Tài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên ToánTài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên Toán
TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH TÀI LIỆU ÔN THI VÀO CÁC LỚP CHUYÊN MÔN TOÁN Giáo viên biên soạn giảng dạy : Huỳnh Chí Hào Chuyên đề 1: ĐA THỨC I Đa thức : (Đa thức biến) Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo x (n∈ ) biểu thức có0 dạng P(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a với an ≠ Các số a0 ,a1, ,an gọi hệ số , n gọi bậc đa thức P(x) P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − đa thức bậc ba Ví dụ: Đa thức đồng nhất: a) Đa thức đồng nhất: Đònh nghóa : Đa thức đồng đa thức luôn có giá trò với giá trò biến số • Nếu P(x) Q(x) là hai đa thức đồng ta ký hiệu : P(x) ≡ Q(x) P(x) ≡ Q(x) ⇔ ∀x ∈ : P(x) = Q(x) b) Đa thức đồng không: Đònh nghóa : Đa thức đồng không đa thức luôn với giá trò biến số • Nếu P(x) đa thức đồng không ta ký hiệu : P(x) ≡ an = [P(x) ≡ 0] ⇔ [∀x ∈ : P(x) = 0] an−1 = Hệ quả: P(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 ≡ ⇔ Ví dụ: Tìm số A, B, C cho 3x2 + 3x + = A ( x + 2) + B( x −1) ( x + 2) + C ( x −1) với x a0 = Ví dụ: Tìm hệ số a, b để đa thức P(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b bình phương đa thức Bài giải: Giả sử x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b = (x2 + mx + n) ⇒ x + 2x + ax + 2x + b = x + m x + n + 2mx + 2nx + 2mnx 2 với x với x với x ⇒ (2m − 2) x3 + (m2 + 2n − a) x2 + (2mn − 2) x + n2 − b = m2 + 2n − a = Áp dụng định lý đa thức đồng khơng ta được: 2m − = n2 − b = 2mn − = Giải hệ ta được: Vậykhi a = 3; b = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x2 + x + 1) = m b n ==11 a=3 Nghiệm đa thức: • Nếu x = a đa thức P(x) có giá trò ta nói a nghiệm P(x) đn a nghiệm P(x) ⇔ P(a) = Ví dụ: Cho phương trình 2x4 − 5x3 + 6x2 − 5x + = (1) Chứng minh x = nghiệm phương trình (1) Phép chia đa thức: Đònh lý: Cho hai đa thức P(x) Q(x) khác không Tồn đa thức h(x) r(x) cho P(x) = Q(x).h(x) + r(x) Trong r(x) = r(x) ≠ bậc r(x) nhỏ bậc Q(x) Đa thức Q(x) gọi thương đa thức r(x) gọi dư phép chia P(x) cho Q(x) Ví du 1ï: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − cho đa thức x −1 x2 − Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = x − 3x + bx + ax + b Q(x) = x2 − Tìm a, b để f(x) chia hết cho g(x) Từ (2) (3) ta suy a = 3; b = − Bài giải: Vì P(x)Q(x) nên ta giả sử P(x) = ( ).Q(x) (1) với x Thay x = vào hai vế (1) ta được: P(1) = − + b + a + b = ⇒ a + 2b = (2) Thay x = −1 vào hai vế (1) ta được: P(−1) = + + b − a + b = ⇒ −a + 2b = −4 (3) Đònh lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783) Đònh lý BEZOUT: Đònh lý: Trong phép chia P(x) cho (x - a) số dư R = P(a) Chứng minh: Chia đa thức P(x) cho (x - a), giả sử thương Q(x) dư số R Ta có: P(x) = (x − a).Q(x) + R với x Do với = a :thì P(a) = 0.Q(a) + R ⇒ R = P(a) (đpcm) Hệxquả P(x) chia hết cho (x − a) ⇔ P(a) = Hệ quả: Đa thức P(x) có nghiệm a P(x) (x-a) P(a) = ⇔ P(x) = (x − a).Q(x), Q(x) đa thức Ví dụ: Cho P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 + x243 Tìm dư phép chia P(x) cho x −1 Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837) Để tính hệ số đa thức thương dư phép chia đa thức P(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 cho (x - a) ta dùng sơ đồ HOOCNE sau Trong đó: bn = an bn−1 = a.bn + an−1 bn−2 = a.bn−2 + an−2 b0 = a.b1 + a0 • P(x) = (x − a).Q(x) + r Khi đó: • Thương : Q(x) = bnxn−1 + bn−1xn−2 + • Dư + b1 : r = b0 Ví dụ 1: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − cho đa thức x −1 Ví dụ 2: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) = 2x4 − 3x2 + 4x − cho đa thức x + Phân tích đa thức thừa số Định lý: Giả sử đa thức P(x) = anxn + an−1xn−1 + P(x) = an (x − x1)(x − x2 ) + a1x + a0(an ≠ 0) có n nghiệm x1, x2, , xn (x − x ) n Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 + 9x2 + 11x − 21 thành nhân tử x3 − 4x2 − x + Ví dụ: Rút gọn phân thức A = x3 − 7x2 +14x − Hết Chuyên đề 2: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: Các đẳng thức mở rộng : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b)23 == aa23 −+ 2ab 3a b+ +b23ab2 + b3 → a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) − b) (a (a + 3a − b+ (a a2 −− bb)2 3==(aa3+−b)(a b)3ab2 − b3 3 a + b = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) + 2ab (a + b ++c) c)32 ==aa3 2++b3b+2 +c3c+2 3a 2ac 2bc 9) b ++3ab ++3a c + 3ac2 + 3b c + 3bc2 + 6abc 2 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) 10) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc = + b++a c =b0+thì + b) + c3 = 3abc 11) aHệ n − bn =: (aNế − b)(a +ab3 n−1 u a n−1 (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 n−2 1) A = + − 4x − 2thức4x Ví dụ 1: Rút gọn phân sau+2 4x − ( x − 3) x2 − 2x +1 1− 2x (x2 −1 ) (2x 1− +4x32) − x (2x − 3) − x2 4x2 − ( x + 3) 2) B = − + 2 Ví dụ 2: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2x2 − 6x +1 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: B = −x2 − y2 + xy + 2x + 2y Phương pháp: Để tìm GTLN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau: Bước 1: Chứng minh : A ≤ số M Bước 2: Chỉ biến để A = M Bước 3: Kết luận GTLN A M Để tìm GTNN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau: Bước 1: Chứng minh : A ≥ số m Bước 2: Chỉ biến để A = m Bước 3: Kết luận GTNN A m Ví dụ 3: Chứng minh a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a = b = c II BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 2x 2 4x 3x x 1 +− − − 3x + x 1= :+ 3x + − x + 1) Rút gọn M thành phân thức 2) Với giá trị x M < 3) Tìm x ∈ để M ∈ Bài 1: Cho M Bài giải: x≠0 1) Điều kiện biến là: x + ≠ ⇔ x ≠ −1 4x 1 − ≠ x ≠ Khi đó: 2x 2 4x 3x x 1 +− − − M 3x + x 1= :+ 3x + − x + )( ) ( ) 2x x 6x 9x x 4x − 3x x 1+ + + = ( : − − −3x + (x + 1) x+1 3x 22 8x 4x 3x x 1−− − = − :+ 3x (x + 1) x + 3x x ≠ )( ) 22 2x 2x x 3x x 1+ − − + − + 3x (x + 1) 2(1 − 2x) 3x 21 2x 3x x 1+ − + − = 3x 3x x 1x x− − = = 3x 2) Ta có: M < ⇔ x − < ⇔ x < x < x 0≠ Kết hợp với điều kiện biến ta có kết quả: x 1 ≠ − 1x ≠ 3) Ta có: M x 1= − Để M ∈ x ∈ ta phải có: x − = x = x 0x 1 =− x 