TIỂU LUẬN môn TOÁN rời rạc đề tài bài TOÁN LUỒNG TRÊN MẠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ỊỊỊỊ SAMI 1956 TIỂU LUẬN MÔN TOÁN RỜI RẠC ĐỀ TÀI BÀI TOÁN LUỒNG TRÊN MẠNG HỌ VÀ TÊN MSSV NGUYỄN QUANG MINH 20206157 Hà Nội, 2021 Tiểu Luận Toán Rời Rạc Bài Toán Luồng Trên Mạng Mục lục I Giới thiệu chung IV Thuật toán Capacity Scaling Giả mã Tính đắn thuật tốn Capacity Scaling III Lát cắt, đường tăng luồng,định lý Ford-Fulkerson Mở V Thuật toán đường tăng ngắn đầu Ý Bài tưởng toán luồng cực đại Giả mã Định nghĩa lát cắt Định Các kết lý Ford-Fulkerson Phânđịnh g tăng ngắn lý tố Các tích thuật a) Định lý luồng cực đại mạng l VI Mở rộng: Thuật ong tìm luồng cực đại mạng b) Định tố lý tính nguyên Ý c)tưởng Địnhthuậ lý chi phí thời gian thực giải thuật^ Triển d) khai Thuật th tốn Ford-Fulkerson khơng phải thuật toán đa thức Các định lý lý lý 10 10 10 10 611 11 11 12 12 9 13 13 10 13 16 16 16 Thời gian tính thuật tốn Capacity Scaling 16 VIIM số toán ứng dụng cụ thể I Mạng với nhiều điêm phát nhiều điểm thu 17 17 17 Bài toán hệ thống đại diện chung 18 Các toán tối ưu rời rạc- Bài tốn luồng chi phí nhỏ 18 Bài tốn với khả thơng qua cung đỉnh a) Bài toán đường không giao cạnh (EdgeDisjoint Paths) 19 Trang 8 Ví Bàidụ tốnminh độ liên họakết mạng (Network Connectivity) 20 20 10 11 12 BAI TOAN LUONG TREN MANG 13 NGUYỄN QUANG MINH Ngày 13 tháng 11 năm 2021 14 I Giới thiệu chung 15 Luồng cực đại tốn tối ưu đồ thị tìm ứng dụng rộng rãi thực tế lý thuyết tổ hợp 16 Bài toán đề xuất vào đầu năm 1950 gắn liền với tên tuổi hai nhà toán học Mỹ:Ford (Lester Randolph Ford:1927-) Fulkerson(Delbert Ray Fulkerson:1924-1976) 17 Trong lý thuyết đồ thị, luồng mạng, thường gọi tắt luồng, cách gán luồng (dòng chảy) chocáccnngcủa đồthịcóưướng (trOTiịrtờư&igợpip) ỳàyợược gọi mạng vận tải), đc cung cc khả thông qua, cho dung lượng luồng qua cung không vượt q khả thơng qua nc Ngồi ra, ta cc điều kiện dung lượng luồng vào nút phải dung lượng luồng khỏi nút đc, ngoại trừ trường hợp nc nút phát (hyy nút nguồn) rIldị chịcódưngry,hoỵc mơn idill Hu nHơ! cc luồng vào Một mạng vận tải cc thể dùng để giả lập giao thông hệ thống đường sá, dòng chảy đường ống, dòng mạch điện, tương tự di chuyển qua mạng lưới gồm nút 18 Ta gọi mạng rnetwork)Jầ mơtđồthịcóhưưng G(V, E), đc cc đỉnh A không cc cung vào gọi điểm phát (^^.