Bài viết Giải tích và các bài toán cực trị trình bày nguyên lý Fermat, cực trị hàm nhiều và cực trị hàm nhiều biến dưới góc nhìn của toán cao cấp. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
GIẢI TÍCH VÀ CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ Trần Nam Dũng - Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG - TP.HCM Since the building of the universe is perfect and is created by the wisdom creator, nothing arises in the universe in which one cannot see the sense of some maximum or minimum - Leonard Euler Trong toán trường phổ thơng, tốn cực trị thuộc vào dạng toán gần với ứng dụng thực tế Những yêu cầu đường ngắn nhất, đường nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi nhất, tổng chi phí nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn yêu cầu tự nhiên xuất phát từ toán sản xuất, đời sống khoa học Chính tốn cực trị cần có chỗ đứng xứng đáng chương trình tốn phổ thơng, phương pháp giải tốn cực trị cần phải trình bày cách Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận cho lời giải tốn cực trị, phương pháp sử dụng bất đẳng thức phương pháp hàm số Với phương pháp bất đẳng thức, sơ đồ là: Để chứng minh M giá trị lớn hàm số f x/ miền D x vector), ta chứng minh : i / f x/ M với x thuộc D: i i / Tồn x0 thuộc D cho f x0 / D M: Phương pháp hàm số khảo sát hàm f x/ D dựa vào định lý giải tích để tìm điểm cực trị giá trị M: Chú ý rằng, chương trình phổ thơng khái niệm hàm nhiều biến chưa đề cập, cho nên, bắt gặp tốn nhiều biến cơng cụ chủ yếu công cụ đạo hàm hàm số biến Trong viết này, chủ yếu đề cập đến phương pháp giải tích để giải tốn cực trị Chúng ta bắt đầu toán cực trị hàm biến giải nguyên lý Fermat định lý tồn Weierstrass Sau chuyển sang toán cực trị nhiều biến giải phương pháp khử dần biến để đưa trường hợp biến Tiếp đến tốn cực trị có điều kiện Trong phần cuối cùng, đề cập đến cách tiếp cận toán cực trị nhiều biến sử dụng cơng cụ tốn cao cấp (đạo hàm riêng theo biến, phương pháp nhân tử Lagrange) Đây phần dành cho giáo viên học sinh lớp chun để có nhìn tổng quan sau lên bậc học cao không bị làm theo quán tính, giải tốn cực trị nhiều biến cơng cụ thơ sơ (và địi hỏi nhiều sáng tạo) Để giúp bạn học sinh nhìn thấy vẻ đẹp, sức mạnh hiệu phương pháp giải tích, chúng tơi cố gắng chọn ví dụ đặc trưng điển hình Các ví dụ tốn 109 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 lấy từ toán định lý kinh điển, tốn thi Olympic, đề thi đại học Ngồi ví dụ có lời giải bình luận chi tiết, đưa số tập tự giải dành cho bạn đọc Nguyên lý Fermat Phương pháp có tên nguyên lý Fermat phương pháp mà biết đến: Nếu hàm số f khả vi điểm cực tiểu (cực đại) địa phương điểm dừng, tức là nghiệm phương trình f x/ D 0: Về điều trước Fermat nhắc tới: “Về hai phía điểm có giá trị lớn giảm ban đầu không đáng kể.” (Johan Kepler) Điều ngược lại khơng đúng: Điểm dừng điểm cực trị hàm số, ví dụ đơn giản sau: Hàm x điểm x D 0: Để tìm giá trị cực trị hàm số f; ta giải phương trình f x/ D 0; tìm tất điểm dừng điểm “nghi can” cho giá trị cực trị Sau ta sử dụng định lý tồn tại: Một hàm số liên tục đoạn Œa; b đạt giá trị lớn giá trị nhỏ Ta coi định lý hiển nhiên mặt hình học bỏ qua phép chứng minh Như giá trị lớn giá trị nhỏ hàm liên tục, khả vi đoạn Œa; b tồn ta cần tìm giá trị điểm dừng hai đầu mút Bổ đề 1.1 Nếu hàm số f W R ! R liên tục f x/ ! C1 jxj ! C1 đạt giá trị nhỏ Rn : Bổ đề 1.2 Nếu hàm số f W a; b/ ! R liên tục f x/ ! C1 x ! a x ! b đạt giá trị nhỏ a; b/: Điều kiện tồn giá trị lớn phát biểu tương tự Chúng ta bắt đầu