Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn • Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: • Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn Gọi d: ax + by = c, d’: a’x + b’y = c’, khi đó ta c

Trang 1

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

A Căn thức và biến đổi căn thức

A.1 Kiến thức cơ bản

A.1.1 Căn bậc hai

a Căn bậc hai số học

- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a

- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0

- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A đợc gọi là biểu thức lấy

căn hay biểu thức dới dấu căn

b Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai

ph-ơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau

c Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số

d-ới dấu căn vd-ới nhau rồi khai phơng kết quả đó

A.1.4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng

a Định lí: Với mọi A ≥0 và B > 0 ta có: A A

B = B

b Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai

c Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dơng ta có thể chia số

a cho số b rồi khai phơng kết quả đó

A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a Đa thừa số ra ngoài dấu căn

- Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có A B2 = A B, tức là

c Khử mẫu của biểu thức lấy căn

- Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có A AB

B = B

d Trục căn thức ở mẫu

Trang 2

C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 (tµi liÖu cã tham kh¶o trªn Violet.vn)

a Kh¸i niÖm c¨n bËc ba:

- C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a

k

+ +

+

= víi ∀A, B mµ B ≠0

2 2

2

k k

k

A A

B = B víi ∀A, B mµ B ≠0, A B. ≥0

• m n A =mn A víi ∀A, mµ A≥0

Trang 3

Đẳng thức xảy ra khi f x i i( )( =1,n) cùng dấu

• Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, …, an là các số không âm, khi đó

f(x) = ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a

b Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi đó ta có

f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

A.2.4 Biến đổi tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi đó ta có

Trang 4

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 (tài liệu có tham khảo trên Violet.vn)

Bài 2 Cho biểu thức 1 1 : 2 1 2

b Tính giá trị của P với x= −7 4 3

c Tính giá trị lớn nhất của a để P > a

Bài 3 Cho biểu thức 3 2( 3) ( 3)

b Tính giá trị của P với x= −11 6 5

c Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 4 Cho biểu thức : 1 : 3 2 2

c Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn: M( x+ =1) m x( + −1) 2

Bài 5: Cho biểu thức: 2 2

21

1

+

−

++

Bài 10: Cho biểu thức: A=2x+ x2 −6x+9

a Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5

Trang 5

Bài 13: Rút gọn biểu thức: 2 1

2 1

4

A= x− − x − +x rồi tìm giá trị của x để A = 3/2

Bài 14: Cho biểu thức: 2 9 3 2 1

a Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1

b Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên

Bài 15: Cho biểu thức: 3 9 3 1 2

b Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

Bài 16: Cho biểu thức : A=(

x

+

1

++ x x

2 Chứng minh rằng A〉 0 với mọi x ≠1

3 Với giỏ trị nào của x thỡ A cú giỏ trị lớn nhất Tỡm GTNN đú ?

Bài 17 Cho biểu thức

b Biết xy = 16 Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Bài 19 Cho biểu thức A x= 2− 2x2+ +1 x 8

a Rút gọn biểu thức A

b Với giá trị nào của x thì A = -3

Bài 20: Cho biểu thức: A= x2+2 x2− −1 x2−2 x2−1.

a Tìm điều kiện của x để A có nghĩa

b Tính giá trị của A khi x ≥ 2

Trang 6

C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 (tµi liÖu cã tham kh¶o trªn Violet.vn)

b T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho B > 1

c TÝnh gi¸ trÞ cña B nÕu a= −6 2 5

b TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 2/7

Bµi 31 Cho biÓu thøc A=5x+ x2+6x+9

Trang 7

a Phơng trình bậc nhất hai ẩn

• Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

• Tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:

Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c

b Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:

• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có

 Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào

đó trong hai phơng trình bằng nhau hoặc đối nhau

 áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số củamột trong hai ẩn bằng 0 (phơng trình một ẩn)

 Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

Trang 8

b Cách giải

• Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn

• Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích

• Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)

• Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn

• Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ

c Ví dụ

• Giải hệ phơng trình

2 2

- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không

- Nếu x ≠0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ

- Khử x rồi giải hệ tìm t

- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x)

- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx

* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự

15 93

Trang 9

a Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm

b Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phơng trình

c Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

Bài 2 Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình

41

+ Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.

Bài 3 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình

b Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 3x - 7y = - 8 không ?

c Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ?

Bài 5 Cho hai đờng thẳng (d1): 2x - 3y = 8 và (d2): 7x - 5y = -5

Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2)

Bài 6 Cho ba đờng thẳng

Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0

Bài 8 Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)

Bài 9 Tìm các giá trị của m để

Trang 10

Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất

Bài 12 Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức

P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2)

a Giải và biện luận hệ phơng trình

b trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình thỏa mãn

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y)

Bài 18 Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình: 2 22 21

a Giải và biện luận theo tham số m

b Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

a Giải và biện luận theo m

b Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng

Trang 11

b Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1.