^6)4^ đửnh B khơng ró rang gọi đỉnh thu (shk)) mỗịcnng e(u, v) G E gán với số không âm c(e) = c[u, v] gọi khả thông qua cung đc ^pa^^^)^ thuận tiện cho việc trìiủi bày,ta qui ước khơng cc cung (u, v) khả thơng qua c[u, v] nc gán 19 ột số thực không âm f (e) = f [u, v] gọi luồng cung e, thỏa mãn cung không vượt khả thông qua nc: < f [u, v] < u cc mạng G = (V, E).Ta gọi luồng (flow) f mạng G phép gán cho c[u, v](V(u, v) E E) 20 Với đỉnh v không trùng với đỉnh phát A đỉnh thu B ,tổng luồng cung vào tổng luồng cung khỏi v: 21 22 23 Trong đc: r £f |u,v]= E f [v, w] '»UI' (v) = w€T+ {u G V|(u, v) G E} r (v) = {w G V|(v, w) G E} + 24 Giá trị luồng tổng luồng cung từ đỉnh phát = tổng luồng cung vào từ đỉnh thu f u,v) ( (V, Ef), thể g mạng theo hướng luồng từ u tới v ), u-1 = s, Uk = t,và - Ví du: 25 Hình 1: Mạng với khả thơng qua (1 phát,6 thu ) luồng 26 Khả thơng qua cịn dư (eesidual capacity)củamột cạnh lè (u, v) 27 Khái niệm định nghĩa mạng cịn dư (residual network) lượng khả thơng qua có Để ý có mộ dư, khơng có cung từ u tới v mạng b ngược triệt tiêu lẫn nhau, giảm luồng từ v tới u tươ Một đường tăng (augmenSing path)là mộtđườngđi (u1,u , Cf (ui,Uị i) > 0) nghĩa gửi thêm luồng dọc theo đường + 28 Hình mạng vận tải với nguồn s, n thông qua ký hiệu f /c Lưu ý tro thông qua cân luồng th tổng luồng từ s có giá trị 5, cũ luồng xuất biến n ình biểu thị mạng dư từ luồng cho Lưu ý có khả thơng qua số c mà khả thơng qua ban đầu 0, ví dụ cung (d, c) Luồng luồng cực đại Có cung với khả thông qua dương suốt dọc theo đường (s, a, c, t), (s, a, b, d, t) (s, a, b, d, c, t) , đường tăng Khả thông qua đường thứ min(c(s,a) — f (s,a),c(a,c),c(c,t) — f (c,t)) = min(2,1,1) Đường cuối không tồn mạng ban đầu, ta gửi luồng theo đường đó, ta có luồng hợp lệ Nếu mạng thực sự, có luồng có giá trị từ a tới b đồng thời với luồng có giá trị từ b tới a, ta quản lý luồng tổng bốn nút khác Luồng khả ày, điều kiện đối xứng, khả uồng từ tới t 5, dễ thấy từ thực tế tổng luồng vào t Ta biết khơng có Hình 2: Tiểu Luận Tốn Rời Rạc Bài Tốn Luồng Trên Mạng Hình 3: II Bài toán Mở đầu 29 Bài toán đơn giản thơng dụng cho lềồng mạng tốn tìm lềồng cực ồng tổng lớn từ điểm đại đồ thị cho trước, với kết qềả mong mềốn lề ải thềật tốn lềồng cực ngềồn đến điểm thề Có nhiềề tốn khác gií i, chẳng hạn cặp ghép đại, nếề chúng mơ hình hót dạng mạng vận tải hai phía, tốn phân cơng cơng việc (assignment , ta ró nhiều điểm phát, problem), ■ nút pháá cho árước áới mộá núá áhu cho 30 Trong toán lềồng đa (muhinhà máy, cần chềyên chở đến rommodit^ flow jroot^lm io thông nhiềề điểm thề, nhiềề loại "hàng" cần chảy từ mộ trước Ví dề, nhiềề loại hàng sản xềất nhi cho khách hàng khác nhaề qềa mạng ị 31 Trong tốn lềồng chi phí cực tiểề, cềng u, v có chi phí cho trước k(u, v) , chi phí gửi lềồng f (u, v) qềa cềng f (u,v').k(u,v') Mục tiêề gửi lềồng có dềng lượng cho trước từ ngềồn tới điểm thề với chi phí thấp 32 Trong tốn lềồng tềần hồn ’sirềuláSion J3nbl^lmn), với ềung (u,v), ngồi c(u, v) cịn có cận l(u, v).Mỗi