Chuyên đề 26. Tích phân - đáp án

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM Dạng Tích phân Hàm ẩn Dạng 1.1 Giải phương pháp đổi biến b Thông thường toán xuất Câu f� u  x � � �dx � a ta đặt (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số �f  x  dx  5 f  x u  x  t liên tục �và thỏa mãn Tích phân A 15 � dx �f   3x   � � � B 27 C 75 Lời giải D 21 Chọn D Ta có 2 2 0 0 � dx  � f   x  dx  � 9dx  � f   3x  dx  18 �f   x   � � � Xét f   x  dx � , đặt t   x � dt  3dx � dx   dt 5 1 f   x  dx   � f (t )dt  � f (t )dt � 31 5 Đổi cận x  � t  ; x  � t  5 Suy 1 1 � dx  � f (t )dt  18  � f ( x)dx  18  21 �f   3x   � � � 5 5 Khi Câu f  x (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số 10 10  0;10 thỏa mãn �f  x  dx  7, �f  x  dx  P� f  x  dx Tính B P  6 A P  liên tục đoạn C P  Lời giải D P  12 Chọn C Ta có: 10 10 0 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  � P� f  x  dx Xét Đổi cận: t  x � dt  2dx � dx  dt Đặt Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lúc đó: P� f  x  dx  2 1 f  t  dt  � f  x  dx  � 20 20 Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho A 15 B 13 I � f  x  dx  26 Khi C 54 Lời giải � J � x� dx �f  x  1  1� D 52 Chọn A + Ta có: 2 0 � J � x� xdx  � xf  x  1 dx �f  x  1  1�dx  � + Xét A� xdx A� xdx  2 x 2 B� xf  x  1 dx + Xét Đặt t  x  � dt  xdx Đổi cận: x t Ta có: B� xf  x  1 dx 5  1 f  t  dt  � f  x  dx  26  13 � 21 21 Vậy J  A  B  15 Câu (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số y  f ( x) liên tục � thỏa mãn  f  sin x  cos xdx  � A I  f  x  dx  � Tích phân I � f ( x)dx B I  C I  Lời giải D I  10 Chọn C Đặt t  x � dt  Suy f x  x  dx  � 1 x dx Khi x  � t  1; x  � t  3 1 f (t )dt  � � f (t )dt  � �  �  t  sin x; x ��  ; �� dt  cos dx x  � t  0; x  � t  �2 2� Đặt Khi Suy 3 0 f ( x)dx  � f ( x)dx  � f ( x)dx    � Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết A P  15 B P  37 �f  x  dx  15 Tính giá trị C P  27 Lời giải 1 P� � dx �f   x   � � D P  19 � dx =  d t Đặt t   3x � dt  3dx Đổi cận: x  t  ; x  t  1 2 1 0 P� � dx  � f   x  dx + � 7dx  �f   3x   � � Ta có:  15  14  19 �f  t  dt  7x  � f  t  dt  14 3 1 Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho f  x  dx  2018 � Tính tích phân I � � dx �f  x   f   x  � � B I  2018 A I  Ta có 2 0 C I  4036 Lời giải D I  1009 I � f  x  dx  � f   x  dx  H  K Tính K � f  x  dx Đặt t  x � dt  2dx ; đổi cận: x  � t  2; x  � t  Nên K � f  t  dt  1009 20 Tính H � f   x  dx , Đặt t   x � dt  2dx ; đổi cận: x  � t  4; x  � t  Nên Suy I  K  H  2018 Câu Cho y  f  x hàm số chẵn, liên tục H f  t  dt  1009 2� f  x  dx  � f  2 x  d x   6;6 Biết � 1 ; �f  x  dx I Giá trị A I  Ta có 1 B I  y  f  x hàm số chẵn, suy C I  14 Lời giải f  2 x   f  x  Khi đó: D I  11 3 1 f  2 x  dx  � f  x  dx  � Xét tích phân: I1  � f  x  dx Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt t  x � dt  2dx � dt  dx Đổi cận: x  � t  ; x  � t  6 1 I1  � f  t  dt  � f  t  dt  � � f  t  dt  � � f  x  dx 6 22 � 2 6 1 1 f  x  dx    14 �f  x  dx  �f  x  dx  � I Vậy Câu (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số 