1− ước ⇔ = − ⇔ x − = x = x 2x 3 = −− =− Đối chiếu với điều kiện x ta có đáp số là: x = −2; x = 2; x = = ( − Bài 3: Cho biểu thức P = 3x + x+ 9x − x−2 + x−1 + x +2 − 2 : x−1 Bài ải: biến : Điềugikiện x ≥0 Đặt: x = a với x ≠ a ≥ P = Khi đó: a ≠ + + − 2 : 3a22 ++ 3a + a + 21 + a − 1− 2(a2 + 3a a − 12 −3 3a − (aa −− 1)(a a2 + a − +2 a −1 +a2) a + 3a + = = Vậy: P = ( x + 1) a −1 2 (a − 1)(a + 2) = (a + 2)(a + 1) (a − 1)(a + 2) : (a2 − 1) = (a + 1) : a2 − BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI: x x + Bài 1: Cho biểu thức: M = x − : x + x −x 1 − x−1 x − 1 Đáp số: Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M x > 2− x x +2 x +3 x + 2 ;M = x x ≠ 1: 2 − x Bài 2: Cho biểu thức: M = x + 1 − số: x ≠ 4; M = Đáp x−5 x +6 2− x x−3 x ≠ Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M x ≥ 2x − + x 2x x + x − x (x − x x)(1+ −1 x ) x−4 − x ≥ Đáp số: x ≠ ; M = Bài 3: Cho biểu thức: M = − + 1−x + x x x−1 x ≠ Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M Bài 4: Cho biểu thức: M = + + Đáp số: x ≠ 4; M = x− x +1 +3 ≠9 x−9 x +1 x x x−5 x +6 x−3 2− x Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M x ≥ x +1 x−3 Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A = I Đònh nghóa tính chất : A Đònh nghóa: A = A2 ≥ A − A A < Tính chất : A ≥0 , A2 = A Lưu ý: II Các đònh lý : a) Đònh lý : Với A ≥ B ≥ A=B ⇔ A2 = B2 b) Đònh lý : Với A ≥ B ≥ A>B ⇔ A > B2 III Các phương trình & cách giải : A =B⇔ Phương pháp chung để giải loại KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI định nghĩa nâng lũy thừa * Dạng : A = B ⇔ A = ±B * Dạng : B ≥ A = ±B , IV Các cách giải phương trình chứa giá trò tuyệt đối thường sử dụng : * Phương pháp : Ví dụ : Biến đổi dạng Giải phương trình sau : 1) x − x − = x + 2x 2) x − 4x + = x + * Phương pháp : Ví dụ : Sử dụng phương pháp chia khoảng Giải phương trình sau : x − (2x − 1) = Chuyên đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: Các công thức tính chất bản: • A có nghóa A ≥ • ≥0 A = A ≥ với A • A A ≥ A = A −A A < • ( A )2 = A với A ≥ • A.B = A B A,B ≥ • A.B = −A −B A,B ≤ Các đònh lý bản: Đònh lý 1: Với A,B : : Đònh lý 2: Với A, B ≥ Đònh lý 3: Đònh lý 4: Với A, B ≥ : = B2 ⇒ AB ≥0 ⇔ A = B2 A = B A=0 ⇔ A =B B=0 A=0 A2 + B+2 ==0 A B ⇔ A=B A=B ⇔ Đònh lý 5: ⇔ B=0 A=B Đònh lý 6: Với A ≤ K B ≥ K ( K số ) : II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC: Phương pháp 1: Nâng luỹ thừa khử thức Ví dụ : Giải phương trình : x −1 + x − = 2x − x(x − 2) + x(x − 5) = x(x + 3) x + x +1 = x x +1 + x −1 = 5x Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số = : +1 Ví dụ : Giải phương trình 3x2 + 2x = x2 + x +1− x x −1 x 2 x 3x −1 3 x − x = 3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển hệ phương trình đại số Ví dụ : Giải phương trình : 25 − x2 − 10 − x2 = 3 − x + x −1 = 1+ x3 = 2(x2 + 2) Phương pháp 4: Biến đổi phương trình hệ phương trình A=K B=K Ví dụ : Giải phương trình : 2x − + − 2x = 3x2 −12x +14 x2 + 4x + = 2x + Phương pháp 5: Biến đổi phương trình dạng tích số Ví dụ : Giải phương trình : ( x + − x + 