TÀI LIỆU - Toán kinh tế - HV Tài Chính (Bài giảng Bài tập Đề thi tham khảo)

Bi giảng Toỏn kinh t H nội 2006 Sách lu hành nội Chơng Nhắc lại đại số tuyến tính (tự ôn) Đ0.1 Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính hệ véc tơ 0.1.1 Khái niệm phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính hệ véc tơ * Định nghĩa 0.1.1: Một gồm n số thực a1, a2, , an đợc xếp theo trật tự định đợc gọi véc tơ tơ n chiều, ký hiệu A = (a1, a2, , an) Mỗi số thực đợc gọi thành phần thứ i véc tơ A Ta thờng biểu diễn véc tơ dới dạng cột (véc tơ cột) dòng (véc tơ dòng) Các biểu diễn thờng đợc sử dụng nh Trong số trờng hợp, ngời ta có phân biệt hai cách biểu diễn Một số thực đợc coi véc tơ chiều * Định nghĩa 0.1.2: Cho hai véc tơ n chiều A = (a1, a2, , an) B = (b1, b2, , bn) Khi tổng hai véc tơ A B véc tơ mà đợc ký hiệu xác định nh sau: A + B = (a1 + b1 , a2 + b2, , an + bn) Từ định nghĩa đợc cho tổng nhiều véc tơ n chiều * Định nghĩa 0.1.3: Cho véc tơ n chiều A số thực , tích số thực với véc tơ A véc tơ n chiều mà đợc ký hiệu xác định nh sau: .A = (.a1, .a2, , .an) Với =1 véc tơ 1.A = (a1, a2, , an) đợc gọi véc tơ đối véc tơ A, ký hiệu A Phép cộng véc tơ A với véc tơ (B) đợc viết A B Phép toán A B đợc gọi phép trừ véc tơ A cho véc tơ B * Định nghĩa 0.1.4: Một véc tơ n chiều mà tất thành phần đợc gọi véc tơ không n chiều, ký hiệu = (0 , , , 0) Hiển nhiên véc tơ A A = 14243 n số * Định nghĩa 0.1.5: Hai véc tơ n chiều A = (a1, a2, , an) B = (b1, b2, , bn) đợc gọi a i = b i i = 1, n Ký hiệu A = B * Định nghĩa 0.1.6: Tập hợp véc tơ n chiều với hai phép tính cộng véc tơ nhân véc tơ với số thực đợc gọi không gian véc tơ n chiều, ký hiệu R n * Định nghĩa 0.1.7: Cho hai véc tơ n chiều A = (a1, a2, , an) B = (b1, b2, , bn) Khi véc tơ A đợc gọi lớn véc tơ B a i b i i = 1, n Ký hiệu A B * Định nghĩa 0.1.8: Cho hai véc tơ n chiều A = (a1, a2, , an) B = (b1, b2, , bn) Khi tích vô hớng hai véc tơ n chiều A B số mà đợc ký hiệu xác định nh sau: n A, B = a i b i i =1 * Định nghĩa 0.1.9: Véc tơ A = (a1, a2, , an) đợc gọi véc tơ không âm a i i = 1, n Ký hiệu A * Định nghĩa 0.1.10: Một véc tơ n chiều có thành phần 1, thành phần khác đợc gọi véc tơ đơn vị n chiều Véc tơ đơn vị n chiều ( , , , , , , 0) đợc ký hiệu E i R n thứ i Số đợc coi véc tơ đơn vị chiều Véc tơ E i = (0 , , , , , , 0) đợc gọi véc tơ đối đơn vị n chiều thứ i Cho hệ gồm m véc tơ n chiều {A , A , , A m } (0.1.1) m số thực 1, 2, , m, theo http://www.ebook.edu.vn m định nghĩa 0.1.2 định nghĩa 0.1.3 T = i A i véc tơ n chiều i =1 * Định nghĩa 0.1.11: Véc tơ T nh đợc gọi tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ (0.1.1), ta nói véc tơ T biểu diễn tuyến tính (hay biểu thị tuyến tính) đợc qua hệ véc tơ (0.1.1) * Định nghĩa 0.1.12: Hệ véc tơ (0.1.1) đợc gọi hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính tồn m số thực 1, 2, , m không đồng thời (tức m 2i > ) cho i =1 m i A i = (0.1.2) i =1 * Định nghĩa 0.1.13: Hệ véc tơ (0.1.1) đợc gọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính đẳng thức (0.1.2) xảy = = = m = 0.1.2 Tính chất phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính hệ véc tơ * Định lý 0.1.1: Một hệ véc tơ có chứa véc tơ hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính * Hệ 0.1.1: Hệ gồm véc tơ khác véc tơ hệ véc tơ độc lập tuyến tính * Định lý 0.1.2: Nếu hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ chứa hệ phụ thuộc tuyến tính * Hệ 0.1.2: Nếu hệ véc tơ độc lập tuyến tính hệ hệ độc lập tuyến tính * Định lý 0.1.3: Nếu thêm vào hệ véc tơ véc tơ khác biểu diễn tuyến tính đợc qua véc tơ hệ ta đợc hệ véc phụ thuộc tuyến tính * Định lý 0.1.4: Một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính có véc tơ hệ biểu diễn tuyến tính đợc qua véc tơ lại * Hệ 0.1.3: Một hệ véc tơ có hai véc tơ giống hệ hệ phụ thuộc tuyến tính * Định lý 0.1.5: Nếu véc tơ biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ véc tơ độc lập tuyến tính biểu diễn * Định nghĩa 0.1.11: Giả sử hệ véc tơ A i1 , A i2 , , A ir (0.1.3) hệ véc tơ độc lập tuyến tính { } hệ véc tơ (0.1.1), (tức {i1 , i , , i r } {1, , , m} dĩ nhiên r m) cho thêm vào hệ (0.1.3) véc tơ hệ (0.1.1) ta đợc hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tuyến tính Khi hệ véc tơ (0.1.3) đợc gọi hệ véc tơ độc tuyến tính cực đại hệ véc tơ (0.1.1) * Định lý 0.1.6: Mọi véc tơ hệ véc tơ biểu diễn tuyến tính đợc cách qua hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại hệ véc tơ * Định lý 0.1.7: Số véc tơ hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại hệ véc tơ số đợc gọi hạng hệ véc tơ cho Gọi A = {A , A , , A m }, hạng hệ véc tơ A đợc ký hiệu hạngA (hay rankA) * Định lý 0.1.8: Nếu thêm vào hệ véc tơ véc tơ biểu diễn tuyến tính đợc qua véc tơ hệ hạng hệ véc tơ không thay đổi so với cũ * Định lý 0.1.9: Nếu bớt từ hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính véc tơ biểu diễn tuyến đợc qua véc tơ lại hệ hạng hệ véc tơ không thay đổi so với cũ * Định lý 0.1.10: Số véc tơ hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại không gian véc tơ n R n * Định nghĩa 0.1.12: Mỗi hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại không gian véc tơ R n đợc gọi sở không gian véc tơ R n Tất nhiên ta có định lý tơng tự định lý 0.1.6: * Định lý 0.1.11: Mọi véc tơ không gian véc tơ R n biểu diễn tuyến tính đợc cách qua hệ véc tơ sở không gian * Hệ 0.1.4: Mọi hệ véc tơ có số véc tơ nhiều số chiều hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính * Ví dụ 0.1.1: Chứng minh hệ véc tơ {A , A , , A m } hệ độc lập tuyến tính http://www.ebook.edu.vn m B = i A i đồng thời, chẳng hạn hệ véc tơ {B , A , A , , A m } hệ độc lập tuyến tính i =1 # Giải: Xét đẳng thức B + A + + m A m = (1) , véc tơ không số chiều với B hệ véc tơ {A , A , , A m } m Thay B vào vế trái (1), ta đợc i A i + A + + m A m = 1=1 m 1 A + (1 i + i )A i = , hệ véc tơ {A1 , A , , A m } hệ véc tơ độc lập tuyến tính nên i =2 11 = i + i = i = 2, m Vì nên = i = i = 2, m hệ véc tơ {B , A , A , , A m } hệ véc tơ độc lập tuyến tính Đ0.2 Ma trận định thức 0.2.1 Khái niệm ma trận định thức * Định nghĩa 0.2.1: Một gồm mìn số thực a ij ( i = 1, m ; j = 1, n ) xếp với theo trật tự định thành bảng hình chữ nhật gồm m dòng n cột đợc gọi ma trận cấp mìn, ký hiệu là: a 11 a 12 a 1n a a a n = (a ) A = 21 22 ij mìn , aij phần tử dòng thứ i cột thứ j ma trận . a a a m1 m mn * Định nghĩa 0.2.2: Cho hai ma trận A = a ij mìn B = b ij mìn , tổng hai ma trận A B ( )mìn , c ma trận C = c ij ij ( ) ( ) = aij + bij i = 1, m; j = 1, n ( )mìn số thực , tích ma trận A số thực * Định nghĩa 0.2.3: Cho ma trận A = a ij ( )mìn , c ma trận C = c ij ij = .aij i = 1, m; j = 1, n ( ) Với =1 ma trận 1.A = C = c ij mìn mà c ij = a ij i = 1, m; j = 1, n đợc gọi ma trận đối ma trận A, ký hiệu A Phép cộng ma trận A với ma trận (B) đợc viết A B Phép toán A B đợc gọi phép trừ ma trận A cho ma trận B * Định nghĩa 0.2.4: Hai ma trận A = a ij mìn B = b ij mìn đợc gọi ( ) ( ) a ij = b ij i = 1, m; j = 1, n Ký hiệu A = B Ma trận A đợc gọi lớn ma trận B a ij b ij i = 1, m; j = 1, n , ký hiệu A B ( )mìn đợc gọi ma trận không âm a ij i = 1, m; j = 1, n * Định nghĩa 0.2.5: Ma trận A = a ij Ký hiệu A * Định nghĩa 0.2.6: Một ma trận mà tất phần tử đợc gọi ma trận không * Định nghĩa 0.2.7: Một ma trận mà số dòng số cột n đợc gọi ma trận vuông cấp n Trong ma trận vuông, phần tử có dạng a ii i = 1, n đợc gọi phần tử đờng chéo chính, phần tử có dạng a ij i j đợc gọi phần tử đờng chéo http://www.ebook.edu.vn * Định nghĩa 0.2.8: Một ma trận vuông cấp n mà phần tử đờng chéo 1, phần tử đờng chéo đợc gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu E I * Định nghĩa 0.2.9: Một ma trận vuông cấp n mà phần tử phía dới đờng chéo ( a ij = i > j ) đợc gọi ma trận tam giác dới phần tử phía đờng chéo ( a ij = i < j ) đợc gọi ma trận tam giác * Định nghĩa 0.2.10: Một ma trận vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác dới đợc gọi ma trận chéo * Định nghĩa 0.2.11: Nếu đổi toàn dòng ma trận A thành cột tơng ứng (và tất nhiên cột thành dòng tơng ứng) ta đợc ma trận gọi ma trận chuyển vị, ký hiệu AC A a 11 a 12 a 1n a a 22 a n 21 * Ví dụ 0.2.1: Cho ma trận A = ma trận chuyển vị ma trận A . a m1 a m a mn a 11 a 21 a m1 a a a m AC (hoặc A) = 12 22 . a 1n a n a mn b 11 b 12 b 1p a 11 a 12 a 1n a a a b 21 b 22 b p 21 22 n B = * Định nghĩa 0.2.12: Cho hai ma trận A = , tích . a a a b b .b mn m1 m np n1 n ( )mìp , c ij = a ik b kj i = 1, m ; j = 1, p hai ma trận theo thứ tự A trớc B sau ma trận C = c ij n k =1 Tính chất phép nhân hai ma trận Tính phân phối: Cho ma trận A = (a ij )mìn , B = (b ij )nìp C = (c ij )nìp , đó: Còn A = (a ij )mìn , B = (b ij )mìn A ì (B + C ) = A ì B + A ì C C = c ij nìp (A + B ) ì C = A ì C + B ì C ( ) Tính không giao hoán: Cho ma trận A = (a ij )mìn , B = (b ij )nìp với m p tồn AìB nhng không tồn BìA, nói đến đẳng thức AìB = BìA Tính kết hợp: Cho A = (a ij )mìn , B = (b ij )nìp C = (c ij )pìq , (A ì B ) ì C = A ì (B ì C ) ( )mìn E ma trận đơn vị cấp n, A ì E = A Nếu E ma trận đơn vị cấp Cho ma trận A = a ij m E ì A = A Còn A ma trận vuông cấp n, E ma trận đơn vị cấp A ì E = E ì A = A * Định nghĩa 0.2.13: Nếu xoá toàn số dòng số cột ma trận phần lại ma trận ta gọi ma trận ma trận cho * Định nghĩa 0.2.14: ứng với ma trận vuông cấp A = (a)1ì1 ta có định thức cấp |A| = a ứng với ma trận vuông cấp hai A = a ij 2ì2 ta có định thức cấp hai |A| = a11 a22 a12 a21 ( ) * Định nghĩa 0.2.15: Giả sử có khái niệm định thức cấp thấp n