2 �f  x  dx  2018 f  x liên tục �  , tính A I  1008 I � xf  x  dx B I  2019 C I  2017 Lời giải D I  1009  Xét Đặt I � xf  x  dx t  x � dt  xdx � xdx  dt 2 Đổi cận: x  � t  0; x   � t   Khi I 2 f  t  dt  � 2 �f  x  dx  1009 Câu (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho A B x t Đặt f Suy Vậy � x x 2 1 f  t  2dt  2� f  t  dt  2.2 � � x D  f  x  1 xdx  � B Khi C I � f  x  dx D 1 Lời giải Đặt  x  dx (Sở Hà Nội 2019) Cho A f dx  2dt x Khi x  t  ; x  t  Câu 10 Khi C Lời giải  x  dx  � x dx  dt �  x  dx  � f f  x  dx  � x   t � 2xdx  dt � xdx  dt Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đổi cận x  1� t  2; x  � t  5 5 2� f  x  1 dx  � f  t  dt � � f  t  dt  � I  � f  x  dx  2 2 Suy ra:  1;3 thỏa mãn điều kiện Câu 11 Cho f , g hai hàm số liên tục f  x  g  x � dx=6 � � � � A Tính B +2 C Lời giải 3 3 1 f  x  g  x � dx=6 � 2� f  x  dx-� g  x  dx=6 � � � � Đặt 1 đồng thời D dx=10 � � f  x  dx+3� g  x  dx=10 � �f  x   3g  x  � � � f   x  dx � g  x  1 dx � Ta có: dx=10 � �f  x   g  x  � � � u� f  x  dx; v = � g  x  dx �3 f  x  dx=4 �� �1 � �3 u  3v  10 u4 � � � g x dx=2 �� � ��  u  v  v  � � �1 Ta hệ phương trình: f   x  dx � + Tính Đặt t   x � dt  dx; x  � t  3; x  � t  3 3 1 f   x  dx  � f  t   dt   � f  t  dt  � f  x  dx  � g  x  1 dx � + Tính Đặt z  x  � dz  2dx; x  � z  1; x  � z  g  x  1 dx  � Vậy 3 1 g  z  dz  � g  x  dx  � 21 21 +2 f   x  dx � g  x  1 dx = � Câu 12 Cho hàm số A I  16 f  x liên tục � thỏa B I  18 f  x  dx  � f  3x  1 dx  � C I  Lời giải I � f  x  dx Tính D I  20 A� f  x  dx  B  � f  3x  1 dx  0 , đặt t  3x  � dt  3dx Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  � t 1 Đổi cận : x  � t  7 7 B � f  t  dt  � � f  t  dt  18 � � f  x  dx =18 1 Ta có: Vậy Câu 13 7 0 I � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  20 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho f  x  dx  � f  x f  x   f  10  x  liên tục � thỏa mãn Tính A 80 I � xf  x  dx B 60 C 40 Lời giải D 20 Đặt t  10  x Khi dt  dx Đổi cận: x  � t  x  7�t 3 7 3 I  �  10  t  f  10  t  dt  �  10  t  f  10  t  dt  �  10  x  f  10  x  dx Khi 7 7 3 3 � f  x  dx  � xf  x  dx  10� f  x  dx  I  10  x  f  x  dx  10� Suy I  10 � f  x  dx  10.4  40 Do I  20  Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho f  x  dx  � Tính I� f  sin 3x  cos 3xdx A I  B I  C I  Lời giải D I  Đặt t  sin x � dt  3cos x.dx �x  � t  � �  �x  � t  Đổi cận: �  1 I � f  sin 3x  cos 3xdx  � f  t  dt   30 Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Cho tích phân I � f  x  dx  32 Tính tích phân J � f  x  dx A J  32 B J  64 C J  Lời giải D J  16 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 dt t  x � dt  2dx �  dx Đặt Đổi cận: x  � t  0; x  � t  4 1 J � f  x  dx  �f  t  dt  � f  t  dt  I  16 20 0 Câu 16 (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết f  x hàm liên tục � f  x  dx  � Khi giá trị �f  3x  3 dx A C 27 Lời giải B 24 D Xét I � f  x   dx Đặt t  3x  � dt  3dx 9 �x  � t  1 I � f  t  dt  � f  x  dx   � 30 Đổi cận: �x  � t  Vậy 1 Câu 17 