Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến

PHÂN TÍCH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHI TUYẾN GS Nguyễn Doãn Phước Bản sửa lần sáu, 2021 Hệ phi tuyến gì? Là hệ khơng thỏa mãn ngun lý xếp chồng, tức w x = f (x , u )  y = g (x , u ) N N N Bộ điều khiển u Hệ phi tuyến y N với f ( ∑ x i , u ) ≠ ∑ f (x i , u ) f (x , ∑ u i ) ≠ ∑ f (x , u i ) tương ứng đầu =i =i =i =i Nội dung mơn học Phân tích điều khiển thích nghi bền vững khơng gian trạng thái Phân tích điều khiển khơng gian biến khớp Hệ Euler-Lagrange Tài liệu tham khảo Phước,N.D: Tối ưu hóa điều khiển điều khiển tối ưu NXB Bách khoa, 2015 Phước,N.D: Phân tích điều khiển hệ phi tuyến NXB Bách khoa, 2012 Phước,N.D: Lý thuyết điều khiển nâng cao NXB Khoa học kỹ thuật, In lần thứ 3, 2009 1 Khái niệm ổn định phi tuyến Ổn định địa phương ổn định toàn cục Điểm cân bằng: Điểm trạng thái x e gọi điểm cân hệ x = f (x ) f (x e ) = x (t ) • Hệ phi tuyến khơng có điểm cân bằng, có nhiều điểm cân (hữu hạn vơ số) Các điểm cân rời song tạo thành tập liên thơng • Tại điểm cân khác nhau, hệ có tính chất động học khác x0 δ (t ) Định nghĩa ổn định: Khơng tính tổng qt xét x e = (gốc tọa độ) • Ổn định tiệm cận, sau tác động tức thời đánh bật khỏi gốc đưa tới x ≠ (thuộc miền chứa gốc) ln bị chặn quay trở gốc • Ổn định (chưa cần phải tiệm cận), sau tác động tức thời đánh bật khỏi gốc, bị chặn quay lân cận (nhỏ) gốc x (t ) Phát biểu lại dạng tốn học: • Ổn định với ε > ln tồn δ > để có x < δ ⇒ x (t ) < ε , ∀t • Ổn định tiệm cận ổn định có lim x (t ) = ε δ t →∞ • Ổn định tiệm cận tồn cục, ổn định tiệm cận với x Khái niệm ổn định phi tuyến (tiếp) Đặc điểm hệ phi tuyến (so với tuyến tính) Có thể có nhiều điểm cân rời Lưu ý: Ở hệ tuyến tính tập điểm cân liên thơng (Bài tập) Có thể có lim x (t ) = song lại có x (t1 ) = ∞ (gọi tượng finite escape time) Ví dụ hệ t →∞ bậc x = −x (Hãy xác định thời điểm hữu hạn mà hệ tiến tới vô cùng) Hai hệ ổn định mắc nối tiếp tạo thành hệ khơng ổn định Có thể ổn định điểm cân này, song lại không ổn định điểm cân khác Ví dụ hệ lắc ngược hệ cẩu treo −1, xe = 0, xe =  x (x − 1) + u có điểm cân xe1 = Xét ví dụ: Hệ x= ổn định (khơng tồn cục) xe = Tại điểm cịn lại khơng ổn định Khái niệm ổn định phi tuyến (tiếp) Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov Xét hệ khơng bị kích thích x = f (x ) cân gốc f (0) = Nếu tồn hàm V (x ) xác định dương cho: V (x ) ≤ hệ ổn định gốc V (x ) < 0, ∀x ≠ (xác định âm) hệ ổn định tiệm cận gốc (GAS) Khi V (x ) gọi hàm Lyapunov (LF) Ý nghĩa: Biết tính chất x (t ) mà khơng cần tìm nghiệm phương trình vi phân Ví dụ: Xét hệ x1 = −x13 + x1x  x= x1 − 2x Sử dụng hàm xác định dương V (x= ) x12 + x 22 có  −x13 + x1x  ∂ V = V = x = −2x14 + 4x12x − 4x 22 = −2 x12 − x ( 2x1 , 2x )   ∂x  x1 − 2x  ( ) − 2x 22 Đây hàm xác định âm V < 0, ∀x ≠ Nó x= x= Bởi hệ ổn định tiệm cận