Cho ma trận vuông cấp n ( n 2) : A = a ij nìn , xét phần tử a ij ma trận, ta xoá toàn dòng thứ i cột thứ j ( ) http://www.ebook.edu.vn ma trận Khi phần lại ma trận vuông cấp n 1, định thức ma trận đợc gọi định thức bù phần tử a ij , ký hiệu Mij ( i = 1, n; j = 1, n ) ; A ij = (1) i+ j M ij đợc gọi phần bù đại số phần tử a ij ( i = 1, n; j = 1, n ) n n j =1 j =1 * Định nghĩa 0.2.16: Ta gọi DetA = D = A = a ij A ij = (1) i+ j a ij M ij i = 1, n (0.2.1) ( )nìn Các công thức đợc gọi công thức khai triển định định thức ma trận vuông A = a ij thức theo dòng i ( i = 1, n ) n n i =1 i =1 Ta có DetA = D = A = a ij A ij = (1) i+ j a ij M ij j = 1, n (0.2.2) , công thức đợc gọi công thức khai triển định thức theo cột j ( j = 1, n ) Chúng đợc dùng làm định nghĩa truy hồi định thức cấp n Cho A = a ij 3ì3 ma trận vuông cấp 3, ta có công thức tính định thức cấp ( ) DetA = A = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21a 33 a 11a 23 a 32 Có thể nhớ cách tính định thức cấp theo lợc đồ sau * * * * * * a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 * * * ; * * * lợc đồ a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 * * * * * * 14243 14243 1424 1424 c c số h ng c c số h ng c c số h ng mang dấu + c c số h ng mang dấu mang dấu + mang dấu 1 * Ví dụ 0.2.2: Cho ma trận A = DetA = + + + + + = 0 1+1 1+ A 11 = (1) = 5; A 12 = (1) = 2; A 13 = (1)1+3 10 21 = ; A 21 = (1) 2+1 11 12 = 3; A 22 = ( 1) 2+2 20 12 = 4; A 23 = (1) 2+3 20 11 = A 31 = (1) 3+1 2111 = 1; A 32 = ( 1) 3+2 21 11 = 3; A 33 = ( 1) 3+3 21 21 = ( )nìn * Định nghĩa 0.2.17: Ma trận vuông cấp n: A = a ij đợc gọi ma trận không suy biến D = A đợc gọi ma trận suy biến D = A = * Định nghĩa 0.2.18: Định thức ma trận vuông ma trận đợc gọi định thức ma trận * Định nghĩa 0.2.19: Cấp cao định thức số định thức khác ma trận A đợc gọi hạng ma trận, ký hiệu hạngA rankA A 11 A 21 A n1 A A A n2 * Định nghĩa 0.2.20: Cho ma trận vuông cấp n: A = a ij nìn , ma trận A = 12 22 A A A 1n n nn = A ji nìn đợc gọi ma trận phụ hợp ma trận A ( ) ( ) http://www.ebook.edu.vn * Ví dụ 0.2.3: Với ma trận A nh ví dụ 0.2.2 ma trận phụ hợp A = a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a a a b b b 21 22 n 2k * Định nghĩa 0.2.21: Cho hai ma trận số dòng A = B = 21 22 a a a b b b m1 m m1 m mn mk a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1k a a a n b 21 b 22 b k Khi ma trận (A B ) = 21 22 đợc gọi ma trận ghép cột ma trận a a a b b b mk mn m1 m m1 m A ma trận B Hiển nhiên ma trận C nhân đợc với ma trận A B C.(A B ) = (CA CB ) ( )nìn , tồn ma trận vuông X * Định nghĩa 0.2.22: Cho ma trận vuông cấp n: A = a ij cấp n cho A.X = X.A = E (E ma trận đơn vị cấp) ma trận X đợc gọi ma trận nghịch đảo ma trận A, ký hiệu A * Định nghĩa 0.2.23: Các phép biến đổi sau - Nhân toàn dòng hay cột ma trận với số khác - Lấy dòng (hay cột) nhân với số cộng tơng ứng vào dòng (hay cột) khác - Đổi chỗ hai dòng (hay cột) ma trận cho đợc gọi phép biến đổi sơ cấp thực dòng (hay cột) ma trận * Định nghĩa 0.2.24: Một loạt phép biến đổi sơ cấp thực dòng ma trận làm cho cột ma trận trở thành véc tơ cột đơn vị đợc gọi phép khử toàn phần thực ma trận 0.2.2 Tính chất ma trận định thức: * Định lý 0.2.1: Định thức ma trận vuông định thức ma trận chuyển vị Từ định lý suy mệnh đề định thức đợc phát biểu cho dòng cho cột * Định lý 0.2.2: Định thức ma trận vuông khác hệ véc tơ cột (hoặc hệ véc tơ dòng) ma trận hệ véc tơ độc lập tuyến tính * Định lý 0.2.3: Một định thức có hai dòng hay cột giống định thức không * Định lý 0.2.4: Nếu cộng vào dòng hay cột định thức tổ hợp tuyến dòng hay cột khác giá trị định thức không thay đổi * Định lý 0.2.5: Hạng ma trận hạng hệ véc tơ dòng (hay cột) ma trận * Định lý 0.2.6: Các phép biến đổi sơ cấp thực dòng (hay cột) ma trận không làm thay đổi hạng ma trận Từ định lý suy cách tính hạng ma trận nh sau: Dùng phép biến đổi sơ cấp, a 12 a r a 1,r +1 a n a r a 2,r +1 a n a 11 a 12 a 1n a a a n dạng đa ma trận A = 21 22 0 a r,r +1 a r ,n . 0 0 a a a mn m1 m m - r dòng 0 0 Khi ta khẳng định đợc rankA = r http://www.ebook.edu.vn ( )nìn số thực Khi .A = n A * Định lý 0.2.8: Cho hai ma trận vuông A = (a ij )nìn B = (b ij )nìn ,khi A.B = A B * Định lý 0.2.7: Cho ma trận vuông A = a ij A A = A E , * Định lý 0.2.9: Cho ma trận vuông A = a ij nìn , A.A = A.A = 0 A 144 42444 ( ) n cột E ma trận đơn vị cấp n * Hệ 0.2.1: A = A ( )nìn ma trận vuông không suy biến tồn ma trận nghịch đảo * Hệ 0.2.2: Nếu A = a ij A , đồng thời A = A A * Ví dụ 0.2.4: Với ma trận A nh ví dụ 0.2.2 / 13 / 13 / 13 ma trận nghịch đảo là: A = / 13 / 13 / 13 / 13 / 13 / 13 Qui tắc khử toàn phần: Trong phép khử toàn phần, phần tử a ij bảng trớc trở thành số A A = véctơ đơn vị A j = E i bảng sau đợc gọi phần tử trục, dòng