Tài liệu Toán kinh tế pdf

Ph ng pháp mô hình hoá và mô hình toán kinh t.. CÁC TÁC GI... Quy ho ch tuy n tính.. Mô hình kinh t và mô hình toán kinh t... Siêu ph ng trong IR n... Ch ng minh... Bài toán ng i bán hàn

TOÁN KINH T

Nh m đáp ng nhu c u gi ng d y và h c t p môn h c Toán kinh t dành cho sinh viên h

đào t o đ i h c t xa, H c vi n Công ngh B u chính Vi n thông (H c vi n) t ch c biên so n

t p Sách h ng d n h c t p (Sách HDHT) môn h c Toán kinh t theo đúng ch ng trình đào t o

C nhân ngành Qu n tr kinh doanh c a H c vi n

T p sách đ c biên so n trên c s k th a, ch n l c b sung t p giáo trình Toán chuyên

ngành đã đ c Nhà xu t b n B u đi n n hành vào tháng 9 n m 2003 và các bài gi ng Toán kinh

t đã đ c s d ng, gi ng d y cho ch ng trình đào t o đ i h c chính quy ngành Qu n tr Kinh doanh t i H c vi n

N i dung t p sách đ c c u trúc g m 7 ch ng:

Ch ng 1 Các ki n th c m đ u v ph ng pháp t i u

Ch ng 2 Mô hình t i u tuy n tính

Ch ng 3 M t s mô hình t i u tuy n tính khác

Ch ng 4 Các bài toán t i u trên m ng

Ch ng 5 Ph ng pháp mô hình hoá và mô hình toán kinh t

Ch ng 6 Lý thuy t Ph c v đám đông

Ch ng 7 Lý thuy t qu n lý d tr

t o đi u ki n thu n l i cho sinh viên có kh n ng t h c, t nghiên c u, các tác gi không đi sâu vào các v n đ lý lu n và k thu t toán h c ph c t p, mà ch t p trung trình bày, gi i thi u nh ng ki n th c c b n ch y u thi t th c và c p nh t, làm c s cho vi c h c t p nghiên

c u phân tích kinh t nói chung và h c t p các môn chuyên ngành Qu n tr kinh doanh cu i

m i ch ng, sau ph n khái quát và tóm t t các v n đ c b n, ch y u c a lý thuy t, các tác gi

đ a ra các bài t p m u và phân tích cách gi i đ ng i h c có th t gi i đ c nh ng bài toán liên quan đ n lý lu n đã h c Ph n bài t p cu i m i ch ng c ng s giúp ng i h c t nghiên c u, v n

d ng các lý lu n đã h c vào phân tích, lý gi i các n i dung th c ti n liên quan

M c dù các tác gi đã đ u t nghiên c u ch n l c biên so n nghiêm túc đ đáp ng yêu c u

gi ng d y và h c t p c a môn h c, nh ng ch c t p sách s không tránh kh i nh ng thi u sót nh t

đ nh Các tác gi r t mong nh n đ c s góp ý c a b n bè đ ng nghi p, b n đ c và các b n sinh viên đ l n xu t b n sau đ c hoàn thi n h n

CÁC TÁC GI

CH NG I: M T S KI N TH C M U

1.1.1 T ng quan v t i u hoá

Trong ho t đ ng th c ti n, nh t là trong quá trình qu n lý, đi u khi n h th ng kinh t - xã

h i, chúng ta luôn mong mu n đ t đ c k t qu t t nh t theo các tiêu chu n nào đó T t c nh ng

mong mu n đó th ng là l i gi i c a nh ng bài toán t i u nào đó M i v n đ khác nhau c a

th c t d n đ n các bài toán t i u khác nhau gi i các bài toán đó, m t lo t các lý thuy t toán

h c ra đ i đ đ t c s lý lu n, đ đ a ra các gi i pháp tìm l i gi i, ch ng minh tính h i t , tính

kh thi c a các bài toán th c t v.v T đó hình thành m t l p các ph ng pháp toán h c giúp ta

tìm ra l i gi i t t nh t cho các bài toán th c t , g i là các ph ng pháp t i u hóa L p các

ph ng pháp t i u hóa bao g m nhi u lý thuy t toán h c khác nhau, tiêu bi u là: Qui ho ch toán

h c, lý thuy t trò ch i, lý thuy t đ th v.v

Trong qui ho ch toán h c, tiêu bi u là Qui ho ch tuy n tính, Qui ho ch phi tuy n, Qui

ho ch đ ng, Quy ho ch tham s , Qui ho ch nguyên v.v

Trong lý thuy t trò ch i, tiêu bi u là Lý thuy t l a ch n quy t đ nh, Bài toán trò ch i chi n

l c, bài toán trò ch i vi phân v.v Trong Lý thuy t đ th có các bài toán t i u trên m ng, bài

toán PERT, Các bài toán đ ng đi v.v

Các l p ph ng pháp toán h c thu c Lý thuy t t i u có th bi u di n b i s đ sau:

đ th

Lý thuy t trò ch i

Mô hình toán kinh t

Mô hình

ph c

v đám đông

Mô hình

qu n lý

d tr

Quy

ho ch phi tuy n

1

1.1.2 Bài toán t i u t ng quát

Bài toán quy ho ch toán h c t ng quát đ c phát bi u nh sau:

C c đ i hóa (c c ti u hóa) hàm f (x) → max (min) (1.1)

V i các đi u ki n: gi (x) ≤ (=, ≥ ) bi (i = 1,m) (1.2)

x ∈ X ⊂ IRn

(1.3) Hàm f (x) cho (1 -1) g i là hàm m c tiêu

Theo đ nh ngh a trên thì x* ∈ D là ph ng án t i u khi và ch khi

f (x*) ≥ f (x), ∀x ∈ D, (đ i v i bài toán max) hay

f (x*) ≤ f(x), ∀x ∈ D, (đ i v i bài toán min)

Giá tr f(x*) g i là giá tr t i u (t t nh t) c a hàm m c tiêu, hay là giá tr t i u c a bài

toán (1.1) - (1.2) - (1.3)

1.1.3 Phân lo i các bài toán t i u

a - N u hàm m c tiêu f(x) và các ràng bu c gi (x) là hàm tuy n tính (b c 1) thì bài toán (1.1)

- (1.2) - (1.3) g i là m t Qui ho ch tuy n tính (tr ng h p riêng là bài toán v n t i)

b - N u bi u th c hàm m c tiêu f(x) và các ràng bu c g (x) (i = 1,m) là hàm ph thu c

Lý thuy t trò ch i

Bài toán

l a ch n quy t

đ nh

Bài toán trò ch i chi n

l c

Bài toán trò ch i

vi phân

3

Qui ho ch l i (lõm) là Qui ho ch toán h c mà hàm m c tiêu f(x) là l i (lõm) trên t p h p các ràng bu c D l i (lõm)

e - N u bài toán (1.1) ÷ (1.3) mà mi n ràng bu c D là t p r i r c thì g i là Qui ho ch r i

i - N u bài toán (1.1) ÷ (1.3) mà trên mi n D ta xét đ ng th i nhi u m c tiêu khác nhau,

g i là Qui ho ch đa m c tiêu v.v

1.1.4 N i dung nghiên c u c a môn h c

a Quy ho ch tuy n tính

b Bài toán v n t i

c Bài toán t i u trên m ng

d Mô hình kinh t và mô hình toán kinh t

αx = (αx1, αx2, , αxn) (1.6)

- Véc t θ = (0, 0, , 0) g m các thành ph n toàn là s 0, g i là véc t không

* Các tính ch t c a phép c ng véct và nhân véct v i m t s

- N u x và y là hai véct n chi u thì x+y c ng là véc t n chi u

- V i m i véc t n chi u x và y ta đ u có: x+y =y+x

- V i m i véc t n chi u x, y và z ta đ u có: x + (y+z) = (x+y) +z

- Luôn t n t i véct θ n chi u sao cho θ +x = x+θ =x

- M i véct n chi u x luôn t n t i véc t n chi u -x sao cho: x+ (-x)=(-x) +x =θ

b Không gian tuy n tính n chi u Rn

T p h p t t c các véc t n chi u, trong đó xác l p phép toán c ng Véc t và nhân véc t

v i m t s th c nh (1.5) và (1.6) và tho mãn 10 tính ch t nêu trên, g i là m t không gian tuy n tính n chi u Ký hi u IRn

M t không gian tuy n tính n chi u, trong đó xác đ nh phép toán tích vô h ng, do đó xác