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2 x )dx  � Tích phân f ( x)dx � A B Đặt t  x � dt  2dx � x 0�t 0 x 1� t  Ta có dx  C Lời giải D dt 2, 2 f (t ) dt 2� f (2 x)dx  �  � f (t )dt � � f (t )dt  20 0 Theo tính chất tích phân 2 0 f (x)dx  � f (t)dt  � f ( x )dx  � Vậy 2017 Câu 18 Cho hàm A I f  x 2017 thỏa mãn �f  x  dx  B I  Tính tích phân I � f  2017 x  dx C I  2017 Lời giải D I  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 dt t  2017 x � d t  2017d x 2017 Đặt Đổi cận: x  � t  ; x  � t  2017 � dx  I Vậy 2017 �f  t  1 dt  2017 2017 2017 �f  t  dt  2017 Câu 19 Cho tích phân f  x  dx  a �   I � xf x  dx Hãy tính tích phân a a I I B C Lời giải A I  4a theo a D I  2a Đặt t  x  � dt  xdx Đổi cận   I � xf x  dx  � f  t Câu 20 2 dt 1 a  � f  t  dt  � f  x  dx  21 21 (Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số  tan x f  cos x  dx  � A f  ln x  �x ln x f  x f  2x dx � x liên tục � thỏa mãn dx  Tính e B  * e2 D C Lời giải  f  cos x  I1  � tan x f  cos x  dx  � sin2xdx cos x Đặt cos x  t � sin xdx  dt Đổi cận x t 1 f  t � dt  f t   � I1   � dt t 21 t Khi  2 e f  ln x  ln x I2  � dx  � dx x ln x ln x x e e e2 * f  ln x  Đặt ln x  t Đổi cận � ln x dx  dt x x t e e2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Khi I2  f  2x  I � dx x * Tính Đổi cận TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 f  t f  t d t � � dt  � 21 t t 4 � dx  dt Đặt 2x  t x t Khi Câu 21 4 f  t f  t f  t I  � dt  � dt  � d t    t t t 1 2 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số  0 I  2� f  sin x  cos xdx  3� f   x  dx A I 71 B I  31 �x  x ; x �1 y  f  x  �  x; x 1 � Tính C I  32 Lời giải D I 32  Xét tích phân Đổi cận x t I1  � f  sin x  cos xdx Đặt t  sin x � dt  cos xdx  1 1 � x2 � I1  � f  t  dt  � f  x  dx  �   x  dx  �5 x  �  �0 � 0 Ta có Xét tích phân Đổi cận x t Ta có I2  � f   x  dx Đặt t   x � dt  2dx � dx  dt 1 3 3 � � 10 � 22 1 1 �x I2  � f   x  dx  � f  t  dt  � f  x  dx  � x  d x  18  �   �  3x �  � 21 21 21 �3 3� � � Vậy  0 I  2� f  sin x  cos xdx  3� f   x  dx   22  31 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 22 (THPT   sin xf � Yên Khánh 3cos x  3cos x  I � f  x  dx  - Ninh Bình- 2019) Cho Giá trị  dx  B A C Lời giải D 2 �  �x  � u  � 2 u  3cos x  � u  3cos x  �  udu  sin xdx � Đặt Đổi cận �x  � u   Do sin xf �  3cos x  3cos x   dx  2 2uf  u  2 d u  f u d u  f  x  dx    � � � 3u 31 31 Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết f  x  dx  � f  x  dx  20 � Tính ln f  x  3 dx  � f e e � 2x A 2x dx I 15 I B I  15 C Lời giải D I  25 Chọn A Đặt t  x  � dt  4dx 5 � 1 1� 25 f  x  3 dx  � f  t  dt  � f  t  dt  � f  t  dt �   20   � � 41 �1 4 � 2x 2x Đặt u  e � du  2e dx ln 2x 2x f e e dx  f  u  du    � � 21 Vậy Câu 24 I 25 15   4 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f ( x ) hàm số liên tục �thỏa 2 f ( x )  f (2  x )  x.e x , x �� Tính tích phân A I e 1 B I 2e  I � f ( x )dx C I  e  Lời giải D I  e  Đặt x   t � dx   dt Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ mãn NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 2 2 2 2 2 