i đợc gọi dòng chuẩn, cột j đợc gọi cột xoay Dòng chuẩn chia cho phần tử trục, ta đợc dòng chuẩn mới, cột xoay trở thành cột đơn vị Đối với phần tử không nằm dòng chuẩn không nằm cột xoay chúng đợc tính theo qui tắc sau (gọi qui tắc hình chữ nhật): Phần tử phải tính tích phần tử đờng chéo qua trục trừ tích phần tử đờng chéo không qua trục, đợc chia cho phần tử trục Dòng chuẩn có số cột chứa số giữ nguyên, cột xoay có số dòng chứa số giữ nguyên (a ) b b / a b (a ) b / a c d d d c d ; ; ; c d d d c d (a ) b b / a b (a ) b / a ad bc Dù lợc đồ a phải khác không d = a Quy tắc tam giác: Đặt bảng sau dới bảng trớc Từ phần tử ứng với phần tử phải tính, dóng ngang sang cột xoay dóng dọc xuống dòng chuẩn mới, ta đợc ba đỉnh tam giác vuông Phần tử phải tính phần tử đỉnh góc vuông trừ tích hai phần tử cạnh huyền (a ) b c d b ad bc d = d c ì = a a b / a d Phơng pháp khử toàn phần tìm ma trận nghịch đảo: Giả sử A ma trận vuông không suy biến, E ma trận đơn vị cấp Xét ma trận ghép (A E ) , nhân vào bên trái ma trận với ma ( ) ( ) trận A , ta đợc A ì (A E ) = A ì A A ì E = E A Nh vậy, ta thực phép biến http://www.ebook.edu.vn ( ) đổi lên ma trận ghép (A E ) mang nội dung: (A E ) E A , tức phần bên trái ma trận ghép (A E ) sau phép biến đổi trở thành ma trận đơn vị phần bên phải trở thành ma trận A Phép biến đổi nh phép khử toàn phần thực ma trận (A E ) * Ví dụ 0.2.5: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông A nh ví dụ 0.2.2 phơng pháp khử toàn phần 1 0 0 (13) (A E ) = (1) 1 1 0 (1) 0 0 0 (13) 0 1 / 13 / 13 / 13 0 / 13 / 13 / 13 Đến đây, ta lấy phần bên phải 0 / 13 / 13 / 13 dòng có số (bên trái) nằm cột đầu dòng ma trận A , phần bên phải dòng có số nằm cột hai dòng hai ma trận A , phần bên phải dòng có số nằm cột ba dòng ba ma trận A : / 13 / 13 / 13 A = / 13 / 13 / 13 / 13 / 13 / 13 Đ0.3 Hệ phơng trình tuyến tính 0.3.1 Cách giải hệ phơng trình tuyến tính tổng quát * Định nghĩa 0.3.1: Hệ phơng trình tuyến tính tổng quát đợc cho nh sau: Tìm véc tơ X = (x , x , K , x n ) cho a 11 x + a 12 x + a 1n x n = b a 21 x1 + a 22 x + a n x n = b a m1 x1 + a m x + a mn x n = b m ( 0.3.1) a ij ; b i i = 1, m; j = 1, n số a 11 a 12 a 1n a a a n đợc gọi ma trận hệ số hệ phơng trình (0.3.1) Ma trận A = 21 22 a a a m1 m mn x1 b1 x Ký hiệu tiếp X = ma trận cấp nì1, B = b ma trận cấp mì1 Khi hệ phơng trình M M x n bm tuyến tính (0.3.1) viết đợc dới dạng ma trận sau: A X = B Ký hiệu tiếp A j véc tơ cột thứ j ma trận A j = 1, n , hệ phơng trình tuyến tính ( ) n (0.3.1) viết đợc dới dạng véc tơ sau đây: x jA j = B j=1 ~ Ma trận ghép A = (A B ) đợc gọi ma trận bổ sung hay ma trận mở rộng hệ phơng trình http://www.ebook.edu.vn tuyến tính (0.3.1) * Định nghĩa 0.3.2: Véc tơ X = (x , x , K , x n ) thoả mãn (0.3.1) đợc gọi nghiệm (hay lời giải) hệ phơng trình tuyến tính cho * Định nghĩa 0.3.3: Một hệ phơng trình tuyến tính có nghiệm đợc gọi hệ tơng thích Nếu hệ phơng trình tuyến tính nghiệm hệ đợc gọi hệ không tơng thích * Định nghĩa 0.3.4: Một hệ phơng trình tuyến tính có nghiệm đợc gọi hệ xác định * Định nghĩa 0.3.5: Hai hệ phơng trình tuyến tính đợc gọi tơng đơng nghiệm hệ phơng trình tuyến tính nghiệm hệ phơng trình tuyến tính ngợc lại * Định nghĩa 0.3.6: Các phép biến đổi sau Nhân toàn phơng trình hệ phơng trình tuyến tính với số khác Lấy phơng trình hệ phơng trình tuyến tính nhân với số thực cộng tơng ứng vào phơng trình khác hệ Đổi chỗ hai phơng trình hệ phơng trình tuyến tính cho đợc gọi phép biến đổi sơ cấp thực hệ phơng trình tuyến tính * Định lý 0.3.1: Các phép biến đổi sơ cấp thực hệ phơng trình tuyến tính cho ta hệ phơng trình tuyến tính tơng đơng với hệ phơng trình tuyến tính cho * Định lý 0.3.2 (định lý Cronecker- Kapelli): Hệ phơng trình tuyến tính (0.3.1) có nghiệm ~ rankA = rankA Từ hai định lý suy cách giải hệ phơng trình tuyến tính phơng pháp khử toàn phần nh sau: ~ Không làm tính tổng quát, biến đổi ma trận A = (A B ) (vì cần đánh số lại a ,r +1 a ,n b a a b , r , n + (0.3.2) (hiển nhiên r min{m, n}) biến) dạng 0 a r ,r +1 a r ,n b r b r +1 0 0 0 0 b m Nếu r m , r < n b i = i = r + 1, m hệ phơng trình tuyến tính cho có vô số nghiệm x j tuỳ ý j = r + 1, n n (0.3.3) phụ thuộc n r tham số: = = x b a x j , r j j j k k k = r +1 Nếu r < m , r n b i ( i = r + 1, m) hệ phơng trình tuyến tính cho vô nghiệm Công thức (0.3.3) đợc gọi công thức nghiệm tổng quát hệ phơng trình tuyến tính tơng ứng Với giá trị tham số ta đợc nghiệm riêng hệ phơng trình tuyến tính cho * Ví dụ 0.3.1: Giải hệ phơng trình tuyến tính sau: x = 7x + x x x + 3x x + x + x = 11 x + x + x + 3x + x = 17 + + + x x x x x =5 ~ 11 (1) # Giải: A = 1 17 13 5 (1) 1 http://www.ebook.edu.vn 15 14 17 40 12 40 11 10 20 16 u = 11 u = 19 21 10 M = 60 90 0 u1 = 14 70 v1 = v = v = ij (i, j) S2, phơng án cực biên thứ phơng án tối u toán cân bằng: 40 40 60 0 * X = 10 90 phơng án tối u toán 0 70 u4 = 40 40 gốc là: X * = 60 0 10 90 Theo phơng án trạm thu B1 phải chịu thiếu 70 đơn vị hàng tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất: fmin = 15.40 + 14.40 + 12.60 + 20.10 + 16.90 = 3520 đơn vị giá trị * Ví dụ 3.5.3: Cho toán vận tải T 60 P 60 80 90 90 50 100 a/ Tìm phơng án tối u với điều kiện trạm phát A không đợc chuyển hàng cho trạm thu B b/ Tìm phơng án tối u không điều kiện Chứng minh toán có vô số phơng án tối u c/ Tìm phơng án tối u với điều kiện trạm phát A ph ả i đợc u tiên tiêu thụ hết hàng 60 10 10 20 11 17 17 19 13 16 18 15 10 13 14 * Giải: a/ - Kiểm tra điều kiện cân bằng: 4 i =1 j=1 a i = 320 ; b j = 270 , nh phát lớn thu 4 i =1 j =1 Ta phải thêm trạm thu giả B với nhu cầu nhận tợng trng b = a i b j = 320 270 = 50 đơn vị hàng, cớc phí c i = i = 1,4 , theo ta cho c 22 = M > đủ lớn Khi ta đợc toán vận tải cân thu phát sau đây: T 60 P 60 80 90 90 50 100 60 50 10 10 20 M 17 17 19 13 16 18 15 10 13 14 - Tìm phơng án cực biên ban đầu: Dùng phơng pháp Fogels, ta đợc phơng án cực biên nh bảng sau: 88 http://www.ebook.edu.vn T 60 P 60 80 90 90 50 10 60 20 19 15 7ì M 13 100 17 10 18 13 7,1ì 30 60 10 50 17 16 60 50 30 14 50 40 0,3ì 6,3,1ì 4,3,1 17,0,0,0 13,3,3,2 0ì 10,3,3,1ì S1 = {(1,1); (1,3); (2,4); (2,5); (3,3); (3,4); (4,2); (4,3)} 10 60 20 19 15 M 13 = 10 10 17 17 0 30 16 18 50 60 (1) 30 u1 = u2 = u3 = 13 14 u4 = (1) 50 40 v1 = 16 v = 12 v = 15 v = 17 v = - Xác định tập ô sở: Phơng án cực biên ban đầu có ô chọn, thiếu ô so với hạng toán cân Ta phải lấy thêm ô loại bổ sung vào tập hợp ô chọn cho đủ ô không chứa vòng Lấy chẳng hạn ô (1,3) làm ô bổ sung, ta đợc tập ô sở - Xây dựng hệ thống vị: Dùng công thức u i + v j = c ij (i, j) S1, ta đợc hệ thống vị nh bảng bên - Kiểm tra tiêu chuẩn tối u: Tính ij = u i + v j c ij (i, j) S1, ta thấy tập ô sở S1 có hai ô vi phạm tiêu chuẩn tối u ô: (3,5) và(4,4) - Điều chỉnh phơng án: Lấy chẳng hạn ô (3,5) làm ô điều chỉnh, ta đợc vòng điều chỉnh là: Lợng hàng điều chỉnh tối đa là: q = min{x 25 ; x 34 } = min{50; 30} = 30 Điều chỉnh 30 đơn vị hàng từ ô chẵn sang ô lẻ, ta đợc phơng án cực biên thứ hai sau đây: 10 60 20 19 15 M 13 10 17 16 = 10 17 18 14 60 60 13 20 30 = 50 40 v1 = 17 v = 13 v = 16 v = 17 v = u1 = u2 = u3 = u4 = ij (i, j) S2, phơng án cực biên thứ hai phơng án tối u toán cân bằng: 60 0 0 * X a = 0 60 20 0 60 30 50 40 0 phơng án tối u toán gốc là: 60 0 Theo phơng án trạm phát A phải tồn kho 20 đơn vị hàng, X *a = 0 60 0 60 50 40 trạm phát A ph ả i tồn kho 30 đơn vị hàng tổng chi phí vận chuyển a nhỏ fmin = 8.60 + 17.60 + 16.60 + 10.50 + 13.40 = 3480 đơn vị giá trị 89 http://www.ebook.edu.vn b/ Vẫn toán cân nh trớc, nhng cớc phí c 22 = 11 Lấy tập ô sở S2 phơng án cực biên tối u câu a/ làm tập ô sở ban đầu cho toán Vì ô (2,2) S2 , nên hệ thống vị nh trớc, thay đổi cớc phí c 22 làm ảnh hởng đến 22 , 22 = > Lấy ô (2,2) làm ô điều chỉnh, ta đợc vòng điều chỉnh là: 10 60 20 19 15 10 11 17 17 (2) 60 20 13 16 18 = 60 30 10 13 14 = 50 40 Lợng hàng điều chỉnh tối đa là: q = min{x 25 ; x 33 ; x 42 } = min{20; 60; 50} = 20 Điều chỉnh 20 đơn vị hàng từ ô chẵn sang ô lẻ, ta đợc phơng án cực biên thứ ba sau đây: 10 60 20 19 11 20 = 17 13 10 17 60 u1 = u2 = 16 18 u =0 = 40 (1) 50 15 10 13 14 u4 = (2) 30 60 v1 = 17 v = 13 v = 16 v = 19 v = Tập ô sở S3 có ô vi phạm ô (3,4) (4,4) Lấy ô (4,4) làm ô điều chỉnh, ta đợc vòng điều chỉnh là: Lợng hàng điều chỉnh tối đa là: q = min{x 24 ; x 42 } = min{60; 30} = 30 Điều chỉnh 30 đơn vị hàng từ ô chẵn sang ô lẻ ta đợc phơng án cực biên thứ t sau đây: 10 60 20 19 15 11 50 13 17 13 14 50 u1 = u2 = = 30 40 18 16 10 17 10 60 30 v1 = 17 v = 11 v = 16 v = 17 v = u3 = u4 = ij (i, j) S4, phơng án cực biên thứ t phơng án tối u toán cân bằng: 60 0 0 * X b = 50 30 0 40 50 0 60 30 phơng án tối u toán gốc là: 60 0 Theo phơng án trạm phát A ph ả i tồn kho 50 đơn vị X b = 50 30 0 40 hàng tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất: 0 60 30 b fmin = 8.60 + 11.50 + 17.30 + 16.40 + 13.60 + 14.30 = 3380 đơn vị giá trị * - bảng tối u, số ô sở có ô (2,5) mà 25 = Nếu lấy ô (2,5) làm ô điều chỉnh ta đợc vòng điều chỉnh nh bảng 90 http://www.ebook.edu.vn Lợng hàng điều chỉnh tối đa là: q = min{x 24 ; x 43 ; x 35 } = min{30; 60; 50} = 30 > Vì toán cân có vô số phơng án tối u dạng: 60 0 0 50 30 q q q [0, q ] = [0,30] toán X (q) = 50 q 0 40 + q 0 0 60 q 30 + q 0 60 50 30 q gốc có vô số phơng án tối u dạng: X(q ) = q [0,30] + 0 40 q 0 60 q 30 + q c/ Lại toán cân nh ý b/, nhng cớc phí c 35 = M > đủ lớn Lấy tập ô sở S4 phơng án cực biên tối u câu b/ làm tập ô sở ban đầu cho toán Vì ô (3,5) S4 , nên hệ thống vị