2)(1+ x2 + 7x +10) = Phương pháp 6: Biến đổi phương trình phương trình có chứa giá trò tuyệt đối Ví dụ : Giải phương trình : x + + x −1 + x + − x −1 = x + + 2x − + x − − 2x − = 2 II BÀI TẬP RÈN LUYỆN: x −1 − m2 + 6m −11 = Bài 1: Cho phương trình : x + a Giải phương trình m=2 b Chứng minh phương trình có nghiệm với m Cho phương trình : x − x +1 = m (1) m tham số Bài 2: a Giải phương trình (1) m=1 b Tìm tất giá trò m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Chuyên đề 9: HÌNH HỌC PHẲNG A Kiến thức bổ sung quan trọng : 1.Đònh lý Ménélaus: Cho ba điểm A’,B’,C’ nằm ba đường thẳng chứa ba cạnh BC,CA,AB tam giác ABC ng' haiBđiể 'C cho chúng hoặc khô điểnm nànog, hoặ có đú c cạnh tam giác ABC Khi đó: A', Bn'g,Ccó ' thẳ g hà c⇔ AB .mC thuộ A = 1 AC B A C 'B ' ' ' A C' B' B A' C ' 'C ⇔ A B B C A = 1 AC B A C B AA', BB',CC' đồng quy điểm I Đònh lý Céva: Cho ba điểm A’,B’,C’lần lượt thuộc ba cạnh BC, CA, AB Khi ' ' ' ' A C' B' I dt(∆AMN ) dt(∆ABC) B AM AN AB AC A' C Tỉ số diện tích : Cho hai điểm M, N nằm hai đường thẳng chứa hai cạnh AB AC tam giác ABC ta có hệ thức : = A B A O M N B Đẳng thức Ptolémée: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ta có hệ thức: C D C AC.BD=AB.CD+AD.BC Bất đẳng thức Ptolémée: Cho tứ giác ABCD ta có : AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC Đẳng thức xảy ABCD nội tiếp đường tròn Tứ giác nội tiếp: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt N , hai đường thẳng AB,CD cắt M Khi điều sau tương đương : A =giá ADB i Tứ c ABCD nội tiếp ii ACB B = 1800 + ADC iii ABC N iv MA.MB=MC.MD v NA.NC=NB.ND O M C D Điều kiện tiếp xúc : ACB = BAS Cho tamii.giá c ABC điểm S thuộc tia đối tia BC Khi mệnh đề sau tương đương iii SA = SB.SC i SA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A B Các toán luyện tập: S O KA KB KC' B a) ' + ' + =1 AA BB CC ' Bài 1: Chứng minh tam giác ABC, có ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ cắt điểmb)K nằm tam giác ( A' ∈ BC, B' ∈ AC,C' ∈ AB ) AA BB CC+ += C AK' AB' AC' + KA B C C B= ' AK BK CK ' ' ' ' ' Bài 3: Cho tamc)giác ABC,' điểm K AB cho KB = , điểm L trên BC Bài 2: Trên trung tuyến AD tam giác ABC, cho điểm K cho AK=3KD;BK cắt cho AC tạ i P.LB Tính diệ n tích hai điể tammgiá , BCP = tỉ số Gọ iQ giao củcaABP đườ ng thẳng AL CK Tìm diện tích tam AK CL giác ABC biết diện tích tam giác BQC (đơn vò diện tích ) Bài 4: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho AB=5AM, BC=3BN Gọi O giao điểm AN CM Tính tỉ số diện tích tam giác AOC diện tích tam giác ABC Bài 5: Cho tam giác ABC Gọi F giao điểm hai đường phân giác AD CF (D thuộc BC, E thuộc AB) Tính tỷ số diện tích tam giác ADF diện tích tam giác ABC theo ba cạnh BC=a,AC=b,AB=c CD t cung AB củvà a đườ ng tròn (O) tạicườ ( Ennằ m giữ a Cc D )củ Chứ minhtỷ: số diện tam giác ABC AM,BN,CP cá g phâ n giá a nón.gTính Bài 6: Cho cắ a BED tích tam giác MNP điệ=n DAE tích tam giác ABC theo cạnh BC=a,AC=b,AB=c Bài 7: Cho đường tròn O dây AB đường tròn Các tiếp tuyến vẽ từ A B đường trò cắt C Kẻ dây CD đường tròn có đường