2 � K  2� f  x  dx  � f   x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  2 dx �  �  ��  ; � � 2 �, 2 Đặt ; x  tan  , d dx  d  tan       tan   d cos  Ta có:   x  2 �    x  �  ; Với Với J �x   Do    tan   d J � d  �   2  tan      4       3   K  J � 5� f  x  dx  � � f  x  dx   1 ,    3 , ta có 20 2 2 Từ    I� f  x  dx   � m  20 m 2 Mà theo giả thiết, nên m 20 2 dx � x 4 Chú ý: Có thể tính nhanh 2 dx x  arctan  C � Từ đó: x  dx � cơng thức: x  a 2 dx x 1�  � �2  arctan   arctan1  arctan  1   � x 4 2 2 2 �4 2 Câu (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa -2019) Cho hàm số f  x  f  x  A I  20 x  arctan  C a a �  � �  � � � � 4� � f  x f  x , liên tục � thõa mãn I  �f  x  dx 2  x Tính   I I 10 20 B C Lời giải D I  10 f   x  dx 2 Tính � Đặt t   x � dt  dx Đổi cận x t 2 2 2 2 2 2 2 � �f   x  dx   �f  t  dt  �f  t  dt  �f  x  dx 1 dx f  x   f   x   dx  � ��  2  x 4 x 2 2 dx � �5 f  x  dx  � 2  x 2 f  x  f  x  Trang 94 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 � �f  x  dx  2 1  �  �x �2  arctan � �  � d x �  � 2  x �2 �2 10 �4 � 20 5� (Hà Nội - 2018) Cho hàm số Câu �f   x  dx  2 y  f  x A I  10  4; 4 biết f  2 x  dx  � hàm lẻ liên tục Tính B I  6 I � f  x  dx C I  Lời giải D I  10 �f   x  dx  Xét tích phân 2 Đặt  x  t � dx  dt Đổi cận: x  2 t  ; x  t  2 0 �� f  t  dt  � � f  x  dx  Do hàm số Do y  f  x 0 2 f  t  dt f  t  dt  � �f   x  dx   � hàm số lẻ nên 2 1 f  2 x    f  x  f  2 x  dx   � f  x  dx � � f  x  dx  4 � Xét f  x  dx � Đặt 2x  t � dx  dt Đổi cận: x  t  ; x  t  Câu 4 0 I � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx    6 (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hàm số mãn A f  t  dt  4 2� �� f  t  dt  8 � � f  x  dx  8 Do f  x  dx  � f  x  f  x  P e  Biết x f  x liên tục đoạn   ln 2;ln 2 thỏa ln �f  x  dx  a ln  b ln  a; b �� Tính P  a  b  ln B P  2 C P  1 Lời giải D P  ln I Gọi �f  x  dx Đặt t   x � dt  dx Đổi cận: Với x   ln � t  ln ; Với x  ln � t   ln  ln Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 95 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 I   ln ln ln ln  ln  ln Ta �f  t  dt  �f  t  dt  �f   x  dx ln Khi ta có: 2I ln �e x Xét  ln  �f  x  dx   ln ln �f   x  dx   ln ln �f  x   f   x  � �dx  ��  ln ln �e x  ln dx 1 dx  Đặt u  e x � du  e x dx Đổi cận: Với x   ln � u ; x  ln � u  ln ln ex 1  d x  � du dx �x x x � u  u  1 e   ln e  e  1  ln  ln Ta ln ln  �1 �  du   ln u  ln u   � �� �u u  �  ln Vậy ta có Câu 2  ln 1 b  0� ab  2, a y  f  x (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho f  x  dx  � Giá trị B A Do f  x  dx  2� f  x  dx  � f  x dx � 1 x 2 C Lời giải f  x  dx 1 f  x  dx  � � 2� hàm số chẵn liên tục � Biết D f  x  dx  � �� f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  f  x f  x f  x dx  �x dx dx  �x x � 1 1 2 2  1 0 y  f  x Mặt khác hàm số chẵn, liên tục � � f   x   f  x  x �� f  x I  �x dx  2 Đặt t   x � dx   dt Xét f  t  x 0 dt = 3t f  t  f  x f  x f  t  � d t = dx � I  �x dx   �t dt = 1 � � 3t  3x  1 1 0 3t 2 f  x � �x dx  1 2 2 x 2 f  x f  x f  x f  x dx  �x dx  dx  �x dx  � x x � 1 1 1 1 2 0 0 3 � x  1 f  x  3x  f  x  dx  � Trang 96 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ dx  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (SGD&ĐT BRVT - 2018) Hàm số hàm số chẵn liên tục � f  x  dx  10 � Tính f  x I f  x dx � 1 x 2 A I  10 I 10 C I  20 Lời giải Đặt t   x � dt  dx Đổi cận: x  2 � t  , x  � t  2 2 f  t 2t 2x I  � t dt  �t f  t  dt  �x f  x  dx    2 2 2 B f  x 2 D I  2x f  x  dx  � f  x  dx  � � I  �x dx  �x f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  10   2 2 2 2 2 Mặt khác f  x f  x  f  x hàm số chẵn nên J Xét �f  x  dx 2 , đặt t   x � dt  dx 2 0 �J � f  t  dt  � f   x  dx  � f  x  dx  10 Câu 10 y  f  x (Yên Phong - 2018) Cho hàm số �f  x  dx  1 Kết x f  x �  2018 x dx 1 hàm số chẵn, liên tục đoạn  1;1 dx 1 B A Xét tích phân f  x �  2018 � I  20 � I  10 - D C Lời giải Đặt x  t ; dx   dt ; x  1 � t  ; x  � t  1 f  t 2018t f  t  dt  dt f  x f  t  t � � 1  2018 dx  dt   1 �  2018 x = �  2018 t = 2018t 1 = 1 1 2018 x f  x  f  x dx dx � x x � Vậy 1  2018 + 1  2018 = f  x dx  x �  2018 Do 1 = Câu 11 �f  x  dx 1 (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho � f  x f  a  x  � �f  x   0, x � 0; a  a dx  � 1 f  x 2018 x f  x  �1  2018x dx 1 ba , c f  x = hàm liên tục đoạn  0; a  thỏa mãn b b , c hai số nguyên dương c phân số tối giản Khi b  c có giá trị thuộc khoảng đây?  11; 22   0;9   7; 21 A B C Lời giải Cách Đặt t  a  x � dt  dx D  2017; 2020  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 97 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đổi cận x  � t  a; x  a � t  Lúc Suy Do a a a a f  x  dx dx dt dx dx I � � � � � 1 f  x a 1 f  a  t  1 f  a  x 1 1 f  x 0 f  x a a f  x  dx a dx 2I  I  I  � � � 1dx  a  f x  f x     0 I a � b  1; c  � b  c  2 x 2020 2a d x  �x b Tính tổng S  a  b Câu 12 (Chuyên Sơn La - 2020) Tích phân 2 e  A S  B S  2021 C S  2020 D S  4042 Lời giải Chọn D I Xét x 2020 dx x � e  2 Đặt x  t � dx  dt Đổi cận x  2 � t  2; x  � t  2 I 2  t  �e t 2020 1  dt   Ta 2 t 2020 t 2020 e t x 2020 e x d t  d t  dx t x � � � e  e  2 2 2 1 et 2 22021   2  x 2020 x 2020 e x x 2021 I  I  I  �x dx  � x dx  � x 2020 dx   e 1 e 1 2021 2 2021 2 2 2 2 Suy Do Câu 13 I 2021  22022 2021 2021 2021 Suy a  b  2021 Vậy S  a  b  4042 f  x (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f  x  f  x  x e  Biết A P  2 B liên tục đoạn   ln 2;ln 2 thỏa mãn ln �f  x  dx  a ln  b ln 3,  a, b ��  ln P Tính P  a  b C P  1 Lời giải D P  Chọn B ln Từ giả thiết suy �f  x   f   x  � �dx  ��  ln ln Ta có �f  x   f   x  � �dx  ��  ln ln �e x Mặt khác ln  ln ln ln �e x  ln dx 1 ln ln ln  ln  ln  ln �f  x  dx  �f   x  d   x   �f  x  dx ln 1 � �1 dx  � x d  ex   �  x �d  e x  x x � 1 e e  1�  ln  e  1 e  ln � ln 1 ln  �x d  e x   �x d  e x  1  x  ln  ln  e x  1 e e 1  ln  ln ln  ln  ln  ln  ln  ln Trang 98 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  ln 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ln Suy 1 �f  x  dx  ln � a  , b  � a  b   ln Câu 14 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho f  x �  