn tâm O; yC=-h-l Trên đoạn BC, sức căng dây T = Ra khỏi C, T khác Thay y = -(h+l) vào (4) ta tìm thời gian chuyển động chất điểm theo quỹ đạo (5) từ B đến C Bài 5: (TUYỂN TẬP ĐỀ THI OLYMPIC VẬT LÝ HONGKONG) Một tủ lạnh có khối lượng 50 kg, coi khối đồng nhất, đứng yên hai chân A B xe Hệ số ma sát nghỉ chân sàn xe 0,4 Chiều cao tủ lạnh lần chiều rộng a) Tìm gia tốc ngang cực đại mà tủ lạnh đứng yên xe b) Đối với gia tốc a = 0,1g, g gia tốc trọng trường, tìm tổng hợp lực tác dụng lên chân xe Đáp án: a) Chuyển động quay: mgl = mamax(3l) amax = Chuyển động tịnh tiến: µmg = mamax amax = µg Do amax = = 3,27m/ b) Ta có phương trình theo trục X, Y f1 + f2 = ma N1 + N2 = mg Đối với điểm A ma(3l) + N2(2l) = mgl Khi ta có N1 = 0,65mg = 318,5NN2 = 0,35mg = 17,15N Suy f1 : f2 = N1 : N2 f1 = 0,65mg = 318,5N, f2 = 0,35mg = 17,1 Lực tác dụng lên điểm A B = 318,5 + 318,5 = 320,8N (tan ) = 17,15 + 318,5 = 172,4N (tan ) Bài 6: (TUYỂN TẬP ĐỀ THI OLYMPIC VẬT LÝ ĐẶC SẮC 2018) a) Giả sử bạn thả vật có khốii lượng m theo phương thẳng đứng lên đoạn dốc cố định với góc nghiêng hệ số ma sát nghỉ trượt µ Vật thả theo cách cho khơng quay sau va chạm với dốc Trong suốt toán này, giả sử thời gian xảy va chạm không đáng kể i Giả sử tốc độ vật trước chạm vào dốc v vật trượt xuống dốc sau va chạm Tốc độ vật sau va chạm bao nhiêu? ii Giá trị nhỏ µ cho tốc độ vật sau va chạm 0? b) Bây giả sử bạn thả hình cầu có khối lượng m, bán kính R momen quán tính βmR2 theo phương thẳng đứng lên đoạn dốc cố định cho vào dốc với vận tốc v i Giả sử hình cầu bắt đầu lăn mà không trượt Tốc độ cầu trường hợp bao nhiêu? ii Tìm hệ số ma sát nhỏ cho cầu lăn mà không trượt sau va chạm? Đáp án: a) i) Trong va chạm, vật nhận xung lực từ phản lực pháp tuyến, ma sát trọng lực Do thời gian va chạm nhỏ, xung trọng lực không đáng kể Gọi pN pF cường độ xung từ phản lực pháp tuyến lực ma sát Do vật nằm dốc sau va chạm động lượng cuối song song với mặt dốc Khi đó, phản lực pháp tuyến phải làm triệt tiêu hoàn toàn động lượng ban đầu vật theo phương vng góc với mặt dốc, pN = mvcos Vì vật di chuyển sau va chạm, pF = pN Động lượng ban đầu vật song song với đoạn đường nối mvcos Vì vậy: mvcos pF = mu Trong u tốc độ cuối vật Giải tìm u ta u = v (sin ) ii) Chúng ta đặt u = ta có được: µ = tan Lưu ý đơn giản điều kiện không trượt cho vật đứng yên mặt phẳng nghiêng! Điều hai trường hợp, dấu xảy tổng phản lực pháp tuyến lực ma sát cực đại cân với trọng lực b) i) Nếu cầu bắt đầu lăn mà khơng bị trượt, tính tốn xung lực ma sát cách độc lập với xung phản lực pháp tuyến Chúng ta có mv sin pF = mu Xung lực ma sát có tác dụng làm quay cầu, mơ men động lượng khối tâm L = pFR Nhưng biết : L = βm Khi pF = mu = mRu Thay vào biểu thức bên cho ta mv sin = (1 + β)mu Suy u= ii) Như phần (a), xung phản lực pN = mvcos xung ma sát cực đại pF = pN Từ phần trước, cần pF = cân biểu thức ta µ= Chuyển động tương đối chất điểm Bài 