kính OC (D khác A B ) b DE2 = DA.DB Bài 8: Giả sử H trực tâm tam giác nhọn ABC Trên đoạn HB HC lấy hai điểm M,N cho AMC = ANB = 900 Chứng minh AN=AM Bài 9: Cho tam giác ABC có A = 450 Gọi M N chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC Tính tỷ số MN BC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA ⊥ MN Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R ( R độ dài cho trước) M, N hai điểm nửa đường tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ AB đến đường thẳng MN R Tính độ dài đoạn MN theo R Gọi giao điểm hai dây AN BM I, giao điểm đường thẳng AM BN K Chứng minh điểm M,N,I,K nằm đường tròn , Tính bán kính đường tròn theo R Tìm giá trò lớn diện tích tam giác KAB theo R M,N thay đổi vẩn thỏa mãn giả thiết toán Bài 11: Cho hình vuông ABCD , M điểm thay đổi cạnh BC ( M không trùng với B ) N điểm thay đổi cạnh CD (N không trùng với D) cho: góc MAN= góc MAB + góc NAD BD cắt AN AM tương ứng P Q Chứng minh điểm P, Q, M, C, N nằm đường tròn Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố đònh M N thay đổi S1 Ký hiệu diện tích tam giác APQ S1 diện tích tứ giác PQMN S2 Chứng S2 minh tỉ số không thay đổi M N thay đổi Bài 12: Cho tam giác ABC có đường cao BD Giả sử (C) đường tròn có tâm O nằm đoạn AC tiếp xúc với BA, BC M N Chứng minh điểm B, M, D, N nằm đường tròn Chứng minh góc ADM = góc CDN Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD , có hai đường chéo AC, BD vuông góc với Giả sử AB = 3; BC = 6; CD = Trên mặt phẳng với bờ đường thẳng AC không chứa điểm B , dựng hình vuông ACMN Trên mặt phẳng với bờ đường thẳng MD không chứa điểm N , dựng tia Mx vuông góc với MD lấy điểm E thuộc tia Mx cho ME =MD Chứng minh điểm C, D, M, N thuộc đường tròn Tính góc tứ giác ABCD Chuyên đề 10: LÝ THUYẾT SỐ I Phép chia hết: Đònh lý phép chia: Cho a,b ∈ b ≠ , có hai số nguyên q, r sau cho a=bq+r với ≤ r < b ∀a, b ∈ (b ≠ 0),∃q,r ∈ ,0 ≤ r < b : a = bq + r Nhận xét : • Cho a,b ∈ b ≠ Khi chia a cho b xảy b số dư :0,1,2, , b −1 • Khi chia n+1 số nguyên cho n ( n ≥ ) có hai số số dư • Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n Phép chia hết: a.Đònh nghóa: Cho a,b ∈ b ≠ Ta nói a chia hết cho b, ký hiệu ab , tồn số nguyên q cho a=bq đn ab ⇔ ∃q ∈ cho a=bq Khi a chia hết cho b ta nói b ước a ký hiệu b a Số nguyên dương a>1 có hai ước dương gọi số nguyên tố Tập hợp số nguyên tố ký hiệu ℘ Các số tự nhiên lớn số nguyên tố gọi hợp số • UCLN hai số nguyên dương a b số nguyên dương lớn chia hết cho a b ký hiệu: UCLN(a,b) hay (a,b).BCNN hai số nguyên dương a b số nguyên dương nhỏ chia hết cho a b, ký hiệu: BCNN(a,b) hay [a,b] • Hai số nguyên a b gọi nguyên tố , ký hiệu (a,b)=1 , ước chung lớn Cho a, b,c, m ∈ ; c, m ≥ Khi : b Tính chất: a) ab, bc ⇒ ac b) am, bm ⇒ a ± bm c) abc,(b,c) = ⇒ ac d) ab, ac,(b,c) = ⇒ abc e) Cho p ∈℘ Khi : ab p ⇒ a p b p • Với n ∈ ta có : an − bn = (a − b)(an−1 + a b + + abn−2 + bn−1) Nhận xét: Với n lẻ ta có : an + bn = (a + b)(an−1 − a b + − abn−2 + bn−1) • Trong n số nguyên liên tiếp ( n ≥ ) có số chia hết cho n • Tích n