2019 tích phân 1 A 2019 x f  x hàm số chẵn f  x  dx  � Giá trị dx B D C Lời giải Chọn B f  x dx x �  2019 1 I Đặt t   x �  dt  dx Cận 1 f  t  f  t 2019t f  t  I  � dt  � dt  � dt  2019 t  2019  t  2019t 1 1 2019t 1 f  t    2019t  2019t f  t  f  t � 2I  � dt  � dt  � dt  2019t  2019t  2019 t 1 1 1 1 1 1 � 2I  f  t  dt  2.2 � I  �f  t  dt  2� Dạng 2.2 Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối b Tính tích phân: f  x Bước Xét dấu I � f  x  dx a đoạn ?  a; b  Giả sử đoạn  a; b  phương trình f  x  có nghiệm xo � a; b  có bảng xét dấu sau: xo b a   f  x x Bước Dựa vào công thức phân đoạn dấu b xo b a a xo I � f  x  dx   a; xo  ,  xo ; b  f  x � � � �dx  A  B �f  x  dx  � ta được: Sử dụng phương pháp tính tích phân học tính A, B � I a Câu 15 Cho a số thực dương, tính tích phân I �x dx 1 theo a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 99 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a2  I A a2  I B 2a  I C Lời giải D I 3a  Chọn A Vì a  nên a 1 I  � x dx  � x dx  a2  a2   2 m 2mx  dx  � m  Câu 16 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho số thực thỏa mãn Khẳng định sau đúng? m � 4;6  m � 2;  m � 3;5  m � 1;3 A B C D Lời giải m  � 2m  � 1 m  1, x � 1; m  � 2mx   2m Do Do với Vậy m m 1 2mx  dx  �  2mx  1 dx   mx  x  � m  m3  m  m   m3  2m  1 m0 � m3  2m   � � m�2 � Từ theo ta có Do m  m  Câu 17 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Khẳng định sau đúng? A 1 C �x dx  �x dx 1 2018 B � 1 x  x  dx  �  x  x  1 dx �e  x  1 dx  �e  x  1 dx x 2 2018 1    � x 2 D Lời giải   cos xdx  �  sin xdx  Chọn B 1 �2 � x  x   x  x    �x  �  0, x �R 4 � 2� Ta có: 2018 Do đó: � 1 x  x  dx  �  x  x  1 dx 2018 1 Câu 18 x2 �x  dx  a  b ln  c ln (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tích phân nguyên Tính P = abc A P  36 B P  C P  18 Lời giải Chọn A Ta có với a, b, c số D P  18 Trang 100 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x2 x2 x2 dx  � dx �x  dx  � x 1 x 1 1 2 � � � �  � 1 dx  � 1 dx � � � � x 1� � x 1 � 1�    x  3ln x     x  3ln x       3ln 3   3ln   3ln   3ln   ln  3ln Vậy a  2, b  6, c  � P  abc  36 x  2m � Câu 19 2 dx  (Chuyên Hạ Long 2019) Có số tự nhiên m để A Vô số B C Duy x �  2m  dx D Lời giải �x  2m 2 dx  Ta có: x �  2m  dx  * � x  m x  2m  � � xm �  * TH1 Nếu m  � x  2m   1 � �2 x  2m    *  � m � TH2 Nếu thi với x � 0;2 ) m   1 � m  m �0 �� �m  m � � � m �0 ��۳ �   �m �2 ) m  (vô nghiệm) �m �0 � �m � m � m   m �0 ��  1 �2 �m  m (vô nghiệm) � �m �0 �� � �   �m �2 Suy  �m �0 � �m �  m � m � �;  � ��� ;  � � 0 giá trị cần tìm I Câu 20 �2  1 (Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Tính tích phân A ln B ln C ln x x dx D ln Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 101 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 I �2  x x dx 1 x x ta có   � x  x x �2  dx  �I  1 x x x  2 x dx  �2  dx  � 1 0  2x  2 x  dx  � 2 � x 1  2 x  dx �2 x  2 x � �2 x  2 x � � � � � � ln �1 � ln �0 ln Câu 21 (KTNL Gia Bình 2019) Cho hàm số f  x liên tục � có f  x  dx  � f  x  dx  � ; 0 I Tính �f  x   dx 1 A I  I B I  C Lời