cềng có chi phí Thơng thường, tốn lềồng tềần hồn, điềề kiện cân lềồng phải áp dụng cho nút, có kết nối điểm thề ngược trở lại điểm phát Bằng cách này, ta áp đặt lềồng tổng l(t, s) c(t, s) Do lềồng tềần hoàn mạng nên toán đặt tên Ví dụ thực tế luồng mạng 33 37 thơng 41 điện 45 49 Mạng Trềyền Mạng Cơ khí y* Thủy lợi 53 Tài 57 Giao thơng 34 Đỉnh 38 Trạm giao dịch, máy tính,vệ tinh 42 cổng,registers,process ors 46 joints 50 hồ chứa, trạm bơm,ngềồn nước 54 nhà băng 58 sân bay,ga tàề,giao lộ 35 39 qềang 43 47 ings 51 36 Lềồng 40 voice,video,pac kets dây dẫn 44 dòng điện roads,beams,spr 48 heat,energy đưồng ống 52 dòng nước,chất lỏng 55 giao dịch 56 tiền 59 đường cao 60 hàng hóa phương tiện tốc,đường ray,đường bay Trang Cềng cáp nối,cáp Tiểu Luận Toán Rời Rạc 61.65 Hóa học 62 Bài Tốn Luồng Trên Mạng sites 63 Trang bonds 64 energy Tiểu Luận Toán Rời Rạc Bài Toán Luồng Trên Mạng Một số toán luồng mạng 66 Nhiều biến thể tốn luồng có quan hệ với với hình thức tổng quát hóa hay chuyên biệt hóa Trong đây, toán giải lời giải cho toán cha Bàitáánlồồng vớicácđiềukiện vàhàm mụctiêutùy ý Bàithánluáng vcficáccềêu]dánềùyántệhll Bài toÍ! ^n^u^n hàMi đa (Multi-càmmo(ùtá ciềculation problem).Thuật á^ánờhời gian đa thức biết giải quy hoạch tuyến tính Bàithánluángđa thiphícụctiều ĐnttntcảcáccándướiằángO Bàitáánluáng thiphícụctiều Giải với mnttạạiháng, Ituu, tphếit Bàitáánluángcụcđại Đnttntcả thiphíằáng vàcụcđạihaaluáng Bàithánluángđa Đnttntcả thihhíbángO.Đnttntcả thiphíằángO Giải với mnttạại hàng, thu, phát III Lát cắt, đường tăng luồng,định lý Ford-Fulkerson Mở đầu ứng dụng rộng rãi thực tế nh g dụng thú vị lý thuyết tổ 67 Bài toán luồng cực đại mạng toán tối ưu đồ thị tìm hợp Bài tốn đề xuất vào đầu năm 1950, gắn liền vơi tên tuổi hai nhà toán học Mỹ Ford Fulkerson Bài toán luồng cực đại 68 Cho mạng G = (V, E) Hãy tìm luồng f * mạng với giá trị luồng lớn Luồng gọi 69 luồng cực đại mạng tốn gọi tốn tìm luồng cực đại mạng Định nghĩ át cắ Ta gọi lát cắt(X, Y) cách phân hoạch tập đỉnh V mạng thành hai tập rời X Y, X chứa đỉnh phát Y chứa đỉnh thu Khả thông qua lát cắt(X, Y) tổng tất khả thông qua cung (u, v) có u G x v G y Lát cắt với khả ông qua nhỏ gọi lát cắt hẹp Định lý Ford-Fulkerson 70 Ý tưởng phương pháp Ford-Fêlkbrson tăng dần giá trị luồng mạng đạt cực đại 71 Với bước, mạng G tại,chúng ta tìm đường s — t mà gửi luồng qua được, đường gọi đường tăng luồng (au{mbenting path).Sau I ếni IVỒPI ịửỉi luồng qua G cho luồng hợp lệ Thuật toán kết thúc khơng cịn tìm thấy đường tăng luồng Trang 10 238 Nếu t gán nhãn tiến t khơng gán nhãn lùi, bổ sung t vào S, S := S u t quay lại Bước 2.2 239 P2: Sinh nhãn lùi 240 Trường hợp Stop=True , kết