số nguyên liên tiếp ( n ≥ ) chia hết cho n • • n−2 n−2 Suy ra: * a, b ∈ a ≠ b an − bn (a − b) (n ∈ ) * a, b ∈ , n lẻ a ≠ −b an + bn (a + b) * a, b ∈ , n chẵn a ≠ −b an − bn (a + b) • Chia n cho p ta số dư 0,1,2, ,p-1 Đặc biệt p lẻ ta viết: n = kp+r với r = 0, ±1, , ± p −1 Ví dụ 1: Chứng minh : Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên m,n: n3 + 11n6 mn(m2 − n2 )3 n(n +1)(2n +1)6 Ví dụ 3: Với n chẵn, chứng minh : 20n + 16n − 3n −1323 Ví dụ 4: Chứng minh với n số tự nhiên : 11n+2 + 122n+1133 5n+2 + 26.5n + 82n+159 7.52n +12.6n 19 II Đồng dư : Đònh nghóa: Cho a, b số nguyên n số nguyên dương Ta nói a đồng dư với b theo theo môđun n a b có số dư chia cho n , ký hiệu: a ≡ b(mod n) a ≡ b(mod n) ⇔ a-bn Nhận xét: • Trong trường hợp b < n thì: a ≡ b(mod n) có nghóa chia a cho m có dư b a ≡ 0(mod n) có nghóa a chia hết cho n Đặc biệt : Tính chất: Cho a, b,c ∈ , n ∈ Khi : • Nếu a ≡ b (mod n) b ≡ c (mod n) a ≡ c (mod n) • Nếu a ≡ b (mod n) a+c ≡ b+c (mod n) • Nếu a ≡ b (mod (mod n) n) thìac an ≡≡bc b (mod (modn)n) n • (a+b)n ≡ b (mod a), a>0 n • Đònh lý FETMAT: Nếu p số nguyên tố np ≡ n (mod p) ( np − n chia hết cho p) với số nguyên n Đặc biệt: Cho p ∈℘,(a,p)=1 Khi : ap-1 ≡ (mod p) Ví dụ 1: Chứng minh : 22002 − 431 22225555 + 55552222 7 Ví dụ 2: Tìm dư phép chia 32003 chia cho 13 Tìm dư phép chia 20042004 chia cho 11 III Số nguyên tố & hợp số số phương & số không phương : Số nguyên tố & hợp số: a Đònh nghóa: * Số tự nhiên a (a ≥ 2) gọi số nguyên tố a có ước số dương a * Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước số b Đònh lý số học: Mọi số lớn phân tích thừa số nguyên tố cách ( không kể thứ tự thừa số) Đònh lý: n1 Mọi số tự nhiên a > phân tích dạng : 21 p knn ka p p= , * p là1,p cá2, ,p c số knguyên tố phân biệt , n1,n2, ,nk số tự nhiên, k ∈ Dạng phân tích gọi dạng phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên a Số phương & số không phương : a Đònh nghóa số phương : * Số nguyên a số phương bình phương số nguyên , tức a=b2 , b số nguyên a số phương a = b (b )⇔ ∈ b Số không phương : a p ( p nguyên tố ) a không phươnga p ⇒ b2 [...]... 14 − 6 5 Hướng dẫn: + Rút gọn x sẽ được x = 1 3 + Thay x vào A sẽ được A = 32009 Bài 10: Cho x = 1 2 − Tính giá trò của biểu thức : A = (x4 − x3 − x2 + 2x −1)2007 1 2 −1 2 + 1 Hướng dẫn: + Rút gọn x + Thay x vào A Bài 11: Tính giá trò của biểu thức : P = (x4 − 4x2 + 3)2007 3 10 − 9 với giá trò x = 6 + 19 − 6 10 ( 10 + 3) Hướng dẫn: + Rút gọn x + Thay x vào A Bài 12: Cho số x = 3 9 + 4 5 + 3 9 − 4... x1 + x2 S10 = x101 + x102 = (x15 + x52 )2 − 2x15x52 = S25 − 2P5 e) E = x1 + x62 f) F = x1 + x2 d) D = x1 + x52 ; Tính tương tự cho: S11, S12, Ví dụ 2: Cho phương trình: x + 5x + 2 = 0 Ví dụ 1: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: a) A = x1 + x2 b) B = x1 + x2 x2 − x − 1 = 0 1 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 - x1 2 Hãy tính giá trò của biểu thức 6x12 + 10x1x2 + 6x22... x02 − 8 2 + 3 + 6 − 3 3 − 3 3(4 − 3) 2− 3 Bài 18: 1) Chứng minh rằng : (n + 1) 2) Tính tổng: S= 1 2+ 2 + n 1+ n