thay đổi so với trớc, tính lại hệ thống vị ij (i, j) S4, ta thấy tập ô u = 60 (M9) 20 11 17 17 u2 = 50 30 (M) 19 13 16 M 18 u =0 40 50 15 10 13 14 u = 60 30 (M3) v1 = 17 v = 11 v = 16 v = 17 v = M 10 10 sở S4 có ô vi phạm ô (1,5); (2,5) (4,5) Lấy ô (2,5) làm ô điều chỉnh, ta đợc vòng điều chỉnh Lợng hàng điều chỉnh tối đa là: q = min{x 24 ; x 43 ; x 35 } = min{30; 60; 50} = 30 > Điều chỉnh 30 đơn vị hàng từ ô chẵn sang ô lẻ, ta đợc phơng án cực biên thứ năm sau đây: 10 10 u = 60 (M8) (M9) 20 11 17 17 u = M 50 30 19 13 16 M 18 u =0 20 70 (M2) 15 10 13 14 u = 30 60 (M3) (M2) v1 = 17 v = M+11 v = 16 v = 17 v = M Tập ô sở S5 có ô vi phạm ô (1,1); (1,5); (3.2); (4,2) (4,5) Lấy ô (3,2) làm ô điều chỉnh, ta đợc vòng điều chỉnh là: Lợng hàng điều chỉnh tối đa là: q = min{x 22 ; x 35 } = min{50; 20} = 20 Điều chỉnh 30 đơn vị hàng từ ô chẵn sang ô lẻ, ta đợc phơng án cực biên thứ sáu sau đây: 91 http://www.ebook.edu.vn 10 19 15 11 17 13 16 20 10 30 17 50 M 18 70 13 10 60 20 14 = 30 60 v1 = 15 v = 11 v = 14 v = 15 v = u1 = u2 = u3 = u4 = ij (i, j) S6, phơng án cực biên thứ sáu phơng án tối u toán cân bằng: 60 0 0 60 0 30 0 50 * Xc = phơng án tối u toán gốc là: X c = 30 0 20 70 0 20 70 0 0 30 60 0 30 60 Theo phơng án trạm phát A phải tồn kho 50 đơn vị hàng tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất: fmin = 8.60 + 11.30 + 13.20 + 16.70 + 13.30 + 14.60 = 3420 đơn vị giá trị * 92 http://www.ebook.edu.vn Bài tập tự giải Bài tập 1: Cho toán quy hoạch tuyến tính: f (X ) = 2x1 3x + x x1 2x + x Không dùng thuật toán đơn hình, x1 + 5x 17 chứng minh toán có 2x 9x phơng án tối u 3x1 x + 3x x j j = 1,3 Bài tập 2: Cho toán quy hoạch tuyến tính: f (X ) = 5x x + 15x + 7x + x x + 3x x x + x Xét xem vectơ X = ( , , , , ) có 4x1 + x + 2x x = phải phơng án cực biên tối u x1 x + x 2x toán cho hay không? x j , j = 2,5 Bài tập 3: Xét xem toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = 4x1 + 2x x 5x max 2x1 + 4x x có lời giải hay không? 2x1 + 2x + 3x 5x 11 3x1 x 2x + 3x x j j = 1,4 Bài tập 4: Chứng minh toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = x1 5x + 4x 2x x1 4x + x 6x 15 x1 + 2x + 3x có phơng án tối u 3x1 x x + 2x x j j = 1,4 Bài tập 5: Xét xem toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = 4x1 3x + x 3x x1 + 2x 3x + x 2x1 x + 3x có lời giải không? x1 x x + x x j j = 1,4 Bài tập 6: Chứng minh toán quy hoạch tuyến tính: f (X ) = 5x1 x + 2x 5x 2x1 2x + x x 3x1 + x + 3x 4x có phơng án nhng phơng án tối u x1 2x + x + x x j j = 1,4 Bài tập 7: Xét xem toán quy hoạch tuyến tính 93 http://www.ebook.edu.vn f (X ) = 4x1 + 3x + 2x + 6x x1 + 2x 4x có lời giải không? 5x1 3x + 3x 4x 3x1 + 2x + 2x + x x j j = 1,4 Bài tập 8: Xét xem toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = 3x1 + 3x 4x 5x max 3x1 x 3x có lời giải hay không? 2x1 + 4x + 2x 5x 11 2x1 + 3x 2x + 3x x j j = 1,4 Bài tập 9: Xét xem toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = x1 2x + 3x + x x1 3x + 4x + x có lời giải không? 2x1 + x + x + 3x 3x1 + x 2x + x x j j = 1,4 Bài tập 10: Xét xem toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = 4x1 + 3x 2x 5x 5x1 + x 4x + x 11 x1 3x + 4x có lời giải không? x1 + 2x 3x + 2x x j j = 1,4 Bài tập 11: Chứng minh toán quy hoạch tuyến tính: f (X ) = 4x1 + x 3x + 5x x1 2x + 4x có phơng án nhng phơng án tối u 2x1 4x + 3x 3x 3x1 + 2x 5x + x x j j = 1,4 Bài tập 12: Chứng minh toán quy hoạch tuyến tính: f (X ) = x1 + x + x + 2x max 2x1 x x + x 10 x1 + 5x 2x 15 có phơng án tối u 4x1 + 3x + x x x1 + 2x + 3x + x x j j = 1,4 Bài tập 13: Cho toán quy hoạch tuyến tính 94 http://www.ebook.edu.vn f ( X ) = x1 + x + x max 5x + x x + x x1 + x + 3x + 2x 21 3x1 + 4x x + x = 10 x j j = 1,4 a/ Viết toán đối ngẫu cặp điều kiện đối ngẫu b/ Tìm phơng án tối u toán sau suy nghiệm cho toán đối ngẫu Bài tập 14: Cho toán quy hoạch tuyến tính a/ Viết toán đối ngẫu cặp điều kiện đối ngẫu f (X ) = x1 3x 4x 5x max b/ Tìm phơng án tối u cặp x1 + 2x + 2x toán đối ngẫu (ĐS: fmax = 43 x1 + x + 3x + x 2x1 + x + x = 23 15 17 X * = (9, 0, 5, 0, 1, 0); Y * = 0, , ) x j j = 1,4 7 Bài tập 15: Cho toán quy hoạch tuyến tính f ( X ) = x1 + x + x a/ Viết toán đối ngẫu cặp x x + 5x + x điều kiện đối ngẫu x1 + 3x + x + 2x 21 b/ Tìm phơng án tối u toán 3x1 x + 3x + x = sau suy nghiệm cho toán đối ngẫu x j j = 1,4 Bài tập 16: Cho toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = 4x1 + 6x 5x + 2x 3x a/ Viết toán đối ngẫu cặp 3x1 + 2x x + x = 20 điều kiện đối ngẫu x1 x + x + x 14 b/ Tìm phơng án tối u toán 2x 3x + x 2x = sau suy nghiệm cho toán đối ngẫu c/ Phơng án tối u tìm đợc có x j , j = 1,5 không? Nếu không nhất, tìm phơng án tối u cực biên thứ hai Bài tập 17: Cho toán quy hoạch tuyến tính a/ Viết toán đối ngẫu cặp f (X ) = 