Tài liệu về động học.pdf

Tài liệu về động học.

PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay CHƯƠNG I HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT Phương pháp Lagrange (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883) ⎧ d2x dx ⎧ ax = ⎪ ⎪u x = dt dt ⎪ ⎧x = x(x0 , y0 , z0 , t) ⎪ ⎪ dr dy ⎪ ⎪ d2y du d r ⎪ u = ⇔ ⎨u y = r = f (r0 , t) ⇔ ⎨y = x(x0 , y0 , z0 , t) = ⇔ ⎨a y = a= dt dt dt dt dt ⎪ ⎪ ⎪z = x(x , y , z , t) 0 ⎩ ⎪ dz ⎪ ⎪a z = d z ⎪uz = dt ⎩ ⎪ dt ⎩ Quỹ đạo z Trong phương pháp Lagrage , yếu tố chuyển động phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at2+b Phương pháp Euler y r0(x0, y0, z0) (L Euler, nhà toán học người Thụy Só, 1707-1783) ⎧u x = u x ( x, y, z, t ) ⎪ u = u ( x, y, z, t ) ⇔ ⎨u y = u y ( x, y, z, t ) ⎪ ⎩u z = u z (x, y, z, t ) Phương trình đường dòng: r(x, y, z) x Các đường dòng thời điểm t dx dy dz = = ux uy uz (x,y,z) DONG HOC PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 1a: ux=3x2; uy=-6xy; uz=0 Thiết lập phương trình đường dòng: dx dy = 3x − xy Chuyển số hạng có biến x vế trái, biến y vế phải: xdx dy 2dx dy = ⇔ = x −y x −y Tích phân hai vế: ∫ 2dx = x dy ∫ −y ⇔ ln( x ) = − ln( y ) + ln C ⇔ x y = C Vậy phương trình đường dòng có dạng: x y = C Ví dụ 1b: ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y); dx dy = x y + 2x − ( xy + y ) Thiết lập phương trình đường dòng: Trong trường hợp ta chuyển số hạng có biến x, y phía, nên lấy tích phân hai vế được, ta giải toán sau chương lưu II CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG ống dòng dA Đường dòng, dòng nguyên tố P Diện tích mặt cắt ướt A, Chu vi ướt P, Bán kính thủy lực R=A/P A Dòng có áp Lưu lượng Q, Vận tốc trung bình m/ cắt ướt V: Q= V= A Dòng không áp Dòng tia u ∫ u dA = ∫ udA Abất kỳ n Abatky A Am / c.uot Q A Nhận xét: Lưu lượng thể tích biểu đồ phân bố vận tốc : DONG HOC Am/c ướtø Biểu đồ phân bố vận toác PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay III PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG: Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : ma sát Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát - Re = Fquantinh Fmasat Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re2300) Theo thời gian: ổn định-không ổn định Theo không gian: đều-không Theo tính nén được: số Mach M=u/a a: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chất âm (M1) siêu âm (M>>1) Thí nghiệm Reynolds IV GIA TỐC PHẦN TỬ LƯU CHẤT : •Theo Euler: du x ∂u x ∂u ∂u ∂u = + ux x + uy x + uz x dt ∂y ∂t ∂x ∂z du ∂u ∂u ∂u ∂u a y = y = y + ux y + u y y + uz y dt ∂t ∂x ∂y ∂z du ∂u z ∂u ∂u ∂u az = z = + ux z + uy z + uz z dt ∂t ∂x ∂y ∂z ax = t.ph.cục - thành phần đối lưu •Theo Lagrange: u = u (x , y0 , z0 , t) ⇒ a = DONG HOC du ∂u = dt ∂t PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay V PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT: Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc hai điểm M(x,y,z) M1(x+dx,y+dy,z+dz), hai điểm sát nhau, nên ta có: ∂u x ∂u x ∂u x dx + dy + dz ∂z ∂x ∂y ∂u y ∂u y ∂u y = uy + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂u z ∂u z ∂u z = uz + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z