n + 1 n 1n + 1= − 1 + + + 1 4 3+3 4 1 3 2+2 3 -Hết - 1 100 99 + 99 100 Chuyên đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Nhắc lại: 1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức) b) Nhân hoặc... x4 + 2x3 + 5x2 + 4x −12 = 0 3 (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 4 (x+9)(x +10) (x+11) -8x = 0 5 (4x +1)(12x −1)(3x + 2)(x +1) = 4 x2 44 6 3 + 8 2 = 10( − ) Bài 17: x x x Cho phương trình : x4 + 2mx2 + 4 = 0 Tìm giá trò của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4 thoả mãn 4 4 4 3 x1 + x 2 + x 3 + x 44 = 32 Chuyên đề 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1 a... x ) a) Đònh m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm đều âm Bài 3: Cho phương trình : x2 − (2m − 3)x + m2 − 3m = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa 1 < x1 < x2 < 6 Bài 4: Cho phương trình : (m + 2)x2 − (2m −1)x − 3 + m = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm... hai nghiệm kia Bài 5: Cho phương trình : x2 − 4x + m +1 = 0 a) Đònh m m m x1 , x2 thỏa : x1 b) m để để phương phươngtrình trìnhcó cónghiệ hai nghiệ 22 = 10+ x 2 Bài 6: Cho phương trình : x2 − 2mx + m + 2 = 0 a) Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm không âm b) Tính giá trò của biểu thức E = x1 + x2 theo m Xá c đònh m để phương 2 trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 − x2 = Bài 7: Cho phương trình : 3x −... giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m b) Xác đònh m để : 2x1 2 1 2 )+ x Bài 9: Cho phương trình : x − 4x − (m2 + 3m) = 0 = 4(x + x a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m y1 y2 y1+y2 = x1 + x22 và2 + =3 1− y2 1 c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 , y2 thỏa mãn : b) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:P= x1 + x2 1− y 2 Bài 10: Cho phương... trình sau: 1 x4 −10x2 + 9 = 0 2 (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 3 (x2 + 3x − 4)(x2 + x − 6) = 24 4 (x − 2)4 + (x − 3)4 = 1 5 x4 − 3x3 − 6x2 + 3x +1 = 0 Bài 14: Giải các phương trình sau: 1 x3 + 6x2 +11x + 6 = 0 2 x3 + 4x2 − 29x + 24 = 0 3 x3 − 2x2 − x + 2 = 0 Bài 15: Cho phương trình bậc ba : x3 − (2m +1)x2 − (3m2 − 6m + 2)x + 3m2 − 4m + 2 = 0 (1) 1 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có ba nghiệm... của X2 − S.X + P = 0 Ý nghóa của đònh lý VIÉT: Cho phép tính giá trò các biểu thức đối xứng của các nghiệm và xét dấu các nghiệm mà không cần giải phương trình Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trò không thay đổi khi ta hoán vò x1 , x2 Ta có thể biểu thò được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo S và P n VÍ DỤ: n Ký hiệu... Pt (1) vô nghiệm ⇔ ∆< 0 Pt (1) có nghiệm kép ⇔ ∆= 0 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆> 0 Pt (1) có nghiệm ( hoặc có hai nghiệm) ⇔ ∆≥ 0 Đặc biệt : Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt 4 Đònh lý VIÉT đối với phương trình bậc hai: Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax2 ++ xbx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1, x2 thì S = x1 2 = − a P = x x = c