5x1 2x x x + x max điều kiện đối ngẫu 2x1 + 3x x + x 23 b/ Tìm phơng án tối u toán 2x1 + x + 2x + x = 11 sau suy nghiệm cho toán đối ngẫu x1 + 4x + 2x 18 c/ Phơng án tối u tìm đợc có x j , j = 1,5 không? Nếu không nhất, tìm phơng án tối u không cực biên Bài tập 18: Cho toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = 6x1 + 3x + x 2x 3x max 2x1 + 3x + x + x6 = a/ Hãy chứng tỏ X = (0, 0, 8, 4, 0, 0) phơng án cực biên toán x1 x + 2x + 3x b/ Xuất phát từ X tìm câu trả lời 2x1 + 4x + x + x + x + x = 12 toán x j , j = 1,6 Bài tập 19: Cho toán quy hoạch tuyến tính a/ Viết toán đối ngẫu cặp điều f (X ) = 2x1 + 4x + x + 8x max kiện đối ngẫu 2x1 + x + 4x + x 22 b/ Tìm phơng án tối u cặp toán đối 5x1 + 3x + x 12 ngẫu 3x1 + 6x + x4 = ĐS: X * = (0, 0, 4, 6, 0, 8); Y * = ( 4, 0, 31 / ) x j j = 1,4 95 http://www.ebook.edu.vn Bài tập 20: Cho toán quy hoạch tuyến tính f ( X ) = x1 + 2x + x 6x max x1 + x + 2x 3x = 12 (1) 2x + x + x x + 6x = 2x + 4x + 2x x x j , j = 1,6 a/ Viết toán đối ngẫu cặp điều kiện đối ngẫu b/ Tìm câu trả lời toán gốc (ĐS: Bài toán phơng án) c/ Thay dấu = ràng buộc (1) dấu câu trả lời toán gốc nh nào? Bài tập 21: Cho toán quy hoạch tuyến tính a/ Chứng minh X = (3, 0, 2, 0,1) f (X ) = x1 x + 2x + 4x + 2x phơng án cực biên toán x1 2x + x + 6x b/ Xuất phát từ X tìm lời giải toán 3x1 x + 5x + x + 11x = 30 2x1 + x + 5x + x + 6x = 22 (ĐS: X1* = (10,1, 0,1, 0, 0); X 2* = (7, 2, 0, 0,1, 0) x j , j = 1,5 Bài tập 22: Cho toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = 9x + 8x 8x x 6x max a/ Hãy chứng tỏ X = (7, 0, 4, 0, 3, 0) x1 + x + 2x 3x + x 12 phơng án cực biên toán x1 + 2x 3x x + 2x =1 b/ Xuất phát từ X tìm câu trả lời 2x1 + 3x 7x + 6x + 3x = toán (ĐS: X * = (22, 0, 7, 0, 0, 3, 0) ) x j , j = 1,6 Bài tập 23: Cho toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = 5x1 2x 10x a/ Viết toán đối ngẫu cặp điều kiện đối ngẫu 3x1 x + x b/ Tìm phơng án tối u toán gốc 4x1 + 4x + 2x c/ Phơng án tối u tìm đợc có không? x1 + 2x 2x ĐS: X * = (3 5, 1, 5) x1 0; x Bài tập 24: Cho toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = 3x1 + 5x + 2x + 3x a/ Viết toán đối ngẫu cặp 3x1 + 2x + 4x + 9x điều kiện đối ngẫu 2x1 + x + 3x + x = b/ Tìm phơng án tối u toán gốc x1 + 2x + 3x + 5x x j j = 1,4 c/ Chứng tỏ véc tơ X = , 0, 1, Y0 = (5, 6, ) lần lợt phơng án tối u toán gốc toán đối ngẫu Bài tập 25: Cho toán quy hoạch tuyến tính f ( X ) = x1 + x + x a/ Viết toán đối ngẫu cặp x + 5x x + x điều kiện đối ngẫu 4x1 + 3x x + x = 10 b/ Tìm phơng án tối u cặp toán x1 + x + 3x + 2x 21 đối ngẫu (ĐS: X * = (3, 0, 2, 0, 0,12, 0) x j j = 1,4 96 http://www.ebook.edu.vn Bài tập 26: Cho toán quy hoạch tuyến tính f (X ) = x1 + 6x 3x + 5x x1 + x x + 3x = a/ Viết toán đối ngẫu cặp 3x1 x + 2x x 14 điều kiện đối ngẫu 2x1 3x + x + x 30 b/ Tìm phơng án tối u toán gốc x j j = 1,4 ĐS: X * = (0, 0, 23, 7, 25, 0) Bài tập 27: Cho toán quy hoạch tuyến tính a/ Viết toán đối ngẫu cặp f (X ) = 3x1 x + 4x 5x điều kiện đối ngẫu 2x1 + x + x 4x b/ Tìm phơng án tối u cặp toán 3x1 2x 4x + 2x đối ngẫu x1 2x + 3x x = 31 c/ Chứng minh toán đối ngẫu có x j j = 1,4 phơng án Bài tập 28: Cho toán vận tải T 20 P 30 18 20 37 40 35 30 16 23 17 25 11 10 13 19 29 20 11 21 15 16 a/ Tìm phơng án vận chuyển tối u b/ Vì toán vận tải không suy biến, giải phơng pháp vị, vòng điều chỉnh, lợng hàng q0 dùng để điều chỉnh phơng án đạt tại ô (ĐS: fmin = 1547) Bài tập 29: Cho toán vận tải T 60 P 60 40 80 120 70 50 40 a/ Tìm phơng án vận chuyển tối u b/ Xét xem ma trận 35 25 X = 10 30 0 có phải phơng 0 50 30 50 15 50 án cực biên toán cho hay không? ĐS: fmin = 2660 80 16 10 15 14 12 14 13 11 10 16 15 6 13 Bài tập 30: Cho toán vận tải T P 30 35 20 45 35 25 30 a/ Tìm phơng án vận chuyển tối u b/ Vì giải toán vận tải phơng pháp vị, ta lại thêm lợng hàng q0 vào ô lẻ, bớt lợng hàng q0 ô chẵn vòng điều chỉnh (ĐS: fmin = 1165) 40 16 8 13 14 11 10 11 10 10 10 11 15 97 http://www.ebook.edu.vn Bài tập 31: Cho toán vận tải T 70 P 60 70 40 90 50 80 60 12 10 9 14 a/ Tìm phơng án vận chuyển tối u b/ Vì giải toán vận tải phơng pháp vị, ta lại thêm lợng hàng q0 vào ô lẻ, bớt lợng hàng q0 ô chẵn vòng điều chỉnh ĐS: fmin = 1700 Bài tập 32: Cho toán vận tải T 120 P 90 100 70 50 60 70 10 14 16 11 13 12 15 10 a/ Tìm phơng án vận chuyển tối u b/ Vì giải toán vận tải phơng pháp vị, ta lại thêm lợng hàng q0 vào ô lẻ, bớt lợng hàng q0 ô chẵn vòng điều chỉnh (ĐS: fmin = 2400) Bài tập 33: Cho toán vận tải T 25 P 40 50 35 35 20 60 12 10 11 15 13 10 a/ Tìm phơng án vận chuyển tối u b/ Vì toán vận tải không suy biến, giải phơng pháp vị, vòng điều chỉnh, lợng hàng q0 dùng để điều chỉnh phơng án đạt tại ô (ĐS: fmin = ) Bài tập 34: Cho toán vận tải T 70 P 50 60 45 45 30 35 10 13 8 11 a/ Viết dạng toán