Khái niệm ổn định phi tuyến (tiếp) Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov (tiếp) Sau chương trình mơ viết MatLab (LF1.m, runLF1.m) cho ví dụ function dx = LF1(t,x) dx = [-(x(1))^3 + x(1)*x(2); (x(1))^2-2*x(2)]; [t,y]=ode45(@LF1,[0 20],[1 -1]); figure(1); plot(t,y(:,1),t,y(:,2)); legend('x1','x2'); [t,y]=ode45(@LF1,[0 800],[1 -1]); figure(2); plot(y(:,1),y(:,2)); 0.2 x1 x2 0.5 -0.2 -0.4 -0.6 -0.5 -0.8 Đồ thị trạng thái -1 10 15 20 -1 Quỹ đạo trạng thái 0.2 0.4 0.6 0.8 Khái niệm ổn định phi tuyến (tiếp) Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov có tính bán xác định âm Lưu ý: Tính bán xác định âm V (x ), tức có V (x ) < , khẳng định tính ổn định, khơng khẳng định ổn định tiệm cận Ví dụ Xét hệ: x1 = x  −x1 − x (x 22 − x1 ) x2 = Sử dụng hàm xác định dương x2 x 22 > x1 x 22 < x1 x1 V (x= ) x12 + x 22 có V = −2x 22 (x 22 − x1 ) < x 22 > x1 x = x1 ≠ tùy ý (tức bán xác định âm địa phương) Người ta nói V (x ) bán xác định âm (tính âm khơng phụ thc x1 ) Để xử lý trường hợp đặc biệt người ta thường phải sử dụng định lý tập bất biến LaSalle định lý Barbalat Khái niệm ổn định phi tuyến (tiếp) Ví dụ tiêu chuẩn ổn định Lyapunov: Điều kiện bán xác định âm (tiếp) Mô với lệnh ODE45 (LF2.m, runLF2.m) 0.6 0.4 function dx = LF2(t,x) dx = [x(2); -x(1)-x(2)*(x(2)^2-x(1))]; 0.2 [t,y1]=ode45(@LF2,[0 3000],[-0.6 0.6]); [t,y2]=ode45(@LF2,[0 3000],[0.6 -0.6]); figure(1); plot(y1(:,1),y1(:,2),y2(:,1),y2(:,2)); figure(2); plot(t,y2(:,1),t,y2(:,2)); legend('x1','x2'); -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -0.4 -0.2 0.6 0.4 0.2 0.4 x1 x2 0.2 Tìm trực tiếp nghiệm tường minh >> >> >> >> >> eqn='D2y=-y-Dy*(Dy^2-y)'; y=dsolve(eqn,'y(0)=0.6,Dy(0)=-0.6'); t=linspace(0,500,5000); z=eval(vectorize(y)); plot(t,z); -0.2 Đồ thị thời gian -0.4 100 200 300 400 500 Khái niệm ổn định phi tuyến (tiếp) Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov có tính bán xác định âm (tiếp) Định lý Barbalat: Nếu hàm f (t ) có giá trị giới hạn số hữu hạn t → ∞ đạọ hàm f (t ) liên tục đều, tức f(t ) bị chặn, có f(t ) → t → ∞ Áp dụng xét tính ổn định tiệm cận: Hệ phi tuyến x = f (x ) cân gốc, ổn định tiệm cận đó, tồn hàmV (x ) xác định dương có đạo hàm V (x ) thỏa mãn hai điều sau: Lyapunov: Xác định âm, Barbalat: Bán xác định âm liên tục theo thời gian, tức V hàm bị chặn Ví dụ: x1 = −x13 + d (t )x Xét hệ  với d (t ) hàm bị chặn Sử dụng V (x= ) x12 + x 22 đạo hàm: x2 = −d (t )x1 V = −2x14 < nên cóV (t ) ≤ V (0) Vậy V bị chặn theo t x1 , x bị chặn theo t Xét tiếp V = −8x13 ( −x1 + d (t )x ) thấy V bị chặn (theo t ) Vậy hệ ổn định tiệm cận Khái niệm ổn định phi tuyến (tiếp) Mơ cho ví dụ tiêu chuẩn ổn định Lyapunov (tiếp) Sử dụng lệnh ODE45 (LF3.m, runLF3.m) cho ví dụ ứng với d (t ) = sin t 0.6 0.4 function dx = LF3(t,x) dx=[-x(1)^3+sin(t)^2*x(2);-sin(t)^2*x(1)]; 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.5 