đ nh m t kho ng cách gi a hai véc t , g i là không gian clít, ký hi u IRn

, đ c g i là đi m biên c a A, n u m i lân c n c a x đ u có ch a các

đi m thu c A và các đi m không thu c A

- Cho t p h p A ⊂ IRn, ta nói t p h p A là gi i n i n u ∃ hình c u ch a tr n nó, ngh a là ∃

s th c r đ l n và đi m a∈ IRn sao cho ∀x∈ A ta đ u có ρ(x, a) < r

* Nh n xét T đ nh ngh a c a dãy h i t và t p gi i n i, ta suy ra, m t dãy {xk} ⊂ IRn

, h i

t bao gi c ng gi i n i

- M t t p h p G ⊂ IRnđ c g i là m , n u∀x∈ G, t n t i m t hình c u tâm x ch a tr n trong G

- T p h p C ⊂ IRnđ c g i là t p h p Comp ct n u t m i dãy vô h n {xk}⊂ C, đ u có

th trích ra m t dãy con {xkn} h i t đ n m t ph n t thu c C

- M t t p C là Compact khi và ch khi C đóng và gi i n i

- T p Compact M c a t p đóng C c ng đóng trong C

- T p con M đóng ⊂ C Compact c ng là t p Compact

- Hàm f(x) liên t c trên t p Compact C s đ t giá tr l n nh t, nh nh t trên C

- N u 0 ≤ λ≤1 thì ta có đo n th ng n i hai đi m a, b, ký hi u [a, b]

Chú ý - Trong không gian hai chi u IR2, ph ng trình b c nh t ax + by = c, xác đ nh m t

đ ng th ng, m t b t ph ng trình ax+by ≤ c ho c ax+by ≥ c, xác đ nh n a m t ph ng trong IRn

- Trong không gian ba chi u IR3, m t ph ng trình b c nh t ax+by+cz=d xác đ nh m t m t

ph ng, m t b t ph ng trình b c nh t ax+by+cz≤ d ho c ax + by + cz ≥ d xác đ nh m t n a không gian Ta m r ng k t qu trên cho không gian IRn

b Siêu ph ng trong IR n

- Siêu ph ng trong không gian IRn là t p h p t t c các đi m x = <x1 x2, xn> ∈ IRn

, tho mãn ph ng trình b c nh t:

nh c a đa di n l i ho c khúc l i g i là đi m c c biên

Rõ ràng đi m c c biên x không th là đi m trong c a đo n th ng n i hai đi m nào đó thu c D, ngh a là không th t n t i hai đi m x1

C

A

f(λx1 +(1−λ)x2) ≤ λ f(x1) + (1 - λ) f(x2

) (1.7)

N u trong (1.7) x y ra d u ≤ thì hàm f(x) g i là hàm l i ch t

N u trong (1.7) x y ra d u ≤ thì hàm f(x) g i là hàm lõm, x y ra d u > thì hàm f(x) g i là hàm lõm ch t

λf(x1) + (1 -λ) f(x2

) f(λx1 + (1 - λx2

))

0 x' x x2 x

Chú ý N u hàm f (x) l i trên t p C⊂ IRn thì hàm - f (x) lõm trên t p C, ng c l i n u f (x) lõm trên t p l i C⊂ IRn thì hàm - f (x) l i trên t p h p C

- Ta nói hàm f(x) xác đ nh trên t p l i C đ t c c ti u tuy t đ i t i x*∈ C n u f(x*) ≤ f(x),

M i đi m c c tr đ a ph ng c a hàm l i trên t p h p l i đ u là đi m c c tr tuy t đ i

Ch ng minh Gi s x* là c c ti u đ a ph ng nh ng không c c ti u tuy t đ i trên t p C

((1-δ1) f (x*) +δ1 f(x*) = f (x*), đi u này mâu thu n v i hàm f (x*) đ t c c ti u đ a

ph ng t i x* T đó suy ra đi u ph i ch ng minh

H qu 1

M i đi m c c đ i đ a ph ng c a hàm lõm trên t p h p l i đ u là c c đ i tuy t đ i

- Ta g i đ o hàm theo h ng z c a hàm f t i x là đ i l ng:

+ λ −

c - B đ 1.1

N u hàm f (x) là hàm l i kh vi trên C l i Khi đó ∀x∈ C và v i m i z sao cho x+z ∈ C thì δf (x, z) t n t i và nghi m đúng b t đ ng th c và đ ng th c sau:

i) δf (x, z) ≤ f (x +z) - f (x)

ii) δf (x, z) = n

i 1Σ= 1

) (

x

x f

δ

δ

zi = <Δf(x), z >

Trong đó: Véc t Δf (x) = ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞

n

x

x f x

x f x

x f

δ

δ δ

δ δ

, ,

) ( , ) ( 2 1 g i là građient c a hàm f(x) t i x, z = (z1, z2 zn) 1.2.8 M t s tiêu chu n nh n bi t hàm l i Cho x, z ∈IRn , đ t hàm s ϕ (λ) = f(x+λz), ∀λ ∈[0, 1], (1.8) nh lý 1.3 Hàm f(x) là l i trên IRn khi và ch khi hàm s ϕ (λ) là l i v i λ ∈[0, 1] và x, z ∈|Rn nh lý 1.4 a Hàm f(x) kh vi trên IRn là l i khi và ch khi ∀ x, z ∈IRn cho tr c, hàm ϕ'(λ) = < ∇ f(x + λz), z > không gi m theo λ b Hàm f(x) kh vi hai l n trên IRn là l i khi và ch khi ∀ x, y∈IRn cho tr c, d ng toàn ph ng < P(x) z, z > là xác đ nh không âm Chú ý M t d ng toàn ph ng <P(x) z, z> là xác đ nh không âm khi và ch khi <P(x) z, z > ≥ 0, ∀z ∈ IRn H qu 1 M t hàm b c hai d ng f(x) = < c, x > + 2 1 < Px, x >, trong đó P = (p ij)nxn là ma trân đ i x ng c p nxn, là m t hàm l i khi và ch khi ma trân P là xác đ nh không âm Chú ý ma tr n P là xác đ nh không âm thì đi u ki n c n và đ là t t c các đ nh th c con chính c a ma tr n này không âm, ngh a là: Δ1 = a11 ≥ 0 ; Δ2 = 22 21 12 11 a a a a ≥ 0, , Δn = nn n n n n a a a a a a a a a

2 1

2 22

21

1 12

11

≥ 0

Bài 1 M t doanh nghi p có 300 đ n v nguyên li u lo i A, 500 đ n v nguyên li u lo i B

và 200 đ n v nguyên li u lo i C đ s n xu t 4 lo i s n ph m I, II, III, IV nh m c nguyên li u

c n thi t và ti n lãi c a s n xu t cho b i b ng 1 Hãy l p k ho ch s n xu t c a xí nghi p trên sao cho thu đ c lãi su t l n nh t

B ng 1

Hãy l p k ho ch s n xu t sao cho chi phí nh nh t mà v n đ t đ c các yêu c u đ t ra

Bài 3 M t Công ty có ba xí nghi p cùng lo i: A, B, C có kh n ng s n xu t đ c 3 lo i

s n ph m: I, II, III Bi t r ng n u đ u t m t đ n v ti n vào xí nghi p A trong m t n m s s n

xu t đ c 1200 s n ph m lo i I, 800 s n ph m lo i II và 1050 s n ph m lo i III u t vào xí

nghi p B m t đ n v ti n, đ c 1000 s n ph m lo i I, 740 s n ph m lo i II, 900 s n ph m lo i III

u t vào xí nghi p C m t đ n v ti n thì s n xu t đ c 1100 s n ph m lo i I, 600 s n ph m lo i

II, 1000 s n ph m lo i III nh m c tiêu hao nguyên li u và lao đ ng c a m i xí nghi p trong s n

xu t đ c cho b ng 3 Nguyên li u, lao đ ng hàng n m Công ty có th cung c p cho s n xu t ba

lo i s n ph m này là 390.000 KG và 200.000 gi công Theo k ho ch ph i s n xu t ít nh t là

Bài 4 M t xí nghi p quân đ i có 4 lo i máy: A, B, C, D, s n xu t ra 6 lo i s n ph m I, II,

III, IV, V, VI S gi c a m i lo i máy đ s n xu t m i lo i s n ph m và giá ti n m i lo i s n

ph m ghi b ng 4 N ng l c s n xu t c a các l\mãy đ u có h n, n u dùng quá s b h ng Gi s

trong 1 tu n, m i máy lo i A, B, C, D t ng ng làm vi c không quá 850, 700, 100 và 900 gi

Hãy l p m t ph ng án s n xu t đ thu đ c s n ph m m i lo i l n nh t mà v n b o đ m an toàn

cho máy móc và thi t b

Bài 5 M t máy bay v n t i quân s có tr ng t i M C n ch n lo i thi t b b ng máy bay

Tr ng l ng lo i b u ki n i, (i = 1,n) là αi, có giá tr βi Hãy tìm ph ng án ch m i lo i thi t b

bao nhiêu đ n v lên máy bay đ tr ng l ng t ng c ng không v t quá t i tr ng c a máy bay mà