Bài 25 Giải và biện luận hệ phơng trình sau đây theo tham số m: 2 1

b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0

c Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên

a Giải và biện luận hệ đã cho

b Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức: 2

a Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đờng thẳng

cố định khi m thay đổi

b Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất

c Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5

Bài 31 Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phơng trình: 4 2

a Giải và biện luận theo m

b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên

c Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đờng thẳng

cố định

d Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2

2 .Bài 33 Giải và biện các hệ phơng trình:

Trang 12

b Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số

Bài 35 Cho hệ phơng trình (m là tham số ): 1

Bài 36 Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0

Bài 37 Với giá trị nào của m, hệ phơng trình:

 Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó.

Bài 41 Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho: 2 2 71

a Giải và biện luận hệ phơng trình trên

b Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất?

b Giải và biện luận hệ phơng trình

c Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên

d Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất

Bài 44 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:

A(-1; 1), B(-1; 3)

A(1; 2), B(3; 2)

A(1; 5), B(4; 3)

Bài 45 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD

Bài 46 Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng

Bài 47 Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 48 Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: 2( 1) ( 2) 3

Trang 13

b Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.

c Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất

b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất

Bài 52 Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

b Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

2 Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm

' 1,2

'

b x

Trang 14

- Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là S x1 x2 b

Bài 2 Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = 0

Chứng minh rằng nếu p p1 2≥2(q1+q2) thì ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

Bài 3 Với giá trị bào của k thì hai phơng trình sau:

2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0; 6x2 + (7k - 1)x - 19 = 0

Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó

Bài 4 Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên có nghiệm

Bài 7 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai

điều kiện sau đợc thỏa mãn

a a(a + 2b + c) < 0

b 5a + 3b + 2c = 0

Bài 8 Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ

Bài 9 Cho phơng trình: 2x2 - 3x + 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Không giải phơng trình hãy

tìm giá trị các biểu thức sau:

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để biểu thức 2 2

A x= + −x x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 11 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: 3x2 + 5x - 6 = 0 Không giải phơng trình hãy lập phơng trình

x x x x

=

+

Bài 13 Cho phơng trình (k – 1)x2 – 2kx + k – 4 = 0 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình trên, hãy lập

hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào k

Bài 14 Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình:

Bài 15 Cho phơng trình bậc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0

a Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau

b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

A= x x + +x x đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

Bài 17 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2|

Bài 18 Cho phơng trình: x2 - mx + m - 1 = 0

Trang 15

b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x2 + 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = 0 (2)

Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) vô nghiệm

Bài 24 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 1 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b Chứng minh rằng biểu thức: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m

Bài 25 Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 4 = 0

b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phơng trình

c Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: 1 2

502

Bài 27 Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2

a Chứng minh rằng phơng trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt

b Chứng minh rằng S = x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4

Bài 28 Cho phơng trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0

a Biết rằng phơng trình có một nghiệm x1 = 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại

b Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức

-2 < x1 < x2 < 4

Bài 29 Tìm a sao cho nghiệm của phơng trình

x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0

Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài 30 Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng 12 Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau:

Bài 32 Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai: (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = 0 Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là 2

5Bài 33 Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình: mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0

thỏa mãn điều kiện: 2 2

x +x = :

Trang 16

Bài 34 Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)

1 Tìm m để phơng trình có nghiệm

2 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đốilớn hơn

3 Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = 3

4 Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 42 Xác định m để phơng trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng dơng,

và trái dấu nhau

Bài 43 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 - m(x + 1) + 1 = 0

Bài 44 Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:

x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0

(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0

Bài 45 Chứng minh rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu 2b c 4

a ≥ +a Bài 46 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm nếu bm = 2(c + n):

x2 + bx + c = 0 và x2 + mx + n = 0

Bài 47 Cho phơng trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phơng trình có nghiệm

Bài 48 Cho biết các phơng trình ax2 + bx +2 c = 0 và ax2 + bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm Vận dụng bài 22 để chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

Bài 50 Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình sau có nghiệm: 3x y2 2 1

Bài 56 Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0 Biết rằng các phơng trình

x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó

Biết x3 - x1 = x4 - x2 = 1 Xác định b và c

Trang 17

Bài 60 Tìm các số a, b sao cho các phơng trình: x2 + ax + 6 = 0 và x2 + bx + 12 = 0 có ít nhất một nghiệm

chung và a +b nhỏ nhất

Bài 61 Tìm m để phơng trình x2 + mx + 2m - 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm

Bài 62 Tìm m để phơng trình x2+2m x− −2 4x m+ 2 + =3 0 có nghiệm

Bài 63 Tìm m để phơng trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Bài 64 Tìm m để phơng trình (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1

Bài 65 Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình x2 + x + m = 0 đều lớn hơn m?

