Chia sẻ kiến thức môn Toán kinh tế.
Trang 1§1 TÍCH PHÂN HAI LỚP
Bài tập 1.1 Tính các tích phân hai lớp sau:
(a)
1
Z
0
d x
1
Z
0
(x + y )d y, (b)
1
Z
0
d x
x
Z
x 2
x y2d y, (c)
2
Z
0
d ϕ
a
Z
0
r2sin2ϕd r,
Bài tập 1.2 Đưa tích phân hai lớp
ZZ
D
f (x,y )d xd y về tích phân lặp bằng hai cách nếu miềnD được giới hạn bởi các đườngx = 1,y = x2,y = 2x
Bài tập 1.3 Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:
(a)
2
Z
0
d x
2x
Z
x
f (x,y )d y, (b)
2
Z
−6
d x
2−x
Z
x2
4−1
f (x,y )d y, (c)
1
Z
0
d x
x 2 Z
x 3
f (x,y )d y,
(d)
1
Z
−1
d x
1−xZ 2
− p 1−x2
f (x,y )d y, (e)
2
Z
1
d x
p 2x−x2 Z
2−x
f (x,y )d y
Bài tập 1.4 Tính các tích phân sau:
(a)
ZZ
D
x y2d xd y, với miền D được giới hạn bởi parabole y2=2px và đường thẳng
x =p2,(p > 0).
(b)
ZZ
D
d xd y
p
2a−x ,(a > 0), với miền D được giới hạn bởi cung ngắn nhất của đường tròn với tâm tại điểm(a,a)bán kínha (tiếp xúc với các trục toạ độ) và các trục toạ độ
(c)
ZZ
D
| x y |d xd y, với miền D là đường tròn bán kínha và tâm tại gốc toạ độ
Bài tập 1.5 Trong tích phân hai lớp
ZZ
D
f (x,y )d xd y hãy chuyển sang toạ độ cựcr,ϕ
và thiết lập các cận tích phân nếu
(a) D là đường trònx2+y2≤a2,(a > 0),
(b) D là đường trònx2+y2≤ ax,(a > 0),
(c) D là vànha2≤x2+y2≤b2,
(d) D là tam giác0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 − x
Bài tập 1.6 Thay đổi thứ tự lấy tích phân:
(a)
π
2 Z
− π
2
d ϕ
a cosϕZ
0
f (ϕ,r )d r, (b)
π
2 Z
0
d ϕ
ap sin2ϕ
Z
0
f (ϕ,r )d r,(a > 0).
Trang 2Bài tập 1.7 Tính tích phân hai lớp
ZZ
D
(x + y3)d xd y trong đó miền D là hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳngx = 1, x = 2, y = 0, y = 2
Bài tập 1.8 Tính tích phân
ZZ
D
(2x − 3y )d xd y trong miền D được giới hạn bởi các đườngy = x2vày = 2 − x2
Bài tập 1.9 Tính các tích phân sau:
(a)
ZZ
x2 a2 +y 2b2≤1
r
1 −x2
a2−y2
b2d xd y, (b)
ZZ
| x|+|y |≤1
(| x| + |y |)d xd y,
(c)
ZZ
x 4 +y 4≤1
(x2+y2)d xd y, (d)
ZZ
0≤x≤π 0≤y ≤π
| cos(x + y )|d xd y.
§2 CHUỖI SỐ
Bài tập 2.1 Tìm các chuỗiPan, Pbn thỏa mãn:
a ChuỗiPan hội tụ và chuỗiPbn phân kỳ sao choan¾bn, n = 1,2,
b ChuỗiPan hội tụ và chuỗiPbn phân kỳ sao cho|an| ¾ |bn|, n = 1,2,
Bài tập 2.2 Dùng định nghĩa chứng minh các chuỗi sau hội tụ:
a 1 −1
2+
1
4−
1
8+ · · · +
(−1)n−1
2n−1 + · · ·
b 1
1 · 2+
1
2 · 3 + · · · +
1
n · (n + 1) + · · ·,
c 1
2+
1 3
+ 1
22+ 1
32
+ · · · + 1
2n+ 1
3n
+ · · ·,
d 1
2+
3
22+ · · · + 2n − 1
2n + · · ·
Bài tập 2.3 Cho 2 chuỗi số Pan, Pbn Tích (theo Cauchy) hai chuỗi trên là chuỗi P
cn, trong đócn xác định theo công thức:
cn=
n
X
k =0
akbn−k
a Chứng minh (định lý Mertenxơ): nếu chuỗi Pan hội tụ đếnA vàPbn hội tụ đến
B, đồng thời ít nhất một trong 2 chuỗi nói trên hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tíchPcn
hội tụ đếnA.B
b Lấy ví dụ hai chuỗi hội tụ nhưng tích (theo Cauchy) của chúng là phân kỳ
Trang 3c Lấy ví dụ hai chuỗi phân kỳ nhưng tích (theo Cauchy) của chúng là hội tụ tuyệt đối