giải D I  Chọn D I f  x  1 dx  I �f  x   dx  �f   x  dx  � 1 1  I2 3 1 f  t  dt  � f  x  dx  I1  � f   x  dx   � f   2x d   2x   � 20 20   Xét Xét 1 I2  � f  x  1 dx  � f  x  1 d  x  1 1  f t d t  f  x  dx    1 � � 2 0 2 Vậy I  I1  I  Câu 22 (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) liên tục � có f ( x)dx  � �f ( x  1)dx Tính 1 A 11 B 1 1 1 C Lời giải D f ( x  1)dx �f ( x  1)dx  �f ( x  1)dx  � Ta có  f (4 x  1)dx �f (1  x)dx  � 1 4  I  J Trang 102 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ f ( x)dx  � TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 I �f (1  x)dx +) Xét Đặt t   x � dt  4dx; 1 x  1 � t  5; x  Với I � t  5 1 f (1  x)dx  � f (t )( dt )  � f (t )dt  � f ( x)dx 1 � 4 1 0 J � f (4 x  1) dx +) Xét Đặt t  x  � dt  4dx; Với x  � t  3; x  1 � t  3 1 J � f (4 x  1)dx  � f (t )( dt )  � f (t )dt  � f ( x)dx 2 40 40 Vậy �f ( x  1)dx  1 Câu 23 f  x Cho hàm số f  x  dx  � liên tục � thỏa f  x  dx  14 � Tính �f  x   dx 2 A 30 B 32 C 34 Lời giải D 36 f  x  dx  � + Xét Đặt u  x � du  2dx ; x  � u  ; x  � u  Nên 2� f  x  dx  2 f  u  du � � f  u  du  2� 0 f  x  dx  14 � + Xét Đặt v  x � dv  6dx ; x  � v  ; x  � v  12 Nên 12 12 14  � f  x  dx  � f  v  dv � � f  v  dv  84 60 0 + Xét 2 2 2 f  x   dx �f  x   dx  �f  x   dx  �  Tính I1  �f  x   dx 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 103 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt t 5 x 2 Khi 2  x  , t  5 x  � dt  5dx ; x  2 � t  12 ; x  � t  12 2 � 1� 1  f t d t  f  t  dt �  84    16   I1  f t d t   � � � � �0 12 � I1  � f  x   dx  Tính t 5 x 2 Đặt  x  Khi , t  x  � dt  5dx ; x  � t  12 ; x  � t  12 12 � 1� f  t  dt  � f  t  dt �  84    16 I2  � f  t  dt  � � �0 52 � Vậy Câu 24 �f  x   dx  32 2 (Phong - 2018) Cho hàm số f  x liên tục  0;3 0 f  x  dx  2; � f  x  dx  � tích phân A �f  x   dx  ? 1 B D C Lời giải �f  x   dx  1 Ta có I Tính f  x  1 dx  I  J �f   x  dx  � 1 �f   x  dx 1 Đặt t   x � dt  2dx Đổi cận x  1 � t  3; x  �t  1 1 �I  � f  t  dt  � f  t  dt  � f  x  dx   23 20 20 J � f  x  1 dx Tính x � t  0; x  � t  Đặt t  x  � dt  2dx Đổi cận 1 1 �J  � f  t  dt  � f  x  dx   20 Vậy �f  x   dx  I  J    1 Trang 104 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Giá trị TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f ( x )dx  � Câu 25 Cho hàm số f ( x ) liên tục � có 11 A B f ( x )dx  � C Lời giải �f ( x  1)dx Tính 1 D Chọn C �f ( x  1)dx  1 Ta có: A Tính: 1 �f (4 x  1)dx 1 �A f (4 x  1)dx �f (4 x  1)dx  � t  4 x  �  dt  dx Đặt 1 f (t )dt  � f (t )dt  � 45 40 B� f (4 x  1) dx Tính: t  x  � dt  dx Đặt �B f (t )dt  4� Vậy �f ( x  1)dx  A  B  1 Câu 26 Cho hàm số y  f  x xác định R thỏa mãn f�  x  f �  x  2x x  x  với số f    m f  3  n T  f  2   f   thực x Giả sử , Tính giá trị biểu thức A T  m  n B T  n  m C T  m  n Lời giải D T   m  n Chọn B Với số thực x , thay x  x vào biểu thức f�  x  f �  x  x  x   x 1 hay f�  x  f �  x  2f�  x  f �  x  2x x  x  (1), ta 2x x  x  (2) x f�  x  x  x  với Nhân hai vế (2) với sau trừ theo vế cho (1), rút gọn suy số thực x Xét I� f�  x  dx  