0.5 x1 0.4 [t,y1]=ode45(@LF3,[0 1000],[-0.5 0.5]); [t,y2]=ode45(@LF3,[0 1000],[0.5 -0.5]); figure(1); plot(y1(:,1),y1(:,2),y2(:,1),y2(:,2)); figure(2); plot(t,y2(:,1),t,y2(:,2)); legend('x1','x2'); x2 0.2 -0.2 -0.4 Đồ thị thời gian -0.6 20 40 60 80 100 Khái niệm ổn định phi tuyến (tiếp) Tính ổn định tiệm cận theo hàm mũ Nếu hệ cân gốc x = f (x ) có hàm V (x ) thỏa mãn: k1 || x ||2 ≤V (x ) ≤ k || x ||2 , k1 , k > V ≤ −aV (nên xác định dương) với a > hệ ổn định tiệm cận theo hàm mũ || x (t ) || ≤ k3e −at , k3 > (Bài tập: Chứng minh) −2t Ví dụ Xét hệ x = −2x Đã biết hệ ổn định tiệm cận theo hàm mũ có x (t ) = e x (0) 2xx = −4x = −4V Sử dụng hàm xác định dương V (x ) = x có V = Ví dụ 1 −x1 + h1 (x ) x1 = với h1 (x ) ≤ x h2 (x1 ) ≤ x1 2 −x + h2 (x1 ) x2 = Xét hệ  Sử dụng hàm xác định dương V= (x ) ( x1 + x 22 ) có V = −x12 − x 22 + x1h1 (x ) + x 2h2 (x1 ) ≤ −x12 − x 22 + x1 h1 (x ) + x h2 (x1 ) ≤ −x12 − x 22 + x1 x ≤ −x12 − x 22 + ( ) ( ) 1 x1 + x 22 = − x12 + x 22 = − V 2 Vậy ổn định tiệm cận theo hàm mũ 10 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Ví dụ điều khiển robot TLPA chứa tham số bất định (tiếp) phid Khi sử dụng điều khiển tuyến tính hóa xác thích nghi ld 2.5 phi l 1.5 0.5 0 10 15 2.5 Khi sử dụng điều khiển thích nghi Li-Slotine 1.5 phid ld 0.5 phi l 0 10 15 62 Điều khiển khơng gian biến khớp (tiếp) Ví dụ điều khiển robot TLPA chứa tham số bất định (tiếp) runTLPA_a.m (Sử dụng điều khiển tuyến tính hóa xác thích nghi) global te te=0.2*random('poisson',5); x0=[pi/2 0 0.5]; [t,x]=ode45(@TLPA_a,[0 15],x0); k=length(t); qd=[]; for i=1:k qd=[qd [pi/3*(1-exp(-t(i)));2*(1-exp(-2*t(i)))]]; % the references end plot(t,qd(1,:),t,qd(2,:),t,x(:,1),t,x(:,2)); legend('phid','ld','phi','l'); runTLPA_b.m (Sử dụng điều khiển thích nghi Li-Slotine) global te te=0.2*random('poisson',5); x0=[pi/2 0 0]; [t,x]=ode45(@TLPA_b,[0 15],x0); k=length(t); qd=[]; for i=1:k qd=[qd [pi/3*(1-exp(-t(i)));2*(1-exp(-2*t(i)))]]; end plot(t,qd(1,:),t,qd(2,:),t,x(:,1),t,x(:,2)); legend('phid','ld','phi','l'); 63 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Ví dụ điều khiển robot TLPA chứa tham số bất định (tiếp) TLPA_a.m function dx = TLPA_a(t,x) % x(1)=phi, x(2)=l, x(3)=phi_d, x(4)=l_d, x(5)=p; % the reference is qd; global te g=9.81; K1=eye(2); K2=2*K1; P=[2*K1*K2 K1;K1 K2]; qd=[pi/3*(1-exp(-t));2*(1-exp(-2*t))];qd_d=[pi/3*exp(-t);4*exp(-2*t)]; qd_dd=[pi/3*exp(-t);-8*exp(-2*t)]; q=[x(1);x(2)]; q_d=[x(3);x(4)]; M=te*[x(2)^2 0;0 1]; C=te*[x(2)*x(4) x(2)*x(3);-x(2)*x(3) 0]; gm=te*[g*x(2)*cos(x(1));g*sin(x(1))]; Mh=x(5)*[x(2)^2 0;0 1]; Ch=x(5)*[x(2)*x(4) x(2)*x(3);-x(2)*x(3) 0]; gh=x(5)*[g*x(2)*cos(x(1));g*sin(x(1))]; e=qd-q; ed=qd_d-q_d; u=Mh*(qd_dd+K1*e+K2*ed)+Ch*q_d+gh; q_dd=M\(-C*q_d-gm+u); F=[x(2)^2*q_dd(1)+2*x(2)*x(4)*x(3)+g*x(2)*cos(x(1));q_dd(2)x(2)*x(3)^2+g*sin(x(1))]; pd=[zeros(2,1);Mh\F]'*P*[e;ed]; dx=[q_d;q_dd;pd]; end 