1: Hịn bi có trọng lượng P gắn vào đầu lò xo AB điểm B; Đầu A cố định Lò xa bi đặt ống nhỏ mặt phẳng nằm ngang Khi ống quay quanh điểm cố định A với vận tốc góc  mặt phẳng ngang, xác định phương trình chuyển động bi theo ống nhỏ, biết độ dài tự nhiên lò xo , hệ số cứng k Hòn bi chuyển động với vận tốc đầu từ điểm M ống cách B đoạn BM = b Hướng dẫn: Chọn gốc tọa độ B, cách A đoạn MB = b Khi t = 0, v0 = 0, x0 = - Phương trình chuyển động hịn bi: y A B x M ma  F  Fc  Fk  P  N  kx  2[.v t ]  m[[.x ]]+ma (1) - Chiếu lên ox ta có x( k  2 )x  2  m - Nếu (2) k > 2 nghiệm pt (2) m x = Acosnt + Bsinnt + - Nếu Nếu (3) k < 2 nghiệm pt (2) m x  A 'e nt  B'e  nt  - k 2 với n2 = - 2 m n l2 n2 k = 2 nghiệm pt (2) m (4) x 2  t b (5) Từ điều kiện ban đầu ta tính 2  2  A  b  ;B  0;A '  B'   b   n 2 n  Bài 2: Ống nhỏ CD quay mặt phẳng ngang quanh điểm cố định C với vận tốc góc  Xác định vận tốc hịn bi lúc khỏi ống CD Biết hịn bi chuyển động khơng có vận tốc từ đầu điểm M, cách C khoảng x0 Hướng dẫn: Chọn gốc tọa độ C, trục Ox hướng theo CD Phương trình chuyển động hịn bi có dạng: - - x  2 x  Nghiệm pt (1) x x t e  e t   x x t e  e t   (1) (2) Ta có Ký hiệu t1 thời điểm lúc hịn bi D, ta có: x(t )  x(t1 )  x 0e t (3) Tính exp( t1 ) với x(t1) = L từ 2, sau thay kết vào (3) ta có x(t1 )  vD   L  x 02 với L = CD Bài 3: Tàu sân bay chuyển động đại dương hướng đông với vận tốc v1 Gió thổi hướng bắc với vận tốc v Khi hạ cánh ,máy bay tiến dần tới tàu với vận tốc v theo phương thẳng đứng Xác định giá trị vận tốc máy bay so với khơng khí Hướng dẫn: Đối với hai người đứng hai hệ K K’ chuyển động tịnh tiến nhau, vận tốc điểm P viết dạng: vpk  vpk '  vkk ' Với v pk vận tốc điểm P so với hệ k, v kk ' vận tốc hệ K’ hệ K Ký hiệu D, T, K , M tương ứng đại dương, tàu sân bay, khơng khí máy bay Ta có: v MT  v MK  v KT v KD  v KT  vTD Mà vMK  v MT  v KT  v MT  v KD  vTD Hướng trục ox, oy hướng đơng bắc, ta có: (v MK ) x  v1 (v MK ) y   v (v MK ) z   v3 Vận tốc cần tìm là: vMK  v12  v22  v32 Bài Hai người xe đạp với tốc độ v đường trịn bán kính R1 R2 theo chiều hình vẽ Tâm đường trịn O1 O2 cách khoảng L < R1 + R2 Tìm vận tốc người so người thời điểm hai người vị trí A1 A2 Hướng dẫn: Vận tốc tuyệt đối người v Chọn hệ quy chiếu có gốc trùng tâm O quay vận tốc góc =v/R1  O1 Vận tốc kéo theo người thứ hai A2 v kA k vB B2 L – R2 O2 A2 2R2 v vkA  O1A  (L  R ) R1 Do v tuyệt đối = v t-ơng ®èi + v kÐo theo    v t-¬ng ®èi = v tut ®èi – v kÐo theo vt-¬ng ®èi A2 = v + v Ak = v + R  R2  L v (L  R ) = v R1 R1 Véc tơ vận tốc tương đối người so hướng xuống Bài 5: (TUYỂN TẬP ĐỀ THI OLYMPIC VẬT LÝ HONGKONG) Hãy xét hai tàu biển hình vẽ Tàu A di chuyển với vận tốc u theo hướng đông Tàu B di chuyển với vận tốc 2u theo hướng bắc Tại thời điểm t = 0, tàu B cắt ngang qua đường tàu A khoảng a phía trước tàu A (a) Tìm khoảng cách ngắn tàu, thời điểm họ đạt vị trí (b) Giả sử thời điểm t = 0, tốc