Bài tập 2.4 Xét tính hội tụ của các chuỗi sau:
a P∞
n=1n.sin1
n
b P∞
n=1
nn+1/n
n + 1
n
n
c P∞
n=1sin2π
p
n2+n
d P∞
n=1
2n −1
2n + 1
n+1
Bài tập 2.5 Dùng nguyên lý hội tụ Cauchy xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
a P∞
n=1
cosxn
2n
b P∞
n=1
1 p
(3n − 1).3n
c P∞
n=1
sinnx − sin(n + 1)x
n
d P∞
n=1
1 n
Bài tập 2.6 Dùng dấu hiệu so sánh xét sự hội tụ của các chuỗi dương:
a P∞
n=1
1 p
∞
P
n=1
1 p
∞
P
n=1
1 (lnn)α (α >0)
Bài tập 2.7 Dùng các dấu hiệu Cauchy, D’alembert, Raabe xét sự hội tụ của các chuỗi
số dương sau:
a P∞
n=1
n
2n
b P∞
n=1
(n + 1)2
nn 2.3n
c P∞
n=1
3 + (−1)n
2n+1
d P∞
n=1
2n2+2n − 1
5n2−2n + 1
n
e P∞
n=1
1
2n
1 + 1
n + 1
n2
f P∞
n=1
2n(2n + 1)
5n
g P∞
n=1
(n!)2
3(n+1) 2
h P∞
n=1
1 n!
n e
n
Bài tập 2.8 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a P∞
n=1
1
n.lnn
b P∞
n=1
p
n + 2 − p n − 2
nα
c P∞
n=1e−3pn
d P∞
n=1n2.e−3pn
e P∞
n=1e
a lnn +b
c lnn + d
f P∞
n=1
n
1
n2+1 − 1
Trang 4Bài tập 2.9 Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
a P∞
n=1
(−1)n 2n +100
3n2+n
b P∞
n=1
(−1)nsin2n
∞
P
n=1
(−1)n
p
n + (−1)n
Bài tập 2.10 Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
a 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ,
b 1 +1
3+
1
5+
1
7+ ,
c P∞
n=2
1 ln(n!),
d 1 +2
5+
3
52+ 4
53+
§3 CHUỖI HÀM
Bài tập 3.1 Xác định tập hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của các chuỗi hàm sau:
a P∞
n=1
xn
1 + x2n
b P∞
n=12nsin x
3n
c P∞
n=1
(−1)n+1e−n sinx
d P∞
n=1
2n + 1 (n + 1)3x2n
e P∞
n=1
p
n (x − 2)n
Bài tập 3.2 Khảo sát sự hội tụ đều của các chuỗi hàm trên các tập tương ứng sau:
a P∞
n=1
xn
n=1
cosnx
3n , −∞ ¶ x ¶ +∞
Bài tập 3.3 Khảo sát sự hội tụ đều của các dãy hàm trên các tập tương ứng sau:
a fn(x) = n
Ç
x + 1
n −
p
x
, x > 0; b. fn(x) = sinx
n,−∞ < x < +∞.
Bài tập 3.4 Cho ví dụ dãy các hàm gián đoạn khắp nơi hội tụ đều đến hàm liên tục
khắp nơi để minh họa cho nguyên lý tổng quát sau: sự hội tụ đều đảm bảo những tính
chất “tốt” và không bảo toàn những tính chất “xấu”.
Bài tập 3.5 Cho các ví dụ
a Dãy hàm liên tục hội tụ đến một hàm gián đoạn
b Dãy hàm khả tích Rieman hội tụ đến một hàm không khả tích Rieman
c Dãy hàm mà giới hạn tích phân của nó không bằng tích phân của hàm giới hạn
Trang 5d Dãy hàm mà giới hạn đạo hàm của nó không bằng đạo hàm của hàm giới hạn.
Bài tập 3.6 Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau:
a P∞
n=1
2n−1xn−1
(2n − 1)2p3n−1;
b P∞
n=1
n!
nn (x − 2)n;
c P∞
n=1
2n.n!
(2n)!x2n;
d P∞
n=1
2n−1x2n−1
(4n − 3)2
Bài tập 3.7 Bằng cách đạo hàm hoặc tích phân từng số hạng tính tổng của các chuỗi
sau:
a P∞
n=1
xn
n ;
b P∞
n=1
(−1)n−1xn
n ;
c P∞
n=1
(−1)n−1(2n − 1)x 2n−2;
d P∞
n=1n(n + 1)xn−1;
e P∞
n=1n.xn;
f P∞
n=1
x4n−3
4n − 3;
g P∞
n=1
(−1)n−1 (2n − 1)3 n−1
Bài tập 3.8 Khai triển hàm số sau thành chuỗi luỹ thừa và tìm bán kính hội tụ của
chuỗi đó:
a f (x) =p x
x
1 + 2x − 3x2