64 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Ví dụ điều khiển robot TLPA chứa tham số bất định (tiếp) TLPA_b.m function dx = TLPA_b(t,x) % x(1)=phi, x(2)=l, x(3)=phi_d, x(4)=l_d, x(5)=p; global te g=9.81; K=eye(2); La=2*K; qd=[pi/3*(1-exp(-t));2*(1-exp(-2*t))];qd_d=[pi/3*exp(-t);4*exp(-2*t)]; qd_dd=[pi/3*exp(-t);-8*exp(-2*t)]; q=[x(1);x(2)]; q_d=[x(3);x(4)]; M=te*[x(2)^2 0;0 1]; C=te*[x(2)*x(4) x(2)*x(3);-x(2)*x(3) 0]; gm=te*[g*x(2)*cos(x(1));g*sin(x(1))]; Mh=x(5)*[x(2)^2 0;0 1]; Ch=x(5)*[x(2)*x(4) x(2)*x(3);-x(2)*x(3) 0]; gh=x(5)*[g*x(2)*cos(x(1));g*sin(x(1))]; e=qd-q; ed=qd_d-q_d; v=qd_d+La*e; vd=qd_dd+La*ed; u=Mh*vd+Ch*v+gh+K*(v-q_d); q_dd=M\(-C*q_d-gm+u); F=[x(2)^2*q_dd(1)+2*x(2)*x(4)*x(3)+g*x(2)*cos(x(1));q_dd(2)x(2)*x(3)^2+g*sin(x(1))]; pd=F'*(ed+La*e); dx=[q_d;q_dd;pd]; end 65 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Nhận dạng thành phần bất định hàm cho điều khiển bủ Khơng tính tổng qt, tất dạng mơ hình Euler-Lagrange khác đưa chung cấu trúc:  + C( q, q )q = M ( q )q u + d( t ) với d( t ) vector hàm xem bất định Ví dụ: Ở mơ hình loại có d( t ) = − g( q) Ở mơ hình loại Ở loại Ở loại Thậm chí kể loại có thêm thành phần sai lệch mơ hình như:    − ( C − C )q d( t ) = − g( q) − ( M − M )q d= ( t ) η ( t ) − g( q)    d( t ) = η ( t ) − g( q) − ( M − M )q − ( C − C )q  M ( q) + ∆M  q  + C( q, q ) + ∆C  q +  g( q) + ∆ g = u + η ( t )       (  + ∆Cq + ∆ g d(= t ) η ( t ) − g( q) − ∆Mq ) 66 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Nhận dạng thành phần bất định hàm cho điều khiển bù (tiếp) x1 q= , x2 q có: Với cấu trúc chung đặt biến mới=  x1      x2  x2    0n×n   +  u + d( t )  −  M ( x1 )−1 C( x1 , x2 ) x2   M ( x1 )−1       tức là: 0n×2n    x1   0n×n  = = , B ( x )  x =A( x ) x + B( x ) u + d  với x =  , A( x )    −1 C( x , x )  −1  − M ( x ) M x ( ) x 1 2        0n×m ký hiệu ma trận n hàng (số biến khớp), m cột có tất phần tử Để nhận dạng thành phần bất định hàm d( t ) mơ hình  song tuyến với kết ký hiệu d( t ), ta sử dụng sơ đồ có cấu trúc hình bên   Tư tưởng nhận dạng xác định d k = d( tk ) thời  điểm cách tk = kTs cho sai lệch d k − d( tk ) nhỏ d( t ) u  d( t ) x Hệ song tuyến Ước lượng bất định 67 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Nhận dạng thành phần bất định hàm cho điều khiển bù (tiếp)  Hình biểu diễn thuật tốn xác định d k= , k 0,1, … Nó gồm bước sau: Khởi tạo: Chọn Ts > đủ nhỏ Tùy chọn z0 đo x0 = x(0) Gán k = Thực với= k 1,2, … phép tính sau: Đo x k = x( tk ) từ hệ Gán Akx = I + Ts A( x k −1 ), Akz = I + Ts A( z k −1 ), Bkx = Ts B( x k −1 )   −1 x u − d  d x )T B x Tính z k = Akz z k −1 + Bk= ( B ( Bkx )T  x k − z k + Akz z k −1 − Akx x k −1  k −1  k k k  (  d k −1 Ts tk −2 ) t tk −1 tk tk +1 tk + x k = x( tk ) Tính z k  Tính d k  dk 68 