ví dụ kinh điển Ví dụ 1.1 (Định luật Snellius) Tia sáng cắt đường biên hai mơi trường, vào với góc ˛ với góc ˇ (góc tia sáng với đường vng góc với đường biên điểm cắt) Khi sin ˛ sin ˇ D ; va vb va ; vb vận tốc ánh sáng môi trường Lời giải Ta sử dụng nguyên lý Fermat quang học: Ánh sáng đường từ điểm đến điểm ln chọn đường ngắn mặt thời gian Nếu ta lấy tia sáng hai điểm A; B nằm hai phía đường biên, cịn đường biên ký hiệu l ta thu tốn tìm cực tiểu: < f M / D AM C BM ! va vb : M 2l Giá trị nhỏ tồn tại, điều đảm bảo bổ đề 1: Gọi điểm mà hàm số đạt giá trị nhỏ M0 : Vấn đề tính đạo hàm hàm số f: Điều làm ? Ta thực điều cách tìm biểu thức hàm số f sử dụng định lý Pythagore: 110 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Gọi AH; BK đường vng góc hạ từ A; B tương ứng xuống Đặt AH D a; BK D b HK D c; HM D x ta có q p 2 AM D a C x ; BH D b C c x/2 : Từ p f M / D g.x/ D q a2 C va x2 C x/2 b C c vb : Theo bổ đề f M / đạt giá trị nhỏ điểm M0 Và theo ngun lý Fermat f M0 / D 0: Nhưng 0 f M / D g x/ D p x c va a2 C x vb q b2 x C c : x/ Từ f M0 / D tương đương với p c x0 va a2 C x vb q b2 x0 ; C c x/ hay sin ˛ sin ˇ D : va vb Ta có điều phải chứng minh Bài tốn Có miếng thép kích thước 1m 1m: Người ta muốn làm từ thép hình hộp khơng đáy cách cắt góc hình vng kích thước x x; gấp lên hàn lại Hỏi phải chọn x để thể tích hình hộp lớn ? Lời giải Rõ ràng ta phải có Ä x : Thể tích hình hộp V x/ D x.1 2x/2 : Với này, cần chút khéo léo ta dùng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn Tuy nhiên, phương pháp hàm số cho lời giải tự nhiên mà khơng địi hỏi sáng tạo đặc biệt nào: V x/ D 12x 8x C D 2x 1/.6x 1/: Từ ta có V x/ đạt giá trị lớn giá trị nhỏ điểm (biên), (điểm dừng), (biên) Vì  à  à 1 V 0/ D V D 0; V D ; 27 nên ta suy Vmax D x D : 27 111 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài tập 1.1 Hãy giải tốn với miếng thép có kích thước a phương pháp sau : b a/ Dùng bất đẳng thức AM-GM .b/ Dùng đạo hàm Ví dụ 1.2 Qua điểm nằm góc cho trước, kẻ đoạn thẳng có độ dài ngắn có đầu mút nằm cạnh góc Lời giải Bổ đề đảm bảo tồn đoạn thẳng ngắn Giả sử đoạn thẳng ngắn AB điểm nằm góc M: Qua M ta kẻ đường thẳng khác A B : Gọi góc 0 có hướng A B AB: Hàm số f / D A B đạt giá trị nhỏ điểm D f 0/ D 0: Đặt ˛ D ∠OAB; ˇ D ∠OBA O đỉnh góc Sử dụng định lý hàm số 0 sin cho tam giác MAA MBB ; ta có MA D MA Từ 0 sin ˛ sin ˇ ; MB D MB : sin.˛ / sin.ˇ C / 0 f D A B AB D MA C MB MA MB Ä Ä sin ˛ sin ˇ D MA C MB sin.˛ / sin.ˇ C / sin cos ˛ 2 sin cos ˛ C D MA MB sin.˛ / sin.˛ C / : Như " sin cos ˛ f D MA sin.˛ Cho ! 0; ta f 0/ D MA cot ˛ / # cos ˛ C MB : sin.˛ C / MB cot ˇ: Nhưng f 0/ D nên ta có MA cot ˛ D MB cot ˇ: Kết có ý nghĩa hình học HB cot ˇ nào? Hạ đường vng góc OH xuống AB: Dễ dàng kiểm tra D : Mặt khác HA cot ˛ MA cot ˇ D ; suy MB cot ˛ MA D HB; MB D HA: Như đoạn thẳng ngắn AB đặc trưng tính chất sau: Hình chiếu O lên AB đối xứng với M qua trung điểm AB: Nhận xét Tại tìm đặc trưng hình học đoạn thẳng AB mà khơng nêu cách dựng ? Vấn đề với vị trí tổng quát, lời giải dựng thước compa Trong thực tế, có nhiều tốn cực trị ta đưa tính chất đặc trưng lời giải khơng tìm lời giải mang tính xây dựng Bài tập 1.2 Đường thẳng qua điểm nằm góc, cắt góc thành tam giác có diện tích nhỏ Hãy tìm lời giải hình học lời giải giải tích cho toán Bài tập 1.3 Tương tự với chu vi nhỏ nhất, tìm lời giải hình học lẫn lời giải giải tích 112 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài tập 1.4 Qua điểm nằm góc vuông kẻ đường thẳng cho OA C OB nhỏ O đỉnh góc vng A; B giao