độ tàu A u, hướng u thay đổi Tàu A cần chuyển động theo hướng khoảng cách hai tàu ngắn nhất, giá trị tối thiểu ngắn so với kết thu ý (a) bao nhiêu? Đáp án: (a) Theo hình bên trái, quỹ đạo tàu B cho đường BC hệ quy chiếu tàu A Khoảng cách ngắn cho chiều dài AC Khoảng cách ngắn AC = acos = Vận tốc tương đối tàu B tàu A vB/A = =u Thời gian để đạt đến khoảng cách nhỏ t= = b) Theo hình bên phải, để giảm thiểu khoảng cách ngắn nhất, vận tốc tương đối tàu B so với tàu A nên làm với AB góc nhỏ tốt Xét hướng thay đổi vận tốc tàu A, đầu vecto vận tốc tạo vịng trịn thể hình vẽ Góc tốt vận tốc tương đối cho tiếp tuyến với vịng trịn Do = Khoảng cách ngắn dmin = acos = a Do để giảm thiểu khoảng cách ngắn nhất, tàu A nên di chuyển theo góc phía hướng đơng bắc So với kết thu ý (a), khoảng cách ngắn cực tiểu ngắn - a = 0,028a Chuyển động hệ chất điểm Bài 1: Hạt có khối lượng m1 bay với vận tốc v10 tới hạt đứng yên có khối lượng m2=3m1 Sau va chạm đàn hồi, hạt thứ hai bay với vận tốc v2 theo phương hợp với véc tơ v1 góc 450 Xác định góc phương chuyển động trước sau va chạm hạt thứ Hướng dẫn: Kí hiệu v10, v20, v1, v2 vận tốc hạt trước sau va chạm; v’10, v’20, v’1, v’2 hệ khối tâm, vc vận tốc khối tâm C; vecto đơn vị i, j Từ hình vẽ v10  v10 i vC  m1 v01 v i  10 ; m1  m2 m2  3m1 v10'  v10  vC  v10 i Vậy: (1) v20   v10 i r '  ' (2) C Theo định luật bảo toàn xung lượng Các vecto v10' v1' có độ lớn khác phương, đó: v’10 = v’1; v’20 = v’2 Theo cách chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: v2  v2'  vC ; v1  v1'  vC (3) 450 (4) góc (v2 , vC )  450 v’2= vc góc (v2 , v2' )  450 Tức v2' vng góc với Ox v2'   v10 j (5) v1'  v10 j (6) Thay (6) vào (4): v1  v10 j  v10 i  v1x i  v1 y i 4 Vì vậy: tg  v1 y v1x 3 Bài 2: Cho hệ hệ trục toạ độ hình vẽ Cơ hệ gồm bốn vật nặng có khối lượng tương ứng m1 ; m2 ; m01 ; m02 Ban đầu người ta giữ hệ trạng thái tĩnh thả nhẹ Bỏ qua ma sát lực cản, khối lượng ròng rọc, cho dây mảnh nhẹ khơng giãn Tính độ lớn lực căng dây treo nếu: O X Y m02 m 01 m1 m2 a) m01; m02 giữ cố định b) m01; m02 để tự Kết thay đổi m01 & m02 có giá trị lớn Hướng dẫn: Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ a) + Vật m1 m1 g  T1/  m1 a1 y (1) + Vật m2 m2 g  T2/  m2 a2 y (2) a1 y  a y (3) T1  T1/  T2  T2/  T (4) Do dây không giãn không khối lượng nên  Từ (1), (2), (3) (4) T  2m1 m2 g (m1  m2 ) b.Gọi a01 ; a02 gia tốc vật m01; m02 + Vật m1 g  T1/  m1a1 y (5) m1   N1  m1a1 X  m1a01X  m1a01 (6) + Vật m 01 T1  Q1  m01a01X  m01a01 (7) + Vật m2 g  T2/  m2 a2 y (8) m2   N  m2 a2 X  m2 a02 X  m2 a02 (9) + Vật m02  T2  Q2  m02 a02 X  m02 a02 (10) Theo ĐLIII Niutơn ta có: T1  T1/  T2  T2/  T (11) Q1  N (12)  Q2  N Từ T T  a2 y  g  a1 y  g  m ; m2 (5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)   T T a  ; a02   01  m1  m01 m2  m02  Vật m1 xuống đoạn y1 , vật m2 xuống đoạn y2 làm khoảng cách hai vật m01 & m02 giảm đoạn y1  y Trong trình