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Hệ điều khiển bù bất định Hình mơ tả cấu trúc điều khiển bù bất định Nó gồm hai phần: Phần thứ cấu nhận dạng thành phần bất định theo thuật tốn vừa trình bày slide trước Phần thứ hai điều khiển, thiết kế cho hệ không chứa thành phần bất định, để biến khớp q bám theo quỹ đạo mẫu w( t ) cho trước Do phải làm việc kết hợp với thuật toán nhận dạng, mà ln thực thời điểm tk = kTs cách nhau, nên điều khiển phải điều khiển hệ w Bộ điều khiển d( t ) u  d( t ) Hệ EulerLagrange x = col( q, q ) Ước lượng bất định khoảng thời gian tk ≤ t < tk +1 gọi nguyên lý điều khiển receding horizon 69 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Ví dụ: Điều khiển bù bất định hệ robot Planar Xét lại hệ robot Planar hai bậc tự do, vừa chứa tham số bất định θ , vừa có sai lệch mơ hình ∆M , ∆C, ∆ g vừa có vector hàm bất định η ( t ) đầu vào Nó mô tả bởi:  M ( q) + ∆M  q  + C( q, q ) + ∆C  q +  g( q) + ∆ g = u + η ( t )       mà thành phần sai lệch mơ hình ∆M , ∆C, ∆ g chứa đựng ln tính phụ thuộc θ hệ Viết lại mơ hình thành (  + C( q, q )q =  + ∆Cq + ∆ g M ( q )q u + d( t ) có d(= t ) η ( t ) − g( q) − ∆Mq ) kết hợp điều khiển PD bù trọng trường tương ứng:  + K1 e + K e  + C( q, q )q = u M ( q) w thuật toán nhận dạng thành phần bất định hàm, ta có điều khiển PD bù trọng trường làm việc theo nguyên lý receding horizon thể Planar.m runPlanar.m cho sau 70 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Ví dụ: Điều khiển bù bất định hệ robot Planar (tiếp) runPlanar.m global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx dh d g=9.81; w=[0.4;0.8]; w_d=[0;0]; w_dd=[0;0]; % references m1=0.3; m2=0.3; l1=1; l2=0.7; delta1=0.6; delta2=0.6; x0=[0 -2 2]; z0=x0'; t0=0; N=200; Ts=0.1; dh=[0;0]; px=[]; ti=[]; pd=[]; pdh=[]; for i=1:N+1 [t,x]=ode45(@Planar,[t0 t0+Ts],x0); k=length(t); t0=t(k); ti=[ti (i-1)*Ts]; px=[px;x0]; Mz1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos(z0(2)))+delta2; Mz2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(z0(2)))+delta2; Mz3=(m2*l2)/2+delta2; Mz=[Mz1 Mz2;Mz2 Mz3]; cz11=-z0(4)*m2*l1*l2*sin(z0(2)); cz12=-z0(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2)); cz21=-z0(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2)); cz22=0; Cz=[cz11 cz12;cz21 cz22]; Az=[0 0;0 0 1;zeros(2) -Mz\Cz]; B=Ts*Bx; A_x=eye(4)+Ts*Ax; A_z=eye(4)+Ts*Az; z=A_z*z0+B*(u-dh); dh=((B'*B)\B')*(x(k,:)'-z+A_z*z0-A_x*x0'); z0=z; x0=x(k,:); pd=[pd d]; pdh=[pdh dh]; end figure(1); plot(ti,px(:,1),ti,px(:,2)); legend('q1','q2'); figure(2); plot(ti,pd(1,:),ti,pdh(1,:)); legend('d1','dh1'); figure(3); plot(ti,pd(2,:),ti,pdh(2,:)); legend('d2','dh2'); 71 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Ví dụ: Điều khiển bù bất định hệ robot Planar (tiếp) Planar.m function dx = Planar(t,x) global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx dh