3 2 � x 3 x dx  x2  Đặt u   x , ta du  dx Đổi cận: Khi x  3 � u  x  � u  2 Ta Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 105 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3 u u x 2 I  � f�  du   � du  � dx  �  x  dx  u    u   u  u 1 x  x 1 2 2 2 2 �f � x  dx  f    f  3 I Mà 3 I (3) �f � x  dx  f  3  f  2  2 f    f     f    f  2  Từ (3) (4), ta f  2   f  3  f  3  f    n  m (4) suy Dạng 2.3 Tích phân nhiều hàm 2x � � f  x  � a x  x2 � a Câu 27 Cho số thực hàm số a 2a   A B  x �0  x  Tính tích phân a  C Lời giải �f  x  dx bằng: 1 2a  D Chọn A f  x  dx  �f  x  dx  � f  x  dx  �2 xdx  � a  x  x  dx Ta thấy, � 1 1 1 1 �x x3 � �1 � a  a �  �  1  a � �  1 �6 � �2 �0    x � ex  m x �0 � f  x  � x  x x  liên tục � Câu 28 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số R �f  x  dx=ae  b 3c , 1  a, b, c �Q  Tổng a  b  3c C 19 Lời giải B 10 A 15 D 17   lim f  x   lim  e x  m   m  lim f  x   lim x  x  f  0  m  x � x � x � Ta có , Vì hàm số cho liên tục R nên liên tục x  x �0 Suy lim f  x   lim f  x   f   x �0 Khi x �0 2x �f  x  dx = � 1 1 =   x2   x2 1  x dx  �  e  1 dx = �3  x d   x   �  ex  1 dx x   ex  x   e   1 hay m   � m  1 c 2 1 22 22 Suy a  , b  , Vậy tổng a  b  3c  19 �max { e , e }dx x Câu 29 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tính tích phân 1- x Trang 106 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  A e  Ta có:  e e B e x �۳-۳ e1- x x 2x C e  e Lời giải Suy ra: x �1- x � e �x � � � max { e x , e1- x } = � � � e x �x �1 � � � 1 1- x e I =� max { e x , e1- x }dx = � e1- x dx + � e x dx =0 Do 1 1 =- e + e + e - e = ( e 2 3 e ) 1� 1� e � � D � e � 3 +e x 1  �x + x �1 � I = f sin x cos xdx + y = f ( x) = � �( ) �f ( - x)dx � x x < 0 � Câu 30 Cho hàm số Tính 71 32 I= I= A B I = 31 C I = 32 D Lời giải Chọn B  I1 = 2�f ( sin x ) cos xdx + Xét tích phân: Đặt: t = sin x � dt = cos xdx Đổi cận: với x = t = , với  t = x=  1 0 0 I1 = �f ( sin x ) cos xdx = �f ( t ) dt = �f ( x) dx =2 � ( - x ) dx = ( 10 x - x ) = + Xét tích phân: Đặt: I = 3�f ( - x )dx t = - x � dt =- 2dx � dx =- dt Đổi cận: với x = t = , với x = t = 1 3 I = 3�f ( - x )dx =- �f ( t )dt =- �f ( x )dx 3 1 �1 � =- � x + 3) dx = � - x - x� � ( � � = 22 � �2 � Vậy:  0 I = 2�f ( sin x) cos xdx + 3�f ( - x)dx = + 22 = 31 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 107 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 108 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... 1 I � f  sin 3x  cos 3xdx  � f  t  dt   30 Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế -2 019) Cho tích phân I � f  x  dx  32 Tính tích phân J � f  x  dx A J  32 B J  64 C J  Lời giải D J ... f ( 5) - f ( x) - �f ( x) xdx = 25 - 2� xf ( x ) dx +) Ta có: �xf (5x)dx =1 5 t t � � f (t)d =1 � � tf (t)dt = 25 5 0 Đặt 5x = t Vậy I  25  �25  25 Câu 48 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2 020)... � dt  � dt  � dt  7 � x 21 t 21 t 21 t Câu 28 (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Cho hàm số e 2018 1 2018 �f  x  dx  A Khi tích phân B e 2018 1 �x I Đặt �x   x f ln  x  1