điểm đường thẳng với cạnh góc vng) Với tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Œa; b ta có số trường hợp đặc biệt đơn giản hiệu sau : Hàm đơn điệu: Nếu f x/ với x thuộc a; b/ hàm số f tăng Œa; b ta có f a/ f x/ f b/ với x thuộc Œa; b: 00 Hàm lồi: Nếu f x/ hàm số f x/ có nhiều điểm cực đại (nếu có điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất) giá trị nhỏ hàm số đạt hai điểm biên Ví dụ 1.3 (Đề thi Đại học khối A – 2008) Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình p p p p 4 2x C 2x C x C x D m; có nghiệm thực phân biệt Lời giải Hàm số f x/ D p 2x C p p 2x C p xC2 x; xác định Œ0; 6 tổng hàm lồi nên hàm lồi Vì f x/ có nhiều điểm cực đại Tính đạo hàm bậc nhất, ta 1 f x/ D p C p 2x x3 p x p x : Dễ thấy f 2/ D 0; suy điểm cực đại Hàm số có chiều biến thiên tăng 0; 2/ giảm 2; 6/: Từ dễ dàng suy phương trình f x/ D m có hai nghiệm phân biệt maxff 0/; f 6/g Ä m < f 2/: p p p m ta đưa toán toán cực trị hai biến 2xy < f x; y/ D x C y C 2x C 4y ! 2xy : x > 0; y > 0; 2xy > 116 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Tính đạo hàm theo y; ta f y x; y/ D C 4.2xy 2x.2x C 4y/ 7/ 2xy 7/2 D1 4x C 28 2xy 7/2 : Từ đó, ta tìm được, với x có định f x; y/ đạt giá trị nhỏ điểm r 7 y0 D C C 2: 2x x Khi r 11 f x; y0 / D x C C C D g.x/: 2x x Tính đạo hàm g x/ D 11 2x 14 q 1C x2 : x3 Phương trình g x/ D tương đương với 2x 11/2 x C 7/ D 784 (với điều kiện 2x > 11/ có nghiệm x D 3: Đây điểm cực tiểu (do f ! C1 x ! x ! C1/: Từ f x; y/min D g.x/min D g.3/ D Vậy giá trị nhỏ cần tìm 15 : 15 : Nhận xét Ngoài thủ thuật tham số hoá, thay khử dần biến số ví dụ nêu trên, cịn làm giảm số biến số hàm số cách sử dụng tính chất bất biến hàm, ví dụ tính (khơng đổi phép co dãn), tính đối xứng (khơng đổi với chuyển vị, hốn vị) Ví dụ 2.4 (Đề thi Đại học khối B, 2008) Cho x; y số thực thoả mãn điều kiện x Cy D 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 2.x C 6xy/ : C 2xy C 2y Lời giải Bài toán quy tốn cực trị hàm biến cách tham số hoá lượng giác quen thuộc x D cos t; y D sin t: Tuy nhiên, ta cịn có cách tiếp cận khác: Thay số mẫu số x C y D để thu biểu thức nhất, tức 2.x C 6xy/ x C y C 2xy C 2y sau dựa vào tính để giảm số biến số hàm số Trước hết ta cần hiểu lại có đẳng thức 2.x C 6xy/ 2.x C 6xy/ D : x Cy D1 C 2xy C 2y x;y/2R2 n.0;0/ x C y C 2xy C 2y 117 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Rõ ràng ta có 2.x C 6xy/ 2.x C 6xy/ D : x Cy D1 C 2xy C 2y x Cy D1 x C y C 2xy C 2y 2.x C 6xy/ hàm (bậc 0; tức f tx; ty/ D x C y C 2xy C 2y Nhưng hàm số f x; y/ D f x; y// nên ta có 2.x C 6xy/ 2.x C 6xy/ D ; x Cy D1 x C y C 2xy C 2y x;y/2R2 n.0;0/ x C y C 2xy C 2y (từ điểm khác 0; 0/ co dãn điểm nằm đường trịn đơn vị) Bây ta cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x; y/ D 2.x C 6xy/ ; x C y C 2xy C 2y với x; y/ thuộc R2 n 0; 0/: Nếu y D thỡ f x; y/ D 2: Vi y Ô 0; ta đặt t D f x; y/ D x y 2.t C 6t/ D g.t/: t C 2t C Ta có g t/ D 4t C 12/.t C 2t C 3/ t  Từ tìm gmin D g 2t C 2/.2t C 12t/ C 2t C 3/ D 4.2t C 3/.3 t C 2t C 3/ t/ : à D 6; gmax D g.3/ D 3: Chú ý giá trị vô 2: Bài tập 2.1 (Việt Nam MO 2004) Cho x; y; z số thực dương thoả mãn điều kiện x C y C z/3 D 32xyz: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P D x4 C y4 C z4 x C y C z/4 : t C 2t Bài tập 2.2 (Theo Việt Nam MO 2003) Cho f t/ D : Tìm giá trị lớn giá trị t2 C nhỏ biểu thức f x/ f y/ với x; y số thực thoả mãn điều kiện x C y D 1: Bài tập 2.3 (Đề thi cao đẳng khối A, B, D năm 2008) Cho x; y số thực thoả mãn điều kiện x C y D 