di chuyển m 01 dịch chiều dương đoạn X1 , vật m02 dịch ngược chiều dương đoạn X2 Ta có: y1  y  X  X  y1  y  X  X  a1 y  a2 y  a01  a02 (14) Từ (13)(14)  T  * Nếu lớn  T  2g 1 1    m1 m2 m1  m01 m2  m02 m01 & m02 có giá trị 2m1 m2 g (m1  m2 ) B A Bài 3: (TUYỂN TẬP ĐỀ THI OLYMPIC VẬT LÝ HONGKONG) C Hình chữ nhật khối A có khối lượng 3m đặt bề mặt nhám bảng Một khối B có khối lượng m với bề mặt nhám đặt đầu khối A Một sợi dây nhẹ nối khối A B, chạy qua ròng rọc nhẹ, nhẵn P1 P2 cố định mép bảng Một ròng rọc nhẹ, nhẵn P3 đặt sợi dây nằm rịng rọc P1 P2, khối C có khối lượng m treo rịng rọc P3 hình vẽ Gọi µ hệ số ma sát bề mặt tiếp xúc (a) Tìm phạm vi µ phải thỏa mãn để hệ trạng thái cân (b) Tìm phạm vi µ phải thỏa mãn để khối C di chuyển xuống dưới, khối A đứng yên Đáp án: a) Xét lực tác dụng lên vật C2 T = mg Xét lực tác dụng lên vật B N1 = mg, f1 =T = Xét lực tác dụng lên vật A N = N1 + 3mg; f = f1 + T Khi hệ trạng thái cân ta có: f1 µN1 f µN Đó mg T= = mg µmg µ Và mg µ4mg µ Giả sử gia tốc C a, gia tốc B 2a b) Xét lực tác dụng lên vật C mg – 2T = ma Xét lực tác dụng lên vật B N1 = mg; T – f1 = 2ma f1 = µN1 = µmg T - µmg = 2ma Từ (1) (3) ta có: a = g, T= (2) (3) (4) Xét lực tác dụng lên vật A N = 4mg, f = f1 + T Thay (2), (4) vào (5) ta có (1) (5) f = µmg + = Khi C tăng tốc nhanh dần hướng xuống A cịn đứng n thì: a Do Suy f g µ µN và µ (4mg) µ Bài 4: (TUYỂN TẬP ĐỀ THI OLYMPIC VẬT LÝHONGKONG) Một khối hộp có khối lượng M chiều dài L trượt bàn không ma sát di chuyển với vận tốc V0 không đổi sang bên phải Đột nhiên, vật nhỏ khối lượng m đặt vào đầu cuối bên phải khối hộp M Khối lượng m trượt tương đối so với khối M rơi đầu bên trái khối hộp M Gọi hệ số ma sát M m µ (a) Sự mát lượng học tồn phần q trình gì? (b) Tìm vận tốc cuối vật m tổng thời gian chuyển động m trước rơi xuống đầu bên trái (c) Giá trị nhỏ V0 gì? Đáp án: Lực ma sát tác dụng lên vật m f = -µmg = ma Gọi V v vận tốc M m m rời khỏi M v = gt Bảo toàn động lượng MV0 = mv + MV Định lý biến thiên động -fL = ( )- a) Cơ toàn phần bị mát mgL b) Bằng cách rút gọn ta có (Mm + v= ) – 2Mm (MV0 Từ vận tốc vật m phải nhỏ V, ta có v v= t= (MV0 = c) v thực, ta phải có (MV0 - Bài tập tự giải  Bài Một vật ném với vận tốc v0 , góc ném  Đến thời điểm vận tốc vật hợp với phương ban đầu góc  Tìm thời gian ĐS: t  v0 sin  g cos2   sin    Bài Hai vật ném thời điểm với vận tốc v01 ,v02 góc ném 1  Đến thời điểm t phương vận tốc hai vật vng góc Tìm t a  a  4b ĐS: t  với a  v01 sin 1  v02 cos(  1 ) 2g Bài Một ống uốn cong, dài l = m, quay xung quanh trục thẳng đứng OO’ với vận tốc góc   0,1rad / s Đầu hở ống hướng thẳng đứng xuống từ nước chảy với vận tốc ban đầu ống thực tế khơng Cách H = 10 m phía đầu hở ống mặt phẳng nằm ngang Hãy tìm bán kính vịng trịn mà vệt tia nước vẽ lên mặt phẳng Bài Một đĩa nhẵn bán kính R, mặt đĩa nằm ngang, quay xung quanh trục Từ mặt đĩa vật nhỏ chuyển động không ma sát