Bài 66 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt:

x3 - (m + 1)x2 + (m2 + m - 3)x - m2 + 3 = 0

Bài 67 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)x4 - 2mx2 + 6m = 0

Bài 68 Tìm giá trị của m để phơng trình: mx4 - 10mx2 + m + 8 = 0

1 Có bốn nghiệm phân biệt

2 Có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) thỏa mãn điều kiện:x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1

Bài 76 Cho phơng trình ẩn x: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0

1 Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m

2 Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn điều kiện: 2 2

x +x ≥ Bài 78 Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m -1)x - m = 0

a Định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này

b Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

1 Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m

2 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trịcủa m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia

1 Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm

2 Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: E= x1+ x2 theo m

Bài 87 Cho phơng trình: 3x2 - mx + 2 = 0 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn:

x −x = Bài 90 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0 Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Trang 18

Bài 92 Cho phơng trình: x2 + ax + 1 = 0 Xác định a để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Bài 96 Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2)

a Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung

x x

.Bài 105 Cho hai phơng trình: 2x2 + mx - 1 = 0 (1) mx2 - x + 2 = 0 (2)

Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung

Bài 106 Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình: 3x2 - cx + 2c -1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức:

Bài 107 Xác định a để 2 phơng trình: x2 + ax + 8 = 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm chung

Bài 108 Cho phơng trình: 2x2 + 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 1 2

2

x x

x + x = Bài 109 Cho biết x1, x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (

0; , ,

a≠ a b c R∈ ) Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: 2 2

1 1,

1 Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m

2 Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài 112 Cho phơng trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6

1 Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

2 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 3 3

x −x = Bài 114 Cho phơng trình: x2 - 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1,

x2 thỏa mãn 3 3

x +x =

Bài 116 Cho phơng trình: x2 - (m - 1)x - m2 + m - 2 = 0

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m

2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: 2 2

E x= +x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 117 Cho hai phơng trình: x2 + a1x + b1 = 0 và x2 + a2x + b2 = 0

Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

Trang 19

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.

2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: 2 2

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < 1

4 Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m

Bài 124 Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau

Bài 125 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 - x2 = 5 và 3 3

2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại Tìm các nghiệm đó.Bài 131 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b

b Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4 Tính nghiệm còn lại

Bài 141 Cho phơng trình: x2 - mx + m -1 = 0 Có 2 nghiệm x1, x2 Với giá trị nào của m, biểu thức:

+ + + đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 142 Cho a là số thực khác -1 Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các hệ thức:

Bài 145 Cho phơng trình: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0

a Với giá trị nào của a, phơng trình có nghiệm kép Tính các nghiệm kép

b Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1

Bài 146 Cho phơng trình: x2 - ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2

a Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức: 12 22

a Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m

b Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 148 Cho phơng trình: ax2 + (ab + 1)x + b = 0

Trang 20

a Chứng minh rằng với mọi a, b phơng trình đã cho đều có nghiệm

b Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu?

Bài 149 Cho phơng trình: x2 - 2mx - 2m - 1 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

c Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 2

52

x x

x + x = − Bài 150 Cho phơng trình: (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m = 0

a Giải và biện luận phơng trình theo m

b Khi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2:

a Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2

x =x Bài 153 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 - 3x + a = 0

Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phơng trình: t2 - 12t + b = 0

a Khái niệm hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trớc và a ≠0

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b ≠0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠0)

Bớc 1 Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

Bớc 2 Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b

d Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Trang 21

Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a ≠0) và (d’): y = a’x + b’ (a’≠0) Khi đó

• Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox

- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của

đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng

• Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b

- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b

f Một số phơng trình đờng thẳng

- Đờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x - x0) + y0

- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 ≠0 là

- Hàm số y = ax2 (a ≠0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

c Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠0)

- Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Kiến thức bổ xung

Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó

- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức

Quan hệ giữa Parabol y = ax 2 (a ≠0) và đờng thẳng y = mx + n (m ≠0)

Cho Parabol (P): y = ax2 (a ≠0) và đờng thẳng (d): y = mx + n Khi đó

- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình

- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Một số phép biến đổi đồ thị

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)

- Đồ thị (C1): y = f(x) + b đợc suy ra bằng cách tịnh tiếc (C) dọc theo trục tung b đơn vị

- Đồ thị (C2): y = f(x + a) đợc suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị

- Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy

+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy

- Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dới Ox

+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Trang 22

- Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung

- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc tọa độ

a

∀ ∈ −∞ − , đồng biến [ ; )

2

b x

a

∀ ∈ −∞ − , nghịch biến [ ; )

2

b x

∆

− − có trục đối xứng2

b

x

a

= −

- Nếu a > 0: Parabol có bề lõm quay lên trên nhận S làm điểm thấp nhất

- Nếu a < 0: Parabol có bề lõm quay xuống dới nhận S làm điểm cao nhất nhất

Bài 1 Cho hai hàm số: y = x và y = 3x

a Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đờng thẳng: y = x và

y = 3x lần lợt ở A và B Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB

Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và 1

2

y= x

a Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;

b Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờng thẳng 1

a Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến

b Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m

c Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5: Cho hàm số: y = (3m – 2)x – 2m

a Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

c Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm đợc ở câu a, b

Bài 6: Cho ba đờng thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	1,83 MB