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P D 2.x C y / 118 3xy: Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài tập 2.4 (Saudi Arabia 2015) Cho x; y; z số thực dương thỏa mãn điều kiện à  1 C C D 10: x C y C z/ x y z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức  à 1 2 P D x C y C z / C C : x y z Ví dụ 2.5 Cho ba số thực a; b; c đơi khác nhau, tìm giá trị nhỏ biểu thức Ä 1 2 C C a Cb Cc : 2 a b/ b c/ c a/2 Lời giải Hàm số 2 f a; b; c/ D a C b C c Ä a b/ C b c/ C c a/2 ; bậc hàm số g.a; b; c/ D a b/ C b c/ C c a/2 ; bất biến phép tịnh tiến: g.a; b; c/ D g.a C t; b C t; c C t/: Sử dụng tính chất ta giảm số biến số tốn tìm giá trị nhỏ Khơng tính tổng qt (do tính đối xứng !), giả sử a > b > c: Đặt a b D x; b c D y c a D x C y/ a D c C x C y; b D c C y: Ta có Ä 1 2 f a; b; c/ D g.x; y; c/ D 3c C 2.x C 2y/c C x C y/ C y C 2C : x y x C y/2 Cố định x; y g.x; y; c/ đạt giá trị nhỏ c D c0 D g.x; y; c/min x C 2y : Từ Ä 1 2 D g.x; y; c0 / D x C xy C y / C C x y x C y/2 D h.x; y/: Do tính bậc hàm số h.x; y/; ta cần tìm giá trị nhỏ h.x; y/ với x C y D 1; sau đó, sử dụng tính đối xứng h.x; y/; ta biểu diễn h.x; y/ hàm theo t D xy với ý < t W  à 2t 2.1 t/3 h.x; y/ D t/ C D D k.t/: t2 3t Ta có k t/ D t/2 t C 2/ < 0; t2 119 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015  à nên kmin t/ D k D : 0; 4 Vậy giá trị nhỏ cần tìm đạt được, chẳng hạn x D y D ; c D 2 1 ; b D 0; a D : cD 2  ; tức Bài tập 2.5 (British MO 1986) Cho x; y; z số thực thoả mãn điều kiện x C y C z D x C y C z D 6: Tìm giá trị lớn biểu thức F D x y C y z C z x: Bài tập 2.6 (Đề thi đại học khối D, 2008) Cho x; y số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức x y/.1 xy/ : C x/2 C y/2 Bài tập 2.7 (Chọn đội tuyển Việt Nam 1993) Cho x1 ; x2 ; x3 ; x4 số thực thoả mãn điều kiện Ä x12 C x22 C x32 C x42 Ä 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 2x2 C x3 /2 C x2 A D x1 2x3 C x4 /2 C x2 2x1 /2 C x3 2x4 /2 : Bài tập 2.8 (Việt Nam MO 2002) Cho x; y; z số thực thoả mãn điều kiện x Cy Cz D 9: Chứng minh 2.x C y C z/ xyz 10: Bài tập 2.9 (Việt Nam MO 2008) Cho x; y; z số thực không âm, đôi khác Chứng minh ta có bất đẳng thức Ä 1 xy C yz C zx/ C C 4: 2 x y/ y z/ z x/2 Hỏi dấu xảy ? Cực trị hàm nhiều biến góc nhìn Tốn cao cấp Với tốn phổ thơng, kể tốn thi học sinh giỏi cấp, kiến thức giải tích biến đủ để xử lý Tuy nhiên, để có góc nhìn tổng qt hơn, để giới thiệu nét đẹp tốn cao cấp, giới thiệu với em cách sơ lược giải tích nhiều biến, phương pháp nhân tử Lagrange Đây phương pháp để sáng tạo toán mới, kiểm tra kết sơ cấp khác Lưu ý, việc giới thiệu kiến thức cho đối tượng nào, mức độ nhằm mục đích điều phải cân nhắc Ngun lý Fermat mở rộng sang trường hợp nhiều chiều mà khơng có thay đổi đáng kể Để tìm giá trị cực trị hàm f x/; x D x1 ; x2 ; : : : ; xn / Rn ; ta tìm điểm dừng từ hệ phương trình 0 f x/ D , fxj x1 ; x2 ; : : : ; xn / D j D 1; 2; : : : ; n/; 120 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 có số phương trình số ẩn số Sau ta sử dụng định lý Weierstrass (định lý tồn tại), thay đoạn Œa; b tập compact A – tập đóng bị chặn - khơng gian Rn : Đóng có nghĩa chứa tất điểm giới hạn Tương tự trường hợp chiều, ta gặp vấn đề tìm giá trị cực trị miền mở Bổ đề giúp xử lý số trường hợp Bổ đề 3.1 Nếu hàm số f W Rn ! R liên tục f x/ ! C1 q jxj D x12 C x22 C C xn2 ! C1; đạt giá trị nhỏ Rn : Ví dụ 3.1 Trong tam giác nội tiếp đường tròn cho trước, tìm tam giác có diện tích lớn Lời giải Sử dụng định lý Weierstrass tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm liên tục xác định compact, ta suy tam giác A0 B0 C0 với diện tích lớn tồn Sử dụng lý luận hình học quen thuộc, ta suy tam giác A0 B0 C0 phải Ví dụ 3.2 Cho a; b; c số thực thỏa mãn điều kiện a a C b C c D 10: Tìm giá trị lớn P D a2 C b C c : b 5; a C b c; a 8; Lời giải Kết hợp điều kiện ta suy a; b; c/ thỏa mãn điều kiện đề nằm tập đóng, bị chặn (một hình phẳng thuộc mặt phẳng a C b C c D 10/: Suy tồn điểm a; b; c/ cho P lớn nhất, a C b nên c 2: Nếu a < c < b đặt m D min.5 a; b 0 a D a C m; b D b m; c D c ta có 02 02 a Cb Cc 02 D a C m/2 C b m/2 C c D a2 C b C c C 2m2 C 2.a c/; ta thay a; b; c/ a ; b ; c / với b/m >a Cb Cc : Điều mâu thuẫn Vậy ta phải có a D b D c: Nếu a D b C c D 2.b C c / D b C c/2 C b Do a C b nên c 2: Suy ra b C c 13; suy Nếu b D c a 2 Do c c/2 D 25 C 2c/2 : 1: Từ suy 2.b C c / 2c a2 C b C c 25 C 1; suy 38: : Ta có nên c a C b C c D 10 c/2 D 25 C b 2 2c/ C 2c D 6c 10 ; nên ta có  à 10 100 c C 3  121  40c C 100 D c 10 Ã2 C 10 100 75 D < 38: Ã2 C 100 : Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Vậy giá trị lớn cần tìm 38: Ví dụ 3.3 (Định lý đại số) Một đa thức không đồng số với hệ số phức ln ln có nghiệm phức Lời giải Xét đa thức p.z/ xét đại lượng jp.z/j hàm hai biến số thực x y; z D x C iy: Theo bổ đề 3; hàm số đạt giá trị nhỏ điểm z0 D x0 ; y0 /: Không tính tổng qt, cách đổi biến số, giả sử z0 D 0: Giả sử điểm hàm số p.z/ không 0: Gọi k số nguyên dương nhỏ cho hệ số z k đa thức khác 0: Khi p.z/ D a0 C ak z k C C an z n ; k 1; ak Ô 0: Ngoi a0 ¤ a0 D p.0/ D p.z0 / ¤ 0: Bây ta lấy nghiệm phức u phương trình a0 C ak z k D 0; tức phức bậc k a0 ak : Ta có jp.tu/j D ja0 C ak t k uk C o.t k /j D j.1 t k /a0 C o.t k /j < a0 D p.0/; với t > đủ nhỏ Mâu thuẫn theo giả thiết, z0 D điểm hàm số đạt giá trị nhỏ Định lý chứng minh Ví dụ 3.4 (Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK năm 1999) Cho x; y số thực thoả mãn điều kiện x; y x C y 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A D x C y C xy 3x 3y: Lời giải Hàm số f x; y/ D x C y C xy 3x 3y khả vi liên tục compact D xác định bất đẳng thức đề (D hình lục giác !) f x; y/ đạt giá trị lớn giá trị nhỏ D: Các giá trị lớn giá trị nhỏ đạt điểm dừng biên D: Hệ phương trình tìm điểm dừng có dạng ( 2x C y 2y C x 3D0 3D0 có nghiệm x; y/ D 1; 1/: Giá trị điểm f 1; 1/ D 3: 2; ta có f x; y/ D y  3y à có giá trị lớn đạt 0; 1/; 0; 2/; có giá trị nhỏ đạt 0; : Tương tự biên y D 0; x 2: Trên biên x D y 1; ta có f x; y/ D y  y à 2; có giá trị lớn đạt 2; 0/; 2; 1/ giá trị nhỏ đạt 2; : Tương tự biên y D x 1: Trên biên x D y ta có f x; y/ D x  x Ã2 có giá trị lớn 1 đạt 0; 1/ 1; 0/ giá trị nhỏ đạt ; : Trên biên x C y D 1; x 122 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 2; ta có f x; y/ D  x Ã3x có giá trị lớn 3 đạt 1; 2/; 2; 1/ giá trị nhỏ đạt ; : 2 Trên biên x C y D x Từ giá trị lớn f đạt đỉnh hình lục giác 0; 1/; 0; 2/; 1; 2/; 2; 1/; 2; 0/; 1; 0/ giá trị nhỏ đạt điểm 1; 1/: Nhận xét Vì compact mơ tả bất đẳng thức đẳng thức (ví dụ hình cầu x C y C z D 1/ nên tốn cực trị compact quy tốn cực trị có điều kiện Với toán này, sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm lời giải Ta giới thiệu nội dung phương pháp thông qua trường hợp toán cực trị nhiều biến với điều kiện ràng buộc: Để tìm cực trị hàm số f x1 ; x2 ; : : : ; xn / với điều kiện ràng buộc g.x1 ; x2 ; : : : ; xn / D 0; ta xét hàm F ; x1 ; x2 ; : : : ; xn / D f x1 ; x2 ; : : : ; xn / C g.x1 ; x2 ; : : : ; xn /: Sau ta tìm cực trị F: Chú ý điểm cực trị thoả mãn điều kiện g.x1 ; x2 ; : : : ; xn / D F ; x1 ; x2 ; : : : ; xn / D 0; nên cực trị f với điều kiện ràng buộc g.x1 ; x2 ; : : : ; xn / D 0: Ví dụ 3.5 Tìm giá trị giá trị nhỏ hàm số f x; y/ D 5x C 2xy C 3y với điều kiện g.x; y/ D 7x C 2xy C 4y –3 D 0: Lời giải Xét L D f x; y/ C g.x; y/: Đạo hàm theo biến x y; ta ( 10x C 2y C 14x C 2y/ D 2x C 6y C 2x C 8y/ D Từ tính từ phương trình cho nhau, ta 10x C 2y 6y C 2x D : 14x C 2y 8y C 2x y D f 1; 2g: Thay vào phương trình g.x; y/ D 0; ta tìm số điểm “nghi x vấn” cực trị Tính giá trị hàm số f điểm này, ta thu giá trị nhỏ đạt điểm  à  à 1 1 x; y/ D ; ; ; : 3 3 Từ suy Từ dẫn đến kết luận toán Cuối ta dùng đến định lý tồn giá trị nhỏ g.x; y/ D phương trình ellip, compact) 123 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài tập 3.1 (Bài toán Entropi cực đại) Với n số dương x1 ; x2 ; : : : ; xn cho giá trị nhỏ tổng n X n X xk ; tìm kD1 xk ln.xk /: (tổng với dấu trừ gọi entropi) kD1 Bài tập 3.2 Tổng số thực 1; tổng bình phương chúng 13 giá trị nhỏ tổng lập phương chúng ? Bài tập 3.3 Tổng số thực 1; tổng bình phương chúng 11 giá trị lớn tổng lập phương chúng ? Ví dụ 3.6 (Chọn đội tuyển Việt Nam 2001) Cho x; y; z số thực dương thoả mãn điều kiện 2x C 4y C 7z D 2xyz: Tìm giá trị nhỏ biểu thức x C y C z: Lời giải Xét L D x C y C z C 2x C 4y C 7z 2xyz/; hệ phương trình Lx D Ly D Lz D có dạng ˆ < C 2yz/ D C 2zx/ D ˆ : C 2xy/ D Từ ta tìm ˆ ˆ 2yz D C ˆ ˆ ˆ < 2zx D C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ : 2xy D C Mặt khác, điều kiện x C 4y C 7z D 2xyz; viết lại thành C C D 1: 2yz 2zx 2xy Thay biểu thức vừa tìm vào, ta tìm C C D 1: C1 C1 C1 Biến đổi tương đương, ta phương trình 112 Phương trình có nghiệm D ; C 50 D –1 D 0: p 4˙ (loại dẫn đến yz < 0/: Từ ta có 14 ˆ < 2yz D 10 2zx D 12 ˆ : 2xy D 15 124 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015  à Từ tính điểm dừng x; y; z/ D 3; ; : Sự tồn giá trị nhỏ đảm  à bảo bổ đề 3; 3; ; điểm mà hàm số đạt giá trị nhỏ Bài tập 3.4 Cho a; b; c số thực dương cho trước x; y; z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện xyz D ax C by C cz: Chứng minh r r r 2bc 2ca 2ab xCyCz bCcC C cCaC C aCbC ; d d d d số thực dương xác định phương trình a b c C C D 1: aCd bCd cCd Ví dụ 3.7 Tìm điểm P nằm tam giác cho tổng tỷ số độ dài cạnh khoảng cách từ P đến cạnh đạt giá trị nhỏ Lời giải Gọi a; b; c độ dài cạnh tam giác x; y; z khoảng cách từ P đến cạnh tương ứng Ta cần tìm giá trị nhỏ hàm số f x; y; z/ D a b c C C : x y z Trong đại lượng x; y; z liên quan với thơng qua diện tích tam giác Nối P với đỉnh tam giác, ta ba tam giác tổng diện tích diện tích S tam giác Như SD Ta có tốn: ax by cz C C : 2 < f x; y; z/ D a C b C c ! x y z : ax C by C cz D 2S Lập nhân tử Lagrange L ; x; y; z/ D a b c C C C ax C by C cz x y z Hệ phương trình tìm điểm dừng có dạng ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ < ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ : 2S/: a C aD0 x2 b C bD0 y2 c C cD0 z2 Từ suy x D y D z: Tức P cách cạnh tam giác Suy P tâm đường tròn nội tiếp tam giác 125 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Ví dụ 3.8 (Bất đẳng thức Holder) Cho x1 ; x2 ; : : : ; xn số thực dương p; q số 1 dương thoả mãn điều kiện C D 1: Chứng minh ta có bất đẳng thức p q n X n X xk yk Ä kD1 ! p1 xkp n X ! q1 xkq : kD1 kD1 Lời giải Do tính nhất, ta cần chứng minh n X xkp D 1; kD1 n X ykq D 1: 1/ kD1 n X xk yk Ä 1: kD1 Ta cần tìm giá trị lớn n X xk yk với điều kiện ràng buộc 1/: Xét nhân tử Lagrange kD1 LD n X kD1 xk yk C n X ! xkp C kD1 Hệ phương trình tìm điểm