đĩa, bật khỏi đĩa Vật bật khỏi đĩa khoảng cách so với trục thời gian trượt đĩa đĩa quay vòng? Bài Một vệ tinh nhân tạo phóng từ xích đạo Trái Đất quay theo quỹ đạo tròn mặt phẳng xích đạo theo hướng quay Trái Đất Hãy tím tỉ số bán kính quỹ đạo vệ tinh bán kính Trái Đất biết đặn ngày vệ tinh lại bay qua điểm phóng Bài Các phép đo vơ tuyến điện cho thấy Kim quay xung quanh trục theo hướng ngược với chuyển động theo quỹ đạo Chu kì quay quanh trục Kim (đối với sao) T1  243 ngày đêm Trái Đất Hãy xác định thời gian ngày mặt trời Kim, tức thời gian hai lần liên tiếp mặt trời qua kinh tuyến Kim, biết Kim quay xunh quanh mặt trời với chu kì T2  225 ngày đêm Trái Đất Bài Một cầu nặng bán kính R nằm mặt phẳng nằm ngang, điểm cầu có vật nhỏ đứng yên Gõ vào mặt cầu để bắt đầu chuyển động với vận tốc v Vật nảy llên đến độ cao sau va chạm đàn hồi với mặt phẳng ngang? Bỏ qua ma sát lực cản không khí Bài Bánh xe bán kính R lăn khơng trượt mặt phẳng ngang theo đường thẳng Ox Vận tốc tâm bánh xe không đổi Xác định vận tốc phương trình chuyển động chất điểm M vành bánh xe Cho biết t = 0, M tiếp điểm bánh xe với mặt ngang Bài Dịng sơng có chiều rộng l chảy theo kinh tuyến từ bắc xuống nam với vận tốc v Xác định độ lệch mức nước hai bờ vĩ độ quay quanh trục Trái Đất gây nên Bài 10 Chất điểm M chuyển động theo dây cung đĩa tròn với vận tốc tương đối v= const Đĩa tròn quay quanh tâm với gia tốc không đổi Xác định vận tốc gia tốc tuyệt đối chất điểm M dây cung Bài 11 Buộc vật khối lượng m vào đầu lò xo, đầu lại lò xo chốt cố định Khi truyền cho vật vận tốc đầu v hướng theo phương ngang Ox (vật nằm mặt phẳng ngang), vật dao động tác dụng lực đàn hồi lò xo FX = - x - ;( , = const; x độ giãn lò xo) Xác định độ dịch chuyển cực đại vật chuyển động từ trạng thái khơng giãn lị xo Bỏ qua ma sát Bài 12 Êlectrôn khối lượng m, điện tích e với vận tốc đầu v0 bay vào khoảng không gian hai cực tụ điện phẳng, theo phương vng góc với mặt cực Cường độ điện trường hai cực tụ điện E = E0sin t; (E0, số) Xác định độ lớn E0 để cho sau khoảng thời gian t = / , êlectrôn lại trở tới vị trí đầu chuyển động Khoảng cách tối đa hai cực phải để êlectrôn đến cực thứ hai? Bài 13 Chất điểm chuyển động theo quỹ đạo phẳng với vận tốc điện tích cịn giá trị vận tốc dài chất điểm tỉ lệ nghịch với khoảng cách không đổi, từ gốc tọa độ tới chất điểm (hệ số tỉ lệ a) Tìm phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo gia tốc chất điểm hàm , biết t = 0, , Bài 14 Quả cầu khối lượng m buộc vào đầu A AB độ dài l, khối lượng không đáng kể, sợi dây không khối lượng, đàn hồi, hệ số đàn hồi k Sợi dây luồn qua ống thẳng đứng CE buộc cố định đầu dây E, thời điểm đầu t = 0, A trùng với C Khi AB quay quanh phương CE, với B cố định, kéo sợi dây căng thêm đoạn CA góc ABC α Xác định áp lực cầu lên AB vận tốc góc A dạng hàm góc α Bài 15 Thanh AB có khối lượng không đáng kể, độ dài l, dao động quanh điểm B