d % x(1)=q1; x(2)=q2; x(3)=q1_dot; x(4)=q2_dot; M1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos(x(2)))+delta2; M2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(x(2)))+delta2; M3=(m2*l2)/2+delta2; M=[M1 M2;M2 M3]; c11=-x(4)*m2*l1*l2*sin(x(2)); c12=-x(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2)); c21=-x(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2)); c22=0; C=[c11 c12;c21 c22]; g1=m1*g*l1/2*cos(x(1))+m2*g*(l1*cos(x(1))+l2/2*cos(x(1)+x(2))); g2=m2*g*l2/2*cos(x(1)+x(2)); d=[0.1*sin(0.3*t)+0.2*cos(0.1*t);0.3*cos(0.2*t)+0.2*sin(0.5*t)]-[g1;g2]; e=w-[x(1);x(2)]; e_dot=w_d-[x(3);x(4)]; K1=eye(2); K2=2*eye(2); u=M*(w_dd+K1*e+K2*e_dot)+C*[x(3);x(4)]; Ax=[0 0;0 0 1;zeros(2) -M\C]; Bx=[0 0;0 0;inv(M)]; dx=Ax*x+Bx*(u+d-dh); 72 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Ví dụ: Điều khiển bù bất định hệ robot Planar (tiếp) Hình kết mô thu ứng với giá trị:  0.5      g= 9.81, w=  s 0.1, m1= m2= 0.3, l1= 1, l2= 0.7, δ1= δ 2= 0.6  , w= w=   , T= 0.7     0.5 q1 q2 -0.5 -1 10 15 20 73 Điều khiển không gian biến khớp (tiếp) Ví dụ: Điều khiển bù bất định hệ robot Planar (tiếp)  Hai hình kết ước lượng d( t ) d( t ) thành phần bất định hàm đầu vào với sai lệch mơ hình giả định là: ( )  0.1sin(0.3t ) + 0.2cos(0.1t )    0.3cos(0.2t ) + 0.2sin(0.5t )   + ∆Cq + ∆ g = η ( t ) − ∆Mq d2 -3.8 dh2 d1 -0.2 dh1 -4 -4.2 -0.4 -4.4 -4.6 -0.6 -4.8 -5 -0.8 10 15 20 10 15 20 74 Bài tập Bài 1: Xét hệ bất định bậc hai: dx  f1 (x ) + x  =  có hai hàm bất định f1 (x ), f2 (x ) thỏa f1 (x ) < ϕ1 (x1 ), ∀x f2 (x ) < ϕ (x ) dt  f2 (x ) + u  Nhiệm vụ điều khiển tìm điều khiển phản hồi trạng thái để đầu y = x1 bám tiệm cận theo tín hiệu mẫu r (t ) khả vi cho trước a) Chứng minh x bám theo z= r − ϕ1 (x1 )sgn e1 với e= x1 − r y → r (t ) b) Chứng minh u (= x ,r ) z −d − ϕ (x )sgn e2 T x − d d đầu khâu quán tính bậc có hàm truyền với e= G (s ) = 1 + Ts đầu vào z , điều khiển cần tìm b) Mơ hệ thống với điều khiển tìm MatLab Bài 2: Chứng minh có điều khiển phản hồi trạng thái u (x ) làm ổn định tiệm cận hệ phi = x f (x ) + H (x )u làm ổn định UB hệ phi tuyến có nhiễu đầu vào (matched tuyến affine díturbances) x = f (x ) + H (x ) [u + d ] , nhiễu d bị chặn với d ≤ δ 75 Bài tập (tiếp) Bài 3: Xét 76 ... hạn, hay hệ UUB 14 Điều khiển phi tuyến Áp dụng Lyapunov để thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái Cho hệ x = f (x , u ) thỏa mãn f (0, 0) = có vector tín hiệu vào u Để tìm điều khiển phản... x= xác định âm u = −2x Vậy hệ ổn định tiệm cận điều khiển r (x ) = −2x 15 Điều khiển phi tuyến (tiếp) Ví dụ thiết kế điều khiển ổn định Lyapunov (tiếp) x1 = x1x 1 Hệ  có hàm CLF V (x ) = x12... Tìm điều khiển GAS z w Cơ cấu chỉnh định Bộ điều khiển u x Đối tượng điều khiển Nguyên lý giả định rõ (certainty equivalence): Giả sử có θ Dựa vào Lyapunov, ta có hàm CLF Vc (x ,θ ) điều khiển