dừng có dạng ( yi C pxip xi C pyiq n X ! ykq : kD1 D 0; i D 1; : : : ; n D 0; i D 1; : : : ; n Viết n phương trình dạng yi D p/xip ; lấy luỹ thừa q cộng lại vế theo vế, với ý p 1/q D p; ta suy p D 1; suy yi D xip : Đây điểm dừng n X điểm hàm số xk yk đạt giá trị lớn Nhưng rõ ràng giá trị lớn nên ta có kD1 điều phải chứng minh Cuối cùng, bình luận lời giải số tốn bất đẳng thức góc nhìn tốn cao cấp Ví dụ 3.9 (British MO 1986) Cho x; y; z số thực thoả mãn điều kiện x C y C z D x C y C z D 6: Tìm giá trị lớn biểu thức F D x y C y z C z x: Lời giải Bài tốn có nhiều cách tiếp cận khác Nếu dùng phương pháp hàm số, ta rút z D x y thay vào đưa toán hai biến: Cho x C xy C y D 3; tìm giá trị lớn F D x C 3x y 126 y 3: Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Sau biến đổi điều kiện thành 3.x C y/2 C x y/2 D 12 để đặt p x C y D cos ; x–y D cos ; đưa toán hàm biến Phương pháp hàm số giải theo cách khác đẹp đẽ hướng dẫn tập 25: Dưới ta trình bày cách giải tuyệt đẹp sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Ta viết 3F D x.2xy C z / C y.2yz C x / C z.2zx C y /: 2/ Từ đó, áp dụng bất đẳng thứcCauchy-Schwarz, ta có 9F x C y C z /Œ.2xy C z /2 C 2yz C x /2 C 2zx C y /2 D 6Œx C y C z C 4.x y C y z C z x / C 4xyz.x C y C z/ D 6Œ.x C y C z /2 C 2.xy C yz C zx/2 D 6.36 C 18/ D 36 9: Suy F 6: Phần dấu xảy xin dành cho bạn đọc Ở lời giải từ khơng khí ! Sau phút trấn tĩnh, ta bật câu hỏi: Làm biết mà tách 3F 2/ để áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ? Thực ra, điều khơng hồn tồn mị mẫm may mắn Ta thử lý giải lời giải góc nhìn tốn cao cấp, áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange cho tốn tìm giá trị lớn hàm F với điều kiện ràng buộc x C y C z D 0; x C y C z D 6: 3/; Ta xét hàm F x; y; z; ; / D x y C y z C z x C x C y C z/ C x C y C z 6/: Ta có hệ tìm điểm dừng, ngồi hai phương trình 3/ cịn phương trình ˆ < 2xy C z C C x D 2yz C x C C y D ˆ : 2zx C y C C z D Tt nhiờn ta ch xột xyz Ô 0; cộng ba phương trình lại với ý x C y C z D ta D 0; 2xy C z 2yz C x 2zx C y D D D : 4/ x y z Tuy giải cụ thể nghiệm x; y; z để ý thấy 4/ điều kiện xảy đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz điều lý giải ta lại thành công tách 3F 2/ áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Ví dụ 3.10 Giải ví dụ 18 theo sơ đồ sau: a/ Chứng minh x; y; z Œ 2; 2: 127 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 b/ Đặt t D xyz tính t theo x; từ tìm miền giá trị t: c/ Đặt G D xy C yz C zx : Hãy tính tổng F C G tích F G theo t: d / Từ suy cơng thức tính F theo t: Sẽ có hai giá trị cho F nghiệm phương trình bậc 2: e/ Tìm giá trị lớn F (khi tìm giá trị lớn nhất, ta lấy nghiệm với dấu C/: Ví dụ 3.11 Với n x1 ; x2 ; : : : ; xn y1 ; y2 ; : : : ; yn 2n số thực thoả mãn điều kiện n X ai2 n X D 1; i D1 Chứng minh n X n X D 1; i D1 !2 n X C bi2 i D1 bi D 0: i D1 !2 Ä n: bi i D1 Lời giải Bất đẳng thức khó chịu có lời giải ngắn gọn ấn tượng Đặt n n X X AD ; B D bi : Khi khai triển bất đẳng thức hiển nhiên i D1 i D1 Aai Bbi 0; ta 2Bbi C 2ABai bi C A2 ai2 C B bi2 2Aai 0: Cho i chạy từ đến n cộng bất đẳng thức lại vế theo vế, ý n X ai2 D 1; n X i D1 bi2 D 1; n X iD1 i D1 A2 C B n; bi D 0; ; ta điều phải chứng minh Dưới góc nhìn tốn sơ cấp khó giải thích lại nghĩ lời giải này, lại biết để bình phương đại lượng Aai Bbi cộng lại ? Chúng ta lại phải đổ cho “kinh nghiệm, óc phán đốn” hay “nhạy cảm tốn học” Tốn cao cấp giúp giải thích lời giải độc đáo : Xét tốn tìm giá trị lớn hàm số f a; b/ D n X !2 C i D1 với điều kiện ràng buộc n X