mặt phẳng thẳng đứng vớ góc lệch ; điểm B dao động mặt phẳng nằm ngang theo phương trình x = a + bsin Xác định vận tốc, gia tốc tiếp tuyến gia tốc toàn phần điểm A Bài 16 Ba AB, BC CD nối với ổ bi B C Các điểm A D chốt cố định cho AB CD quay quanh A D Các đồng chất có độ dài AB = CD = l; BC = AD = 2l Khi AB quay quanh A với vận tốc góc kéo BC CD chuyển động theo với AB mặt phẳng thẳng đứng Tìm tọa độ khối tâm hệ ba quỹ đạo khối tâm Bài 17 Người ta buộc hai trọng vật có trọng lượng P P1 vào đầu sợi dây không giãn vắt qua ròng rọc cố định B; đầu lại dây buộc vật A nằm mặt phẳng ngang, A B nằm mặt phẳng Khi vật chuyển động với vận tốc ban đầu không theo phương thẳng đứng qua đoạn đường S1 tới vòng C Tại C trọng vật P1 bị giữ lại, trọng vật P tiếp tục chuyển động thêm đoạn S2 dừng hẳn Xác định hệ số ma sát trượt vật A mặt phẳng ngang Bỏ qua khối lượng ròng rọc sợi dây Bài 18 Con lắc tốn học có khối lượng m, độ dài l treo tâm vật A khối lượng M nằm mặt phẳng ngang, nhẵn Khi lắc dao động kéo A chuyển động quanh vị trí cân mặt phẳng ngang Xác định phương trình chuyển động vật A phương trình dao động lắc Bài 19 (TUYỂN TẬP ĐỀ THI OLYMPIC VẬT LÝ HONGKONG TẬP 2) Một lắc đơn tạo thành từ vật nhỏ A treo vào cos t O A điểm cố định O sợi dây nhẹ khơng dãn có độ dài L Một D C E P đinh nhỏ P nằm O theo phương thẳng đứng đoạn L/2 B Con lắc nâng lên cho sợi dây căng OA nằm ngang sau thả cho vật nhỏ chuyển động Khi dao động, lắc đến vị trí dây treo thẳng đứng điểm B, có phần sợi dây điểm P tiếp tục chuyển động hình vẽ (a) Khi lắc tiếp tục chuyển động sợi dây bắt đầu bị chùng điểm C Tìm góc hợp PC đường thẳng đứng (b) Sau sợi dây trở nên bị chùng, vật tiếp tục di chuyển đạt độ cao tối đa tới điểm D Tìm chiều cao tối đa vật so với điểm P (c) Vật nhỏ sau qua điểm E bên O theo phương thẳng đứng Tìm khoảng cách E O Bài 20 (TUYỂN TẬP ĐỀ THI OLYMPIC VẬT LÝ ĐẶC SẮC 2018 TẬP 1) Một hệ gồm hai nêm đặt chồng lên đặt mặt nằm ngang Hệ số ma sát (cả trượt nghỉ) nêm µ, hệ số ma sát nêm bên B bề mặt nằm ngang µ, góc nêm Khối lượng nêm bên A mvà khối lượng nêm bên B M = 2m Một lực theo phương ngang F hướng sang trái tác dụng lên nêm bên hình vẽ Xác định phạm vi giá trị cho F cho nêm bên không trượt nêm bên Viết (các) câu trả lời bạn theo tất m, g, µ F A B ... dời Xét chất điểm chuyển động theo quỹ đạo Tại thời điểm t1, chất điểm vị trí M1 Tại thời điểm t2, chất điểm vị trí M2 Trong khoảng thời gian  t = t2 – t1 chất điểm dời từ điểm M1 đến điểm M2... IV ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM I Cơ hệ Khối tâm hệ Khái niệm hệ Cơ hệ tập hợp chất điểm tương tác với nhau, hay nói cách khác hệ hệ chất điểm Khối tâm hệ a) Định nghĩa Khối tâm hệ chất điểm M1, M2,... giản nhiều Một tập hợp chất điểm gọi hệ chất điểm Vật rắn hệ chất điểm khoảng cách tương hỗ chất điểm hệ khơng thay đổi Phương trình chuyển động phương trình quỹ đạo chất điểm a) Phương trình chuyển