u x1 = u x + u y1 u z1 vận tốc chuyển động tịnh tiến vận tốc biến dạng dài vận tốc biến dạng góc vận tốc quay Định lý Hemholtz Tịnh tiến Chuyển Vận tốc quay: Quay động ω = Rotu Biến dạng Biến dạng góc ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ε zy = ε yz ε xz = ε zx ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ = ⎜ + ⎟ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ε xy = ε yx ⎛ ∂u y ∂u x ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎝ k ⎞ ⎟ ∂ ⎟ ∂z ⎟ uz ⎟ ⎠ Suất biến dạng dài = = j ∂ ∂y uy Biến dạng dài Suất biến dạng góc ⎛ ∂u z ∂u y ⎜ ⎜ ∂y + ∂z ⎝ = ⎛ i ⎜ 1⎜ ∂ ⎜ ∂x ⎜u ⎝ x ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ε ε ε xx yy zz ∂u x = ∂x = ∂u y ∂y ∂u z = ∂z DONG HOC ωx = ⎛ ∂uz ∂u y ⎞ ⎜ ⎟ − ∂z ⎟ ⎜ ∂y ⎝ ⎠ ωy = ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ − ⎜ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ωz = ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ ⎟ ⎜ − ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎠ ⎝ PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay •Chuyển động quay phần tử lưu chaát: ⎛ ∂ux ⎞ ∂u dyΔt − y dxΔt ⎟ ⎜ α +β 1 ⎜ ∂y ⎟ ω=− =− + ∂x ⎟ Δt 2Δt ⎜ dy dx ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂u y ∂ux ⎞ ⎟ = rotuz = ⎜ − ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠ x uxΔt ∂ux/∂ydyΔ t α β dy + ∂uy/∂xdxΔ t uyΔt dx rot ( u ) = rot (u ) ≠ Ví dụ 2: chuyển động không quay (thế) chuyển động quay Xác định đường dòng dòng chảy có : ux = 2y vaø uy = 4x dx dy = ux u y dx dy = y 4x xdx = ydy xdx = ydy ⎛ x2 ⎞ y2 2⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ +C ⎝ ⎠ 2x2 − y = C DONG HOC y PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 3: Dòng chảy qua đoạn ống thu hẹp dần với vận tốc dòng vào 10 m/s 50 m/s Chiều dài ống 0,5m Giả thiết dòng chiều, vận tốc biến đổi tuyến tính dọc theo trục ngang ống Hãy tìm quy luật biến thiên vận tốc gia tốc theo trục ống Từ suy gia tốc đầu vào vòi Lời Giải: Quy luật biến thiên vận tốc tuyến tính dọc theo trục ống: u = ax + b a, b số Chọn trục x hình vẽ, với gốc “0” đầu ống, ta có x=0, u =10 m/s; x=0,5m, u = 50 m/s Thế cá điều kiện vào ta suy a=80; b=10 Suy quy luật biến thiên vận tốc dọc theo trục x là: u = (80x + 10) m/s Từ suy quy luật biến thiên gia tốc sau: Thế giá trị x=0 x=0,5 vào ta suy gia tốc đầu vào ống là: 800 m/s2 4000m/s2 DONG HOC PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VI ĐỊNH LÝ VẬN TẢI REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁT Thể tích kiểm soát, đại lượng nghiên cứu: Xét thể tích W không gian lưu chất chuyển động W có diện tích bao quanh A Ta nghiên cứu đại lượng X dòng lưu chất chuyển động qua không gian Đại lượng X lưu chất không gian W CV tính bằng: A X = ∫∫∫ kρdW W W W: thể tích kiểm soát u dw X : Đại lượng cần nghiên cứu k : Đại lượng đơn vị ( đại lượng X đơn vị khối lượng) k=1 ; X = ∫∫∫ ρdW X động lượng: k=u X = X động năng: k=u2/2 ; X = Ví dụ: X khối lượng: W ∫∫∫ u ρ dW W ∫∫∫ W u2 ρ dW Định lý vận tải Reynolds- phương pháp thể tích kiểm soát: Nghiên cứu biến thiên đại lượng X theo thời gian dòng chảy qua W Diện tích dX ∂X = + ∫∫ kρu n dA Diện tích A2 dt ∂t W A A1 C A B n n Taïi t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích kiểm soát W Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động W1 đến chiếm khoảng không gian W1 W t+ t+ t t XW1 −XW (XB Δt + XC Δt ) − (XA + XB) ΔX dX Xt +Δt −Xt = lim = lim = lim = lim Δt Δt Δt dt Δt →0 Δt Δt →0 Δt →0 Δt →0 t+ t+ t t t+ t+ (XB Δt + XA Δt ) − (XA + XB ) XC Δt − XA Δt = lim + lim Δt Δt Δt →0 Δt →0 t + Δt t+ X t + Δt − X t − XA Δt W W + lim XC = lim Δt Δt Δt →0 Δt →0 ∂X = ∂t W ∂X ∂t W = + lim Δ t ∫∫ k ρ u n dA + Δ t ∫∫ k ρ u n dA A2 Δt Δt→ + ∫∫ k ρ u A1 n dA A DONG HOC PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay dX ∂X = + ∫∫ kρu n dA dt ∂t W A VII ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TTKS PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC X khối lượng: theo đ luật bảo toàn khối lượng: dX = dt Hay: ∂ ∫∫∫ ρ dW W + ∂t = ∫∫ ρ u n d A b d Gauss ∫∫∫ A W dX =0 dt ∂ρ dW + ∂t ∫∫∫ div ( ρ u ) dW =0 W ∂ρ + div (ρ u ) = : dạng vi phân ptr liên tục ∂t •Nếu ρ=const→ ptr vi phân liên tục lưu chất không nén được: div ( u ) = ⇔ ∂u x ∂u y ∂u z + =0 + ∂x ∂z ∂y Dòng nguyên tố chuyển động ổn định: → ptr liên tục dòng nguyên tố chuyển động ổn ñònh: dA1 ∫∫ ρu n dA = ⇔ ρ1u1dA1 = ρ2u 2dA2 u1 A dA2 u2 •Đối với toàn dòng chuyển động ổn định (có m/c vào, m/c ra) → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất chuyển động ổn định dạng khối lượng: ∫ ρ1u1dA1 = A1 ∫ ρ2 u 2dA2 ⇔ M1 = M A2 M1: khối lượng lưu chất vào m/c A1 đv t.gian M2: khối lượng lưu chất m/c A2 đv t.gian •Đối với toàn dòng chuyển động ổn định (có m/c vào, m/c ra), lưu chất không nén được: → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất không nén chuyển động ổn định: Q1 = Q2 hay Q = const •Trong trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào ra, c động ổn định, lưu chất không nén được, nút, ta có: → ptr liên tục nút cho toàn dòng lưu chất không nén chuyển động ổn định: Qđến = DONG HOC Qđi PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG dX = ∂ X dt ∂t + W ∫∫ k ρ u n dA A Khi X lượng dòng chảy có khối lượng m (ký hiệu E, bao gồm nội năng, động (thế bao gồm vị lẫn áp năng), ta có: X = E = Eu + 1/2mu2+ mgZ với Z=z+p/γ p Như vậy, lượng đơn vị khối lượng lưu chất k baèng: k = e u + u + gz + ρ đó: eu nội đơn vị khối lượng 1/2u2 động đơn vị khối lượng gz vị đơn vị khối lượng p/ρ áp đơn vị khối lượng Định luật I Nhiệt động lực học: số gia lượng truyền vào chất lỏng đơn vị thời gian (dE/dt) , suất biến đổi đơn vị thời gian nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng xét, trừ suất biến đổi công (dW/dt) đơn vị thời gian khối chất lỏng thực hiên môi trường (ví dụ công lực ma sát): dE dQ dW = − dt dt dt Như vaäy 1 dQ dW ∂ p p − = ∫∫∫(eu + u2 + gz + )ρdw+ ∫∫(eu + u2 + gz + )ρundA 2 dt dt ∂t w ρ ρ A Dạng tổng quát P tr NL PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯNG Khi X động lượng: k=u X = ∫∫∫ u ρ dW W Định biến thiên động lượng: biến thiên động lượng lưu chất qua thể tích W (được bao quanh diện tích A) đơn vị thời gian tổng ngoại lực tác dụng lên khối lưu chất đó: dX = ∑ F ngoạilực dt Như vậy, từ kết pp TTKS: ∑F = ngoạilực dX ∂X = + ∫∫ kρu n dA dt ∂t W