đ t đ c t ng giá tr l n nh t ? (Bài toán Qui ho ch nguyên)

CH NG II: QUY HO CH TUY N TÍNH

2.1 M T S BÀI TOÁN TH C T D N T I MÔ HÌNH QUY HO CH TUY N TÍNH

2.1.1 Bài toán l p k ho ch s n xu t

Gi s m t Công ty s n xu t n lo i s n ph m và ph i s d ng m lo i nguyên li u khác nhau

G i xj là s n l ng s n ph m lo i j, (j = 1,n) mà Công ty s s n xu t, cj là ti n lãi (hay giá) m t

đ n v s n ph m lo i j, aij là chi phí nguyên li u lo i i, (i =1,m), đ s n xu t ra m t đ n v s n

ph m lo i j, bi là l ng nguyên li u lo i i t i đa có th có

Trong các đi u ki n đã cho, hãy xác đ nh s n l ng xj, j = 1,n sao cho t ng ti n lãi (hay

t ng giá tr s n l ng hàng hoá) là l n nh t v i s nguyên li u hi n có

Bài toán th c ti n trên, có th mô hình toán h c nh sau:

N u ta ký hi u xij là l ng hàng v n chuy n t đi m phát Ai, (i =1,m) đ n đi m thu Bj, v i (j = 1,n), thì ta có th mô hình toán h c bài toán th c t nh sau:

cij xij → min

v i các đi u ki n:

ây là m t d ng c a bài toán Quy ho ch tuy n tính

2.1.3 Bài toán ng i bán hàng (Bài toán cái túi)

M t c a hàng c n ph i v n chuy n m t l ng hàng trên m t chuy n n ng không đ c quá

b kg Có n lo i đ v t mà c a hàng c n ph i v n chuy n đi bán, m i đ v t lo i j, (j = 1,n), có

kh i l ng aj kg Và có giá tr là cj Hãy xác đ nh xem trong m t chuy n hàng, c a hàng c n đ a lên ph ng ti n v n chuy n các đ v t nào đ t ng giá tr các đ v t thu đ c là l n nh t

N u ta ký hi u xj là s đ v t lo i j s đ a lên ph ng ti n v n chuy n, ta có mô hình toán

h c bài toán nh sau:

ây là bài toán Qui ho ch nguyên

2.1.4 Bài toán l p k ho ch đ u t v n cho s n xu t

C n ph i đ u t v n vào m xí nghi p đ s n xu t ra n lo i s n ph m Do trang b k thu t - công ngh và t ch c s n xu t khác nhau nên hi u qu c a v n đ u t vào các xí nghi p c ng khác nhau Qua phân tích, ng i ta bi t r ng khi đ u t m t đ n v ti n vào xí nghi p th i, i =

G i v n đ u t vào xí nghi p i là xiđ n v ti n Khi đó s l ng s n ph m lo i j s n xu t

xí nghi p i là bij xi và s nguyên li u s d ng xí nghi p này đ s n xu t ra các s n ph m j là aij

bij xi V y toàn b nguyên li u s d ng xí nghi p i là ∑

ây là m t d ng c a bài toán Qui ho ch tuy n tính

2.2 MÔ HÌNH BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH

2.2.1 Bài toán quy ho ch tuy n tính t ng quát

Tìm x = (x1, x2 xi, xn) ∈IRn

Sao cho: f(x) =

xây d ng c s lý lu n gi i bài toán, ch c n xét m t trong hai d ng bài toán, ch ng h n bài toán tìm giá tr l n nh t (f → max ) c a hàm m c tiêu, còn bài toán tìm giá tr bé nh t (f → min ) c a hàm m c tiêu có th chuy n đ i nh sau:

B đ : N u bài toán (2.4) ÷ (2.6) có xopt = x*, thì bài toán (2.1) ÷ (2.3) v i

f (x) → min c ng có xopt = x* và fmin = - f max

Th t v y, theo gi thi t (2.4) ÷ (2.6) có xopt = x* v i hàm m c tiêu

2

1 , x =

x

2 1

Ma tr n h s các n (2.11): A =

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

mn m

n n

a a

a a

a a

1 2 21 1 11 Khi đó bài toán (2.10) ÷ (2.12) có d ng ma tr n: Tìm X sao cho: f(x) = C.X → max A.X = B X≥ 0 c D ng véc t : G i véc t : c = ( c1 , c2 , , cn ) x = ( x1 , x2 , , xn ) Véc t c t l p b i h s các n (2.2)2: Aj = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mj j j a a a 2 1 ( j = 1,n ) Véc t c t l p b i h s t do (3.5): B = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m b b b