i D1 ai2 D 1; n X n X !2 bi ; i D1 bi2 D 1; i D1 n X i D1 128 bi D 0: Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Lập nhân tử Langrange !2 !2 n n X X LD C bi C i D1 n X iD1 ! ai2 CÁ n X i D1 ! bi2 C iD1 n X b i : i D1 Các phương trình tìm điểm dừng có dạng ( 2A C C bi D 0; i D 1; 2; : : : ; n 2B C 2Áai C bi D 0; i D 1; 2; : : : ; n Từ hệ này, Á ¤ 0; tất tất bi Điều xảy Do ta phải có Á D 0: Lúc này, để hệ có nghiệm, ta lại phải có A 2 D D : B 2Á Ngồi ra, ta có 0D n X bi D i D1 n X 2A2 / D 2A : iD1 Suy D 2A2 D 2AB: Từ ta có điều kiện Aai Bbi D 0: Như điểm dừng ta có hệ thức Aai Bbi D sở để ta “mạnh dạn” thực phép bình phương nói Ví dụ 3.12 (IMO Shortlist 2007) Cho a1 ; a2 ; : : : ; a100 số thực không âm thoả mãn điều kiện a12 C a22 C C a100 D 1: Chứng minh a12 a2 C a22 C a3 C Lời giải Đặt S D 100 X C a1 002 a1 < 12 : 25 ak2 akC1 (như thường lệ, ta xét số theo modulo 100; tức ta đặt kD1 a101 D a1 ; a102 D a2 /: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho dãy akC1 / ak2 C 2akC1 akC2 / sau 2 bất đẳng thức Cauchy cho số akC1 akC2 : Áp dụng đánh giá hiển nhiên sau 100 X 2 ak4 C 2ak2 akC1 C 2ak2 akC2 /Ä kD1 100 X !2 ak2 ; kD1 100 X ak2 akC1 Ä 50 X ! a2i i D1 kD1 50 X ! a2i ; i D1 ta thu 3S /2 Ä 100 X i D1 !2 ak2 C4 50 X i D1 ! a2i 50 X ! a2i i D1 129 Ä1C 50 X i D1 a2i C 50 X i D1 !2 a2i D 2: Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Từ p SÄ 0:4714 < 12 D 0:48: 25 Ta có điều phải chứng minh Ở đây, bước biến đổi đánh giá dễ hiểu, phức tạp ví dụ trước Tuy nhiên, lời giải ví dụ 16; việc tách 3S D 100 X akC1 ak2 C 2akC1 akC2 / kD1 khó hiểu thiếu tự nhiên Điều trở nên dễ hiểu ta áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange thấy giá trị lớn biểu thức đề đạt giá trị thoả mãn hệ phương trình ak2 C 2ak akC1 D ak với k D 1; 2; : : : ; 100: Chính tỷ lệ điểm cực trị giúp mạnh dạn sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để đánh giá Bài tập 3.5 (IMO Shortlist 1995) Với a; b; c số thực dương cho trước x; y; z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x C y C z D a C b C c: Tìm giá trị lớn biểu thức 4xyz a2 x C b y C c z/: Bài tập 3.6 (IMO 1984) Cho x; y; z số thực không âm có tổng 1: Chứng minh bất đẳng thức Ä xy C yz C zx 2xyz Ä : 27 Tài liệu tham khảo [1] J.Brinkhouse & V.Iu.Protasov, Lý thuyết cực trị qua ví dụ đơn giản, Tạp chí “Truyền bá tốn học” số năm 2005; trang 32 55: [2] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức - Định lý áp dụng, Nhà xuất Giáo Dục, 2006: [3] Đoàn Quỳnh chủ biên, Tài liệu giáo khoa chun tốn 11; 12; Đại số Giải tích, Nhà xuất Giáo dục 2011; 2012: [4] V.Tikhomirov, Các câu chuyện maximum minimum, Nhà xuất MCCME, 2006: [5] The Vietnamese Mathematical Olympiad 1990 Publishing House, 2007: 2006/ Selected Problems, Education [6] Các nguồn tài liệu Internet, tạp chí Kvant, Tốn học Tuổi trẻ, đề thi Olympic Toán nước, đề thi Đại học 2008: 130 ... diện tích nhỏ Hãy tìm lời giải hình học lời giải giải tích cho toán Bài tập 1.3 Tương tự với chu vi nhỏ nhất, tìm lời giải hình học lẫn lời giải giải tích 112 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài. .. y22 D tốn cực trị sau ˇ 8ˇ ˇ.x1 1/y2 x2 1/y1 ˇ ˆ ˆ ˆ ! max < x12 C y12 D ˆ ˆ ˆ : x2 C y22 D Bài toán cực trị có điều kiện biến chuyển thành toán cực trị biến cách tham số hố đường trịn đơn vị,... tốn Bài tập 1.9 Nếu khơng biết trước fmin D 19 tìm cách tiếp cận để giải toán theo cách 2: 15 15 Bài tập 1.10 Nếu ta điểm rơi x D ; làm để áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz theo cách ? Cực trị