A ∂ (u )ρdw + ∫∫ (u )ρu n dA ∂t ∫∫∫ w A DONG HOC ; ta có: Dạmg tổng quát p.tr ÑL PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Một dòng chảy khỏi ống có vận tốc phân bố dạng hình vẽ, với vận tốc lớn xuất tâm có giá trị Umax = 12 cm/s Tìm vận tốc trung bình dòng chảy Ví dụ 4: dA=2πrdr Giải: Tại tâm ống, u=umax; thành ống, u=0 Ta có phương r,; vận tốc dòng chảy phân bố theo quy luật tuyến tính: u= Lưu lượng : r Umax dr u max (R − r ) R u max 2πu max ⎡ Rr r ⎤ πu max R Q=∫ (R − r )2πrdr = − ⎥ = ⎢ R R ⎣ ⎦ r =R Q u V = = max A R V = 4cm / s Ví dụ 5: Lưu chất chuyển động ổn định đường ống có đường kính D Ở đầu vào đoạn ống, lưu chất chuyển động tầng, vận tốc phân bố theo quy luật : ⎡ r2 ⎤ u1: vận tốc tâm ống chảy tầng u = u1 ⎢1 − 2⎥ r : tính từ tâm ống (0 ≤ r ≤ D/2) ⎣ (R ) ⎦ Khi lưu chất chuyển động vào sâu ống chuyển sang chảy rối, với phân 1/ bố vận tốc sau : u2: vận tốc tâm oáng chaûy roái ⎛y⎞ u = u2⎜ ⎟ y : tính từ thành ống (0 ≤ y ≤ D/2) ⎝R⎠ Tìm quan hệ u1 u2 r dA=2π r Giải: rdr R Theo phương trình liên tục: u1 u2 o dr Q1 = Q2 o R ⎡ r2 ⎤ ⎡y⎤ Q1 = ∫ u1 ⎢1 − ⎥ 2πrdr; Q = ∫ u ⎢ ⎥ 2π(R − y)dy ⎣R ⎦ ⎣ R ⎦ 0 R ⎡ ⎡ r2 r4 ⎤ πu R r2 ⎤ = 2πrdr = 2πu1 ⎢ − Q1 = ∫ u1 ⎢1 − 2⎥ 2⎥ ⎣ 4(R ) ⎦ r =R ⎣ (R ) ⎦ 1 R ⎡R y ⎤ ⎡ y 7 y15 −1 ⎤ 49 ⎡ ⎤ ⎡y⎤ ⎥ Q2 = −2πu ⎢∫ R ⎢ ⎥ dy − ∫ y⎢ ⎥ dy = 2πu ⎢ R 7− R ⎥ = πu R R⎦ 15 60 ⎢0 ⎣R ⎦ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ y=R ⎣ ⎦ 49 ⇒ u1 = u 30 R DONG HOC 10 PGS.TS Nguyen Thi Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Chaát lỏng lý ltưởng quay quanh trục thẳng đứng (oz) Giả sử vận tốc Ví dụ 5: quay phân tố chất lỏng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ trục quay phương bán kính (V=a/r; a>0 số Chúng minh chuyển động Tìm phương trình đường dòng Giải: ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ rot ( u ) z = chuyển động không quay (thế) ⎜ ⎟ ⎜ ∂x − ∂y ⎟ = − ay a − y − ay ⎠ ⎝ = = u = u cos(u, ox) = ; x ∂x x2 + y r2 u a ⎛ x ⎞ ax ax uy = u cos(u, oy) = ⎜ ⎟ = = r⎝r⎠ r x + y2 Suy ra: ∂uy r r = y r ∂ ⎛ ax ⎞ a(x2 + y ) − ax(2x) a(y − x2 ) ⎜ ⎟= = 2 2; ( x + y )2 (x + y ) ∂x ⎜ x2 + y ⎟ ⎝ ⎠ O x ∂ux ∂ ⎛ − ay ⎞ − a(x2 + y ) + ay(2y) a(y − x2 ) ⎟= = 2 = ⎜ ( x + y )2 (x + y ) ∂y ∂y ⎜ x2 + y ⎟ ⎝ ⎠ ∂u y ∂u x = ⇔ rot ( u ) z = ∂x ∂y Đây chuyển động Một chuyển động mặt phẳng xOy Vậy: − Phương trình đường dòng: u x dy = u y dx ⇔ ⇔ (x + y ) = C DONG HOC 11 ax − ay dy = dx 2 x +y x + y2 ... dt dt ∂t w ρ ρ A Dạng tổng quát P tr NL PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯNG Khi X động lượng: k=u X = ∫∫∫ u ρ dW W Định biến thiên động lượng: biến thiên động lượng lưu chất qua thể tích W (được bao quanh diện... ∂y Dòng nguyên tố chuyển động ổn định: → ptr liên tục dòng nguyên tố chuyển động ổn định: dA1 ∫∫ ρu n dA = ⇔ ρ1u1dA1 = ρ2u 2dA2 u1 A dA2 u2 •Đối với toàn dòng chuyển động ổn định (có m/c vào,... Bay, DHBK HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay III PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG: Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : ma sát Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát - Re = Fquantinh Fmasat Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re