2 1 Khi đó, bài toán trên có d ng véc t : Tìm X sao cho: f(x) = <c.x> → max n jΣ= 1 Aj xj = B x ≥ 0 Trong đó: <c,x> = cjxj - tích vô h ng c a 2 véc t c và x Nh v y, bài toán QHTT chính t c có th vi t d i d ng ma tr n ho c véc t 2.3 CÁC PHÉP BI N I D NG C A BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH 2.3.1 Ràng bu c: n jΣ= 1 aij xj ≥ bi

Có th đ a v ràng bu c: n

jΣ= 1 ( -aij ) xj ≤ - bi ⇔ n

j= 1

Σ a'ij xj ≤ b'i b ng cách nh n

2 v c a (2.7) v i (-1) r i đ t a'ij = - aij, b’i = -bi

jΣ= 1 aij xj ≤ bi xn + i ≥ 0

Tuy nhiên, sau khi th c hi n các phép bi n đ i, s bi n c a bài toán t ng lên, song n u s

d ng linh ho t các phép bi n đ i đ i s , s bi n có th gi m b t, bài toán rút g n h n

Ví d 2: a bài toán sau v d ng chu n t c:

f(x) = x1 + x2 + 2x3 + 7x4 + 5x5 → max

Thay vào m c tiêu, cho k t qu : f(x) = 4x4 + 2x5 + 28

Bài toán t ng đ ng v i: f(x) = 4x4 + 2x5 + 28 → max

2x4 + 3x5 ≤ 16

x4 + x5 ≤ 3

xj ≥ 0 ( j = 4, 5)

ây là bài toán QHTT d ng chu n t c, đ c rút g n h n

Nh v y, m t bài toán QHTT d ng chu n, b ng ph ng pháp dùng bi n ph , ta luôn đ a

đ c v bài toán d ng chính t c i v i bài toán QHTT d ng chính t c không gi m tính t ng quát, ta gi thi t r ng:

* nh lý có th ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p theo s bi n c a bài toán

ch ng minh D là m t đa di n l i, ta ch c n ch ng t r ng, trong D có m t s h u h n các ph ng

án, mà m i ph ng án thu c D đ u là t h p l i c a các ph ng án trong D

nh lý 3 N u bài toán QHTT chính t c (2.10) − (2.12) có l i gi i và t p D các ph ng án

c a nó là m t đa di n l i, thì có ít nh t m t đi m c c biên c a D là ph ng án t i u

nh lý 4 N u bài toán QHTT chính t c (2.10) -(2.12) có l i gi i, thì t n t i ít nh t 1 đi m

c c biên c a t p D các ph ng án là ph ng án t i u (g i là ph ng án c c biên t i u)

* nh lý này làm c s lý lu n cho ph ng pháp gi i bài toán Nh nó đáng l ph i ph i tìm ph ng án t i u trong t p vô s ph ng án, ta ch c n tìm trong t p h u h n các ph ng án

a a

2 1

2 1

; x = ( x1 , x2 , , xn )

là các véc t c t và hàng

x = ( x1 , x2 , xj , xn ) − ph ng án c c biên ⇔

{ Aj: j ∈J , xj > 0 } − h véc t đ c l p tuy n tính

V y nh đ nh lý, mà vi c xem xét m t ph ng án c a bài toán QHTT có ph i là ph ng án

c c biên hay không , đ c thay th b ng vi c xem xét s đ c l p tuy n tính hay ph thu c tuy n

c a h véc t c t Aj , j∈ J

Xét ví d sau đ làm rõ các khái ni m trên:

Ví d Cho bài toán QHTT: f(x) = 2x1 + x2 - 3x3 + 5x4 → max

1

;0

13

14

có h ng: rank A = 2

V y (A2 , A4 ) - h véc t c s : J = {2 , 4} - t p ch s các véc t c s

x2, x4 - bi n c s

- bi n phi c s , vì 1; 3 ∉ J và x

i i v i m t ph ng án c c biên suy bi n c a bài toán QHTT

Có th có nhi u c s khác nhau Song đ i v i ph ng án c c biên không suy bi n ch có

30

51

130

351

⇒ det A = 92 ≠ 0

ε = c1 x1 + c2 x2 Xem hình 2.2 V y theo ngôn ng hình h c, có th phát bi u bài toán (2.10) − ( 2.12 ) nh sau:

αmax = c1x1* + c2x2* v i x* = ( *

1

x , * 2

x ) ∈ D khi đó x*

= ( * 1

x , * 2

x ) = xopt v i f (x) max = αmax

a Nh n xét:

Hàm m c tiêu: f (x) = c1 x1 + c2 x2 có th bi u di n b ng d ng véc t , nh khái ni m c a tính vô h ng:

gi i bài toán trên ta ti n hành:

i - Xác đ nh mi n ràng bu c D c a bài toán trong h tr c to đ 0x1x2

- N u D - đa giác l i, thì có duy nh t 1 đi m c c biên là ph ng án t i u; ho c có vô s

ph ng án t i u, khi đó 2 đi m c c biên là các ph ng án t i u (theo tính ch t bài toán QHTT)

- N u D - khúc l i ( đa giác l i không gi i n i), thì bài toán có m t ph ng án c c biên t i

u, n u mi n D n m v m t phía c a đ ng m c (2.4) c t đ ng m c (2.4) t i 1 đi m, ho c bài toán có vô s ph ng án t i u, n u có 2 đi m c c biên là các ph ng án t i u, ho c bài toán không có l i gi i (f(x) không b ch n) Có th minh ho b ng m t s ví d sau:

Xét đ ng m c:

4x1 + 5x2 = 10 ( cho α = 10, d v )

D ch chuy n đ ng m c song song v i nhau theo h ng n= {4; 5}, đ nh B ( ;3

2

5) ∈D trên đ ng m c cu i cùng là đi m c c biên t i u:

V y bài toán không có l i gi i

Ví d 3: Gi i bài toán sau b ng ph ng pháp hình h c:

-3

x1 + x2 ≥ 4

- x1 + x2 ≤ 2

- x1 + 3x2 ≤ 3

V y có 2 đi m c c biên t i u ⇒ bài toán có vô s l i gi i là m i t h p l i c a 2 đi m

c c biên t i u trên, t c là vô s các đi m n m trên đo n th ng [ AF ] c ng là ph ng án t i u

j j

jxc

)n.j(x

)m,i(bxa

10

BxA

10

1 1

Xu t phát t m t ph ng án c c biên x(0) = (x01, x0n v i c s J0, ta tìm cách đánh giá x(0)

,

n u x(0) ch a t i u thì tìm cách chuy n sang ph ng án c c biên x(1) t t h n Vì s ph ng án

c c bkên là h u h n nên sau m t s h u h n b c l p s tìm đ c ph ng án c c biên t i u ho c phát hi n bài toán không có l i gi i

Gi s x(0) là m t ph ng án c c biên, c s J0 G i Δklà c l ng c a bi n xk theo c s J0đ c xác đ nh b i:

Δk = c z c (k ,n)

J j

k jk

j

k nÕu1

Toàn b quá trình tính toán đ c s p x p theo m t trình t ch t ch đ m b o hi u qu c a

vi c tìm l i gi c a bài toán QHTT Trình t đó đ c g i là thu t toán

Không m t tính t ng quát ta xét bài toán QHTT d ng chu n

f (x) = ∑

= n

j j

jxc

1

→ min

=+

++

=+

++

+ +

+ +

+ +

nm),m,i(b),n,j(x

bxa

xax

xax

bxa

xax

_

i

j

m n mim m

mim m

n n m

m

n n m

m

101

0

1 1

2 2

1 1 2 2

1 1

1 1 1 1

Bài toán có ngay ph ng án c c biên x(0) = (x10, x02, , x0m, 0 0) = (b1, b2, ,bm,0, ,0)

cr

cm

A1

A2

Ar

Am

X10

X02

X0r

X0m

1 0 0 0 Z1m+1 Z18 Z1n

0 1 0 0 Z2m+1 Z28 Z2n

0 0 1 0 Zrm+1 Zrn

0 0 0 1 Zm m+1 Zm.8 Zmn f(X (())) 0 0 0 0 Δm+1 Δ8 Δn

Hàng cu i b ng g i là hàng cl ng Δk, (k = 1, 2, , n)

f[x(0)] = ; ∑

∈ Jnj j

jx

c 0 Δk = ∑

∈ Jnj

jk

jZ

c - ck (k ∉J0); Δk = 0 (k ∈ J0 )

