b Trong trường hợp tổng quát, không tính x x1, 2hay tìm một hệ thức liên hệ giữa S và P độc lập với m... ” Khi đang đi trên cây cầu sắt sử dụng cho tàu hỏa dài 120m thì tôi thấy 1 chiếc
Trang 1THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2008 - 2009
MÔN TOÁN CD Khóa thi ngày 7 - 6 - 2008 Thời gian 150 phút Câu 1: (2 điểm) Giả sử là hai nghiệm của phương trình: mx2 −(m+ 3)x+ 2m+ = 1 0
a) Tính tổng S và tích P của hai nghiệm Biết S - P = 1, tính m x x, ,1 2
b) Trong trường hợp tổng quát, không tính x x1, 2hay tìm một hệ thức liên hệ giữa S và P độc lập với m
Câu 2: ( 2 điểm)
a) Giải hệ phương trình
⎪
⎨
⎪⎩ Với xy<0 b) Giải phương trình 2x x( + −1) x2 =1
Câu 3: (1 điểm) Một phân số P có dạng
3
a P a
= + với a là số nguyên dương Nếu mẫu số tăng thêm một thì phân số giảm 11
325 Tính P
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8
a) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I, bán kính Tính IA
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính R Tính
2 2
OI
R − Rr
c) Dựng AH vuông góc BC tại H và HK vuông góc AC tại K Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC cắt AB tại E (E khác B) Tính nAEH
Trang 2” Khi đang đi trên cây cầu sắt (sử dụng cho tàu hỏa) dài 120m thì tôi thấy 1 chiếc xe lửa tốt hành đang lao tới
Thay vì chạy cùng chiều với xe lửa tôi quyết định chạy nước rút ngược chiều xe lửa Dù là vô địch chạy nước rút của trường, tôi cũng chỉ chạy được với vận tốt 18km/h vì đang mang ba lô trên lưng May mắn thay, khi tôi chạy đến đầu cầu bên này thì 2 giây sau xe lửa mới đến nên tôi
đã kịp tránh sang một bên
Khi hòan hồn lại, tôi tính được rằng nếu tôi chạy cùng chiều với xe lửa thì ngay khi đến cầu bên kia tôi sẽ bị xe lửa đụng May thật!”
Biết xe lửa chạy với vận tốc 72km/h, em hãy tính khi thấy xe lửa, anh sinh viên đang ở cách đầu cầu bên này bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải Câu 1:
a) Theo định lý Viet ta có 1 2
1 2
3
m
S x x
m m
P x x
m
+
⎧ = + =
⎪⎪
⎪⎩
(m≠ 0)
Với S – P = 1 ta có m 3 2m 1 1 m 1
Khi đó phương trình trở thành: x2−4x+ =3 0 1
3
x x
=
⎡
⇔ ⎢ =
⎣ Suy ra
1 2
1 3
x x
=
⎧
⎨ =
⎩ hoặc
1 2
3 1
x x
=
⎧
⎨ =
⎩
1
m
+
− Từ đó ta có:
2.3 1
1
P
m
S
+
−
hay 3P− =S 5
Câu 2:
a) Ta có:
Trang 3Mà xy<0 nên ta có 0, 2
0,3
x y
= −
⎧
⎨ =
⎩ hoặc
0, 2 0,3
x y
=
⎧
⎨ =
⎩ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm
b) Điều kiện: 2 ( 1) 0 1
0
x
x x
x
≤ −
⎡ + ≥ ⇔ ⎢ ≥
⎣ Khi đó ta có:
( )
( )
2
Nếu x≥ 0 ta có ( ) 2 1 ( ) ( )
1
x
=
⎡
⇔ − = ⇔ ⎢
= −
⎢⎣
Nếu x< 0 ta có ( ) ( )
( )
⎡ = − +
⎢
⎢ = − −
⎣
Vậy phương trình có hai nghiệm x=1, x= − −2 5
Câu 3:
Nếu mẩu số tăng them ta được phân số
+ + + Theo đề bài ta có phương trình:
( ) ( )
2
2
325 11 77 132
248 132 0 22
6 11
=
⎡
⎢
⇔
⎢ =
⎢⎣
Vậy 22 22
22 3 25
+
Trang 4Câu 4:
a) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có
BC = AB +AC = + = ⇒BC= Gọi M, P, Q lần lượt là tiếp điểm của (I) với các cạnh BC, AC và AB
Ta có BM = BQ, CM = CP và AP = AQ (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra 2AP = AP + AQ = AB – BQ + AC –
CP = AB + AC – CM – BM = AB + AC –
BC = 6 + 8 – 10 = 4
Suy ra AP = 2
Tam giác API vuông tại P nên ta có cos cos 45 2 2 2.2 2 2
o
b) Tam giác API vuông tại P có n 45o
PAI = nên là tam giác vuông cân, suy ra r = r=IP=AP=2 Tam giác ABC vuông tại A nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là trung điểm của BC và bán kính 5
2
BC
R=OB= = Khi đó ta có R2 − 2rR = 5 2 − 2.2.5 = 5
Ta có 2BM = BM + BQ = BC + BA – AQ – CM = BC + BA – AC = 6+ 10 – 8 = 8
Suy ra MB = 4, suy ra MO = OB – BM = 5 – 4 = 1
Tam giác IOM vuông tại M nên ta có OI2 =IM2 +MO2 =22+ = ⇒12 5 OI = 5
Vậy
2
5 1 5 2
OI
R Rr
− c) Ta có nAEK =nACB (Tứ giác BEKC nội tiếp)
Và nAHK =nACB ( cùng phụ với CHKn)
Suy ra nAEK =nAHK, suy ra tứ giác AEHK nội tiếp
Do đó n n 180o n 180o n 180o 90o 90o
AEH+AKH = ⇒AEH = −AKH = − =
K
E
H
Q
P
M
I
O
A
Trang 5xe lua Sinh vien
Gọi hai đầu cầu là A và B (đầu cầu bên này) Xe lửa đi hướng D đến B
Lúc nhìn thấy xe lửa sinh viên đang ở vị trí C
Gọi x là độ dài quảng đường CB, y là độ dài quảng đường DB
Ta có 18km/h = 5m/s và 72km/h = 20m/s
Thời gian anh sinh viên đi từ C đến B là : ( )
5
x s
Thời gian xe lửa đi từ D đến B là: ( )
20
y
s
Ta có phương trình 2
x+ = y (1) Thời gian anh sinh viên đi từ C đến A là: 120 ( )
5
x s
−
Thời gian xe lửa đi từ D đến A là: 120 ( )
20
y s
+
Ta có phương trình 120 120
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
2
⎧ + =
⎪⎪
⎪⎩
Giải hệ ta được 40
200
x y
=
⎧
⎨ =
⎩ Vậy khi thấy xe lửa anh sinh viên cách đầu cầu bên này 40 m
NGUYỄN TĂNG VŨ