thúc 241 Trường hợp incflow=True chuyển sang Bước Bước 2.3: Chọn đỉnh sinh nhãn lùi 242 * Trường hợp T = : Chọn đỉnh v E T nhỏ nhất(theo thứ tự) Loại v khỏi T, T := T/v' 243 Ký hiệu nhãn lùi v (f, q, fì B) tập đỉnh chưa có nhãn lùi kề đỉnh sinh v 244 Sang Bước 2.4 245 * Trường hợp A = 0, thông báo hệ thống biết P2 gặp điều kiện dừng, kết 58 thúc 60 Bước 2.4 : Gán nhãn lùi cho đỉnh chưa có nhãn lùi kề đỉnh sinh 61 Trường hợp Stop=True, kết thúc 62 Trường hợp incflow=True, chuyển sang Bước 63 Trường hợp B = : Quay lại Bước 64 Trường hợp B = 0, chọn t E B nhỏ nhất( 70 59 ỏi B , L B := B/t 65 gán nhãn lùi cho t sau oạ ,v,min(fi,Ctv 66 Nếu (t,v) E E f < c , đặt nhãn lùi đỉnht 71 i 67 Nếu (v,t) E E f > 0, đặt nhãn lùi đỉnh t ,ftv)) (f , in( , )) ^ ftu 84.Bước hãn tiến, ; thông 68 Nếu t không gán nhãn lùi , qua ại gán incflow:=True Nếu t gán nhãn lùi báo cho hệ thống biết tìm đ luồng, sang Bước 3, hiệu chỉnh tăng luồng, xóa nhãn 85 hãn lùi, bổ sung t vào T, T := 69 Nếu t gán72 nhãn tiến Tut quay lại Bước tv tv vt 76 — Bước3: Hiệu 83 u 73 xóa õ nhãn tiến ởnh 86 Bước 2.2 nhãn lùi Bước 2.4 để Đỉnh t àn có nhãn tiến (f,p, a) nhãn lùi (fì) Đặt 77 Ta có t đinh thuật tốn dẫ 78 A = mi 74 xóa nhãn 79 Ta hiệu c sau 80 P1: 82 ỉnh ngược từ t a theo nhãn 81 Bướ tiến 75 ■ 87 ởi tạo j:=t , i:=p 88 iệu chỉnh : 89 ếu cung (i, j) E G, hiệu chỉnh fij = fij + A Nếu cung (j, i) E G, hiệu chỉnh f j = fij — A i 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 * Tịnh tiến 273 Nếu i = a, xóa tất nhãn tiến mạng trừ đỉnh nguồn a đỉnh đích z, thơng báo hệ thống biết P1 thực việc tăng luồng, xóa nhãn tiến xong, đợi P2 xóa nhãn xong,quay lại Bước 274 Nếu j = a, đặt j:=i i:=h, với h thành phần thứ hai nhãn tiến đỉnh j 275 Bước 3.2: Hiệu chỉnh từ t đến z theo nhãn lùi ■ Khởi tạo: i:=t,j:=q ■ Hiệu chỉnh 276 Nếu cung (i, j) G G, hiệu chỉnh f j = f j + A 277 Nếu cung (j, i) G G, hiệu chỉnh f j = f j — A i i i i 278 Bước 3.3: Tịnh tiến 279 Nếu i = z, xóa tất nhãn lùi mạng trừ đỉnh nguồn a đỉnh đích z, thơng báo hệ thống biết P2 thực việc tăng luồng, xóa nhãn lùi xong, đợi P1 xóa nhãn xong, quay lại Bước 280 Nếu i = z, đặt i:=j j:=k, với k thành phần thứ hai nhãn lùi đỉnh I 281 Sau quay lại Bước 3.2 282 Các định lý 283 a) Định lý 284 Nếu khả thơng qua có giá trị nguyên sau hữu hạn bước trình giải Chứng minh: Qua bước hiệu chỉnh, giá trị luồng tăng lên đơn vị(do khả thơng qua nguyên kéo theo a fì nguyên dương nên A = min(a, fi) nguyên dương) Mặt khác giá trị luồng bị chặn tổng khả thông qua cung khỏi đỉnh nguồn.Vì qua số hữu hạn bước trình giải kết thúc Hệ quả: Nếu khả thơng qua có giá trị hữu tỉ sau hữu hạn bước trình giải kết thúc Chứng minh: Qui