B c 2 Ki m tra tính t i u c a ph ng án c c biên x(0)

N u Δk ≤ 0, (∀k ∉ J0) thì x(0) = x0pt, fmin = f [x(0)] thu t toán k t thúc

N u t n t i Δk > 0, (k ∉ J0) mà Zjk ≤ 0, (j ∈ J0) thì bài toán không có l i gi i vì f[x] → - ∞, thu t toán k t thúc

Zr8

∈J0) đ c gi nguyên Các thành ph n c a x(1)đ c tính theo công th c:

) ( r

ZZ

xxZx

0 0

) ( rk

ZZ

ZZZ

jk

ÞcZ cc

, l p l i quá trình trên t b c hai tr đi sau m t s h u h n

l n ho c phát hi n bài toán không có l i gi i ho c tìm đ c ph ng án t i u c a bài toán

Chú ý khi th c hi n thu t toán:

i v i bài toán f(x) → max có th gi i tr c ti p b ng thu t toán đ n hình v i véct A, đ c

đ a vào c s có Δs = min {Δk < 0,k ∉ J0} còn xác đ nh véct lo i kh i c s Ar và các thành ph n

xj1), Zjk1) (j ∈J1, k ∉J1) đ c tính t ng t , ho c c ng có th chuy n thành bài toán:

g(x) = - f(x) → min nh ng chú ý r ng fmax = - gmin

Khi dùng thu t toán đ n hình gi i bài toán QHTT chính t c v i gi thi t đã bi t m t ph ng

án c c biên v i c s đ n v t ng ng Nh ng nhìn chung gi thi t này không ph i bao gi c ng

có ngay Vì v y đ áp d ng đ c thu t toán đ n hình c n ph i có ph ng pháp t ng quát cho phép tìm đ c m t ph ng án c c biên mà không ph thu c vào c u trúc riêng bi t c a bài toán

Xây d ng bài toán m i là bài toán bi n gi hay bài toán “M” t bài toán đang xét Bài toán

“M” có ngay ph ng án c c biên xu t phát và có đ đi u ki n áp d ng thu t toán đ n hình đ

gi i, đ ng th i t k t qu c a bài toán “M” đ a ra đ c k t lu n cho bài toán đang xét

b Xây d ng bài toán “M”

Xét bài toán chính t c:

f(x) = ∑

= n

j j

jxc

Bài toán “M” đ c xây d ng nh sau:

Thêm vào v trái c a ph ng trình th i (i = ,m)

j j

jxc

1

+ M ∑

= +m

i i n

000

n

,, ,, b1, b2, , bm) v i c s J0 là: Em = (An+1, An+2, , An+m );

J0={n+1, n+2, ,n + m}

Do v y áp d ng đ c thu t toán đ n hình đ gi i bài toán “M”

T cách xây d ng bài toán “M” nh trên ta th y:

n

n, , , ,x

, ,x,

(2.18)

1 00 0

m

* n

*

*

, ,,,x,

x,

x thì bài toán ban đ u có Xopt = x* = ( *)

n

*

*

x, ,x,

x1 2 và f( x)

*

= f(x*)

m n

*

* *

opt

x, ,,x,xx

n+ >0 =1 thì bài toán ban đ u không có ph ng án nào (không gi i đ c)

N u bài toán “M” vô nghi m thì bài toán ban đ u c ng vô nghi m

d Chú ý khi gi i bài toán “M”

N u bài toán ban đ u có nghi m Xopt thì nghi m này ch có th nh n đ c sau ít nh t m + 1

b ng đ n hình khi gi i bài toán “M” N u trong ma tr n h s trong h ràng bu c (1.17): A = (ajj)mxnđã ch a m1 véct đ n v khác nhau (m1 < m) thì khi xây d ng bài toàn ”M” ch c n thêm

=α

α

>

α

h k h k

h k

j

xMxc)

x

→ max (M >> 0) Các đi u ki n còn l i t ng t bài toán f(x) → min

=++

),j(x

xxx

xxx

j 0 14

22

62

4 3 2

4 3 1

Bài toán có d ng chu n, ph ng án c c biên xu t phát:X(0) = (6,2,0,0) v i c s { A1, A2} = E2

L p b ng đ n hình:

=++

−

=+

−+

),j(x

xxxx

xxx

xxxx

j 0 16

122

82

4

162

2

6 3 2 1

5 3 1

4 3 2 1

Bài toán có ngay ph ng án c c biên xu t phát:

-1/2

0 1/2