học toán b/ Tìm phơng án vận chuyển tối u ĐS: fmin = 805 ; fmax = 1715 Bài tập 35: Cho toán vận tải với điều kiện trạm thu B phải đợc u tiên nhận đủ hàng 98 http://www.ebook.edu.vn T 25 P 40 50 35 20 35 60 8 12 11 a/ Viết dạng toán học toán b/ Tìm phơng án vận chuyển tối u ĐS: fmin = 635 Bài tập 36: Cho toán vận tải T 25 P 45 50 35 60 30 35 6 12 10 14 11 13 a/ Tìm phơng án vận chuyển tối u b/ Vì giải toán vận tải phơng pháp vị, ta lại thêm lợng hàng q0 vào ô lẻ, bớt lợng hàng q0 ô chẵn vòng điều chỉnh ĐS: fmin = 865 Bài tập 37: Cho toán vận tải với điều kiện trạm thu B phải đợc u tiên nhận đủ hàng T 40 P 80 100 70 70 50 120 12 11 10 14 13 a/ Viết dạng toán học toán b/ Tìm phơng án vận chuyển tối u ĐS: fmin = Bài tập 38: Cho toán vận tải T P 150 75 100 50 160 40 125 65 63 13 40 29 19 36 35 73 21 64 11 70 13 35 57 22 a/ Viết dạng toán học toán b/ Tìm phơng án vận chuyển rẻ (ĐS: fmin = 7580) 99 http://www.ebook.edu.vn Bài tập 39: Cho toán vận tải T 40 P 50 60 45 110 100 60 30 17 13 12 23 10 17 16 13 13 12 11 15 17 15 a/ Viết dạng toán học toán b/ Tìm phơng án vận chuyển rẻ (ĐS: fmin = 2605) Bài tập 40: Cho toán phân phối: T 60 P 130 150 150 100 200 170 100 18 58 41 23 45 38 50 36 12 15 58 51 21 a/ Tìm phơng án tối u b/ Xét xem ma trận 60 0 70 X = 10 140 có phải phơng án 150 0 40 30 30 cực biên tối u toán phân phối cho hay không (ĐS: fmax = 20440 ) f (X ) =10 x + 5x +13x +16 x x + 3x + x + x 1.600 x1 + x + 3x + x 2.200 3x1 + x + x + 5x 2.000 x j j = 1,4 100 http://www.ebook.edu.vn Mục lục Trang Chơng I Bài toán quy hoạch tuyến tính Đ 1.1 Đại cơng toán quy hoạch tuyến tính 1.1.1 Các ví dụ thực tiễn dẫn tới toán quy hoạch tuyến tính 1.1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 1.1.3 Tính chất toán quy hoạch tuyến tính Đ 1.2 Phơng án cực biên toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc 10 1.2.1 Điều kiện tính chất phơng án cực biên 10 1.2.2 Cơ sở phơng án cực biên 12 1.2.3 Biểu diễn vec tơ sở theo véc tơ sở 12 Đ 1.3 Thuật toán đơn hình giải toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc 13 Đ 1.4 Phơng pháp biến giả giải toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc không hoàn thiện 20 Chơng II Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 26 Đ 2.1 Khái niệm toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 26 2.1.1 Cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu không đối xứng 26 2.1.2 Cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu đối xứng 29 Đ 2.2 Tính chất cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 30 Đ 2.3 Định lý đối ngẫu thứ hai 40 Chơng III Bài toán vận tải 46 Đ 3.1 Bài toán vận tải tính chất 46 3.1.1 Khái niệm toán vận tải 46 3.1.2 Tính chât toán vận tải 47 Đ 3.2 Thuật toán vị giải toán vận tải cân thu phát 49 3.2.1 Phơng pháp tìm phơng án cực biên ban đầu 49 3.2.2 Tiêu chuẩn tối u cho phơng án toán vận tải 50 3.2.3 Điều chỉnh phơng án 52 Đ 3.3 Bài toán vận tải không cân thu phát 56 3.3.1 Phát lớn thu 56 3.3.2 Phát thu 58 3.3.3 Phá vòng 61 Đ 3.4 Bài toán phân phối 64 Đ 3.5 Bài toán ô cấm 73 Bài tập tự giải 82 Mục lục 90 101 http://www.ebook.edu.vn Đề thi môn: Toán kinh tế (120 phút làm bài) Câu Cho toán qui hoạch tuyến tính (P) có dạng sau: f(x) = x1 + x2 + x3 + c4x4 x1 + x - x2 + x = x3 + x xj (j = 1, 4) c4 tham số a) Viết toán đối ngẫu cặp điều kiện đối ngẫu b) Hãy phương án cực biên toán (P) giá trị tương ứng c) Với giá trị c4 phương án cực biên tìm ý (b) phương án tối ưu toán (P)? Câu Cho toán qui hoạch tuyến tính: f(x) = 3x1 - 7x2 - x3 + 2x4 max 2x1 - 3x2 + x3 + 4x4 13 -x1 + x2 + x3 - x4 3x1 - 2x2 + 2x3 + 2x4 = 17 xj j = 1, a) Giải toán tìm phương án tối ưu phương pháp đơn hình b) Tìm phương án x0 toán có f(x0) = -100 c) Phương án x0 tìm ý (b) có phải phương án tối ưu toán hay không ta thay f(x) Câu Cho toán vận tải (f min): P 150 130 100 90 T 140 100 120 170 17 15 11 17 14 16 18 10 12 13 16 13 10 14 a) Giải toán tìm phươg án vận chuyển hàng tối ưu b) Nếu ta đồng loạt tăng tất cước phí vận chuyển hàng trạm lên đơn vị cước phí phương án tối ưu tìm ý (a) có phương án tối ưu toán hay không, sao? _ ... lời toán # Giải: Nhập số liệu đặc trng vào bảng đơn hình: -2 1 -3 Aj CJ XJ A1 A2 A3 A4 A5 A2 -2 5 -3 A5 -3 0 -2 A1 0 (2) 2= -6 0 -5 | -7 | s = 4, r =1 A2 -2 11 3/2 0 A5 -3 0 -2 A4 1/2 0 -2 0 -7 /2... Nhập số liệu đặc trng vào bảng đơn hình -1 -5 0 AJ CJ XJ A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A6 11/4 11/4 1/4 0 -1 /4 -1 /4 A3 3/4 3/4 -3 /4 -5 /4 -1 /4 A4 1/4 -7 /4 -1 /4 (1/4) 1/4 1=0 7/4 -5 /4 -3 /4 0 11 -1 /4 A6... hiệu tập hợp phơng án toán quy hoạch tuyến tính d Có khả xảy d: - Bài toán (1), (2), (3) có vô số phơng án, tức tập d có vô số phần tử - Bài toán (1), (2), (3) có phơng án, tức tập d có phần tử -