đòng mẫu số giá trị thô: sử mẫu số chung N, qua kết thúc 285 286 bước tăng luồng,giá trị luồng tăng 1/N, mặt khác giá trị luồng bị chặn tổng khả thông qua tất cung từ đỉnh nguồn.Vì qua số hữu hạn bước, trình giải kết thúc 287 b) Định lý 288 Cho mạng G(V, E, C), nguồn a, đích z, f luồng nhận sau kết thúc thuật tốn, f luồng cực đại 289 Chứng minh Thuật 290 toán kết thúc xuất phát từ P1 gặp điều kiện S = T Kí hiệu X tập tất đỉnh mang nhãn tiến, lát cắt (X, V/X) lát cắt cực tiểu, suy f luồng 291 TH2: Thuật toán kết thúc xuất phát từ P2 gặp điều kiện T = T Kí hiệu Y tập tất đỉnh mang nhãn tiến, lát cắt (V/Y, Y) lát cắt cực tiểu, suy f luồng cực đại 292 VII Ứng dụng 293 Một mạng vận tải sử dụng để giả lập hệ thống có điều kiện định nghĩa 294 90 Hình dung loại đường ống nối với thành mạng Mỗi đường ống có độ rộng định, cho phép dòng chảy với lượng nước định Mỗi đường ống gặp nhau, tổng lượng nước chảy vào điểm nối phải lượng chảy từ Ta có nguồn nước, điểm phát, điểm tập trung nước, điểm thu Khi luồng cách lấy nước từ nguồn tới nút thu cho tổng lượng nước khỏi nút thu không đổi Về trực quan, tổng luồng mạng tỷ lệ nước chảy từ điểm thu 91 Luồng so sánh với người vật liệu mạng giao thông vận tải, với hệ thống phân phối điện Với mạng vật lý vậy, luồng vào nút 92 điện trung gian phải luồng khỏi 93 Bài tốn luồng cực đại mạng có nhiều ứng dụng thực tế như: định cường độ dòng lớn dòng vận tải hai nút đồ giao tốn tìm luồng dầu lớn bơm từ tàu chở dầu vào bể ống dẫn dầu Ngoài ra, ứng dụng tốn cịn để giải cá cưới vùng q, toán hệ thống đại diện chung, toá lập lịch cho hội nghị 96 c 97 , ống đườ ng tố n đá 94 VIII Một sơ toán ứng dụng cụ th m , 95 hiều 98 Mạng với nhiều điêm phát v toá điểm thu 99 Cho n kho cần chuyển hàng s , s , s v 101 n hàng t ,t , t Hãy tìm mộtn án chuyển hàng cho lượng hàng phương chuyển khả chứa hàng hất, cho biết trước số lượng hàng cần thể chuyển từ Sđiểm i đến tj 100 *Phương pháp giải: Bài tốn đưavà vềsố bàihàng tốncó mạng với nhiều phát c(i,j) 105 106 điểm thu Ta coi các kho nhận tj điểm thu Đồng thời đưa há kho Si cá i tất điểm phát điểm thu giả t nối với vào điểm phát giả s nối cần chuyển kho s ,và c(tj, t) khả chứa hàng điểm thu Giá trị c(s, s ) kho tj 103 108 ả thông qua cung đỉnh vận chuyển dầu từ Lột bể chứa s tớ bể Lhận t thông qua hệ thống Bài109 102 cho lượng dầu chuyển nhiều Cho biết trước lượng dầu Hã y toá bơm qua đường ống qua điểm nối ống đ 110 hương pháp giải: Xây dựng đồ thị G = (V, E), với V tập đỉnh đồ thị gồm ác điểm nối, E tập cung đồ thị gồm đường ống dẫn dầu Trong 104 đỉnh v thuộc V tổng luồng vào đỉnh v không vượt khả thông G, với 107 qu amỗ d(v) 111 Sf (w, v) < d (v) (w G V) nó: 112 Để tìm luồng cực đại s t mạng ta xây dựng mạng G' cho: đỉnh v G tương ứng với hai đỉnh v+ v— G , cung (u,v) G tương ứng với cung (u—,v+) G cung (u, v) G có khả thông qua d(v) tức khả thông qua đỉnh v G Dễ thấy luồng cực đại tức khả i n i n 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 thông qua đỉnh v G Dễ thấy luồng cực đại G' luồng cực đại G với khả thông qua cung đỉnh 336 Bài toán hệ thống đại diện chung Cho tập gồm m phần tử X = z ,z , z Giả sử (A , A , A ) (B^B , Bn) dãy tập hợp X Dãy gồm n phần tử x , x , x gọi hệ thống đại diện chung dãy A B cho tìm hoán vị k tập 1, 2, n cho (x , x , x ) đại diện phân biệt dãy (A1,A2, An) (B (1), B (2), B (n)) 1 m 2 n n fc fc n fc cước án tối ưu ị)t khơng có đỉnh chung ớn b) Bài toán cặp ghép cực ên đ thị hai phía ía V phân hoạch thành tập X Y cho = (x, y) với x G X y G Y khơng có đỉnh chung cặp ghép có lực lượng lớn tite ự atching: Tính đắn ượng cặp ghép cực đại G= giá trị luồng cực đại G1 hỉ cần chứng minh G có cặp ghép lực lượng k G' có luồng với Các tốn tối ưu rời rạc- Bài tốn luồng chi phí 337 Cho cạnh có n đỉnh Mỗi cạnh mạng có khả thơng qua c(u, v phí vận chuyển p(u, v) định ứng với đơn vị hàng 338 Cho trước lượng hàng S cần vận chuyển từ nguồn đến để chi phí vận chuyển hết lượng hàng S nhỏ Bài toán ghép cặp(Matching) 339 340 341 342 a) Cặp ghép Cho G = (V, E) đồ thị vô hướng Cặp ghép đồ thị G tập cạnh củ Bài toán cặp ghép cực đại : Tìm cặp ghé 343 Đồ thị vô hướng G = (V, E) cạnh e G E có t Cặp ghép tập c Bài toán cặp ghép c 344 345 346 347 ghép M có lực lượng k Xét luồng f đẩy luồng đơn vị dọc theo k đường • f luồng có giá trị k Cho f luồng giá trị k G1 • Từ định lý tính ngun ^ tìm luồng ngun: f (e) • Gọi M = tập cạnh e từ X sang Y với f (e) = • Mỗi đỉnh X Y đầu mút < cạnh M • |M| = k, luồng có giá trị k nên có k cạnh từ X sang Y với giá trị luồng cung Hình 6: Caption Bài tốn đường khơng giao cạ e Disjoint Paths) íng khơng có cạnh chung 348 Định nghĩa: Hai đường gọi không giao cạnh nế iao cạnh 349 Bài tốn đường khơng giao ăng thông qua làcạnh Cho đồ thị có hướng G = (V, E) hai đỉnh s t, tìm số lượng lớn đường từ s đế Quy tốn Giả sử có k đường khơng gia luồng cực đại: gán cho cạn Đặt f (e) =1 e thuộc vào í 350 Chứng minh: Điều kiện cần: Do đường khơng có cạnh Chứng minh: Điều kiện 352 số Giả sử luồng cự eo định lý Xét nh 351 , ■■■, Pk■ ó giá trị k guyên ^ tồn f luồng 0-1 với giá trị k đường đi; f (e) = 0, trái lại nên f luồng có giá trị k 353 , u)với f (s, u) = 354 ều kiện cân luồng, tồn cạnh (u,v) vớif (u,v) = o đến đạt tới t, sử dụng cạnh 355 ro k đường (không thiết đơn) không giao cạnh Bài toán độ liên kết mạng (Network Connectivity) 356 Định nghĩa: Tập cạnh F c E gọi tách t với s đường từ s đến t qua cạnh F 357 Liên kết mạng: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) hai đỉnh s t, tìm số lượng cạnh cần loại bỏ để tách t với s Đường không giao cạnh Độ liên kết mạng Định lý:Số lớn đường không giao cạnh từ s đến t 358 359 số nhỏ nhể cạnh cần loại bỏ để tách t với s Chứng minh: Điều kiện đủ: g • Giả sử loại bỏ F c E ngăn cách t từ s, |F| = k • Do đường từ s đến t có cạnh F, suy se 360 không giao cạnh không vượt k 361 Chứng minh: Điều kiện cần 362 Giả sử k số lượng lớn đường khơng gia 363 Khi giá trị luồng cực đại k Từ định lý Max-flow min-cut ^ 364 thông qua k 365 366 367 368 hật lát cắt nhỏ (A, B) có ả Gọi F tập cạnh từ A sang B |F| = k F tách t với s số kích ọn ô đen thước M X N(M, N < 100) vng Trong có Hãy chọn 2M ô đên bảng cho thoả mãn điêu kiện: 369 en chọn cột chọn nhiều ô nhỏ 370 Ta phát biểu toán dạng khác: xét mạng gồm N + M + đỉnh, gồm hai đỉnh thu phát s,t; Mđỉnh tương ứng với M dòng N đỉnh lại tương ứng với N cột bảng Đỉnh s nối với tất đỉnh tương ứng với dòng, đỉnh tương ứng với cột nối với đỉnh thu t, ô (i,j) ô đen ta nối đỉnh thứ i dịng với đỉnh thứ j cột 371 Khả thông qua cung xác định sau: • Mọi cung xuất phát từ đỉnh s có khả thơng qua • Mọi cung nối cặp đỉnh dịng cột có khả thơng qua 372 • Mọi cung nối với đỉnh thu t khả thơng qua thay đổi q trình thay đổi toán luồng để thoả điều kiện thứ hai tốn, song chúng ln nhau, ban đầu khả thông qua cung Sau bước tìm luồng cực đại ta tăng khả thơng qua cung thêm đơn vị phụ thuộc vào luồng vừa tìm thoả mãn điều kiện thứ toán hay chưa 373 Bài toán phát biểu lại sau: Tìm mạng có khả thơng qua cung đỉnh thu bé cho giá trị luồng cung chứa đỉnh phát 374 Bước 2: Mỗi bước tìm luồng cực đại Nếu luồng tìm thoả mã nghĩa giá trị luồng cung chứa đỉnh phát t ngược lại ta tăng khả thông qua cung thêm mộ 375 Bài tốn khơng tồn lời giải khả thông qua cá N mà không tồn luồng cực đại cho giá trị luồ *Phương pháp giải: Bước 1: Ban đầu xét mạng có khả thơng qua cung chứa đỉnh thu đề ằng ơn vị qua i bước hứa đỉnh phát ... nối,cáp Tiểu Luận Tốn Rời Rạc 61.65 Hóa học 62 Bài Toán Luồng Trên Mạng sites 63 Trang bonds 64 energy Tiểu Luận Toán Rời Rạc Bài Toán Luồng Trên Mạng Một số toán luồng mạng 66 Nhiều biến thể toán luồng. .. 11 Tiểu Luận Toán Rời Rạc Bài Tốn Luồng Trên Mạng • cf (v,u) = f (u,v) (chiều ngược lại= lượng tối đa giảm bớt) • Nếu cf (e) = 0; bỏ qua cung e Trang 12 Tiểu Luận Toán Rời Rạc Bài Tốn Luồng Trên. .. qua G cho luồng hợp lệ Thuật toán kết thúc khơng cịn tìm thấy đường tăng luồng Trang 10 Tiểu Luận Toán Rời Rạc Bài Toán Luồng Trên Mạng 72 Giá trị luồng cực đại mạng khả thông qua lát cắt hẹp